Книжная полка Сохранить
Размер шрифта:
А
А
А
|  Шрифт:
Arial
Times
|  Интервал:
Стандартный
Средний
Большой
|  Цвет сайта:
Ц
Ц
Ц
Ц
Ц
Впервые на сайте?
Регистрация Вход

0
Мы в социальных сетях
Каталог Каталог
Ознакомиться

Задачи и теоремы линейной алгебры

Покупка
Тематика: Алгебра,линейная алгебра и аналитическая геометрия
Издательство: Московский Центр Непрерывного Математического Образования
Автор: Прасолов Виктор Васильевич
Год издания: 2016
Кол-во страниц: 576
Дополнительно
Вид издания: Учебное пособие
Уровень образования: ВО - Бакалавриат
ISBN: 978-5-4439-2475-5
Артикул: 682455.01.99
Как получить доступ?
Студенту или преподавателю
Отправьте заявку на получение ключа доступа в библиотеку Вашего учебного заведения
Представителю организации
Отправьте заявку на подключение к Znanium по договору
  • Аннотация
  • Оглавление
  • Коллекции
  • Классификаторы
  • Бибзапись
Изложены с полными доказательствами теоремы линейной алгеб- ры, полученные за последние годы и не вошедшие в учебную лите- ратуру, но вполне доступные студентам младших курсов. Приведены также нестандартные изящные доказательства известных теорем. На- писанная четко, простым и ясным языком, книга блестяще подтвер- ждает мысль об изменчивом облике линейной алгебры -- этого старо- го раздела математики, постоянно обогащаемого в процессе решения конкретных задач. Новое издание существенно переработано и рас- ширено по сравнению с предыдущим. Для научных работников -- математиков и физиков. Может быть использована аспирантами и студентами соответствующих специаль- ностей.
  Предисловия
12
  Основные обозначения и соглашения
15
  Глава 1. Определители
19
  Историческая справка
19
  § 1. Вычисление определителей
21
  1.1. Определение
21
  1.2. Некоторые свойства определителя
24
  1.3. Определитель произведения матриц
25
  1.4. Правило Крамера
26
  1.5. Определитель Вандермонда
26
  1.6. Интерполяционный многочлен Лагранжа
27
  1.7. Определитель, сводящийся к определителю Вандермонда
28
  1.8. Определитель Коши
29
  1.9. Матрица Фробениуса
31
  1.10. Циркулянт
31
  1.11. Матрица Якоби
34
  1.12. Определитель Смита
35
  1.13. Определитель преобразованной матрицы
36
  1.14. Степени степенного ряда
37
  1.15. Биномиальные определители
38
  § 2. Миноры и алгебраические дополнения
44
  2.1. Определение минора
44
  2.2. Ранг матрицы
44
  2.3. Формула Бине–Коши
45
  2.4. Алгебраическое дополнение минора
46
  2.5. Присоединённая матрица
47
  2.6. Миноры присоединённой матрицы. Тождество Якоби
49
  2.7. Тождество Льюиса Кэрролла
51
  2.8. Ассоциированная матрица
52
  2.9. Обобщённое тождество Сильвестра
52
  2.10. Миноры матрицы Якоби
54
  2.11. Миноры матрицы Грина
54
  2.12. Вполне положительные матрицы
55
  2.13. Теорема Митчелла
56
  2.14. Теорема Чеботарёва
58
  § 3. Дополнение по Шуру
61
  3.1. Определитель блочной матрицы
61
  3.2. Обращение блочной матрицы
63
  3.3. Теорема Хейнсворт
64
  3.4. Пфаффиан
65
  § 4. Симметрические функции. Суммы степеней. Числа Бернулли
66
  4.1. Примеры симметрических многочленов
67
  4.2. Основная теорема о симметрических многочленах
69
  4.3. Сумма степеней
71
  4.4. Теорема Фаульгабера–Якоби
72
  4.5. Числа Бернулли
74
  4.6. Функции Шура
76
  4.7. Формула Джамбелли
79
  4.8. Скалярное произведение в пространстве симметрических многочленов
80
  4.9. Комбинаторное определение функций Шура
82
  Решения
85
  Глава 2. Линейные пространства
105
  Историческая справка
