Лекции по теоретической физике

Современные

ЛЕКЦИОННЫЕ КУРСЫ

А. А. Белавин
А. Г. Кулаков
Г. М. Тарнопольский

Лекции
по теоретической
физике

Электронное издание

Москва
Издательство МЦНМО
2015

УДК 530
ББК 22.3
Б43

Белавин А. А., Кулаков А. Г., Тарнопольский Г. М.
Лекции по теоретической физике.
Электронное издание.
М.: МЦНМО, 2015.
251 с.
ISBN 978-5-4439-2440-3

Книга написана на основе различных курсов лекций, прочитанных в течении ряда лет начиная с 1990-х годов, Александром
Белавиным в Независимом Московском университете. Эти лекции
посвящены изложению как классических,так и недавно возникших
областей теоретической физики. По сравнению со 2-м изданием
(2001 г.) текст книги переработан, а также добавлена часть, посвященная теории струн. Для физиков и математиков различных
специальностей, аспирантов и студентов старших курсов университетов.
Авторами второго издания (2001 г.) были А. А. Белавин, А. Г. Кулаков и Р. А. Усманов.

Подготовлено на основе книги: Белавин А. А., Кулаков А. Г., Тарнопольский Г. М. Лекции по теоретической физике. — 3-е изд., испр. и доп. —
М.: МЦНМО, 2015. — 252 с. ISBN 978-5-4439-0289-0.

Издательство Московского центра
непрерывного математического образования
119002, Москва, Большой Власьевский пер., 11
тел. (499) 241–08–04
http://www.mccme.ru

ISBN 978-5-4439-2440-3
ffi МЦНМО, 2015

Оглавление

Введение . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
4

Часть 1. Теория относительности и уравнения Максвелла . .
6

1. Специальная теория относительности . . . . . . . . . . . . .
6

2. Лагранжева механика . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
17

3. Уравнения теории поля . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
26

4. ОТО (гравитация) . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
50

Часть 2. Квантовая механика . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
66

1. Введение . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
66

2. Общие принципы . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
68

3. Одномерное движение . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
81

4. Движение в трехмерном пространстве . . . . . . . . . . . . .
87

5. Теория возмущений . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
99

6. Квазиклассическое приближение . . . . . . . . . . . . . . . . . 105
7. Уравнение Дирака. Релятивистская теория электрона . . 110

Часть 3. Точно решаемые модели квантовой теории поля . . 117

1. Основные определения . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 117
2. Модель Изинга . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 126
3. Вершинные модели . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 154
4. Бете-анзатц . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 172

Часть 4. Введение в теорию струн и конформную
теорию поля . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 190

1. Некритические струны и конформная аномалия . . . . . 190
2. Конформный бутстрап . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 216
3. Минимальная теория струн . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 240

Литература . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 250

Введение

Эйнштейн: «Физика основывает свои понятия на измерениях, причем представления и утверждения физики могут быть выражены математически».
«Физика стремится найти объединение всех областей на теоретической основе, образованной минимальным числом понятий и фундаментальных соотношений, из которых логически можно вывести все».
«Глубокое убеждение в достижимости этой цели является главным
источником страстной преданности, которая всегда воодушевляет исследователя».
Физика находит в математике язык и прообразы, математика в физике — смутные очертания понятий и аксиом, а также проблемы.
В следующей таблице показаны разделы физики и математики,
оказавшие существенное влияние друг на друга.

Физика
Математика

Измерения Земли, астрономия
Геометрия Евклида

Небесная механика Кеплера, Ньютона
Анализ

Гидродинамика, электродинамика
Дифференциальные уравнения

Общая теория относительности
Дифференциальная геометрия

Квантовая механика
Гильбертово пространство,
теория представлений групп

Калибровочные теории,
инстантоны

Геометрия расслоенных
пространств

Теория струн.
Конформная теория поля
Бесконечномерные алгебры Ли

Существуют три вида физики: экспериментальная — с этой части
физики собственно началась физика, без нее она не может существовать, и это понятно всем; теоретическая физика — та ее часть, в которой возникают основные понятия и язык, строятся модели и постули

Введение
5

руются уравнения, описывающие реальный мир; и математическая
физика, в которой эти уравнения решаются. Одна из основных задач
этого курса — показать, какими принципами руководствуются физики, придумывая уравнения, описывающие наш мир. Курс рассчитан
на 4 семестра. Вот примерный план курса:
5-й семестр — классическая теория поля (специальная теория относительности, электродинамика, общая теория относительности);
6-й семестр — квантовая механика;
7-й, 8-й семестры — модель Изинга, точно решаемые модели квантовой теории поля.
Прежде чем перейти к теории относительности, сделаем одно замечание.

