Принципы комплексного анализа.
Покупка
Автор:
Львовский Сергей Михайлович
Год издания: 2017
Кол-во страниц: 304
Дополнительно
Вид издания:
Учебное пособие
Уровень образования:
ВО - Бакалавриат
ISBN: 978-5-4439-3137-1
Артикул: 682503.01.99
Эта книга представляет собой курс теории функций комплексно-
го переменного, основанный на авторском опыте преподавания этого
предмета на факультете математики Высшейшколы экономики (НИУ
ВШЭ) и в программе «Math in Moscow» (НИУ ВШЭ и Независимый
московский университет). Наряду с традиционным материалом, курс
содержит большую теорему Пикара и введение в теорию римановых
поверхностей.
Для студентов математических специальностей.
Тематика:
ББК:
УДК:
ОКСО:
- 01.00.00: МАТЕМАТИКА И МЕХАНИКА
- ВО - Бакалавриат
- 01.03.01: Математика
ГРНТИ:
Скопировать запись
Фрагмент текстового слоя документа размещен для индексирующих роботов.
Для полноценной работы с документом, пожалуйста, перейдите в
ридер.
Это новый учебник по комплексному анализу, предназначенный для студентов математических факультетов университетов. Главное его отличие от уже существующих учебников в том, что это книга с новым взглядом на вещи, с ориентацией на комплексную геометрию. Учебник начинается с напоминания элементарных определений, а завершается введением в теорию компактных римановых поверхностей. Автор – доцент факультета математики НИУ ВШЭ. С. М. Львовский Принципы комплексного анализа ISBN 978-5-4439-1137-3 9 785443 911373 > С. М. Львовский Принципы комплексного анализа
С. М. Львовский Принципы комплексного анализа Электронное издание Москва Издательство МЦНМО
УДК . ББК . Л Львовский С. М. Принципы комплексного анализа Электронное издание М.: МЦНМО, с. ISBN ---- Эта книга представляет собой курс теории функций комплексного переменного, основанный на авторском опыте преподавания этого предмета на факультете математики Высшей школы экономики (НИУ ВШЭ) и в программе «Math in Moscow» (НИУ ВШЭ и Независимый московский университет). Наряду с традиционным материалом, курс содержит большую теорему Пикара и введение в теорию римановых поверхностей. Для студентов математических специальностей. Подготовлено на основе книги: С. М. Львовский. Принципы комплексного анализа. — М.: МЦНМО, . — ISBN ----. Издательство Московского центра непрерывного математического образования , Москва, Большой Власьевский пер., , тел. () ––. http://www.mccme.ru ISBN ---- © Львовский С. М., . © МЦНМО, .
Оглавление Предисловие . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . Глава . Предварительные сведения . . . . . . . . . . . . . . . . 1.1. Абсолютная и равномерная сходимость . . . . . . . . . . . . . 1.2. Открытость, замкнутость, компактность, связность . . . . . 1.3. Степенные ряды . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1.4. Экспонента . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1.5. Сведения из анализа функций многих переменных . . . . . 1.6. Дробно-линейные отображения . . . . . . . . . . . . . . . . . . Упражнения . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . Глава . Производные . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 2.1. Обратные функции, корни, логарифмы . . . . . . . . . . . . . 2.2. Уравнения Коши—Римана . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . Упражнения . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . Глава . Практикум по конформным отображениям . . . . . 3.1. Дробно-линейные отображения . . . . . . . . . . . . . . . . . . 3.2. Более сложные отображения . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . Упражнения . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . Глава . Интегралы . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 4.1. Основные определения . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 4.2. Индекс кривой относительно точки . . . . . . . . . . . . . . . Упражнения . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . Глава . Теорема Коши и ее следствия . . . . . . . . . . . . . . . 5.1. Теорема Коши . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 5.2. Формула Коши и аналитичность голоморфных функций . . 5.3. Бесконечная и почленная дифференцируемость . . . . . . . Упражнения . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . Глава . Гомотопии и аналитическое продолжение . . . . . . 6.1. Гомотопии путей . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 6.2. Аналитическое продолжение . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