105
  § 5. Двойственное пространство. Ортогональное дополнение
109
  5.1. Линейно независимые векторы
109
  5.2. Двойственное пространство
111
  5.3. Двойственный оператор
112
  5.4. Отождествление V и V * при наличии метрики
112
  5.5. Системы линейных уравнений
113
  5.6. Разрезание прямоугольника на квадраты
114
  5.7. Количество треугольников среди частей, на которые прямые разрезают плоскость
116
  5.8. Аннулятор
117
  5.9. Скалярное произведение в пространстве матриц
118
  5.10. Аффинное пространство
119
  § 6. Ядро и образ оператора. Факторпространство
123
  6.1. Ядро и образ оператора
123
  6.2. Альтернатива Фредгольма
124
  6.3. Теорема Кронекера–Капелли
125
  6.4. Факторпространство
127
  6.5. Точные последовательности
127
  § 7. Базисы. Линейная независимость
129
  7.1. Характеристический многочлен оператора
129
  7.2. Ориентация
130
  7.3. Решётки
131
  7.4. Свободные абелевы группы
132
  7.5. Теорема об обмене векторов базисов
133
  7.6. Разбиение Rn на многогранные углы
134
  7.7. Линейная зависимость степеней оператора
136
  § 8. Ранг матрицы
139
  8.1. Неравенства для ранга матрицы
139
  8.2. Другое определение ранга
139
  8.3. Подпространства матриц ограниченного ранга
140
  § 9. Подпространства. Ортогонализация
144
  9.1. Размерность пересечения двух пространств
144
  9.2. Ортогонализация Грама–Шмидта
144
  9.3. Ортогональные проекции
146
  9.4. Симметрия относительно подпространства
147
  9.5. Угол между вектором и подпространством
149
  9.6. Проекции ортонормированных базисов
150
  9.7. Равные проекции ортогональных векторов
152
  9.8. Определители, составленные из скалярных произведений
154
  9.9. Системы подпространств
155
  9.10. Теорема Шерка
156
  § 10. Ортогональные многочлены
160
  10.1. Общие свойства
160
  10.2. Многочлены Лежандра
161
  10.3. Многочлены Эрмита
163
  10.4. Многочлены Чебышёва
165
  § 11. Комплексификация и овеществление. Эрмитовы пространства
166
  11.1. Комплексификация
166
  11.2. Овеществление
167
  11.3. Эрмитовы пространства
168
  11.4. Унитарные, эрмитовы и косоэрмитовы операторы
169
  11.5. Нормальные операторы
170
  11.6. Комплексные структуры
171
  11.7. Комплексно сопряжённое пространство
173
  11.8. Метрика Фубини–Штуди
174
  11.9. Кэлеров угол
175
  § 12. Нормированные пространства
178
  12.1. Тождество параллелограмма
179
  12.2. Эквивалентные нормы
180
  12.3. Метрическое определение середины отрезка
182
  12.4. Изометрические отображения
184
  12.5. Неравенства для норм
185
  12.6. Двойственная норма
186
  Решения
190
  Глава 3. Канонические формы матриц и линейных операторов
205
  § 13. След и собственные значения оператора
205
  13.1. След
205
  13.2. Собственные векторы и собственные значения
205
  13.3. Диагонализируемые операторы
206
  13.4. Спектр матрицы Якоби
208
  13.5. Собственные значения полинома от матрицы
209
  13.6. Собственные значения матриц AB и BA
211
  13.7. Собственные значения и суммы элементов столбцов
211
  13.8. Матрица Каца
213
  13.9. Теорема Годдарда–Шнайдера
213
  § 14. Жорданова нормальная форма
216
  14.1. Подобные матрицы
216
  14.2. Существование и единственность жордановой формы
217
  14.3. Возведение матрицы в степень
220
  14.4. Жорданова форма над R
220
  14.5. Аддитивная и мультипликативная запись жордановой формы
221
  14.6. Классификация Кронекера пар линейных операторов
223
  § 15. Минимальный многочлен и характеристический многочлен
229
  15.1. Минимальный многочлен