Евклидова структура пространства

Когда мы в геометрии употребляем слова «точка», «прямая», «плоскость», их содержание не существенно, аксиомы служат им определением, а математически существенно отсутствие противоречий в определениях и аксиомах.
Когда мы употребляем эти слова в физике, мы должны указать
способ их измерения и наблюдения (прямо или косвенно). Это простое замечание не всегда учитывалось. Ярчайший пример — понятие
абсолютного времени, существовавшее до Эйнштейна и лишенное
физического содержания.

Часть 1

Теория относительности
и уравнения Максвелла

1. Специальная теория относительности

Пространство. Система координат

Утверждение о евклидовости пространства бессмысленно, пока
не указаны физические объекты, соответствующие таким понятиям,
как точка, прямая и т. д.
Движение в механике — это изменение положения тела. Под положением понимается относительное положение, положение относительно других тел. Понятие абсолютного положения, положения
в абсолютном пространстве лишено физического содержания.
Тело или система тел, относительно которых определяется положение, — это пространственная система отсчета.
Утверждение о том, что два неодновременных события произошли в одном месте, лишено физического содержания. Представьте,
например, что вы едете в поезде. То, что происходит в одном месте
для вас в разные моменты времени, происходит в разных местах для
наблюдателя на станции.
В качестве пространственной системы отсчета можно взять твердое тело, а в качестве координатных осей — твердые стержни, для
которых, как мы предполагаем, верны утверждения евклидовой трехмерной геометрии. Их надо проверять. Например, Гаусс проверил
равенство суммы углов треугольника 180◦ для трех горных вершин
на расстоянии ≈ 100 км. Расчет движения планет и спутников дает
лучшую точность. При этом евклидовость геометрии пространства
является лишь частью предположений, роль прямых в ней играют
лучи света, а не стержни.
Так же можно проверять, что длина твердого стержня не зависит
от пути переноса.

1. Специальная теория относительности
7

Можно брать разные системы координат. Переходы от одной ортогональной системы координат к другой образуют группу движений трехмерного евклидова пространства, состоящую из вращений и сдвигов.
В качестве простейших можно взять вращения (XY), (YZ), (ZX)
и сдвиги (x′ = x + a, y′ = y + b, z′ = z + c).
Длина твердого стержня не меняется при движениях. Другими
словами,
l =
(x1 − x2)2 + (y1 − y2)2 + (z1 − z2)2

является инвариантом. Это свойство — результат соглашения и экспериментальной проверки.
Итак, пространство изотропно и однородно, т. е. евклидово.

Время

Время измеряется часами. Часы — это тело (система тел), совершающее периодический процесс. Примеры: маятник, вращение Земли, колебание электромагнитного поля.
Колебания часов, выбранных в качестве эталона, считаются равномерными по определению.

Система отсчета

Если в каком-то месте есть часы, то наблюдатель может определять моменты времени, в которые в этом месте происходят события,
например момент времени, в который шарик проходит данное место.
Если же нас интересуют события в разных местах нашей системы координат, то часы должны находиться в каждой точке системы координат. При этом возникает проблема синхронизации часов, помещенных
в разных точках данной системы отсчета. Если скорость распространения света бесконечна, то такой проблемы не существует. Любые часы,
находящиеся в разных точках данной системы отсчета, могут быть
выставлены по часам в некоторой избранной точке. Более того, часы,
находящиеся в разных точках другой системы отсчета, которая движется относительно исходной, также могут быть синхронизированы
с теми же избранными часами. Таким образом, мы приходим к ньютоновскому понятию абсолютного времени. Однако если скорость света
конечна, как было установлено экспериментами, то синхронизация
часов становится проблемой. Мы обсудим ее ниже. Итак, системы
отсчета — это совокупность твердых стержней — линеек с делениями
для определения места, в котором наблюдается событие, а также совокупность помещенных в каждую точку и синхронизованных между

Часть 1. Теория относительности и уравнения Максвелла

собой часов для определения моментов времени, в которые это событие происходит.

Инерциальная система отсчета

Инерциальной называется система отсчета, относительно которой
покоящаяся свободная материальная точка продолжает покоиться,
а двигающаяся движется с одной и той же скоростью, т. е. график
движения свободной материальной точки — прямая:

x = v𝑥t + x0,
y = v𝑦t + y0,
z = v𝑧t + z0.
(1.1)

Инерциальные системы отсчета существуют. Этот экспериментальный факт называется законом инерции или первым законом Ньютона.

