Теория Галуа
Покупка
Перевод:
Самохин А. В.
Год издания: 2004
Кол-во страниц: 68
Дополнительно
Вид издания:
Учебное пособие
Уровень образования:
Аспирантура
ISBN: 978-5-94057-062-3
Артикул: 682517.01.99
В книге изложены основы теории Галуа. Она написана ясным языком, материал
тщательно подобран, ее автор — известный математик. Впервые она была
опубликована в 1944 г. и затем неоднократно переиздавалась. Отдельная глава
посвящена вопросу о разрешимости алгебраических уравнений в радикалах и построению
правильных многогранников с помощью циркуля и линейки.
Для студентов и аспирантов физикоматематических
специальностей.
Тематика:
ББК:
УДК:
ОКСО:
- 01.00.00: МАТЕМАТИКА И МЕХАНИКА
- ВО - Магистратура
- 01.04.01: Математика
ГРНТИ:
Скопировать запись
Фрагмент текстового слоя документа размещен для индексирующих роботов.
Для полноценной работы с документом, пожалуйста, перейдите в
ридер.
Э. АРТИН ТЕОРИЯ ГАЛУА Перевод с английского А.В.Самохина Москва Издательство МЦНМО 2004
УДК 512 ББК 22.14 А86 Издание осуществлено при поддержке РФФИ (издательский проект № 02-01-14082). Серия КЛАССИЧЕСКИЕ МОНОГРАФИИ: МАТЕМАТИКА Артин Э. А86 Теория Галуа / Пер. с англ. А. В. Самохина.— М.: МЦНМО, 2004.— 66 с.— (Классические монографии: математика). ISBN 5-94057-062-3 В книге изложены основы теории Галуа. Она написана ясным языком, материал тщательно подобран, ее автор — известный математик. Впервые она была опубликована в 1944 г. и затем неоднократно переиздавалась. Отдельная глава посвящена вопросу о разрешимости алгебраических уравнений в радикалах и построению правильных многогранников с помощью циркуля и линейки. Для студентов и аспирантов физико-математических специальностей. ББК 22.14 ISBN 5-94057-062-3 c⃝ МЦНМО, перев. на русск. яз., 2004.
Предисловие к русскому изданию Эмиль Артин (1898—1962) родился в Вене. В возрасте 18 лет он поступил в Венский университет, но проучившись там меньше года, попал в армию. После войны закончил Лейпцигский университет под руководством Герглотца и защитил диссертацию о квадратичных функциональных полях. Наиболее творческие годы он провел, преподавая в Гамбургском университете. Нацизм заставил его, как и множество других замечательных математиков, эмигрировать в 1937 году в Америку, где он создал еще б ´ольшую научную школу, чем в Германии, особенно за годы преподавания в Принстоне. В 1958 году он вернулся в Гамбург. Артин не был математиком-мономаном. Кроме математики он интересовался механикой, теорией относительности, химией, биологией, астрономией (он показывал ученикам телескоп, сделанный своими руками), хорошо знал и любил музыку (играл на флейте, фортепиано и клавесине). Его вклад в алгебру, теорию чисел и топологию огромен. Он решил семнадцатую проблему Гильберта, открыл расширения Артина—Шрайера, закон взаимности Артина в теории полей классов, создал теорию кос, ввел артиновы кольца и разрешимые группы, предложил функциональный аналог гипотезы Римана (теперь теорема Хассе—Вейля), гипотезу Артина о примитивных корнях, гипотезу Артина о голоморфности L-рядов и многое другое. Артин писал: «Математика — это искусство» и относил это в полной мере к книгам по математике. Он автор по меньшей мере шести классических книг: «Теория Галуа», «Кольца с условиями минимальности» (с Несбитом и Траллом), «Геометрическая алгебра» (имеется русский перевод), «Алгебраические числа и алгебраические функции», «Гаммафункция» и «Теория полей классов» (с Тейтом). Мне представляется, что самые замечательные из них — первая и последняя. Первая — перед вами. М. А. Цфасман 3
