Начальный курс топологии в листочках: задачи и теоремы

М. С. Вербицкий

ФАКУЛЬТЕТ МАТЕМАТИКИ

НАЧАЛЬНЫЙ КУРС 
ТОПОЛОГИИ
Задачи и теоремы

ISBN 978-5-4439-1036-9

9 785443 910369 >

М. С. Вербицкий | Начальный курс топологии. Задачи и теоремы

Книга написана по материалам лекций, прочитанных 
в Независимом московском университете и на факультете 
математики Высшей школы экономики, и состоит 
из записок лекций и упражнений, предлагавшихся 
студентам. В курс включены результаты общей топологии, 
широко применяемые в анализе и геометрии, а также 
необходимые понятия и результаты теории категорий 
и теории множеств.

Автор – профессор факультета математики 
Национального исследовательского университета 
«Высшая школа экономики». 

М. С. Вербицкий

Начальный курс
топологии в листочках:
задачи и теоремы

Электронное издание

Издательство МЦНМО 
Москва, 2018

УДК 515.12
ББК 22.152
В31

Вербицкий М. С.
Начальный курс топологии в листочках: задачи и теоремы
Электронное издание
М.: МЦНМО, 2018
352 с.
ISBN 978-5-4439-3036-7

Книга написана по материалам лекций, прочитанных в Независимом московском университете и на факультете математики Высшей школы экономики, и состоит из записок лекций и упражнений, предлагавшихся студентам. В курс включены
результаты общей топологии, широко применяемые в анализе и геометрии. Для
удобства читателя приводятся необходимые понятия и результаты теории категорий и теории множеств. Книга заканчивается начальными главами гомотопической
топологии (накрытия, фундаментальная группа). Теоретический материал курса изложен как в лекциях, так и в упражнениях, которые можно изучать независимо от
лекций.

Портреты математиков на с. 54, 156, 160, 167, 172, 193, 221, 274, 331
выполнены Юрием Сопельняком.

Подготовлено на основе книги: Вербицкий М. С. Начальный курс
топологии в листочках: задачи и теоремы. –– М.: МЦНМО, 2017. ––
352 с. ISBN 978-5-4439-1036-9

Издательство Московского центра
непрерывного математического образования
119002, Москва, Большой Власьевский пер., 11.
Тел. (495) 241-74-83
www.mccme.ru

ISBN 978-5-4439-3036-7
ffi М. С. Вербицкий, 2016.
ffi МЦНМО, 2017.

ОГЛАВЛЕНИЕ

Введение
11
Краткое описание
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
11

Матклассы: обучение по листочкам . . . . . . . . . . . . . . . .
13

Как читать эту книгу . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
16

ЧАСТЬ I. ОСНОВАНИЯ МАТЕМАТИКИ

Глава 1. Основания математики
21
1.1. О математической строгости . . . . . . . . . . . . . . . . . .
21

1.2. О формальном методе . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
22

1.3. Теория множеств и ее аксиоматизация . . . . . . . . . . .
25

1.4. Терминология и библиография . . . . . . . . . . . . . . . .
28

Глава 2. Основные понятия теории множеств
29
2.1. Обозначения теории множеств . . . . . . . . . . . . . . . .
29

2.2. Соответствия и отображения . . . . . . . . . . . . . . . . .
30

2.3. Отношения эквивалентности . . . . . . . . . . . . . . . . .
32

2.4. Аксиоматическая теория множеств . . . . . . . . . . . . .
33

2.5. Терминология и библиография . . . . . . . . . . . . . . . .
36

Глава 3. Кардиналы и теорема Кантора
39
3.1. Теорема Кантора––Бернштейна––Шрёдера . . . . . . . . .
39

3.2. Мощность множества . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
40

3.3. Счетные множества
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
41

3.4. Диагональный метод Кантора . . . . . . . . . . . . . . . . .
42

3.5. Континуум-гипотеза . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
44

3.6. Замечания
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
45

Глава 4. Аксиома выбора и ее приложения
47
4.1. Сечение отображения . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
47

4.2. Аксиоматическая теория множеств . . . . . . . . . . . . .
47

4.3. Аксиома выбора и ее конкуренты . . . . . . . . . . . . . .
49

4.4. Вполне упорядоченные множества . . . . . . . . . . . . . .
52

4.5. Лемма Цорна и теорема Цермело
. . . . . . . . . . . . . .
55

3

Оглавление

ЧАСТЬ II. ТОПОЛОГИЯ В ЗАДАЧАХ

Листок 1. Метрические пространства и норма
61
1.1. Метрические пространства, выпуклые множества, норма 61
1.2. Полные метрические пространства
. . . . . . . . . . . . .
65

