Математический анализ задач естествознания

Математический 
анализ задач 
естествознания

В. А. Зорич

В. А. Зорич 
 
Математический анализ задач естествознания

В. А. Зорич

Математический анализ
задач естествознания

Электронное издание

Москва
Издательство МЦНМО


УДК 
ББК .
З

Зорич В. А.
Математический анализ задач естествознания.
Электронное издание.
М.: МЦНМО, .
 с.
ISBN ----

Эта книга содержит записи годового экспериментального спецкурса естественнонаучного содержания. В нём представлены три темы:
— анализ размерностей физических величин с примерами приложений, включая модель турбулентности по Колмогорову;
— функции очень многих переменных и явление концентрации:
нелинейный закон больших чисел, геометрический смысл распределений Гаусса и Максвелла, теорема Котельникова—Шеннона;
— классическая термодинамика и контактная геометрия: два начала термодинамики на языке форм, распределения и теорема Фробениуса, метрика Карно—Каратеодори.
Спецкурс предназначен в первую очередь математикам, но может быть также полезен студентам и специалистам иных специальностей.
В приложении помещена общедоступная статья автора «Математика как язык и метод».

Подготовлено на основе книги:
Зорич В. А. Математический анализ задач естествознания. — Новое изд.,
доп. — М.: МЦНМО, . —  с. — ISBN ----

Издательство Московского центра
непрерывного математического образования
, Москва, Большой Власьевский пер., ,
тел. ()--.
http://www.mccme.ru

ISBN ----
© Зорич В. А., .
© МЦНМО, .

Оглавление

Предисловие к первому изданию . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
7

Предисловие к новому изданию . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
9

Тема I
Анализ размерностей физических величин

Глава I. Элементы теории
§1. Размерность физической величины (начальные представления) .
14
1.1. Измерение, единица измерения, процесс измерения . . . . . .
14
1.2. Основные и производные единицы
. . . . . . . . . . . . . . . . .
14
1.3. Зависимые и независимые единицы . . . . . . . . . . . . . . . . .
15
§2. Формула размерности физической величины . . . . . . . . . . . . . .
15
2.1. Изменение числовых значений физической величины при
изменении размеров основных единиц . . . . . . . . . . . . . . .
15
2.2. Постулат инвариантности отношения значений
одноимённых физических величин
. . . . . . . . . . . . . . . . .
16
2.3. Функция размерности и формула размерности физической
величины в данном базисе . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
16
§3. Основная теорема теории размерностей . . . . . . . . . . . . . . . . .
18
3.1. Π-теорема . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
18
3.2. Принцип подобия . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
19

Глава II. Примеры приложений
§1. Период обращения тела на круговой орбите (законы подобия) . .
20
§2. Гравитационная постоянная. Третий закон Кеплера и показатель
степени в законе всемирного тяготения Ньютона . . . . . . . . . . .
21
§3. Период колебаний тяжёлого маятника (включение g) . . . . . . . .
22
§4. Расход объёма и массы на водосливе . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
23
§5. Сила сопротивления при движении шара в невязкой среде . . . . .
23
§6. Сила сопротивления при движении шара в вязкой среде
. . . . . .
24
§7. Упражнения
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
26
§8. Заключительные замечания . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
28

Глава III. Дальнейшие приложения: гидродинамика
и турбулентность
§1. Уравнения гидродинамики (общие сведения)
. . . . . . . . . . . . .
32
§2. Потеря устойчивости течения и замечания о бифуркациях в динамических системах
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
34


Оглавление

§3. Турбулентность (начальные представления)
. . . . . . . . . . . . . .
36
§4. Модель Колмогорова . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
36
4.1. Многомасштабность турбулентных движений . . . . . . . . . .
36
4.2. Развитая турбулентность и инерционный интервал . . . . . . .
38
4.3. Удельная энергия . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
38
4.4. Число Рейнольдса движений данного масштаба . . . . . . . . .
39
4.5. Закон Колмогорова—Обухова . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
39
4.6. Внутренний масштаб турбулентности . . . . . . . . . . . . . . . .
40
4.7. Энергетический спектр турбулентных пульсаций . . . . . . . .
40
4.8. Турбулентное перемешивание и расхождение частиц
. . . . .
40