1.1. Тела Телом1) называется множество, в котором заданы две операции — умножение и сложение, аналогичные умножению и сложению в множестве действительных чисел (которое является частным случаем тела). В любом теле F существуют однозначно определенные элементы — так называемые 0 и 1, которые взаимодействуют с другими элементами тела относительно операций умножения и сложения так же, как их аналоги в системе действительных чисел. Эта аналогия с действительными числами неполна в двух отношениях: 1) умножение не всегда предполагается коммутативным, 2) тело может иметь конечное число элементов. Точнее говоря, тело — это множество, которое является аддитивной абелевой группой относительно вышеупомянутой операции сложения, а ненулевые элементы этого множества образуют группу по умножению. Наконец, эти две групповые операции связаны между собой законом дистрибутивности. Кроме того, произведение нуля с любым элементом тела полагается равным нулю. Если умножение в теле коммутативно, то тело называется полем. 1.2. Векторные пространства Аддитивная абелева группа V, элементы которой обозначаются через A, B, . . . , называется (левым) векторным пространством над телом F, элементы которого обозначаются a, b, . . . , если для каждой пары a ∈ F и A ∈ V определен элемент a · A, принадлежащий группе V, и выполняются следующие условия: 1) a · (A + B) = a · A + a · B, 3) a · (b · A) = (a · b) · A, 2) (a + b) · A = a · A + b · A, 4) 1 · A = A. Читатель без труда проверит, что если V — векторное пространство над F, то 0 · A = 0 и a · 0 = 0. Например, первое соотношение следует из 1)В иностранной литературе кольцо, в котором всякий ненулевой элемент обратим, часто называется полем. Если же умножение в таком кольце коммутативно, то оно называется коммутативным полем. В русской же литературе поля принято называть телами, а коммутативные поля — полями. — Прим. ред. 4
уравнений a · A = (a + 0) · A = a · A + 0 · A. Иногда произведения элементов тела F с элементами пространства V записываются в виде A · a. В этом случае мы называем V правым векторным пространством над F, чтобы подчеркнуть разницу с предыдущим случаем, когда элементы тела F действуют слева. В дальнейшем если левые и правые векторные пространства не встречаются одновременно, то мы будем просто использовать термин «векторное пространство». 1.3. Однородные линейные уравнения Если в теле F заданы m · n элементов aij, i = 1, 2, . . . , m, j = 1, 2, . . . . . . , n, то часто бывает необходимо знать условия, гарантирующие существование таких элементов тела F, что выполнены следующие равенства: a11x1 + a12x2 + . . . + a1nxn = 0, ... ... .. ... ... .. ... ... .. ... ... ... am1x1 + am2x2 + . . . + amnxn = 0. (3.1) Читатель, возможно, помнит, что такие уравнения называются линейными однородными, а множество элементов x1, x2, . . . , xn тела F, для которых эти равенства верны, называется решением системы уравнений. Если не все элементы x1, x2, . . . , xn равны нулю, то решение называется нетривиальным; иначе оно называется тривиальным. Теорема 1. Система линейных однородных уравнений всегда имеет нетривиальное решение, если число неизвестных превосходит число уравнений. Доказательство этой теоремы проводится методом, знакомым большинству школьников старших классов, а именно, методом последовательного исключения неизвестных. Если имеется пустое множество уравнений для n неизвестных, то на эти неизвестные нет никаких ограничений и мы полагаем их равными 1. Далее будем действовать по полной индукции. Предположим, что любая система из k уравнений с более чем k неизвестными имеет нетривиальное решение при k < m. Допустим, что для системы уравнений (3.1) выполняется неравенство n > m, и обозначим выражение ai1x1 + . . . + ainxn через Li, i = 1, 2, . . . , m. Мы ищем такие элементы x1, . . . , xn, не все равные нулю, что L1 = L2 = . . . = Lm = 0. Если aij = 0 для всех i и j, то любой набор x1, . . . , xn будет решением. Если же не все aij равны нулю, то можно считать, что a11 ̸= 0, переупорядочив переменные и уравнения подходящим образом. Существование нетривиального решения исходной системы уравнений равносильно 5