229
  15.2. Теорема Гамильтона–Кэли
231
  15.3. Критерий совпадения характеристического и минимального многочленов
231
  15.4. Обобщения теоремы Гамильтона–Кэли
232
  § 16. Каноническая форма Фробениуса
235
  16.1. Циклические клетки
235
  16.2. Характеристический многочлен циклической клетки
236
  § 17. Приведение диагонали к удобному виду
237
  17.1. Все диагональные элементы, кроме одного, равны нулю
237
  17.2. Все диагональные элементы равны
239
  17.3. Все диагональные элементы ненулевые
240
  § 18. Полярное разложение
242
  18.1. Существование полярного разложения
242
  18.2. Разложение UDW
243
  § 19. Разложения матриц
244
  19.1. Разложение Шура
244
  19.2. Разложение Ланцоша
245
  19.3. Произведение двух симметрических матриц
245
  § 20. Нормальная форма Смита. Элементарные делители матриц
247
  20.1. Нормальная форма Смита
247
  20.2. Элементарные делители матриц
249
  20.3. Целочисленные решения систем линейных уравнений
249
  20.4. Классификация абелевых групп
251
  Решения
252
  Глава 4. Матрицы специального вида
261
  § 21. Симметрические и эрмитовы матрицы
261
  21.1. Квадратичные и эрмитовы формы
261
  21.2. Сигнатура квадратичной формы
263
  21.3. Приведение к диагональному виду
265
  21.4. Квадратный корень из неотрицательно определённой матрицы
266
  21.5. Теорема Куранта–Фишера
266
  21.6. Собственные значения произведения двух эрмитовых матриц
267
  § 22. Одновременное приведение пары эрмитовых форм к диагональному виду
270
  22.1. Случай положительно определённой матрицы
270
  22.2. Случай знакоопределённой матрицы
271
  22.3. Ещё один случай
272
  § 23. Кососимметрические матрицы
274
  23.1. Простейшие свойства
274
  23.2. Канонический вид кососимметрической формы
274
  23.3. Канонический вид кососимметрического оператора
275
  § 24. Ортогональные матрицы и преобразование Кэли
277
  24.1. Преобразование Кэли
277
  24.2. Обобщённое преобразование Кэли
278
  § 25. Нормальные матрицы
280
  25.1. Ядро и образ нормального оператора
280
  25.2. Собственные векторы нормального оператора
281
  25.3. Полиномиальное выражение A* через A
281
  § 26. Нильпотентные матрицы
282
  26.1. Характеристический и минимальный многочлены
282
  26.2. Критерии нильпотентности
283
  26.3. Диаграмма Юнга нильпотентной матрицы
284
  § 27. Проекторы
285
  27.1. Канонический вид матрицы проектора
285
  27.2. Эрмитовы проекторы
285
  27.3. Матрица проектора на подпространство
286
  27.4. Определитель суммы проекторов
287
  § 28. Инволюции
290
  28.1. Канонический вид матрицы инволюции
290
  28.2. Произведение двух инволюций
290
  Решения
293
  Глава 5. Полилинейная алгебра
303
  § 29. Полилинейные отображения. Тензорные произведения
303
  29.1. Определения
303
  29.2. Билинейные формы
304
  29.3. Изоморфизм V * ⊗ W → Hom(V , W )
305
  29.4. Валентность тензора
306
  29.5. Тензорное произведение отображений
307
  29.6. Матричные уравнения
308
  29.7. Подпространство, соответствующее полилинейной функции
310
  § 30. Симметрические и кососимметрические тензоры
311
  30.1. Симметризация и альтернирование
311
  30.2. Алгебра Грассмана
313
  30.3. Кососимметрические функции
314
  30.4. Свойства внешнего произведения
315
  30.5. Тензорная степень оператора
316
  30.6. Отображение Ходжа
318
  30.7. Векторное произведение
320
  § 31. Пфаффиан
323
  31.1. Определитель кососимметрической матрицы
323
  31.2. Пфаффиан матриц специального вида
324
  § 32. Разложимые тензоры
