Алгебры множеств и комбинаторика ультрафильтров

ISBN 978-5-4439-1132-8

9 785443 911328 >

Алгебры множеств 
Алгебры множеств 

и комбинаторика 
и комбинаторика 

ультрафильтров
ультрафильтров

Л. Ш. Гринблат

Пусть на некоем множестве задано не более 
чем счетное семейство алгебр подмножеств, 
и для каждой алгебры существуют 
подмножества, ей не принадлежащие. 
При каких условиях существует 
подмножество, не принадлежащее 
всем алгебрам? Это центральная задача 
настоящей монографии. Мы занимаемся 
также вариациями этой задачи. Если 
семейство алгебр конечное, мы приходим 
к комбинаторным задачам о конечных 
множествах. Если же семейство алгебр 
счетное, мы приходим к трудным задачам 
теории множеств (в монографии приведено 
доказательство глубокой теоремы Гитика–
Шелаха) и к комбинаторике ультрафильтров.

Алгебры множеств и комбинаторика ультрафильтров
Алгебры множеств и комбинаторика ультрафильтров
Л. Ш. Гринблат
Л. Ш. Гринблат

Л. Ш. Гринблат

Алгебры множеств
и комбинаторика ультрафильтров

Электронное издание

Москва
Издательство МЦНМО
2016

УДК 510.22
ББК 22.12
Г85

Л. Ш. Гринблат
Алгебры множеств и комбинаторика ультрафильтров.
Электронное издание.
М.: МЦНМО, 2017.
144 с.
ISBN 978-5-4439-3132-6

Центральная задача настоящей монографии заключается в следующем. Пусть на некоем множестве задано не более чем счётное
семейство алгебр подмножеств, и для каждой алгебры существуют
подмножества, ей не принадлежащие. При каких условиях существует подмножество, не принадлежащее всем алгебрам?
Мы занимаемся также вариациями этой задачи. Если семейство алгебр конечное, мы приходим к комбинаторным задачам
о конечных множествах. Если же семейство алгебр счётное, мы приходим к трудным задачам теории множеств (в монографии приведено доказательство глубокой теоремы Гитика — Шелаха) и к комбинаторике ультрафильтров.
Книга предназначена для специалистов в области математики.

L. ˇS. Grinblat
grinblat@ariel.ac.il
Department of Mathematics,
Ariel University, Ariel, Israel

Подготовлено на основе книги: Л. Ш. Гринблат Алгебры множеств
и комбинаторика ультрафильтров. — М.: МЦНМО, 2016. — 144 с.
ISBN 978-5-4439-1132-8.

Издательство Московского центра
непрерывного математического образования
119002, Москва, Большой Власьевский пер., 11
тел. (499) 241–08–04
http://www.mccme.ru

ISBN 978-5-4439-3132-6
ffi Л. Ш. Гринблат, 2016
ffi МЦНМО, 2016

Оглавление

Глава 1. Введение . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
4

Глава 2. Основная идея. Основные результаты . . . . . . . . . . . . . .
11

Глава 3. Конечные семейства алгебр . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
22

Глава 4. Доказательство теоремы Гитика — Шелаха . . . . . . . . . .
41

Глава 5. Счётные семейства алгебр (общие теоремы) . . . . . . . .
59

Глава 6. Счётные семейства σ-алгебр и почти σ-алгебр . . . . . .
87

Глава 7. Некоторые задачи о множествах, не принадлежащих
алгебрам . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 111

Литература . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 143

Глава 1

Введение

1.1. В 1992 году вышла монография автора [12]. В следующие годы были написаны работы автора [13–20]. (Центральный результат
статьи [19] улучшен сначала в [29], а затем в [4].) В них получила
развитие теория, заложенная в [12]. В настоящей монографии мы
подводим итог проделанного. Итог не окончательный, так как работа
над теорией, которая представляется нам интересной и красивой, продолжается. Итог не полный, так как в настоящей монографии приводятся не всё, а только наиболее существенные результаты. Некоторые
из них, которые в настоящей монографии не находятся «в центре
внимания», приводятся без доказательства. Есть другие результаты,
которые, несомненно, находятся «в центре внимания», но также приведены без доказательства. Об этих результатах и о причинах, по которым они приведены без доказательства, говорится в конце первой главы. Если говорить об области наших исследований, то она относится
к комбинаторной теории множеств. Отметим, что в наших исследованиях существенную роль играют общетопологические соображения.

1.2. В 1930 году Улам в [36] получил замечательный результат,
доказательство которого очень простое.

Матрица Улама. Если мощность множества X равна ℵ1, то можно
построить матрицу подмножеств множества X
M1
1
M1
2
...
M1
α
...
M2
1
M2
2
...
M2
α
...
..........................
M𝑘
1
M𝑘
2
...
M𝑘
α
...
..........................