существованию нетривиального решения следующей системы: L1 = 0, L2 − a21a−1 11 L1 = 0, .................... Lm − am1a−1 11 L1 = 0. Действительно если x1, . . . , xn — решение последней системы уравнений, то, поскольку L1 = 0, второй член каждого из оставшихся уравнений равен нулю, и тем самым L2 = L3 = . . . = Lm = 0. Обратно, если выполнено (3.1), то, очевидно, новая система имеет решение. Читатель может заметить, что новая система была подобрана таким образом, что переменная x1 исключается из последних m − 1 уравнений. Кроме того, если существует нетривиальное решение последних m − 1 уравнений, рассматриваемых как система от переменных x2, . . . , xn, то, полагая x1 = −a−1 11 (a12x2 + a13x3 + . . . + a1nxn), мы получим решение исходной системы. Однако система из последних m − 1 уравнений имеет решение по индуктивному предположению, откуда и следует утверждение теоремы. Замечание. Если бы мы записали линейные однородные уравнения в форме xjaij = 0, j = 1, 2, . . . , n, то теорема по-прежнему осталась бы верной и ее доказательство проходило бы без изменений. 1.4. Зависимость и независимость векторов Векторы A1, . . . , An векторного пространства V над телом F называются линейно зависимыми, если существуют такие элементы этого тела x1, . . . , xn, не все равные нулю, что x1A1 + x2A2 + . . . + xnAn = 0. В противном случае векторы называются (линейно) независимыми. Размерностью векторного пространства V над телом F называют максимальное число линейно независимых векторов в V. Так, размерность пространства V равна n, если в V есть n линейно независимых векторов, но любое множество из (n + 1) векторов линейно зависимо. Система векторов A1, . . . , Am в V называется системой образующих, если любой вектор A из V может быть линейно выражен че рез A1, . . . , Am, т. е. A = mi =1 aiAi для подходящих ai, i = 1, . . . , m, ai ∈ F. Теорема 2. В любой системе образующих максимальное число линейно независимых векторов равно размерности векторного пространства. Пусть A1, . . . , An — система образующих векторного пространства V размерности n. Обозначим через r максимальное число линейно независимых векторов в системе образующих. Переупорядочивая векторы 6
подходящим образом, мы можем считать, что A1, . . . , Ar линейно независимы. По определению размерности отсюда следует, что r ⩽ n. Для любого j векторы A1, . . . , Ar, Ar+j линейно зависимы и в равенстве a1A1 + a2A2 + . . . + arAr + ar+jAr+j = 0, выражающем зависимость, коэффициент ar+j ̸= 0, ибо в противном случае мы получили бы противоречие с предположением о линейной независимости векторов A1, . . . , Ar. Поэтому, Ar+j = −a−1 r+j[a1A1 + a2A2 + . . . + arAr]. Следовательно, множество векторов A1, . . . , Ar также является системой образующих, так как в соотношении, представляющем любой вектор пространства V как линейную комбинацию векторов A1, . . . , An, слагаемые, содержащие Ar+j, j ̸= 0, можно заменить на линейные комбинации векторов A1, . . . , Ar. Пусть теперь B1, . . . , Bt — любой набор векторов пространства V, где t > r. Тогда существуют такие aij, что Bj = ri =1 aijAi, j = 1, 2, . . . , t, поскольку Ai — система образующих. Если мы сможем показать, что B1, . . . , Bt линейно зависимы, то мы получим оценку r ⩾ n и тем самым, учитывая неравенство r ⩽ n, доказанное выше, получим доказательство теоремы. Таким образом, мы должны предъявить нетривиальное решение уравнения x1B1 + x2B2 + . . . + xtBt = 0, где xi ∈ F. С этой целью найдем значения xi, которые удовлетворяют системе линейных уравнений tj=1 xjaij = 0, i = 1, 2, . . . , r. Этого будет достаточно, потому что выражения в левой части уравнений суть коэф фициенты при Ai в сумме tj=1 xjBj, где Bj заменены на ri =1 aijAi и приведены подобные слагаемые. Но нетривиальное решение системы tj=1 xjaij = 0, i = 1, 2, . . . , r, всегда существует по теореме 1. Замечание. Любые n независимых векторов A1, . . . , An в векторном пространстве размерности n являются системой образующих. Для любого вектора A векторы A, A1, . . . , An зависимы и коэффициент при A в линейном соотношении не может быть равен нулю. Выражая A через A1, . . . , An, мы видим, что A1, . . . , An — система образующих. Подмножество векторного пространства называется подпространством, если оно является подгруппой пространства, рассматриваемого 7
