Книжная полка Сохранить
Размер шрифта:
А
А
А
|  Шрифт:
Arial
Times
|  Интервал:
Стандартный
Средний
Большой
|  Цвет сайта:
Ц
Ц
Ц
Ц
Ц

Задачи по топологии

Покупка
Артикул: 686629.01.99
В этой брошюре содержатся задачи к трехсеместровому курсу топологии, который неоднократно читался для студентов первого и второго курса НМУ. В первом семестре обсуждаются топологические пространства, фундаментальная группа и накрытия, во втором семестре|CW-ком- плексы, многообразия, гомотопические группы и расслоения, в тре- тьем|гомологии и когомологии.
Прасолов, В. В. Задачи по топологии: Учебное пособие / Прасолов В.В., - 2-е изд., стер. - Москва :МЦНМО, 2014. - 38 с.: ISBN 978-5-4439-3009-1. - Текст : электронный. - URL: https://znanium.com/catalog/product/970201 (дата обращения: 13.04.2024). – Режим доступа: по подписке.
Фрагмент текстового слоя документа размещен для индексирующих роботов. Для полноценной работы с документом, пожалуйста, перейдите в ридер.
НЕЗАВИСИМЫЙ МОСКОВСКИЙ УНИВЕРСИТЕТ
В. В. Прасолов
Задачи по топологии
Электронное издание
Москва
Издательство МЦНМО
2016
УДК 515.14
ББК 22.15
П70
Прасолов В. В.
Задачи по топологии
Электронное издание
М.: МЦНМО, 2014
38 с.
ISBN 978-5-4439-3009-1
В этой брошюре содержатся задачи к трехсеместровому курсу
топологии, который неоднократно читался для студентов первого и
второго курса НМУ.
В первом семестре обсуждаются топологические пространства,
фундаментальная группа и накрытия, во втором семестре | CW-ком-
плексы, многообразия, гомотопические группы и расслоения, в тре-
тьем | гомологии и когомологии.
Подготовлено на основе книги: В. В. Прасолов. Задачи
по топологии. | 2-е изд., стереотип. | М.: МЦНМО, 2016. |
ISBN 978-5-4439-1009-3.
Издательство Московского центра
непрерывного математического образования
119002, Москва, Большой Власьевский пер., 11,
тел. (499) 241-08-04.
http://www.mccme.ru
ISBN 978-5-4439-3009-1
c
Прасолов В. В., 2016
c
МЦНМО, 2016
ОГЛАВЛЕНИЕ
1. Общая топология. Фундаментальная группа и накрытия
4
1.1.
Топология Rn. Планарные графы . . . . . . . . . . . . . .
4
1.2.
Топологические пространства . . . . . . . . . . . . . . . .
6
1.3.
Симплициальные и клеточные комплексы . . . . . . . . .
8
1.4.
Двумерные поверхности
. . . . . . . . . . . . . . . . . . .
9
1.5.
Гомотопии . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
11
1.6.
Векторные поля на плоскости . . . . . . . . . . . . . . . .
12
1.7.
Векторные поля на двумерных поверхностях. Теорема
Уитни|Грауштейна
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
14
1.8.
Фундаментальная группа
. . . . . . . . . . . . . . . . . .
15
1.9.
Накрывающие пространства . . . . . . . . . . . . . . . . .
16
2. Гомотопические свойства клеточных комплексов
18
2.1.
Гомотопии. CW-комплексы
. . . . . . . . . . . . . . . . .
18
2.2.
Общее положение. n-связные пространства . . . . . . . .
19
2.3.
Расслоения . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
20
2.4.
Точная последовательность расслоения
. . . . . . . . . .
21
2.5.
Гомотопически простые пространства. H-пространства
22
2.6.
Многообразия. Ориентируемость . . . . . . . . . . . . . .
23
2.7.
Вложения и погружения. Теорема Сарда
. . . . . . . . .
24
2.8.
Степень отображения. Индекс пересечения . . . . . . . .
25
2.9.
Векторные поля. Конструкция Понтрягина . . . . . . . .
26
2.10. Теория Морса
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
27
3. Гомологии и когомологии
29
3.1.
Гомологии и когомологии с коэффициентами в поле . . .
29
3.2.
Точная последовательность пары . . . . . . . . . . . . . .