,

в которой ℵ0 строк и ℵ1 столбцов, и справедливо следующее1:

1) M𝑘
α ∩ M𝑘
β = ∅, если α ̸= β;

2) #
X \
𝑘 M𝑘
α
⩽ ℵ0.

1 Через #(M) обозначается мощность множества M.

Глава 1. Введение
5

Доказательство этого результата Улама в общей форме приведено
в замечании 4.18.

1.3. Определение. Заданная на множестве X мера µ, значения
которой конечные и неотрицательные, называется нетривиальной,
если справедливо следующее:
1) µ({x}) = 0 для всех x ∈ X;
2) существует множество положительной меры.

1.4. Следующая теорема, принадлежащая Уламу, есть простое следствие существования матрицы Улама.

Теорема. Пусть на множестве X мощности ℵ1 задана σ-аддитивная нетривиальная мера µ. Тогда существуют ℵ1 попарно непересекающихся µ-неизмеримых множеств.

1.5. Определение. Заданная на множестве X мера µ называется
σ-двузначной, если она σ-аддитивная, µ({x}) = 0 для всех x ∈ X,
µ(X) = 1 и для каждого µ-измеримого множества M или µ(M) = 0,
или µ(M) = 1.

1.6. В 1950 году вышла статья Эрдёша [7], в которой приведён
следующий результат.

Теорема Алауглу — Эрдёша. Пусть на множестве X мощности
ℵ1 задано счётное семейство σ-двузначных мер. Тогда существует
множество, неизмеримое относительно всех этих мер.

1.7. Замечание. Доказательство теоремы Алауглу — Эрдёша c лёгкостью следует из теоремы 1.4. Понятно, что теорема Алауглу — Эрдёша справедлива, если в ней фигурируют не σ-двузначные меры,
а σ-аддитивные нетривиальные меры.

1.8. Теорема Алауглу — Эрдёша даёт частичный ответ на известную среди специалистов по теории множеств проблему Улама.

Проблема Улама. Найти такое минимальное кардинальное число κ∗, что для любого семейства M (0 < #(M) < κ∗) σ-двузначных
мер, заданных на множестве мощности ℵ1, существует множество,
неизмеримое относительно всех мер из M.
Улам доказал, что κ∗ ⩾ ℵ0. Теорема Алауглу — Эрдёша утверждает,
что κ∗ ⩾ ℵ1. Шелах в [31] показал, что в некоторой модели κ∗ = ℵ1.
Итак, теорема Алауглу — Эрдёша и результат Шелаха дают решение
проблемы Улама: κ∗ = ℵ1.

1.9. В [37] Вудин получил выдающийся результат. Он показал,
что в некоторой модели существует σ-двузначная мера µ, заданная
на множестве X мощности ℵ1, и такое семейство {Mλ}λ∈Λ (#(Λ) = ℵ1)

Глава 1. Введение

µ-неизмеримых множеств, что

{λ ∈ Λ | µ(Mλ \M) = 0} ̸= ∅

для каждого M ⊆ X, если µ(M) ̸= 0.
Для каждого λ∈Λ определим на X σ-двузначную меруµλ: µλ(M)=0
тогда и только тогда, когда µ(M ∩ Mλ) = 0. Понятно, что для каждого
подмножества множества X найдётся такое λ ∈ Λ, что это подмножество µλ-измеримое. Поэтому в модели, которую рассматривал Вудин,
κ∗ = ℵ1.

1.10. В настоящей монографии рассматриваются более общие объекты, чем меры, — алгебры множеств. Изначально в наших публикациях мы не предполагали, что алгебра множеств содержит множество,
на котором она задана. В настоящей монографии мы предполагаем,
что алгебра множеств содержит множество, на котором она задана.
Это ограничение является удобным, но не существенным.

Определение. Под алгеброй на множестве X понимается непустая совокупность подмножеств множества X, для которой справедливо следующее:
1) если M ∈ , то X \M ∈ ;
2) если M1, M2 ∈ , то M1 ∪ M2 ∈ .
Понятно, что ∅, X ∈ . Также понятно, что если M1, M2 ∈ , то
M1∩M2, M1\M2∈. Будем называть σ-аддитивную алгебру σ-алгеброй.

1.11. Некоторые договорённости. Под счётным множеством будем понимать множество мощности ℵ0. Через P(M) обозначается, как
обычно, множество всех подмножеств множества M. В современной
теории множеств через обозначается множество неотрицательных
целых чисел. Через + будем обозначать множество натуральных чисел. Пусть m, n ∈ + и m ⩽ n. Тогда

[m, n] = {k ∈ + | m ⩽ k ⩽ n}.