как абелева группа, и, кроме того, инвариантно относительно умножения на элементы тела F. Если A1, . . . , As — векторы пространства V, то множество векторов вида a1A1 + . . . + asAs, очевидно, образует подпространство в V. Из определения размерности также видно, что размерность любого подпространства не превосходит размерности объемлющего пространства. Набор из s элементов тела F вида (a1, . . . , as) будем называть вектор-строкой. Все вектор-строки длины s образуют векторное пространство, если положить 1) (a1, a2, . . . , as) = (b1, b2, . . . , bs), если и только если ai = bi, i = = 1, . . . , s, 2) (a1, a2, . . . , as) + (b1, b2, . . . , bs) = (a1 + b1, a2 + b2, . . . , as + bs), 3) b(a1, a2, . . . , as) = (ba1, ba2, . . . , bas) для b из F. Наборы из s элементов тела F, записываемые вертикально: a1 ... as , называются вектор-столбцами. Теорема 3. Вектор-строки (столбцы) длины n, элементы которых принадлежат телу F, образуют векторное пространство размерности n над F. Это пространство обозначается через Fn. Заметим, что n векторов e1 = (1, 0, 0, . . . , 0), e2 = (0, 1, 0, . . . , 0), ... .................. en = (0, 0, 0, . . . , 1) независимы и порождают Fn. Оба свойства следуют из соотношения (a1, a2, . . . , an) = ai ei. Мы будем называть прямоугольную таблицу a11 a12 . . . a1n a21 a22 . . . a2n ... ... ... am1 am2 . . . amn из элементов тела F матрицей. Правым строчным рангом матрицы называется максимальное число линейно независимых вектор-строк среди строк (ai1, . . . , ain) матрицы, если умножение на элементы поля задано справа. Аналогичным образом определяются левый строчный, правый и левый столбцовый ранги. Теорема 4. В любой матрице правый столбцовый ранг равен левому строчному рангу и левый столбцовый ранг равен правому 8
строчному рангу. Если тело является полем, то все четыре ранга равны одному и тому же числу и это число называется рангом матрицы. Обозначим столбцы матрицы через C1, . . . , Cn и строки через R1, . . . . . . , Rm. Нулевой вектор-столбец 0 равен 0 ... 0 , и любая линейная зави симость вида C1x1 + C2x2 + . . . + Cnxn = 0 эквивалентна существованию решения системы уравнений a11x1 + a12x2 + . . . + a1nxn = 0, ... ... .. ... ... .. ... ... .. ... ... ... am1x1 + am2x2 + . . . + amnxn = 0. (3.1) Любая перестановка строк матрицы приводит к той же самой системе уравнений и, тем самым, не изменяет столбцового ранга матрицы. Строчный ранг при этом также не изменяется, потому что у новой матрицы вектор-строки будут теми же. Обозначим правый столбцовый ранг через c и левый строчный ранг матрицы через r. Учитывая предыдущие замечания, мы можем считать, что первые r строк линейно независимы. Векторное пространство, порожденное вектор-строками матрицы, имеет размерность r по теореме 1 и порождено первыми r строками. Следовательно, любая строка с номером, большим r, линейно выражается через первые r строк. В итоге любое решение первых r уравнений системы (3.1) будет решением всей системы, поскольку последние n − r уравнений получаются как линейные комбинации первых r уравнений. Обратно, любое решение системы (3.1) также будет решением первых r уравнений. Это означает, что у матрицы a11 a12 . . . a1n a21 a22 . . . a2n ... ... ... ar1 ar2 . . . arn , состоящей из первых r строк исходной матрицы, правый столбцовый ранг такой же, как у исходной матрицы. Кроме того, у нее такой же левый строчный ранг, так как эти r строк выбирались независимыми. Но столбцовый ранг усеченной матрицы не может быть больше r по теореме 3. Тем самым, c ⩽ r. Аналогично, обозначая через c′ левый столбцовый ранг и через r′ правый строчный ранг, имеем c′ ⩽ r′. Если транспонировать исходную матрицу, т. е. заменить строки на столбцы, а столбцы на строки, то левый строчный ранг транспонированной матрицы будет равен левому столбцовому рангу исходной. Если применить предыдущие 9