Оглавление 6.3. Снова теорема Коши . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 6.4. Снова индексы кривых . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . Упражнения . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . Глава . Ряды Лорана и особые точки . . . . . . . . . . . . . . . 7.1. Кратность нуля . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 7.2. Ряды Лорана . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 7.3. Изолированные особые точки . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 7.4. Точка ∞ как изолированная особенность . . . . . . . . . . . . Упражнения . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . Глава . Вычеты . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 8.1. Основные определения . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 8.2. Принцип аргумента . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 8.3. Вычисление интегралов . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . Упражнения . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . Глава . Локальные свойства голоморфных функций . . . . 9.1. Принцип сохранения области . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 9.2. Ветвление . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 9.3. Принцип максимума модуля и его следствия . . . . . . . . . 9.4. Теорема Блоха . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . Упражнения . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . Глава . Конформные отображения. Часть . . . . . . . . . . 10.1. Голоморфные функции на подмножествах сферы Римана 10.2. Принцип симметрии . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 10.3. Отображение верхней полуплоскости на прямоугольник . 10.4. Принцип соответствия границ . . . . . . . . . . . . . . . . . . 10.5. Квазиконформные отображения . . . . . . . . . . . . . . . . Упражнения . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . Глава . Бесконечные суммы и произведения . . . . . . . . . 11.1. Представление котангенса в виде бесконечной суммы . . 11.2. Эллиптические функции . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 11.3. Бесконечные произведения . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 11.4. Теоремы Миттаг-Леффлера и Вейерштрасса . . . . . . . . . 11.5. Произведения Бляшке . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . Упражнения . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . Глава . Конформные отображения. Часть . . . . . . . . . . 12.1. Теорема Римана: план доказательства . . . . . . . . . . . . . 12.2. Теорема Римана об отображении: обоснования . . . . . . .
Оглавление 12.3. Формула Кристоффеля—Шварца . . . . . . . . . . . . . . . . 12.4. Гиперболическая метрика . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . Упражнения . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . Глава . Кое-что о римановых поверхностях . . . . . . . . . . 13.1. Определения, простейшие примеры, общие факты . . . . 13.2. Риманова поверхность алгебраической функции . . . . . . 13.3. Род; формула Римана—Гурвица . . . . . . . . . . . . . . . . . 13.4. Дифференциальные формы и вычеты . . . . . . . . . . . . . 13.5. О теореме существования Римана . . . . . . . . . . . . . . . 13.6. О поле мероморфных функций . . . . . . . . . . . . . . . . . 13.7. О теореме Римана—Роха . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 13.8. О теореме Абеля . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . Упражнения . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . Предметный указатель . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . Литература . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
Предисловие Эта книга — учебник, предназначенный для студентов, изучающих теорию функций комплексного переменного с самого начала. В ней отражен многолетний авторский опыт преподавания комплексного анализа на факультете математики Высшей школы экономики (НИУ ВШЭ) и в программе «Math in Moscow» (совместный проект НИУ ВШЭ и НМУ). Основное (и, по существу, единственное) требование к читателю — хорошее владение «обычным» анализом: если читатель уверенно себя чувствует с равномерной сходимостью и с такими понятиями, как открытость, замкнутость и компактность применительно к подмножествам плоскости, то все остальное приложится. В первой главе, в числе прочего, перечислены без доказательства те факты из анализа, которыми мы будем пользоваться в дальнейшем. В качестве руководства по математическому анализу, которым можно пользоваться для справок и для заполнения пробелов в подготовке, я рекомендую неоднократно переиздававшийся двухтомник В. А. Зорича [, ]. Заключительная глава , посвященная римановым поверхностям, требует несколько большего объема предварительных знаний, чем основная часть книги. Я исходил из того, что параллельно с комплексным анализом обычно изучают и такие