326
  32.1. Разложимый тензор определяет подпространство
326
  32.2. Соотношения Плюккера
328
  32.3. Альтернатива соотношениям Плюккера
331
  32.4. Свойства отображения d = i(v)
332
  § 33. Тензорный ранг
334
  33.1. Тензорный ранг в V ⊗ W
334
  33.2. Алгоритм Штрассена
335
  33.3. Тензорный ранг в V1 ⊗ V2 ⊗ V3
336
  § 34. Линейные отображения пространств матриц
337
  34.1. Отображения, сохраняющие ранг 1
338
  34.2. Отображения, сохраняющие определитель
339
  34.3. Отображения, сохраняющие собственные значения
340
  34.4. Отображения, сохраняющие невырожденность
341
  § 35. Образ полилинейного отображения
342
  35.1. Два примера
342
  35.2. Образ отображения в двумерное подпространство
343
  Решения
345
  Глава 6. Матричные неравенства
353
  § 36. Неравенства для симметрических и эрмитовых матриц
353
  36.1. Простейшие неравенства
353
  36.2. Неравенство Адамара
354
  36.3. Определитель линейной комбинации
355
  36.4. Отношение миноров
357
  § 37. Неравенства для собственных значений
359
  37.1. Неравенство Шура
359
  37.2. Сумма двух эрмитовых матриц
360
  37.3. Произведение двух эрмитовых проекторов
360
  37.4. Сингулярные значения
361
  37.5. Круги Гершгорина
362
  § 38. Неравенства для норм матриц
368
  38.1. Операторная норма
368
  38.2. Евклидова норма
368
  38.3. Наилучшее приближение эрмитовой или унитарной матрицей
369
  38.4. Наилучшее приближение невырожденной матрицы вырожденной матрицей
370
  § 39. Дополнение по Шуру и произведение Адамара
371
  39.1. Дополнение по Шуру положительно определённой матрицы
371
  39.2. Произведение Адамара
373
  § 40. Неотрицательные матрицы
374
  40.1. Неразложимые матрицы
374
  40.2. Экстремальные векторы
375
  40.3. Канонический вид неразложимой матрицы
376
  40.4. Примитивные матрицы
378
  40.5. Теорема Стилтьеса–де Рама
380
  § 41. Дважды стохастические матрицы
382
  41.1. Простейшие свойства
382
  41.2. Теорема Биркгофа
382
  41.3. Неравенство Г. Вейля
385
  41.4. Теорема Гофмана–Виландта
385
  Решения
388
  Глава 7. Коммутаторы
397
  § 42. Коммутирующие операторы
397
  42.1. Матрицы, перестановочные с данной
397
  42.2. Семейства коммутирующих операторов
399
  42.3. Перестановочность с матрицей A влечёт перестановочность с матрицей B
401
  42.4. Теорема Шура
402
  § 43. Свойства коммутаторов
404
  43.1. Определение и простейшие свойства
404
  43.2. Представление матриц в виде коммутаторов
405
  43.3. Равенство ads A X = 0 влечёт равенство ads X B = 0
406
  43.4. Одновременная триангулируемость
407
  43.5. Триангулируемость операторов с рангом коммутатора, равным 1
409
  § 44. Теория реплик
411
  44.1. Определение и основные свойства
411
  44.2. Полупростая и нильпотентная составляющая
412
  44.3. Комплексификация
413
  44.4. Критерий нильпотентности
414
  § 45. Элементы теории алгебр Ли
415
  45.1. Нильпотентные алгебры Ли
417
  45.2. Разрешимые алгебры Ли
418
  45.3. Представления алгебры Ли sl(2, C)
420
  45.4. Критерий Картана
422
  Решения
425
  Глава 8. Матрицы в алгебре и анализе
431
  § 46. Кватернионы и числа Кэли. Алгебры Клиффорда
431
  46.1. Удвоение алгебры
431
  46.2. Кватернионы
432
  46.3. Кватернионы и простейшие алгебры Ли
433
  46.4. Кватернионы и движения
434
  46.5. Изоморфизм H ⊗ H и M4(R)
436
  46.6. Числа Кэли
437
  46.7. Векторное произведение чисел Кэли
439
  46.8. Антикоммутирующие комплексные структуры
440
  46.9. Доказательство теоремы о комплексных структурах
443