Принцип относительности Галилея

Более того, если некоторая система отсчета движется относительно
другой, инерциальной системы отсчета равномерно и прямолинейно,
то она также является инерциальной. Этот экспериментальный факт
называется принципом относительности Галилея.
Ньютон предполагал (и это подтверждается экспериментально
с некоторой точностью), что масштаб длины и масштаб времени не
меняются при переходе от одной инерциальной системы к другой.
Отсюда следует, что если, например, первая система отсчета K движется со скоростью v относительно другой системы K′ вдоль оси x,
то координаты в этих системах связаны между собой соотношениями

x′ = x + vt,
t′ = t.
(1.2)

Такие преобразования образуют группу, называемой группой Галилея. Уравнение d2x/dt2 = 0 инвариантно относительно этой группы.

Следствие. Если система K движется относительно системы K′

со скоростью V, а в системе K скорость тела равна v, то его скорость
в системе K′ есть v′ = v + V.

Таким образом, в основе представлений о структуре пространствавремени по Галилею и Ньютону лежат два постулата.
1. Принцип относительности.
2. Утверждение, что скорость света равна бесконечности.

Свет

Однако, как установил в 1676 году датский астроном Ремер, наблюдая за затмениями спутника Юпитера Ио, скорость света конечна.

1. Специальная теория относительности
9

Поэтому второй постулат оказывается неверным, а вместе с ним надо
отвергнуть предположение о существовании абсолютного времени.
Поскольку свет проявляет волновые свойства (интерференция, дифракция), возникло предположение, что волны света являются колебаниями некоторой среды — эфира, — подобно волнам на воде или
в воздухе. С одной стороны, предположение об эфире объясняет независимость скорости света от движения источника, о чем говорят наблюдения за двойными звездами. С другой стороны, кажется, что существование эфира нарушает принцип относительности, по крайней
мере в применении к световым явлениям, поскольку появляется выделенная инерциальная система отсчета — та система, которая покоится относительно эфира, и независимость скорости света от движения
источника, как естественно предположить, должна выполняться лишь
именно в этой системе отсчета.

Опыт Майкельсона — Морли

Однако гипотеза о существовании эфира была проверена и опровергнута в 1887 году в опыте Майкельсона — Морли. Майкельсон вслед
за Максвеллом исходил из того, что если эфир существует, то движение
Земли относительно него можно наблюдать экспериментально.
Идея опыта очень проста (см. рис. 1.1). Установка состоит из двух
взаимно перпендикулярных стержней длины L: AB и AC и зеркал A, B
и C. Свет от монохроматического источника O частично проходит

O

D

C

B

Рис. 1.1. O — источник монохромного света,
A — полуотражающее зеркало, B и C — зеркала, D — экран

Часть 1. Теория относительности и уравнения Максвелла

через зеркало A, а частично отражается на нем. Затем лучи света
достигают зеркал B и C, находящихся на одинаковых расстояниях
от A, и, отражаясь от них, достигают экрана D, на котором наблюдается интерференция двух лучей. Предположим, что эфир существует
и вся установка вместе с Землей движется относительно эфира со скоростью v, направленной вдоль стержня AB. Тогда время, требуемое
свету для прохождения от A до B и обратно, равно

t1 = t𝐴𝐵 + t𝐵𝐴 =
L

c − v +
L

c + v ,
(1.3)

а время, необходимое для достижения от A зеркала C и возвращения
в A с учетом движения экспериментальной установки относительно
эфира, равно

t2 = t𝐴𝐶 + t𝐶𝐴 =
2L
c2 − v2 ,
(1.4)

как это видно из рис. 1.2.

ctAC
ctCA
L

vtAC
vtCA

Рис. 1.2

Легко проверить, что t1 ̸= t2. Поэтому данный эксперимент позволяет обнаружить движение Земли с установкой относительно эфира,
если он существует. Однако результат опыта оказался отрицательным. Таким образом, опыт Майкельсона — Морли опроверг гипотезу
о существовании эфира и тем самым восстановил справедливость
принципа относительности — принципа равноправия инерциальных
систем, распространив его и на световые явления.

Два постулата теории относительности Эйнштейна

На первый взгляд, восстановленный в правах принцип относительности противоречит принципу независимости скорости света от движения его источника. Действительно, теперь второй принцип должен