Листок 2. Топология метрических пространств
71
2.1. Липшицевы функции . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
73

2.2. Расстояние между подмножествами метрических пространств . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
74

2.3. Расстояние Хаусдорфа . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
75

2.4. Локально компактные метрические пространства
. . .
76

Листок 3. Теоретико-множественная топология
81
3.1. Топология и сходимость . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
87

Листок 4. Произведение пространств
89
4.1. База топологии . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
89

4.2. Тихоновский куб и гильбертов куб
. . . . . . . . . . . . .
91

4.3. Нормальные топологические пространства . . . . . . . .
92

4.4. Лемма Урысона и метризация топологических пространств . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
93

Листок 5. Компактность
95
5.1. Компакты и произведения . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
98

5.2. Теорема Тихонова . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
99

5.3. Основная теорема алгебры . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 101

Листок 6. Поточечная и равномерная сходимость
103
6.1. Кривая Пеано . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 106

Листок 7. Связность
109
7.1. Вполне несвязные пространства . . . . . . . . . . . . . . . . 110

Листок 8. Фундаментальная группа и пространство петель 113
8.1. Линейная связность . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 113
8.2. Геодезическая связность
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 114

8.3. Пространство петель . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 116
8.4. Фундаментальная группа . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 118

4

Оглавление

8.5. Односвязные пространства . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 120
8.6. Накрытия . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 123

Листок 9. Накрытия Галуа
125
9.1. Накрытия Галуа . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 126
9.2. Накрытия линейно связных пространств . . . . . . . . . . 130
9.3. Существование универсального накрытия . . . . . . . . . 132

Листок 10. Фундаментальная группа и гомотопии
137
10.1. Гомотопии . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 137
10.2. Пространства путей на локально стягиваемых пространствах . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 138

10.3. Свободная группа и букет . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 140

ЧАСТЬ III. ЛЕКЦИИ ПО ТОПОЛОГИИ

Лекция 1. Метрика, пополнение, p-адические числа
145
1.1. Метрические пространства и пополнение . . . . . . . . . 145
1.2. Нормирование на группах и кольцах . . . . . . . . . . . . 149
1.3. Целые p-адические числа: неархимедова геометрия . . 151
1.4. Арифметика p-адических чисел . . . . . . . . . . . . . . . . 153
1.5. Библиография, замечания
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . 157

Лекция 2. Нормирования в векторных пространствах
159
2.1. Примеры нормированных пространств . . . . . . . . . . . 159
2.2. Непрерывные отображения . . . . . . . . . . . . . . . . . . 163
2.3. Выпуклые множества и норма
. . . . . . . . . . . . . . . . 165

2.4. История, замечания . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 166

Лекция 3. Компакты в метрических пространствах
169
3.1. Теорема Гейне––Бореля . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 169
3.2. Историческое отступление: работы Хаусдорфа . . . . . . 173
3.3. Расстояние Хаусдорфа . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 175
3.4. Компактность и ϵ-сети
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 176

3.5. Историческое отступление: расстояние Громова––Хаусдорфа . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 178

5

Оглавление

Лекция 4. Внутренняя метрика
181
4.1. Пространство с внутренней метрикой . . . . . . . . . . . . 181
4.2. Локально компактные метрические пространства
. . . 183

4.3. Геодезические в метрическом пространстве . . . . . . . . 185
4.4. История, терминология, литература . . . . . . . . . . . . . 187

Лекция 5. Основы общей топологии
191
5.1. Топологическое пространство . . . . . . . . . . . . . . . . . 191
5.2. Аксиомы Хаусдорфа . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 192
5.3. Аксиомы счетности . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 195

Лекция 6. Произведение пространств
197
6.1. Свойства произведения . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 197
6.2. Отображения в M × M′
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 198

6.3. Произведение метрических пространств . . . . . . . . . . 199
6.4. Полуметрики и полунормы . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 201
6.5. Тихоновская топология . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 202
6.6. Пространства Фреше . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 205
6.7. Тихоновский куб и гильбертов куб . . . . . . . . . . . . . . 206
6.8. История, замечания . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 208

Лекция 7. Теорема о метризации
211
7.1. Нормальные топологические пространства . . . . . . . . 211
7.2. Функции Урысона . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 212
7.3. «Создатель советской топологии» . . . . . . . . . . . . . . . 213
7.4. Нормальные пространства и нуль-множества . . . . . . . 216
7.5. Теорема Урысона о метризации . . . . . . . . . . . . . . . . 217
7.6. Теоремы о метризуемости
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . 219

