Алгебраическая топология с геометрической точки зрения

А. Б. Скопенков

Алгебраическая топология
с геометрической точки зрения

Электронное издание

Москва
Издательство МЦНМО
2016

УДК 515.14
ББК 22.152
С44

Скопенков А. Б.
Алгебраическая топология с геометрической точки зрения
Электронное издание
М.: МЦНМО, 2016
269 с.
ISBN 978-5-4439-2477-9

В книге рассматриваются важнейшие наглядные объекты математики, важные для приложений: маломерные многообразия и векторные поля на них, непрерывные отображения и их деформации.
Показано, как при решении геометрических проблем естественно возникают основные идеи, понятия и методы алгебраической топологии:
группы гомологий, препятствия и инварианты, характеристические
классы.
Основные идеи представлены на простейших частных случаях,
свободных от технических деталей, со сведением к необходимому минимуму алгебраического языка. За счет этого книга доступна для начинающих, хотя содержит красивые сложные результаты. Для ее изучения желательно минимальное знакомство с графами, векторными
полями и поверхностями, хотя все необходимые определения приводятся в начале. Часть материала преподнесена в виде задач, к большинству из которых приведены указания.
Книга предназначена для студентов, аспирантов, работников науки и образования, изучающих и применяющих алгебраическую топологию.

Подготовлено на основе книги:
Скопенков А. Б. Алгебраическая топология с геометрической точки зрения. — М: МЦНМО, 2015 — ISBN 978-5-4439-0293-7.

Издательство Московского центра
непрерывного математического образования
119002, Москва, Большой Власьевский пер., 11,
тел. (499) 241–08–04.
http://www.mccme.ru

ISBN 978-5-4439-2477-9
c⃝ Скопенков А. Б., 2016.
c⃝ МЦНМО, 2016.

Посвящается памяти Юрия Петровича Соловьёва

Содержание

§ 1. Введение
1.1. Зачем эта книга
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
8
1.2. Содержание и используемый материал . . . . . . . . . . . . . .
11
1.3. Для специалистов . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
13
1.4. Благодарности . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
14
1.5. Обозначения и соглашения . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
15
1.6. Словарик по теории графов
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
15
1.7. Примеры поверхностей . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
16

§ 2. Наглядные задачи о поверхностях
2.1. Наглядные задачи о графах на поверхностях . . . . . . . . . .
21
2.2. Применения неравенства Эйлера
. . . . . . . . . . . . . . . . .
24
2.3. Наглядные задачи о разрезаниях . . . . . . . . . . . . . . . . .
26
2.4. Топологическая эквивалентность (гомеоморфность) . . . . . .
27
2.5. Топологическая эквивалентность дисков с ленточками . . . . .
31
Ответы, указания и решения к некоторым задачам . . . . . . . . .
33

§ 3. Векторные поля на плоскости
3.1. Интересные примеры и теоремы . . . . . . . . . . . . . . . . . .
41
3.2. Гомотопность векторных полей и непрерывных отображений .
43
3.3. Число оборотов вектора и его применения . . . . . . . . . . . .
45
3.4. Гомотопическая классификация векторных полей
. . . . . . .
48
Ответы, указания и решения к некоторым задачам . . . . . . . . .
50

§ 4. Векторные поля на двумерных поверхностях
4.1. Касательные векторные поля для сферы . . . . . . . . . . . . .
55
4.2. Нормальные векторные поля и гомотопии для сферы . . . . .
56
4.3. Векторные поля и гомотопии для тора . . . . . . . . . . . . . .
58
4.4. Векторные поля и гомотопии для других поверхностей
. . . .
59
4.5. Обобщение на двумерные подмногообразия . . . . . . . . . . .
61
4.6. Касательные векторные поля общего положения . . . . . . . .
64
4.7. Построение касательных векторных полей по триангуляции
.
67
4.8. Нормальные векторные поля для двумерных поверхностей . .
71
4.9. Построение гомологического инварианта векторных полей
. .
73
Ответы, указания и решения к некоторым задачам . . . . . . . . .
76

Содержание
5

§ 5. Двумерные многообразия
5.1. Гомеоморфность графов
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
80
5.2. Двумерные симплициальные комплексы и их гомеоморфность
81
5.3. Локально евклидовы двумерные комплексы . . . . . . . . . . .
84
5.4. Ориентируемость локально евклидовых 2-комплексов . . . . .
86
5.5. Эйлерова характеристика 2-комплексов
. . . . . . . . . . . . .
87
5.6. Классификация двумерных многообразий . . . . . . . . . . . .
89
5.7. Препятствие Уитни к вложимости
. . . . . . . . . . . . . . . .
91
Ответы, указания и решения к некоторым задачам . . . . . . . . .
93