30
3.3.
Клеточные гомологии . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
31
3.4.
Универсальные коэффициенты
. . . . . . . . . . . . . . .
32
3.5.
Фундаментальный класс. Двойственность Пуанкаре . . .
32
3.6.
Умножение в когомологиях
. . . . . . . . . . . . . . . . .
34
3.7.
Двойственность Лефшеца и двойственность Александера 34
3.8.
Теорема Кюннета . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
35
3.9.
Теорема Лефшеца. Теорема Гуревича
. . . . . . . . . . .
36
3.10. Теорема Гуревича. Теория препятствий . . . . . . . . . .
37
Рекомендуемая литература
38
3
ГЛАВА 1. ОБЩАЯ ТОПОЛОГИЯ.
ФУНДАМЕНТАЛЬНАЯ ГРУППА И НАКРЫТИЯ
1.1. Топология Rn. Планарные графы
1. Докажете, что определение непрерывности через открытые множества (
прообраз открытого множества открыт) эквивалентно обычному "- 
определению.
2. Докажите, что линейно связное множество связно.
Пусть A ⊂ Rn | произвольное подмножество. Для произвольной
точки x ∈ Rn величину d(x; A) = inf
a∈A x − aназывают расстоянием от
точки x до множества A.
3. а) Докажите, что функция f(x) = d(x; A) непрерывна для любого
подмножества A ⊂ Rn.
б) Докажите, что если множество A замкнуто, то функция f(x) =
= d(x; A) для всех x ∈ A принимает положительные значения.
Пусть A; B ⊂Rn |произвольные подмножества. Величину d(A; B)=
=
inf
a∈A;b∈B a − bназывают расстоянием между множествами A и B.
4. Пусть A ⊂ Rn | замкнутое подмножество, C ⊂ Rn | компакт-
ное подмножество. Докажите, что существует такая точка c0 ∈ C, что
d(A; C) = d(A; c0), а если множество A тоже компактно, то существует
ещё и такая точка a0 ∈ A, что d(A; C) = d(a0; c0).
Пусть A ⊂ X ⊂ Rn. Точку a ∈ A называют внутренней, если существует 
множество U, открытое в X, для которого a ∈ U ⊂ A. Точку
a ∈ A называют изолированной, если существует множество U, открытое 
в X, для которого U ∩ A = a. Точку x ∈ X называют граничной
точкой A, если для любого множества U, открытого в X, U ∩ A = ∅
и U ∩ (X − A) = ∅. Внутренность множества A | это множество всех
внутренних точек. Замыкание множества A | это объединение множества 
A и всех граничных точек.
5. Докажите, что: а) множество A ⊂ X ⊂ Rn замкнуто в X тогда
и только тогда, когда оно содержит все граничные точки; б) внутренность 
множества A | это наибольшее открытое множество, содержащееся 
в A; в) замыкание A | это наименьшее замкнутое множество,
содержащее A; г) множество всех граничных точек A | это разность
замыкания и внутренности.
4
6. (Кусочно-линейная теорема Жордана) Пусть C | замкнутая не-
самопересекающаяся конечнозвенная ломаная на плоскости R2. Докажите, 
что R2 \ C состоит ровно из двух связных областей, причём гра-
ницей каждой из них служит C.
7. Пусть a; b; c; d|точки замкнутой несамопересекающейся ломаной
C, расположенные в указанном порядке. Предположим, что точки a и c
соединены ломаной L1, а точки b и d соединены ломаной L2, причём обе
эти ломаные лежат в одной и той же из двух областей, образованных
ломаной C. Докажите, что ломаные L1 и L2 пересекаются в некоторой
точке.
Граф G | это множество точек, называемых вершинами, причём
некоторые пары рёбер соединены рёбрами.
Количество рёбер, выходящих из вершины графа, называют сте-
пенью вершины. В том случае, когда из любой вершины графа можно
пройти по его рёбрам в любую другую вершину, граф называют связ-
ным. Граф может иметь петли (рёбра, начало и конец которых совпа-
дают) и двойные рёбра (несовпадающие рёбра, имеющие одну и ту же
пару вершин). Попарно различные вершины v1, . . . , vn, соединённые
рёбрами v1v2, v2v3, . . . , vnv1, называют циклом.
