Задачи по топологии

НЕЗАВИСИМЫЙ МОСКОВСКИЙ УНИВЕРСИТЕТ
В. В. Прасолов
Задачи по топологии
Электронное издание
Москва
Издательство МЦНМО
2016

УДК 515.14
ББК 22.15
П70
Прасолов В. В.
Задачи по топологии
Электронное издание
М.: МЦНМО, 2014
38 с.
ISBN 978-5-4439-3009-1
В этой брошюре содержатся задачи к трехсеместровому курсу
топологии, который неоднократно читался для студентов первого и
второго курса НМУ.
В первом семестре обсуждаются топологические пространства,
фундаментальная группа и накрытия, во втором семестре | CW-комплексы, многообразия, гомотопические группы и расслоения, в третьем | гомологии и когомологии.
Подготовлено на основе книги: В. В. Прасолов. Задачи
по топологии. | 2-е изд., стереотип. | М.: МЦНМО, 2016. |
ISBN 978-5-4439-1009-3.
Издательство Московского центра
непрерывного математического образования
119002, Москва, Большой Власьевский пер., 11,
тел. (499) 241-08-04.
http://www.mccme.ru
ISBN 978-5-4439-3009-1
c
⃝Прасолов В. В., 2016
c
⃝МЦНМО, 2016

ОГЛАВЛЕНИЕ
1. Общая топология. Фундаментальная группа и накрытия
4
1.1.
Топология Rn. Планарные графы . . . . . . . . . . . . . .
4
1.2.
Топологические пространства . . . . . . . . . . . . . . . .
6
1.3.
Симплициальные и клеточные комплексы . . . . . . . . .
8
1.4.
Двумерные поверхности
. . . . . . . . . . . . . . . . . . .
9
1.5.
Гомотопии . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
11
1.6.
Векторные поля на плоскости . . . . . . . . . . . . . . . .
12
1.7.
Векторные поля на двумерных поверхностях. Теорема
Уитни|Грауштейна
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
14
1.8.
Фундаментальная группа
. . . . . . . . . . . . . . . . . .
15
1.9.
Накрывающие пространства . . . . . . . . . . . . . . . . .
16
2. Гомотопические свойства клеточных комплексов
18
2.1.
Гомотопии. CW-комплексы
. . . . . . . . . . . . . . . . .
18
2.2.
Общее положение. n-связные пространства . . . . . . . .
19
2.3.
Расслоения . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
20
2.4.
Точная последовательность расслоения
. . . . . . . . . .
21
2.5.
Гомотопически простые пространства. H-пространства
22
2.6.
Многообразия. Ориентируемость . . . . . . . . . . . . . .
23
2.7.
Вложения и погружения. Теорема Сарда
. . . . . . . . .
24
2.8.
Степень отображения. Индекс пересечения . . . . . . . .
25
2.9.
Векторные поля. Конструкция Понтрягина . . . . . . . .
26
2.10. Теория Морса
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
27
3. Гомологии и когомологии
29
3.1.
Гомологии и когомологии с коэффициентами в поле . . .
29
3.2.
Точная последовательность пары . . . . . . . . . . . . . .
30
3.3.
Клеточные гомологии . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
31
3.4.
Универсальные коэффициенты
. . . . . . . . . . . . . . .
32
3.5.
Фундаментальный класс. Двойственность Пуанкаре . . .
32
3.6.
Умножение в когомологиях
. . . . . . . . . . . . . . . . .
34
3.7.
Двойственность Лефшеца и двойственность Александера 34
3.8.
Теорема Кюннета . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
35
3.9.
Теорема Лефшеца. Теорема Гуревича
. . . . . . . . . . .
36
3.10. Теорема Гуревича. Теория препятствий . . . . . . . . . .
37
Рекомендуемая литература
38
3