  § 47. Матричные алгебры
446
  47.1. Представления матричных алгебр
446
  47.2. Теорема Бернсайда
447
  § 48. Конечные поля
448
  48.1. Линейные пространства над конечными полями
448
  48.2. Комбинаторика подпространств
448
  48.3. Минимальный многочлен вектора
449
  48.4. Квадратичные формы над конечными полями
450
  48.5. Квадратичные формы над полями характеристики 2
452
  48.6. Инвариант Арфа квадратичной формы
455
  § 49. Результант
457
  49.1. Матрица Сильвестра
457
  49.2. Выражение результанта через корни
458
  49.3. Матрица Безу
459
  49.4. Понижение порядка матрицы для вычисления результанта
461
  49.5. Дискриминант
462
  § 50. Теорема Витта
464
  50.1. Пространства Артина
464
  50.2. Доказательство теоремы Витта
466
  § 51. Обобщённая обратная матрица. Матричные уравнения
467
  51.1. Обобщённая обратная матрица
467
  51.2. Решение несовместных систем уравнений
469
  51.3. Матричные уравнения
470
  § 52. Ганкелевы и тёплицевы матрицы
473
  52.1. Корни многочленов
473
  52.2. Ганкелевы матрицы и рациональные функции
475
  § 53. Функции от матриц. Дифференцирование матриц
477
  53.1. Экспонента
477
  53.2. Дифференцирование матриц
478
  53.3. Системы дифференциальных уравнений
479
  53.4. Вронскиан
480
  § 54. Пары Лакса и интегрируемые системы
483
  54.1. Уравнение Лакса
483
  54.2. Цепочка Тоды
484
  54.3. Уравнения движения твёрдого тела
485
  54.4. Уравнения Вольтерра
486
  § 55. Матрицы с предписанными собственными значениями
487
  55.1. Фиксированная диагональ
487
  55.2. Фиксированные внедиагональные элементы
489
  55.3. Предписанная диагональ
491
  § 56. Числовой образ оператора
492
  56.1. Теорема Тёплица–Хаусдорфа
492
  56.2. Числовой образ нормального оператора
494
  56.3. Числовой образ и нормальные расширения
494
  56.4. Приложение к коммутаторам
495
  56.5. Числовой образ вещественных квадратичных форм
496
  56.6. Отображение, заданное двумя эрмитовыми матрицами
498
  Решения
503
  Глава 9. Некоммутативная линейная алгебра
515
  § 57. Матрицы с некоммутирующими элементами
515
  57.1. Векторные пространства над телами
515
  57.2. Элементарные преобразования матриц
520
  57.3. Нормальная форма Брюа
522
  57.4. Коммутант группы GL(n, K)
524
  § 58. Определители и собственные значения
526
  58.1. Определитель Дьёдонне
526
  58.2. Тождество Капелли
531
  58.3. Собственные значения
535
  § 59. Кватернионные пространства
537
  59.1. Кватернионная структура
537
  59.2. Гиперэрмитовы матрицы
538
  59.3. Унитарные матрицы
541
  59.4. Правые собственные значения
542
  59.5. Разложение Шура
543
  59.6. Определитель Штуди
545
  59.7. Определитель Дьёдонне
546
  59.8. Определитель Мура
548
  59.9. Топология пространства GL(n, H)
549
  59.10. Левые собственные значения
551
  Решения
552
  Литература
555
  Предметный указатель
565
Тематика:
ББК:
УДК:
ОКСО:
ГРНТИ:
Прасолов, В. В. Задачи и теоремы линейной алгебры: Учебное пособие / Прасолов В.В. - Москва :МЦНМО, 2016. - 576 с.: ISBN 978-5-4439-2475-5. - Текст : электронный. - URL: https://znanium.com/catalog/product/958629 (дата обращения: 31.05.2025). – Режим доступа: по подписке.
Скопировать запись
Экспорт списка
Excel
RUSMARC .iso
win-1251
UTF-8
RUSMARC .txt
win-1251
UTF-8
IRBIS .txt
win-1251
UTF-8
Как получить доступ?
Студенту или преподавателю
Отправьте заявку на получение ключа доступа в библиотеку Вашего учебного заведения
Представителю организации
Отправьте заявку на подключение к Znanium по договору