Лекция 8. Компакты
221
8.1. Компакты и слабо секвенциально компактные пространства . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 221

8.2. Компакты и нормальные пространства . . . . . . . . . . . 224

Лекция 9. Произведение компактов
227
9.1. Открытые, замкнутые и собственные отображения . . . 227
9.2. Конечные произведения компактов . . . . . . . . . . . . . 228
9.3. Максимальные идеалы в кольцах . . . . . . . . . . . . . . . 230
9.4. Лемма Цорна: история, замечания . . . . . . . . . . . . . . 232

6

Оглавление

9.5. Кольцо подмножеств и ультрафильтры . . . . . . . . . . . 233
9.6. Теорема Александера о предбазе . . . . . . . . . . . . . . . 237
9.7. Теорема Тихонова о компактности . . . . . . . . . . . . . . 239

Лекция 10. Равномерная сходимость
243
10.1. Банаховы пространства
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 243

10.2. Примеры пространств Фреше . . . . . . . . . . . . . . . . 246
10.3. Равномерная метрика на пространстве отображений . 247
10.4. История, замечания . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 249

Лекция 11. Пространство непрерывных отображений
251
11.1. Топология равномерной сходимости на C(X, Y) . . . . . 251
11.2. Tопология, заданная окрестностями графика . . . . . . 252
11.3. Замечания . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 254

Лекция 12. Связные пространства
257
12.1. Свойства связных подмножеств . . . . . . . . . . . . . . . 257
12.2. Компоненты связности . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 259
12.3. Линейная связность . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 260

Лекция 13. Вполне несвязные пространства
263
13.1. Примеры вполне несвязных пространств . . . . . . . . . 263
13.2. Пространства Стоуна . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 264

Лекция 14. Теорема Стоуна и теория категорий
269
14.1. Категории . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 269
14.2. Теория категорий: история, замечания . . . . . . . . . . 271
14.3. Булевы кольца и булевы алгебры . . . . . . . . . . . . . . 275
14.4. Спектр Зарисcкого для булева кольца . . . . . . . . . . . 276
14.5. Булевы алгебры: история, замечания
. . . . . . . . . . . 280

Лекция 15. Фундаментальная группа
281
15.1. Гомотопные отображения . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 281
15.2. Категория пространств с отмеченной точкой и пространства петель
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 283

15.3. Фундаментальная группа . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 284
15.4. Стягиваемые пространства, ретракты, гомотопическая эквивалентность . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 289

15.5. История, замечания . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 290

7

Оглавление

Лекция 16. Накрытия Галуа
293
16.1. Факторпространства
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 293

16.2. Категория накрытий . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 294
16.3. Односвязные пространства . . . . . . . . . . . . . . . . . . 297
16.4. Поднятие накрытия . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 299
16.5. Накрытия и пути . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 301
16.6. Произведение накрытий . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 303
16.7. Накрытия Галуа и группа Галуа . . . . . . . . . . . . . . . 305
16.8. Теория Галуа для накрытий . . . . . . . . . . . . . . . . . . 306
16.9. Универсальное накрытие . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 307
16.10. Этальная фундаментальная группа . . . . . . . . . . . . 310
16.11. История, замечания . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 310

Лекция 17. Теорема Зейферта––ван Кампена
315
17.1. Фундаментальная группа и универсальное накрытие . 315
17.2. Категория накрытий и фундаментальная группа . . . . 318
17.3. Как восстановить фундаментальную группу по категории накрытий . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 320

17.4. Свободная группа и свободное произведение групп . . 321
17.5. Представимые функторы . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 322
17.6. Лемма Ионеды: история, замечания . . . . . . . . . . . . 324
17.7. Произведение и копроизведение в категории . . . . . . 325
17.8. История свободной группы и копроизведений
. . . . . 326

17.9. Теорема Зейферта––ван Кампена . . . . . . . . . . . . . . 328
17.10. История, замечания . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 330

Лекция 18. Подгруппы в свободных группах
333
18.1. Фундаментальная группа букета окружностей . . . . . . 333
18.2. Деревья . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 334
18.3. Унициклические графы
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 337

18.4. Фундаментальная группа графа . . . . . . . . . . . . . . . 338

ПРИЛОЖЕНИЕ. ВЕЩЕСТВЕННЫЕ ЧИСЛА

Листок 0. Вещественные числа
343
0.1. Фундаментальные последовательности . . . . . . . . . . . 343
0.2. Дедекиндовы сечения . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 346

8

Оглавление

0.3. Супремум и инфимум . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 347
0.4. Корни многочленов нечетной степени . . . . . . . . . . . 348
0.5. Пределы . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 349
0.6. Ряды . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 351

9