Стохастические задачи о разладке

А . Н . Ш И Р Я Е В

СТОХАСТИЧЕСКИЕ 
ЗАДАЧИ О РАЗЛАДКЕ

А. Н. Ширяев

Стохастические задачи
о разладке

Электронное издание

Москва
Издательство МЦНМО
2017

УДК 519.21(075.8)
ББК 22.171
Ш64

Ширяев А. Н.
Стохастические задачи о разладке.
Электронное издание.
М.: МЦНМО, 2017.
391 с.
ISBN 978-5-4439-3108-1

Монография преследует двоякую цель — с одной стороны, изложить основные положения теории оптимальных правил остановки, составляющий тот раздел теории вероятностей, который имеет дело со стохастическими оптимизационными проблемами, и,
с другой стороны, изложить основные положения в решении задач
скорейшего обнаружения момента спонтанного изменения вероятностных характеристик (момента «разладки»), которое опирается
на методы оптимальных правил остановки.

Работа выполнена при поддержке гранта РНФ (проект № 14–21–00162)
«Оптимальные статистические процедуры в классических и квантовых информационных системах».

Подготовлено на основе книги: Ширяев А. Н. Стохастические задачи
о разладке. — М.: МЦНМО, 2016. — 392 с. ISBN 978-5-4439-1108-3.

Издательство Московского центра
непрерывного математического образования
119002, Москва, Большой Власьевский пер., 11
тел. (499) 241–08–04
http://www.mccme.ru

ISBN 978-5-4439-3108-1
ffi Ширяев А. Н., 2017
ffi МЦНМО, 2017

Оглавление

Предисловие . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
6

Введение . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
8

ГЛАВА I. Вероятностно-статистические модели в задачах
скорейшего обнаружения. Дискретное и непрерывное время . . . . 16

§ 1. Стохастические θ-модели (параметрический подход) . . . . . . . . . . 16
§ 2. Стохастические G-модели (байесовский подход).
Дискретное время . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23

§ 3. Стохастические θ- и G-модели. Непрерывное время . . . . . . . . . . . 24

ГЛАВА II. Основные постановки и решения задач скорейшего
обнаружения. Дискретное время . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 28

§ 1. Варианты A, B, C и D. Формулировки . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 28
§ 2. Вариант A. Редукция к стандартной форме . . . . . . . . . . . . . . . . . 30
§ 3. Статистики π = (π𝑛), ϕ = (ϕ𝑛), ψ = (ψ𝑛) . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 33
§ 4. Вариант B, обобщения. Редукция к стандартной форме . . . . . . . . . 38
§ 5. Вариант C. Редукционное неравенство . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 44
§ 6. Вариант D. CUSUM-статистика γ = (γ𝑛) . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 45
§ 7. Решение задач о разладке в варианте A . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 56
§ 8. О подходах к решению задач о разладке в варианте B . . . . . . . . . . 61
§ 9. О подходах к решению задач о разладке в варианте C. . . . . . . . . . 63

§ 10. О подходах к решению задач о разладке в варианте D. . . . . . . . . . 64

ГЛАВА III. Оптимальные правила остановки. Общая теория
для случая дискретного времени . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 67

§ 1. Мартингальный подход в случае конечного временн´ого горизонта.
Метод обратной индукции . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 67

§ 2. Мартингальный подход в случае бесконечного временн´ого
горизонта. Метод существенного супремума . . . . . . . . . . . . . . . . 74

§ 3. О предельном переходе в моделях с конечным горизонтом . . . . . . 81

ГЛАВА IV. Оптимальные правила остановки. Общая теория для
случая дискретного времени в марковском представлении . . . . . 84

§ 1. Определение марковских последовательностей . . . . . . . . . . . . . . 84
§ 2. Случай конечного временн´ого горизонта N < ∞ . . . . . . . . . . . . . . 86

Оглавление

§ 3. Случай бесконечного временн´ого горизонта N = ∞ . . . . . . . . . . . 91
§ 4. Некоторые примеры . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 92

ГЛАВА V. Оптимальные правила остановки. Общая теория
для случая непрерывного времени . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 100

§ 1. Стандартные и нестандартные проблемы оптимальных
правил остановки . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 100

§ 2. Некоторые соображения по поводу задач об оптимальной
остановке в случае непрерывного времени и их связь
с математическим анализом . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 102

§ 3. Теория оптимальных правил остановки. Мартингальный подход . . 113
§ 4. Теория оптимальных правил остановки. Марковский подход . . . . . 118
§ 5. Об оптимальных правилах остановки в случае неограниченных
функций выигрыша . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 125

§ 6. Обобщения на неоднородные процессы . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 130
§ 7. Теория оптимальных правил остановки. Марковский подход.
Терминальный функционал Мейера и интегральный функционал
Лагранжа . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 132

ГЛАВА VI. Основные постановки и решения задач скорейшего
обнаружения. Непрерывное время. Модели с броуновским
движением . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 146