§ 6. Гомологии двумерных многообразий
6.1. Критерий ориентируемости . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
94
6.2. Ориентируемость: циклы . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
95
6.3. Ориентируемость: гомологичность циклов . . . . . . . . . . . .
97
6.4. Ориентируемость: гомологии и первый класс Штифеля—Уитни 99
6.5. Форма пересечений
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 101
Ответы, указания и решения к некоторым задачам . . . . . . . . . 104

§ 7. Инволюции
7.1. Примеры инволюций
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 107
7.2. Классификация инволюций . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 110
7.3. Другое доказательство теоремы классификации инволюций
. 112

§ 8. Векторные поля на многомерных поверхностях
8.1. Векторные поля на подмножествах евклидова пространства
. 115
8.2. Поверхности и векторные поля на них . . . . . . . . . . . . . . 118
8.3. Отображения трехмерной сферы в двумерную
. . . . . . . . . 121
8.4. Классификация касательных векторных полей . . . . . . . . . 124
Ответы, указания и решения к некоторым задачам . . . . . . . . . 125

§ 9. Параллелизуемость трехмерных поверхностей
9.1. Исторические замечания и формулировки результатов . . . . . 129
9.2. Погружения и лемма о тривиальности . . . . . . . . . . . . . . 131
9.3. Характеристические классы для 3-многообразий . . . . . . . . 134
9.4. Простое доказательство теоремы Штифеля . . . . . . . . . . . 139
Ответы, указания и решения к некоторым задачам . . . . . . . . . 140

§ 10. Трехмерные многообразия
10.1. Трехмерные комплексы и их гомеоморфность . . . . . . . . . 144
10.2. Трехмерные многообразия
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 145
10.3. Край, ориентируемость, эйлерова характеристика . . . . . . . 149
10.4. Гомологии трехмерных многообразий . . . . . . . . . . . . . . 150

Содержание

10.5. Фундаментальная группа и накрытия (набросок) . . . . . . . 153
10.6. Конструкции трехмерных многообразий (набросок) . . . . . . 158
Ответы, указания и решения к некоторым задачам . . . . . . . . . 159

§ 11. Наборы векторных полей
11.1. О существовании наборов касательных полей
. . . . . . . . . 162
11.2. Характеристические классы для 4-многообразий
. . . . . . . 163
11.3. Определение групп гомологий и формы пересечений . . . . . 166
11.4. Характеристические классы для n-многообразий
. . . . . . . 169
Ответы, указания и решения к некоторым задачам . . . . . . . . . 171

§ 12. Непогружаемость и невложимость
12.1. Основные результаты о непогружаемости и невложимости . . 175
12.2. Доказательства непогружаемости
. . . . . . . . . . . . . . . . 177
12.3. Нормальные классы Уитни как препятствия (набросок) . . . 181
12.4. Степени двойки и классы Штифеля—Уитни (набросок)
. . . 182
Ответы, указания и решения к некоторым задачам . . . . . . . . . 185

§ 13. Расслоения и их применения
13.1. Простейшие расслоения . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 191
13.2. Векторные расслоения . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 193
13.3. Классификация расслоений (набросок) . . . . . . . . . . . . . 196
13.4. Приложение: классификация сечений . . . . . . . . . . . . . . 199
13.5. Приложение: применение к гамильтоновым системам . . . . . 202
Ответы, указания и решения к некоторым задачам . . . . . . . . . 203

§ 14. Общие свойства гомологий
14.1. Двойственность Пуанкаре . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 204
14.2. Гомологии пары, вырезание и точная последовательность . . 207
14.3. Другие точные последовательности . . . . . . . . . . . . . . . 209
14.4. Двойственность Александера и ее применения . . . . . . . . . 211
14.5. Двойственность Александера—Понтрягина . . . . . . . . . . . 214
Ответы, указания и решения к некоторым задачам . . . . . . . . . 216

§ 15. Гомотопическая классификация и ее применения
15.1. Введение. Групповая структура
. . . . . . . . . . . . . . . . . 221
15.2. Точная последовательность расслоения . . . . . . . . . . . . . 224
15.3. Классификация погружений
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . 226
15.4. Набросок доказательства теоремы Кервера . . . . . . . . . . . 229
15.5. Гомотопические группы сфер (набросок) . . . . . . . . . . . . 232
15.6. Реализация циклов подмногообразиями (набросок) . . . . . . 233
Ответы, указания и решения к некоторым задачам . . . . . . . . . 235

Содержание
7

§ 16. Препятствия к кобордантности
16.1. Введение . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 237
16.2. Эйлерова характеристика . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 238
16.3. Сигнатура . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 239
16.4. Числа Штифеля—Уитни . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 241
16.5. Числа Понтрягина и формула Хирцебруха . . . . . . . . . . . 243
16.6. Пример сферы Милнора . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 244
16.7. Набросок доказательства теоремы Кервера—Милнора
. . . . 247
Ответы, указания и решения к некоторым задачам . . . . . . . . . 249

§ 17. Заузливания и гомотопии
17.1. Определение изотопии и инвариант дополнения . . . . . . . . 253
17.2. Теоремы Уайтхеда и Гуревича . . . . . . . . . . . . . . . . . . 256
17.3. Приложение: приклеивающий инвариант . . . . . . . . . . . . 258
17.4. Приложение: другие категории и коразмерность 1 . . . . . . . 260
Ответы, указания и решения к некоторым задачам . . . . . . . . . 262

Литература . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 264

§ 1. Введение

Nothing was changed, but now it made sense.