предметы, как математический анализ для многих вещественных переменных, в том числе анализ на многообразиях, а также начала топологии (по крайней мере, так делается на факультете математики НИУ ВШЭ). Что конкретно требуется дополнительно знать для понимания этой главы, сказано в ее начале. Каждая глава заканчивается набором упражнений, как теоретического, так и вычислительного характера. Даже если их достаточно для того, чтобы помочь читателю освоить материал, преподавателю для построения курса, со всеми контрольными, зачетами и прочим, их заведомо не хватит: задачника по теории функций комплексного переменного эта книга не заменит. Таких задачников на русском языке много, и можно пользоваться практически любым: во всех
Предисловие имеется достаточное количество упражнений на отработку вычислительных навыков, специфичных для комплексного анализа. Я стремился излагать материал строго, но все же не допуская того, чтобы обсуждение оснований затмило основной предмет книги. Насколько мне удалось соблюсти необходимый баланс — судить читателю. Я также всячески избегал введения абстрактных понятий в тех случаях, когда материал книги не давал возможности продемонстрировать, как эти понятия реально «работают». Поэтому, скажем, в книге есть определение квазиконформного отображения, но нет определения пучка. Способ изложения «гомотопической» версии теоремы Коши я позаимствовал из одного из не переведенных на русский язык учебников С. Ленга []. Обоснование разложения котангенса в бесконечную сумму взято из другого зарубежного учебника []. Доказательство теоремы Вейерштрасса о голоморфной функции с предписанными нулями взято из учебника Б. В. Шабата []. В изложении теорем Блоха и Ландау я в основном следую учебнику И. И. Привалова []; надеюсь, впрочем, что дорога к большой теореме Пикара у меня получилась короче, чем у Привалова. Своим названием эта книга обязана тому несколько странному обстоятельству, что целый ряд важных теорем комплексного анализа принято называть принципами (читатель может в этом убедиться, заглянув в предметный указатель). Я благодарен А. В. Забродину и В. А. Побережному, с которыми мы несколько лет вели семинары по комплексному анализу на матфаке ВШЭ: и содержание, и — в неменьшей степени — стиль этих семинаров подвигнули меня на то, чтобы взамен прежнего пособия по комплексному анализу написать совершенно новую книгу. Я благодарен Алексею Пенскому, взявшему на себя труд по ознакомлению с рукописью и ее рецензированию, Владимиру Медведеву, внимательно прочитавшему первую версию текста и нашедшему множество ошибок и неточностей, Татьяне Коробковой за вдумчивое и содержательное редактирование и Виктору Шувалову за верстку. За все оставшиеся в тексте недостатки отвечаю только я. Наконец, моя огромная благодарность — Вике, Яше и Марку, которые мне все время мешали, все время помогали и без которых этой книги бы не было и в помине. С. Львовский
Глава Предварительные сведения В этой вводной главе собран материал, необходимый для дальнейшего, но к собственно комплексному анализу все же не относящийся. Чтобы проверить, в какой степени вы владеете необходимыми предварительными сведениями, можно заглянуть в упражнения в конце главы. Если z = x + iy — комплексное число (x, y ∈ , i2 = −1), то x называется действительной частью (синоним: вещественная часть) числа z, а y — его мнимой частью. Обозначения: x = Re z, y = Im z. Комплексное число z изображается на плоскости в виде точки с координатами (Re z,Imz); соответственно, мы будем отождествлять множество всех комплексных чисел (обозначаемое ) с координатной плоскостью; плоскость, точки которой рассматриваются как комплексные числа, называют комплексной плоскостью. Если z — комплексное число, то его модулем называется расстояние от z (точнее, от соответствующей точки на комплексной плоскости — далее мы таких уточнений делать не будем) до нуля (т. е. начала координат): |z| = x2 + y2, где x = Rez, y = Im z. Из неравенства треугольника вытекает, что |z + w| ⩽ |z| + |w|. Расстояние между комплексными числами z и w равно |z − w|. Ось Ox на комплексной плоскости называется действительной осью, а ось Oy — мнимой осью. Если z ∈ , z ̸= 0, то аргументом комплексного числа z называется угол между положительным направлением действительной оси и вектором, соединяющим 0 и z (так что, например, π/4 является аргументом числа 1 + i). Аргумент комплексного числа z обозначается arg z. Аргумент комплексного числа определен не однозначно, а с точностью до прибавления целого кратного 2π: например, утверждения arg(1 + i) = π/4 и arg(1 + i) = −7π/4 верны в равной мере. Если |z| = r ̸= 0 и arg z = ϕ, то z = r(cosϕ + i sinϕ). (.)