§ 1. Варианты A, B, C и D для случая броуновского движения . . . . . . . 146
§ 2. Вариант A. Редукция к стандартной форме . . . . . . . . . . . . . . . . . 149
§ 3. Вариант B. Редукция к стандартной форме . . . . . . . . . . . . . . . . . . 164
§ 4. Вариант C. Редукционные неравенства . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 171
§ 5. Вариант D. Редукционные неравенства.
Оптимальность CUSUM-статистики γ . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 183

§ 6. О задаче скорейшего обнаружения с платой за осуществляемые
наблюдения . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 196

ГЛАВА VII. Многоэтапная задача скорейшего обнаружения
нарушения стационарного режима. Модель с броуновским
движением . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 220

§ 1. Применение метода Вальда . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 220
§ 2. Применение метода Неймана — Пирсона . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 230
§ 3. Оптимальный метод в многоэтапной задаче обнаружения
разладки, появляющейся на фоне установившегося стационарного
режима наблюдения (вариант E) . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 235

ГЛАВА VIII. Разладка на фильтрованных вероятностных
пространствах . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 240

§ 1. Задачи о разладке с априорным G-распределением момента
ее появления. Основные формулы . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 240

Оглавление
5

§ 2. Задачи о разладке с априорным распределением G момента
ее появления. Байесовская постановка . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 247

§ 3. Задачи о разладке в варианте A∗ . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 256
§ 4. Одно замечание об эквивалентности задач в вариантах A и A∗ . . . 268
§ 5. Доверительные интервалы в задачах о разладке для G-моделей . . . 270
§ 6. О последовательном оценивании коэффициента сноса
у фрактального броуновского движения . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 272

ГЛАВА IX. Байесовские и вариационные проблемы различения
гипотез. Модели с броуновским движением . . . . . . . . . . . . . . . . . 276

§ 1. Задача Вальда и сравнение с методом Неймана — Пирсона . . . . . . 276
§ 2. Последовательное различение трех гипотез . . . . . . . . . . . . . . . . . 291
§ 3. Последовательное различение сложных гипотез (задача Чернова).
Метод Житлухина — Муравлёва . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 310

§ 4. Последовательное различение двух гипотез
(задача Кифера — Вейса) . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 321

§ 5. Последовательное различение двух гипотез
(в задаче о двусторонней разладке) . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 333

ГЛАВА X. Некоторые применения в финансовой математике . . . . . 361

§ 1. О выборе оптимального момента реализации акции,
тренд которой подвержен разладке. I . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 361

§ 2. О выборе оптимального момента реализации акции,
тренд которой подвержен разладке. II . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 369

§ 3. Русский опцион . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 373

Литература . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 382

Указатель обозначений . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 389

Предметный указатель . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 390

Предисловие

В настоящей монографии, самым непосредственным образом относящейся к тем вероятностно-статистическим разделам, которые
именуют «теория принятия решений» и «статистический последовательный анализ», основной акцент делается на те стохастические
проблемы «скорейшего обнаружения в задачах о разладке», которые
возникают при динамическом анализе статистических данных.
Примером могут служить задачи скорейшего обнаружения случайно появляющихся «целей», задачи обнаружения спонтанно возникающих эффектов, задачи скорейшего обнаружения момента появления
арбитража (в финансовой математике) и т. п. Для многих информационных систем весьма актуальна разработка методов скорейшего
обнаружения нежелательных случайно появляющихся «внедрений»
и создания методов защиты от кибератак.
Как станет ясно из дальнейшего, большинство рассматриваемых
задач скорейшего обнаружения удобно формулировать как задачи об
оптимальной остановке, где момент остановки идентифицируется с моментом поднятия «тревоги» о появлении «разладки». В этой связи мы
уделяем значительное внимание как общей теории оптимальных правил остановки, так и методам решения конкретных задач этой теории.
Изложение в книге будет вестись и для случая дискретного, и для
случая непрерывного времени. Первый случай дискретного времени
с принципиальной точки зрения сравнительно прост (если время конечно) в силу наличия здесь рекуррентных соотношений и мощного метода
индукции назад, позволяющего проводить рассуждения шаг за шагом.
Случай непрерывного времени технически более сложен и требует,
как правило, более сложного анализа, в том числе и стохастического
с привлечением понятий стохастического исчисления: мартингала,
супермартингала, стохастического интеграла и т. п.
Подчеркнем, что одним из основных процессов с непрерывным
временем в книге будет процесс броуновского движения, для которого
во многих задачах удается получить точные решения с привлечением
хорошо развитого математического аппарата для этого процесса.