Граф G называют планарным, если его можно расположить на плос-
кости так, чтобы его рёбра попарно не пересекались.
Пусть граф Kn состоит из n вершин, попарно соединённых рёбрами,
а граф Kn;m состоит из n + m вершин, разбитых на два подмножества
из n вершин и из m вершин, причём рёбрами соединены все пары вер-
шин из разных множеств.
8. Докажите, что графы K3;3 и K5 непланарные.
9. Пусть G | дерево, т. е. связный граф без циклов. Докажите, что
v(G) = e(G) + 1, где v(G) | число вершин, e(G) | число рёбер графа G.
10. (Формула Эйлера) Пусть G | планарный граф, состоящий из
s компонент связности, среди которых нет изолированных вершин.
Пусть, далее, v | число вершин графа G, а e | число его рёбер. То-
гда для любого вложения графа G в плоскость число граней f одно и
то же, а именно, f = 1 + s − v + e.
11. Докажите, что связный планарный граф (без петель и двойных
рёбер) содержит вершину, степень которой не превосходит 5.
12. Докажите, что вершины любого планарного графа (без петель
и двойных рёбер) можно раскрасить в пять цветов так, что любые две
вершины, соединённые ребром, будут разного цвета.
5
13. а) Пусть G | планарный граф, все грани которого содержат
чётное число рёбер. Докажите, что вершины этого графа можно рас-
красить в два цвета.
б) Пусть 
 | гладкая замкнутая кривая, все самопересечения кото-
рой трансверсальны. Докажите, что 
 разбивает плоскость на области,
которые можно раскрасить в два цвета так, что области, граничащие
по некоторой дуге, будут разного цвета.
14. Выведите из формулы Эйлера для планарных графов формулу
Эйлера, связывающую число вершин, рёбер и граней выпуклого многогранника.

15. а) Пусть G | планарный граф без изолированных вершин,
vi | число его вершин, из которых выходит i рёбер, fj | число граней, 
ограниченных j рёбрами (с учетом их кратностей). Докажите, что
тогда i
(4 − i)vi + j
(4 − j)fj = 4(1 + s) 8, где s | число компонент
связности графа G.
б) Докажите, что если все грани 4-угольные, то 3v1 + 2v2 + v3 8.
в) Докажите, что если любая грань ограничена циклом, содержащим
не менее n рёбер, то e n(v − 2)
n − 2 .
16. Воспользовавшись задачей 15 в), получите ещё одно доказательство 
непланарности графов K5 и K3;3.
1.2. Топологические пространства
Топологическое пространство | это множество X, в котором выделена 
система подмножеств , обладающая следующими свойствами:
1) пустое множество и всё множество X принадлежат ;
2) пересечение конечного числа элементов  принадлежит ;
3) объединение любого семейства элементов  принадлежит .
Множества, принадлежащие , называют открытыми. Множества,
дополнения которых открыты, называют замкнутыми.
Отображение топологических пространств называют непрерывным,
если прообраз любого открытого множества открыт. Непрерывное ото-
бражение топологических пространств называют гомеоморфизмом, ес-
ли оно взаимно однозначно и обратное отображение тоже непрерывно.
Любое подмножество A топологического пространства X само мож-
но рассматривать как топологическое пространство, если считать, что
множество B ⊂ A открыто в A, если B = B∩ A для некоторого мно-
жества B, открытого в X.
6
Топологическое пространство X называют компактным, если из
любого его покрытия открытыми множествами можно выбрать конеч-
ное подпокрытие.
17. Докажите, что любое замкнутое подмножество компактного
пространства компактно.
18. Введите «естественную» топологию на множестве матриц n × m.
19. Связно ли пространство GL(n), состоящее из невырожденных
матриц?
20. а) Докажите, что пространство SO(3), состоящее из ортогональ-
ных матриц порядка 3 с определителем 1, связно.
б) Докажите, что пространство SO(n) связно.
21. Докажите, что пространство, состоящее из невырожденных ма-
триц с положительным определителем, связно.
22. а) Докажите, что пространство U(n) унитарных матриц связно.
б) Докажите, что пространство SU(n) унитарных матриц с опреде-
лителем 1 связно.