Тема II
Многомерная геометрия и функции
очень многих переменных

Глава I. Некоторые примеры функций очень многих переменных
в естествознании и технике
§1. Цифровая запись сигнала (КИМ — кодово-импульсная модуляция)
46
1.1. Линейный прибор и его математическое описание (свёртка)
46
1.2. Фурье-двойственное (спектральное) описание линейного
прибора . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
47
1.3. Функции и приборы с финитным спектром . . . . . . . . . . . .
48
1.4. Идеальный фильтр и его аппаратная функция . . . . . . . . . .
49
1.5. Теорема отсчётов (формула Котельникова—Шеннона) . . . .
49
1.6. Кодово-импульсная модуляция сигнала (КИМ) . . . . . . . . . .
51
1.7. Пропускная способность идеального канала связи
. . . . . . .
51
1.8. Оценка размерности TV-сигнала . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
52
§2. Некоторые другие области многопараметрических явлений
и пространств большой размерности . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
52
2.1. Молекулярная теория вещества . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
52
2.2. Фазовое пространство в классической гамильтоновой механике
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
53
2.3. Термодинамические ансамбли Гиббса
. . . . . . . . . . . . . . .
53
2.4. Теория вероятностей . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
53

Глава II. Принцип концентрации и его проявления
§1. Шар и сфера в евклидовом пространстве n при n ≫1 . . . . . . . .
54
1.1. Концентрация объёма шара при n →∞ . . . . . . . . . . . . . . .
54
1.2. Термодинамический предел . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
54
1.3. Концентрация площади сферы . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
55
1.4. Изопериметрическое неравенство и почти постоянство
функции на сфере очень большой размерности
. . . . . . . . .
58
1.5. Концентрация меры, проявления и формализация . . . . . . .
59

Оглавление


§2. Некоторые замечания . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
61
2.1. Различные средние . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
61
2.2. Многомерный куб и принцип концентрации . . . . . . . . . . .
62
2.3. Принцип концентрации, термодинамика, эргодичность . . . .
64
2.4. Принцип концентрации и предельные распределения . . . . .
66

Глава III. Связь при наличии помех
§1. Дискретная запись непрерывного сигнала — конкретизация . . . .
67
1.1. Энергия и средняя мощность сигнала . . . . . . . . . . . . . . . .
67
1.2. Квантование по уровням . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
69
1.3. Идеальный многоуровневый канал связи
. . . . . . . . . . . . .
69
1.4. Помехи (белый шум) . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
69
§2. Пропускная способность канала связи с шумом . . . . . . . . . . . .
70
2.1. Грубая оценка пропускной способности канала с шумом . . .
70
2.2. Геометрия сигнала и помехи . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
71
2.3. Теорема Шеннона . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
72
§3. Обсуждение теоремы Шеннона, примеры и дополнения . . . . . . .
74
3.1. Комментарий Шеннона . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
74
3.2. Слабый сигнал в большом шуме . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
75
3.3. Избыточность языка . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
76
3.4. Тонкие измерения на грубом приборе
. . . . . . . . . . . . . . .
76
3.5. Код Шеннона—Фано . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
76
3.6. Статистические характеристики оптимального кода . . . . . .
77
3.7. Кодирование и декодирование — ǫ-энтропия и δ-ёмкость
. .
78
§4. Математическая модель канала связи с помехами . . . . . . . . . . .
81
4.1. Простейшая модель и постановка вопроса . . . . . . . . . . . . .
81
4.2. Информация и энтропия (предварительные рассмотрения)
.
82
4.3. Условная энтропия и информация . . . . . . . . . . . . . . . . . .
85
4.4. Интерпретация потери информации в канале с шумом . . . .
87
4.5. Расчёт пропускной способности абстрактного канала связи .
89

Тема III
Классическая термодинамика и контактная геометрия

Глава I. Классическая термодинамика (начальные представления)
§1. Два начала термодинамики . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
94
1.1. Энергия и вечный двигатель . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
94
1.2. Вечный двигатель второго рода и энтропия . . . . . . . . . . . .
94
§2. Математическое оформление двух начал термодинамики . . . . . .
96
2.1. Дифференциальная форма теплообмена . . . . . . . . . . . . . .
97
2.2. Два начала термодинамики на языке дифференциальных форм 98
2.3. Термодинамика без тепла . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 100
2.4. Адиабатические переходы и аксиома Каратеодори . . . . . . . 101