Предисловие
7

Настоящее изложение примыкает к нашей книге «Статистический
последовательный анализ» [50], где последние два параграфа в заключительной главе 4 посвящены некоторым задачам о разладке (в варианте A по терминологии данной книги). К настоящему времени вышло несколько монографий, которые касаются тем настоящей книги.
Это монографии [16, 34, 56, 57, 97, 101, 113], в которых читатель найдет
полезный материал, касающийся общей теории оптимальных правил
остановки и ее применений в теории вероятностей, математической
статистике и приложениях, включая финансовую математику.
Существенная часть настоящей книги была выполнена в рамках
гранта РНФ № 14–21–00162 и использовалась на лекциях «Школы анализа данных» в Яндексе. Автор признателен И. Б. Мучнику за многочисленные советы и полученные рекомендации. Мои ученики М. Житлухин и А. Муравлёв в течение ряда лет работали над проблемами,
излагаемыми в диссертациях [59,60]. Некоторые их результаты вошли
в настоящее издание.
Автор приносит глубокую благодарность Е. А. Макаровой, осуществившей компьютерный набор, и Ю. Н. Торхову, за издание книги.
Автор благодарен Т. Б. Толозовой за редакционную работу.

Москва, июнь 2016
А. Ширяев
Математический институт
им. В. А. Стеклова РАН

Московский государственный
университет
им. М. В. Ломоносова

Введение

Как это следует из названия книги и вышеприведенного предисловия, основное ее содержание посвящено задачам о «разладке». Однако
мы уделяем значительное внимание также теории оптимальных правил остановки и ее развитию, дающим тот материал, который необходим нам для отыскания методов решения соответствующих задач.
Настоящее введение преследует двоякую цель — изложить основные положения как теории оптимальных правил остановки, так и теории оптимизации в решении задач о «разладке».

I

Главы III–V посвящены теории оптимальных правил остановки
решения задач типа
V = sup
τ∈M
EGτ,

где M — класс таких моментов остановки τ=τ(ω), что τ(ω)<∞ (или
P(τ(ω) < ∞) = 1), и G𝑡, t ⩾ 0, — функции выигрыша при остановке
в момент t. Функция V называется ценой.
Все вероятностные объекты предполагаются заданными на фильтрованном вероятностном пространстве (Ω, , (𝑡)𝑡⩾0, P) с неубывающим непрерывным справа семейством σ-алгебр (𝑡)𝑡⩾0, причем
мера P такова, что пополнена по P и каждая σ-алгебра 𝑡, t ⩾ 0,
содержит P-нулевые множества из . (Все это говорит о том, что
рассматриваемое фильтрованное пространство удовлетворяет так называемым обычным условиям [73, 84].)
Моменты остановки τ ∈ M по определению предполагаются удовлетворяющими условиям {τ ⩽ t} ∈ 𝑡 при всех t < ∞. Функции выигрыша G𝑡 предполагаются 𝑡-измеримыми. Основной интерес в задаче
V = supτ∈M EGτ состоит в отыскании цены V и оптимальных моментов τ∗ (если таковые существуют).
Эти вопросы рассматриваются в гл. III–V главах для случаев и дискретного, и непрерывного времени, при этом основными методами

Введение
9

исследования являются следующие два — «мартингальный» и «марковский».
При исследовании сформулированной задачи в случае дискретного времени мы начинаем со случая, когда задача рассматривается
на конечном временн´ом интервале (n ⩽ N). В этом случае существует хорошо известный метод исследования — метод обратной индукции, позволяющий (по крайней мере принципиально) найти и цену
V 𝑁 = supτ⩽𝑁 EGτ, и оптимальный момент остановки (гл. III, § 1).
В случае бесконечного временн´ого горизонта основной метод исследования основан на понятии существенного супремума (гл. III, § 2).
В отличие от случая конечного горизонта здесь может случиться, что
нет оптимального момента и следует обращаться к «ϵ-оптимальным»
моментам (см. подробнее [16, 50]).
Одним из наиболее изученных и интересных случаев теории оптимальных правил остановки является тот, когда функция выигрыша G𝑡
имеет марковское представление, т. е. G𝑡 = G(t, X𝑡), где X = (X𝑡)𝑡⩾0 —
марковский процесс. В дискретном времени этому случаю посвящена
гл. IV, а случай непрерывного времени излагается в гл. V. Замечательным здесь оказывается то, что для задачи V(x) = supτ∈M E𝑥G(Xτ)
решение вопроса о структуре оптимального момента остановки
τ∗ ∈ M = {τ: τ < ∞} сводится к отысканию области продолжения
наблюдений C = {x : V(x) > G(x)} и области остановки наблюдений
D = {x: V(x) = G(x)}. Уже отсюда видно, что для отыскания оптимального момента остановки (если он существует) надо уметь находить функции цены V(x), являющиеся (при достаточно общих условиях) наименьшими супергармоническими мажорантами функции
выигрыша G(x).
В целом гл. III–V дают достаточно подробный материал об оптимальных правилах остановки, на который мы опираемся для построения теории решения задач о «разладке».

II

Задачи о «разладке» будут рассматриваться в гл. I–II (дискретное
время) и в гл. IV–X (непрерывное время).
Для случая дискретного времени начнем с задач, рассмотренных
еще в 1920–30-х годах В. А. Шухартом (W. A. Shewhart) в связи с контролем качества индустриальной продукции [105, 106]. Эти задачи поучительны не только с точки зрения их важности в контроле качества,