Топологическое пространство X называют хаусдорфовым, если для
любых двух различных точек x; y ∈ X найдутся непересекающиеся от-
крытые множества, содержащие эти точки.
23. Приведите пример нехаусдорфова топологического простран-
ства.
В метрическом пространстве X можно определить топологию сле-
дующим образом: множество A ⊂ X открыто, если любая точка a ∈ A
содержится в A вместе с некоторым открытым шаром с центром a.
24. Докажите, что топология, индуцированная метрикой, является
хаусдорфовой.
25. Докажите, что в хаусдорфовом пространстве X для любых двух
различных точек x и y найдётся окрестность U x, замыкание которой
не содержит y.
26. Пусть C | компактное подмножество хаусдорфова простран-
ства X и x ∈ X \ C. Докажите, что у точки x и у множества C есть
непересекающиеся окрестности.
27. Докажите, что у любых двух непересекающихся компактных
подмножеств A и B хаусдорфова пространства X есть непересекаю-
щиеся окрестности.
28. Пусть f : X → Y | непрерывное взаимно однозначное отобра-
жение компактного пространства X на хаусдорфово пространство Y .
Докажите, что f | гомеоморфизм.
29. Докажите, что Dn=@Dn ≈ Sn.
7
30. Докажите, что пространство S1 × S1 гомеоморфно простран-
ству, которое получается при следующем отождествлении точек сторон
квадрата 0 x; y 1: (x; 0) ∼ (x; 1) и (0; y) ∼ (1; y). (Это пространство
называют тором.)
31. а) Докажите, что {∗} ∗ X ≈ CX (здесь {∗} | одноточечное про-
странство).
б) Докажите, что S0 ∗ X ≈ ˚X.
32. Докажите, что Sp ∗ Sq ≈ Sp+q+1.
33. Приведите пример связного, но не линейно связного простран-
ства.
34. Докажите, что пространство GL(3) состоит из двух связных
компонент.
1.3. Симплициальные и клеточные комплексы
35. Докажите, что следующие топологические пространства гомео-
морфны:
(а) множество прямых в Rn+1, проходящих через начало координат;
(б) множество гиперплоскостей в Rn+1, проходящих через начало
координат;
(в) сфера Sn, в которой отождествлена каждая пара диаметрально
противоположных точек.
(г) шар Dn, в котором отождествлена каждая пара диаметрально
противоположных точек граничной сферы Sn−1 = @Dn.
36. Докажите, что следующие топологические пространства гомео-
морфны:
(а) множество комплексных прямых в Cn+1, проходящих через на-
чало координат;
(б) сфера S2n+1 ⊂ Cn+1, в которой отождествлены точки вида x
для всех  ∈ C, || = 1 (для каждой фиксированной точки x ∈ S2n+1);
(в) шар D2n ⊂ Cn, в котором отождествлены точки граничной сфе-
ры S2n−1 = @D2n вида x для всех  ∈ C, || = 1 (для каждой фиксиро-
ванной точки x ∈ S2n−1).
Пространство из задачи 35 называют вещественным проективным
пространством и обозначают RP n. Пространство из задачи 36 назы-
вают комплексным проективным пространством и обозначают CP n.
37. Докажите, что RP 1 ≈ S1 и CP 1 ≈ S2.
38. Докажите, что прямое произведение окружности на отрезок не
гомеоморфно листу Мёбиуса.
39. Докажите, что CSn ≈ Dn+1 и ˚Sn ≈ Sn+1.
8
40. Докажите, что сфера S2 является CW-комплексом.
41. Докажите, что тор T 2 является CW-комплексом.
42. Докажите, что сфера Sn является CW-комплексом.
43. Докажите, что вещественное проективное пространство RP n
является CW-комплексом.
44. Докажите, что комплексное проективное пространство CP n
является CW-комплексом.
45. Докажите, что любой конечный симплициальный комплекс раз-
мерности n вкладывается в R2n+1.
46. Докажите, что Rn \ Rk ≈ Sn−k−1 × Rk+1.
47. Докажите, что Sn+m−1 \ Sn−1 ≈ Rn × Sm−1. (Предполагается,
что сфера Sn−1 расположена в Sn+m−1 стандартно.)
48. Пусть Sp ∨ Sq = (Sp × {∗}) ∪ ({∗} × Sq) ⊂ Sp × Sq. Докажите,
что Sp × Sq=Sp ∨ Sq ≈ Sp+q.