U. K. Le Guin. The Beginning Place1

1.1. Зачем эта книга

Лучшие результаты любой математической теории — важные и интересные теоремы, в формулировках которых нет понятий из этой теории, но при доказательствах которых без нее не обойтись. К сожалению, в большинстве учебников такие результаты недостаточно доступны. Формулировки красивых результатов и важных проблем, ради
которых была придумана теория, приводятся только после продолжительного изучения этой теории (или не приводятся совсем). Это способствует появлению представления о математике как о науке, изучающей
немотивированные понятия и теории. Такое представление принижает
ценность математики.
Таких блистательных результатов в алгебраической топологии много. Для удобства читателя в этой книге они выделены жирным шрифтом и, как правило, собраны в начале параграфов (вместе с краткой историей вопроса). Алгебраическая топология является фундаментальной частью математики и имеет применения за ее пределами. Как и в любой фундаментальной теории, ее основные мотивировки
и идеи можно доступно изложить человеку, не имеющему глубоких специальных познаний. Такому изложению посвящена эта книга (вместе
с [ST34, BE82, Pr15, An03, PS97, E84, FT07, Sk09, Sk, Sk′] и другими
книгами). Ее особенность — возможность познакомиться с этими мотивировками и идеями на «олимпиадных» примерах, т. е. на простейших
частных случаях, свободных от технических деталей, и со сведением
к необходимому минимуму алгебраического языка. Благодаря этому
я надеюсь сделать алгебраическую топологию более доступной и интересной — в первую очередь студентам и работающим в других областях
математикам.
В книге рассматриваются важнейшие наглядные объекты математики, полезные для приложений: маломерные многообразия и векторные
поля на них, непрерывные отображения и их деформации. Приводятся

1Ничего не изменилось, но теперь все было понятно. (У. К. Ле Гуин. Изначальное
место. Пер. автора.)

1.1. Зачем эта книга
9

естественные построения для решения интересных топологических проблем и изящные доказательства красивых теорем с ясными и доступными формулировками. Показано, как при этом возникают полезные алгебраические понятия (группы гомологий, характеристические классы
и т. д.)1. Именно на таких естественных построениях и доказательствах
можно по-настоящему прочувствовать более общий теоретический материал (а при наличии некоторой математической культуры — и воссоздать его). Изучение, начинающееся с длительного освоения немотивированных общих понятий и теорий, делает малодоступными замечательные методы алгебраической топологии2. Часто изучившие курс
могут воспроизвести сложную теорию, но не могут применить ее в простейшей ситуации, если не указано, что этой теорией нужно воспользоваться.
Новые вводимые понятия мотивированы тем, что интересно человеку, не считающему их интересными «сами по себе», и человеку, не интересующемуся специально топологией (но уже имеющему некоторое математическое образование). Например, доказательством красивой теоремы, решением важной задачи, осмыслением естественной идеи. Определения новых понятий естественно появляются (и будут четко сформулированы) в этой ситуации, и потому их не обязательно знать заранее.
В то же время для тех, кто уже изучал алгебраическую топологию, ее
применение к конкретным задачам обычно оказывается нетривиальным
и интересным.
Изложение построено «от частного к общему», «от простого к сложному», см. п. 1.2. Путь познания в какой-то мере повторяет путь развития. Такое изложение продолжает традицию, восходящую к древно
1Важнейшие геометрические проблемы, ради которых была создана алгебраическая топология, в свою очередь были мотивированы предыдущим развитием математики (причем не только геометрии, но и анализа и алгебры). Мотивировать
эти геометрические проблемы не входит в цели настоящей книги. Я либо привожу ссылки, либо апеллирую к непосредственной геометрической любознательности
читателя.
2Приведу лишь один пример из многих. Еще в XIX веке был придуман очень
простой, наглядный и полезный инвариант многообразий — форма пересечений,
т. е. умножение в гомологиях поверхностей (п. 6.5, [Hi95]). Замечательным открытием Колмогорова и Александера 1930-х годов явилось обобщение этого инварианта
на произвольные полиэдры (умножение в когомологиях). Умножение Колмогорова—Александера менее наглядно и определяется более громоздко, чем форма пересечений, но зато имеет более продвинутые применения. Определение формы пересечений через умножение Колмогорова—Александера делает малодоступными ее
замечательные применения. Поэтому форму пересечений иногда просто переоткрывают [Mo89].