Глава . Предварительные сведения Запись (.) называется тригонометрической формой комплексного числа z. При умножении комплексных чисел их модули перемножаются, а аргументы складываются. Если z = x + iy, где x, y ∈ , то число x − iy, называемое сопряженным к z, обозначается ¯z. Точки z и ¯z симметричны относительно действительной оси, и z¯z = |z|2. Пределы функций комплексного переменного и пределы последовательностей комплексных чисел определяются так же, как в вещественном случае. Например, lim z→a f (z) = b означает, что для вся кого ǫ > 0 существует такое δ > 0, что из 0 < |z − a| < δ вытекает | f (z) − b| < ǫ. В комплексном случае также верны теоремы о пределе суммы, разности, произведения и частного, а также критерий Коши сходимости («последовательность сходится тогда и только тогда, когда она фундаментальна»). Запись lim z→a f (z) = ∞ означает lim z→a| f (z)| = +∞ (и аналогично с пределами последовательностей); lim |z|→∞ f (z) = b означает «для любо го ǫ > 0 существует такое M > 0, что из неравенства |z| > M вытекает | f (z) − b| < ǫ». Производные и интегралы от функций комплексного переменного — дело тонкое (этому предмету посвящена вся книга), а вот с комплекснозначными функциями действительного переменного никаких неожиданностей не происходит. Именно, если f — функция с комплексными значениями, определенная на интервале (действительной) числовой оси, и если f (x) = u(x) + iv(x) (u и v вещественны), то ее производная есть f ′(a) = lim h→0 f (a + h) − f (a) h = u′(a) + iv′(a); для производных таких функций выполняются все элементарные свойства производных от функций с действительными значениями (производная суммы, произведения и разности, производная сложной функции, где «внутренняя» функция принимает действительные значения), с теми же доказательствами. Интеграл от такой функции f определяется по формуле ba f (x) dx = ba u(x) dx + i ba v(x) dx; можно также определить его с помощью интегральных сумм Римана (или как интеграл Лебега, коль на то пошло). Как и в случае
Глава . Предварительные сведения функций с действительными значениями, выполнено неравенство ba f (x) dx ⩽ ba | f (x)| dx; (.) для доказательства достаточно применить к суммам Римана неравенство «модуль суммы не превосходит суммы модулей» и перейти к пределу. .. Абсолютная и равномерная сходимость Пусть X — произвольное множество (вы ничего не потеряете, если будете считать X подмножеством комплексной плоскости) и { fn}n∈— счетное семейство ограниченных функций на X со значениями в . Определение .. Будем говорить, что ряд ∞n=1 fn сходится абсо лютно и равномерно на X, если сходится числовой ряд ∞n=1 sup x∈X | fn(x)|. Предложение . (мажорантный признак Вейерштрасса). Пусть ∞n=1 fn — ряд из ограниченных функций на множестве X. Если суще ствует такое натуральное N, что sup x∈X | fn(x)| ⩽ an для всех n ⩾ N, и если при этом ряд ∞n=1 an сходится, то ряд ∞n=1 fn сходится абсолютно и равномерно. См. [, гл. XVI, § ]. Предложение .. Если ряд из ограниченных функций fn сходится на X абсолютно и равномерно, то он сходится на X равномерно. Более того, ряд, полученный из ряда fn любой перестановкой слагаемых, также сходится на X абсолютно и равномерно, причем к той же функции. Для случая рядов с постоянными членами см. [, гл. V, § , утв. ]; дополнения к доказательству, необходимые для случая функциональных рядов, внесите самостоятельно. Пусть на множестве X задано семейство ограниченных функций { fm,n}m,n∈, занумерованное двумя натуральными индексами. Тогда формальная сумма m,n∈fm,n называется двойным рядом. Говорят, что двойной ряд сходится абсолютно и равномерно, если он так сходится при какой-нибудь (а тем самым, ввиду предложения ., и при любой) нумерации слагаемых.