49. Взяты два экземпляра полнотория S1 × D2 и их границы склеены 
а) по тождественному гомеоморфизму; б) по гомеоморфизму границ, 
переводящему меридиан в параллель. Докажите, что в случае а)
получается S1 × S2, а в случае б) получается S3.
50. Рассмотрим фактор пространства M2(C) по следующему отношению 
эквивалентности: A ∼ BAB−1 для произвольной невырожденной
матрицы B. Хаусдорфово ли полученное пространство?
51. а) Докажите, что CW-комплекс связен тогда и только тогда,
когда связен его 1-мерный остов.
б) Докажите, что CW-комплекс связен тогда и только тогда, когда
он линейно связен.
52. Постройте расслоение S3 → S2 со слоем S1.
1.4. Двумерные поверхности
53. Докажите, что если из проективной плоскости вырезать диск
D2, то в результате получится лист Мёбиуса.
Пусть M1#M2 | двумерная поверхность, которая получается из
двумерных поверхностей M1 и M2 следующей операцией: из M1 и из
M2 вырезается по диску D2 и соответствующие точки их краёв склеиваются. 
Эту операцию называют связной суммой. Связную сумму n
торов T 2 будем для краткости обозначать nT 2, а связную сумму m
проективных плоскостей P 2 будем обозначать mP 2 (обозначения nT 2
и mP 2 не стандартные).
54. Докажите, что если поверхность M1 неориентируема, то поверхность 
M1#M2 тоже неориентируема.
9
55. Докажите, что S2#2P 2 ≈ K2, т. е. сфера S2, из которой вырезаны 
два диска и вместо них вклеены два листа Мёбиуса, гомеоморфна
бутылке Клейна.
56. Докажите, что T 2#P 2 ≈ P 2#P 2#P 2.
Пусть M 2 | триангулированная замкнутая двумерная поверхность;
v | число вершин триангуляции, e | число рёбер, f | число граней. 
Эйлеровой характеристикой поверхности M 2 называют число
(M 2) = v − e + f.
57. Докажите, что (M1#M2) = (M1) + (M2) − 2.
58. Докажите, что (mT 2) = 2 − 2m и (nP 2) = 2 − n.
59. Докажите, что замкнутая ориентируемая двумерная поверхность 
не может быть гомеоморфна замкнутой неориентируемой дву-
мерной поверхности.
60. Докажите, что эйлеровы характеристики двух гомеоморфных
замкнутых двумерных поверхностей одинаковы. (Указание. Рассмотрите 
две триангуляции одной и той же поверхности и пошевелите
одну из них так, чтобы рёбра этих двух триангуляций пересекались
трансверсально.)
61. Какой двумерной поверхности гомеоморфно факторпростран-
ство S1 ×S1 по следующему отношению эквивалентности: (x; y)∼(y; x)?
62. Можно ли граф K3;3 вложить в лист Мёбиуса?
63. Можно ли граф K5 вложить в тор?
64. Докажите, что поверхности nT 2 и mP 2 можно получить из
4n-угольника и 2m-угольника, отождествляя их стороны соответствующим 
образом.
65. а) Докажите, что на поверхности nP 2 существует замкнутая
кривая 
, после разрезания вдоль которой поверхность становится ориентируемой.

б) Докажите, что если n чётно, то окрестность кривой 
 гомео-
морфна цилиндру, а если n нечётно | то листу Мёбиуса.
66. Предположим, что на сфере с g ручками M 2 можно расположить
p несамопересекающихся замкнутых кривых C1; : : : ; Cp так, чтобы они
попарно не пересекались и не разбивали M 2 (т. е. чтобы множество
M 2 \ (C1 ∪ : : : ∪ Cp) было связно), но любые p + 1 такие кривые разбивают 
M 2 на части. Докажите, что p = g.
67. Докажите, что на замкнутой неориентируемой поверхности nP 2
можно расположить n попарно не пересекающихся листов Мёбиуса, но
нельзя расположить n + 1 попарно непересекающихся листов Мёбиуса.
68. Докажите, что граф K6 можно расположить на проективной
плоскости P 2, а графы K7 и K4;4 можно расположить на торе.
10