Все алгебры, меры, фильтры и идеалы (фильтры появляются в гл. 2,
а идеалы в гл. 4) рассматриваются, если не оговорено противное, на
некотором абстрактном непустом множестве X. Если из контекста
не следует противное, под множеством понимается подмножество
множества X, или, что то же самое, элемент множества P(X). Наши результаты посвящены только конечным и счётным семействам
алгебр. Ниже мы будем говорить не только о семействах алгебр, но и
о последовательностях алгебр. В наиболее значительных результатах,
где рассматривается счётное семейство алгебр, на эти алгебры накладывается ограничение — они являются или σ-алгебрами, или почти

Глава 1. Введение
7

σ-алгебрами. (Понятие почти σ-алгебры, которое приводится ниже,
было введено нами в [12].)
Мы занимаемся в основном следующим вопросом. Пусть A — семейство алгебр и каждая алгебра из A отлична от P(X). При каких
условиях
A̸=P(X)?Или по-другому: при каких условиях
A=P(X)?
Теорему Алауглу — Эрдёша можно сформулировать на языке нашего
вопроса. Действительно, пусть #(X) = ℵ1 и рассматривается семейство σ-двузначных мер {µ𝑘}𝑘 ∈+. Для каждого k ∈ + рассмотрим
σ-алгебру 𝑘 = {M ⊆ X | M есть µ𝑘-измеримое множество}. Теорема
Алауглу — Эрдёша утверждает, что
𝑘=1 𝑘 ̸= P(X).

1.12. Пусть 1, ... , 𝑛 — конечная последовательность алгебр и
𝑘 ̸= P(X) для каждого k ∈ [1, n]. Возможно ли равенство
𝑛
𝑘=1 𝑘 =
= P(X)? Если n = 2, это невозможно. (Это очень просто доказать.)
А если n ⩾ 3, возможно. Приведём простой и принципиально важный пример. Он важен, потому что имеет прямое отношение к двум
центральным теоремам — теоремам 2.14 и 2.15.

Пример. Для каждого нечётного числа n ⩾ 3 можно построить такие алгебры 1, ... , 𝑛, что 𝑘 ̸=P(X) для всех k∈[1, n] и
𝑛
𝑘=1 𝑘 =
=P(X). При этом
{𝑘 |k∈[1,n]\{k0}}̸=P(X)для каждого k0∈[1,n].

Построение. Пусть #(X) = n и X = {x1, ... , x𝑛}. Если k ∈ [1, n − 1],
то
𝑘 =
M ⊆ X | или {x𝑘, x𝑘+1} ⊆ M, или {x𝑘, x𝑘+1} ∩ M = ∅
.

Положим также

𝑛 =
M ⊆ X | или {x𝑛, x1} ⊆ M, или {x𝑛, x1} ∩ M = ∅
.

Очевидно, что 𝑘 ̸= P(X) для всех k ∈ [1, n]. Предположим, что M0 ∈
∈P(X) и M0 /∈
𝑛
𝑘=1 𝑘. Тогда #(M0∩{x1, x2})=1. Пусть M0∩{x1, x2}=
= {x1}. Тогда M0 = {x𝑘 ∈ X | k — нечётное число}. Но тогда M0 ∈ 𝑛.
Понятно, что
𝑛−1
𝑘=1 𝑘 ̸= P(X), так как M0 /∈
𝑛−1
𝑘=1 𝑘.

1.13. Замечание. Каждая алгебра из примера 1.12 отлична от P(X)
и не существуют три попарно непересекающихся множества, не принадлежащие этой алгебре. Пусть A = {1, ... , 𝑝} — конечная последовательность алгебр, 𝑘 ̸= P(X) для каждого k ∈ [1, p] и для каждой
алгебры из A не существуют три попарно непересекающихся множества, ей не принадлежащие. Пусть
A = P(X). В силу соображений из гл. 3 получаем, что A содержит подпоследовательность A′, где
#(A′) — нечётное число, не меньшее 3, и устроена она точно так же,
как последовательность алгебр 1, ... , 𝑛 из примера 1.12.

Глава 1. Введение

1.14. Поставленным выше в п. 1.11 вопросом занимались и до нас.
Приведём выдержку из аннотации вышедшей в 1980 году статьи Грцегорека [21].
Пусть F — такое семейство σ-алгебр на множестве действительных чисел , что для каждой алгебры ∈ F все одноточечные множества принадлежат и ̸=P(). Тогда
F̸=P(X), если выполняется
одно из следующих условий:

1) #(F) < ℵ0;
2) #(F) < 2ℵ0 и 2ℵ0 = ℵ1.