Оглавление

Глава II. Термодинамика и контактная геометрия
§1. Контактные распределения
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 104
1.1. Адиабатический процесс и контактное распределение . . . . . 104
1.2. Формализация . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 104
§2. Интегрируемость распределений . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 105
2.1. Теорема Фробениуса . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 105
2.2. Интегрируемость, связность, управляемость . . . . . . . . . . . 106
2.3. Метрика Карно—Каратеодори . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 107
2.4. Контактная форма Гиббса . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 108
2.5. Заключительные замечания . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 109

Глава III. Термодинамика классическая и статистическая
§1. Кинетические теории . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 112
1.1. Молекулы и давление . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 112
1.2. Распределение Максвелла
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 112
1.3. Энтропия по Больцману . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 113
1.4. Ансамбли Гиббса и термодинамизация механики . . . . . . . . 114
1.5. Эргодичность
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 115
1.6. Парадоксы, проблемы, трудности
. . . . . . . . . . . . . . . . . . 117
§2. Квантовая статистистическая термодинамика (два слова) . . . . . 121
2.1. Счёт состояний и условный экстремум . . . . . . . . . . . . . . . 121
2.2. Уточняющие замечания и дополнения . . . . . . . . . . . . . . . 123

Литература . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 131

Приложение. Математика как язык и метод . . . . . . . . . . . . . . . . . . 145

Непредвиденный эпилог . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 155

Предисловие к первому изданию

Это небольшой курс естественнонаучного содержания, предназначенный математикам. Он допускает развития разной направленности.
Здесь представлено кое-что из наследия Галилея, Ньютона, Эйлера, Бернулли, Карно, Клаузиуса, Максвелла, Больцмана, Гиббса,
Пуанкаре, Эйнштейна, Планка, Шрёдингера, Каратеодори, Колмогорова, Котельникова, Шеннона...
Название «Математический анализ задач естествознания», разумеется, отражает лишь тенденцию, а не обещание какой-то всеобщности типа «всё, сразу и даром». Произведён очень условный отбор
трёх тем.
Заметим, что те, кто особенно чтим нами, математиками, Архимед, Ньютон, Лейбниц, Эйлер, Гаусс, Пуанкаре, были не только
математиками, но учёными, натурфилософами.
В математике решение важных конкретных научных вопросов
и построение абстрактной общей теории — процессы неразрывные,
как вдох и выдох. Длительное нарушение этого баланса опасно.
Не стоит попадать в положение рыбака, продолжающего с увлечением дёргать леску и ловить рыбку на уже оторвавшейся от берега льдине.
Герман Вейль отмечал, что «подлинно реалистическая математика должна мыслиться в одном строю с физикой как часть теоретической конструкции единого реального мира...». Между прочим, это
пока ещё указано даже в наших дипломах кандидатов и докторов
физико-математических наук.

В заключение я хотел бы поблагодарить всех, кто способствовал
правке первоначального текста, особенно В. И. Арнольда, не пропустившего ни единого абзаца стостраничной распечатки, сделавшего массу острых наблюдений, сопровождая их комментариями. Ес
Это не преувеличение: файл, предназначенный для В. И., случайно был послан
на принтер, который некоторые буквы кириллицы систематически заменял другими
(кстати, иногда при этом получались довольно забавные вещи). Так вот, В. И. заодно
повсюду исправил и дефекты печати.
Например, что рассуждения темы I «мракобесны». Об этом я должен предупредить читателя. См. также сноску на с. .


Предисловие к первому изданию

ли я не все замечания или пожелания коллег здесь учёл, то это вовсе
не значит, что я ими пренебрёг, скорее, кое-что счёл предметом размышления и обсуждения.
В. Зорич
Москва, 

Предисловие к новому изданию

В этом новом издании книги, помимо исправления замеченных
погрешностей предыдущего издания, сделано несколько изменений
и добавлений. В основном это касается темы II, точнее её второго параграфа, посвящённого многомерной геометрии и феномену
концентрации меры, имеющему разнообразные проявления (помимо самой геометрии, например, в теории вероятностей, статистической физике, теории передачи информации по каналу связи при
наличии помех, теории больших информационных систем...). Эта
тематика стала предметом многочисленных публикаций. Для сведения заинтересованного читателя мы пополнили соответствующую
библиографию совсем свежей литературой.
Тема III, посвящённая термодинамике, здесь почти не изменена.
На самом же деле она расширилась фактически до размера небольшой независимой книжки. Книга, возможно, будет опубликована
под названием «Математические аспекты классической термодинамики».
Тема I осталась практически неизменной, если не считать нескольких новых комментариев.
В. Зорич
Москва, 