.. Открытость, замкнутость, компактность, связность Предложение .. Пусть { fm,n}m,n∈— семейство ограниченных функций на множестве X. Тогда следующие два утверждения равносильны. () Двойной ряд m,n fm,n сходится абсолютно и равномерно. () Для каждого m ∈ ряд ∞n=1 fm,n абсолютно и равномерно схо дится, и если обозначить сумму этого ряда через fm, то ряд ∞m=1 fm также абсолютно и равномерно сходится. Более того, если выполняются равносильные утверждения () и (), то сумма двойного ряда m,n∈fm,n совпадает с суммой ряда ∞m=1 fm. Читателю предлагается либо доказать эти утверждения самостоятельно, либо найти доказательства в литературе, либо, наконец, модифицировать должным образом доказательства соответствующих фактов для рядов с постоянными членами (это в учебниках встречается чаще). .. Открытость, замкнутость, компактность, связность В этом разделе речь пойдет о подмножествах евклидова пространства n для произвольного n, но в применениях у нас главным образом будут встречаться случаи n = 2 (комплексная плоскость , отождествляемая с 2) и n = 1 (вещественная прямая). Если v ∈ n, то через |v| обозначается евклидова норма (корень из суммы квадратов координат). Расстояние между точками v1, v2 ∈ n равно |v1 − v2|. Если n = 2 и мы отождествляем обычным образом 2 с , то |v| — модуль комплексного числа. Напомним, что ǫ-окрестностью точки a ∈ n называется множество {z ∈ n: |z − a| < ǫ} (подразумевается, что ǫ — положительное действительное число). Определение .. Подмножество U ⊂ n называется открытым, если вместе с каждой точкой a ∈ U оно содержит и ее ǫокрестность для некоторого ǫ. Определение .. Подмножество F ⊂ n называется замкнутым, если его дополнение n \ F открыто.
Глава . Предварительные сведения Предложение .. () Объединение любого семейства открытых множеств открыто. Пересечение любого конечного семейства открытых множеств открыто. () Пересечение любого семейства замкнутых множеств замкнуто. Объединение любого конечного семейства замкнутых множеств замкнуто. Предложение .. Подмножество F ⊂ n замкнуто тогда и только тогда, когда оно обладает следующим свойством: если {ak} — последовательность точек множества F и если lim k→∞ak = a, то и a ∈ F. (Предел последовательности в n определяется так же, как в : ak → a, если lim k→∞|ak − a| = 0.) Определение .. Замыканием подмножества X ⊂ n называется пересечение всех замкнутых множеств, содержащих X. Предложение .. Замыкание подмножества X ⊂ n совпадает с множеством пределов сходящихся последовательностей {ak}, у которых все ak лежат в X. Замыкание множества X обозначается ¯¯X. Определение .. Внутренностью подмножества X ⊂ n называется множество таких точек a ∈ X, что некоторая ǫ-окрестность точки a содержится в X. Внутренность множества X обозначается Int(X). Внутренность множества X совпадает с объединением всех открытых множеств, содержащихся в X, а также с дополнением к замыканию множества n \ X. Определение .. Подмножество K ⊂ n называется компактным, или просто компактом, если оно замкнуто и ограничено. Предложение .. Следующие три условия эквивалентны: () подмножество K ⊂ n компактно; () у всякой последовательности точек am ∈ K существует подпоследовательность {amk}, для которой предел lim k→∞amk существует и лежит в K; () для всякого семейства открытых множеств {Uα}α∈I, обладающего тем свойством, что K ⊂ α Uα, существует такой конечный набор α1,…,αl ∈ I, что K ⊂ Uα1 ∪ … ∪ Uαl. Семейство множеств {Uα}, удовлетворяющее условию () предложения, называют открытым покрытием множества K, а само