1.15. Отметим, что для σ-алгебры из теоремы Грцегорека существуют ℵ0 попарно непересекающихся подмножеств множества ,
которые ей не принадлежат. Если же #() = ℵ1, то для σ-алгебры
из теоремы Грцегорека существуют ℵ1 попарно непересекающихся
подмножеств множества , которые ей не принадлежат. (Для доказательства последнего утверждения следует, разумеется, использовать
матрицу Улама.) Уже в первой цитированной нашей работе [12] были
получены более сильные результаты.
I. Пусть n ∈ +. Существуют такие функции ψ: [1, n] → +, что
если 1, ... , 𝑛 — произвольная последовательность алгебр и для
каждого k ∈ [1, n] существуют ψ(k) попарно непересекающихся множеств, не принадлежащих 𝑘 (здесь, разумеется, идёт речь о фиксированной функции ψ), то
𝑛
𝑘=1 𝑘 ̸= P(X). При этом кроме существования ψ(k) попарно непересекающихся множеств, не принадлежащих 𝑘, ни на алгебры 𝑘, ни на X не накладываются никакие
дополнительные ограничения.
II. Существуют такие функции ψ: + → +, что если 1, ... , 𝑘,
... — произвольная счётная последовательность σ-алгебр и для каждого k ∈ + существуют ψ(k) попарно непересекающихся множеств,
не принадлежащих 𝑘 (здесь, разумеется, идёт речь о фиксированной функции ψ), то
𝑘=1 𝑘 ̸= P(X). При этом кроме существования ψ(k) попарно непересекающихся множеств, не принадлежащих
𝑘, и существенного предположения, что алгебры суть σ-алгебры,
ни на алгебры 𝑘, ни на X не накладываются никакие дополнительные ограничения.

1.16. Результаты настоящей монографии разделяются на две группы: в первой рассматриваются конечные семейства алгебр, во второй — счётные семейства алгебр. Как будет показано ниже, если семейство алгебр конечное, можно предполагать, что все эти алгебры заданы
на конечном множестве. Поэтому если семейство алгебр конечное, то

Глава 1. Введение
9

речь идёт о чисто комбинаторной задаче. Другое дело, когда рассматривается счётное семейство σ-алгебр или почти σ-алгебр. Тогда кроме
комбинаторики существенную роль играет теория множеств.
В дальнейшем мы будем использовать символ c, которым обозначается мощность континуум. Отметим очень простой факт: если на
множестве мощности c задана σ-двузначная мера µ, то существуют
µ-неизмеримые множества. Действительно, пусть мера µ задана на
отрезке [0, 1]. Предположим противное: все подмножества отрезка
[0, 1] суть µ-измеримые. Тогда из двух отрезков [0, 1/2] и [1/2, 1]
один имеет меру 1. Пусть отрезок [0, 1/2] имеет меру 1. Тогда один
из двух отрезков [0, 1/4] и [1/4, 1/2] имеет меру 1. Продолжая этот
процесс, мы придём к противоречию: некоторое одноточечное множество имеет меру 1. Очевидно, что существуют ℵ0 попарно непересекающихся µ-неизмеримых множеств. Сформулируем сильную и глубокую теорему, которую мы используем.

Теорема Гитика — Шелаха [10]. Пусть на множестве мощности c
задано счётное семейство σ-двузначных мер. Тогда существует множество, неизмеримое относительно всех этих мер.

Понятно, что теорема Гитика — Шелаха есть обобщение теоремы
Алауглу — Эрдёша. Также понятно, что в предположении континуумгипотезы теорема Гитика — Шелаха есть теорема Алауглу — Эрдёша.
Первое доказательство теоремы Гитика — Шелаха было метаматематическим и использовало форсинг. В настоящей монографии мы приводим чисто математическое доказательство теоремы Гитика — Шелаха, следуя Камбурелосу [24]. Другое чисто математическое доказательство теоремы Гитика — Шелаха принадлежит Фремлину [8]. Приведённое ниже доказательство теоремы Гитика — Шелаха поражает своей нетривиальностью. Источник этой нетривиальности — гениальное
открытие П. Коэна и выдающиеся достижения его последователей.

1.17. Скажем несколько слов о содержании следующих глав. Во второй главе приводится вначале основная идея, которая впервые появилась в нашей монографии [12] и которую мы использовали в наших последующих работах [13–20]. Затем во второй главе приводятся формулировки результатов, которые будут доказаны в дальнейшем. Этот порядок изложения необходим, так как мы сформулируем необходимые и достаточные условия, при которых объединение
алгебр из семейства A, не совпадающих с P(X), равно P(X); при
этом 0 < #(A) ⩽ ℵ0, и если #(A) = ℵ0, то алгебры суть σ-алгебры.
Но для этого требуются понятия, которые используются для изло