Фигурные числа

Е. Деза, М. Деза

ФИГУРНЫЕ ЧИСЛА

Перевод с английского С. А. Кулешова

Электронное издание

Москва
Издательство МЦНМО
2016

УДК 51(07)
ББК 22.1
Д26

Деза Е., Деза М.
Фигурные числа / Пер. с англ.
Электронное издание.
М.: МЦНМО, 2016.
349 с.
ISBN 978-5-4439-2400-7

Эта книга посвящена фигурным числам — разделу элементарной
математики, который берёт свое начало в древности и которым по сей
день интересуются как любители, так и профессионалы.

Подготовлено на основе книги: Деза Е., Деза М. Фигурные числа / Пер. с англ. —
М.: МЦНМО, 2015. — 350 с. ISBN 978-5-4439-0196-1.

Translation from the English language edition:
Elena Deza and Michel Marie Deza. Figurate numbers. World Scientific, 2012.

Издательство Московского центра
непрерывного математического образования
119002, Москва, Большой Власьевский пер., 11
тел. (499) 241–08–04
http://www.mccme.ru

ISBN 978-5-4439-2400-7
ffi Е. Деза, М. Деза, 2016
ffi МЦНМО, 2016

Содержание

Обозначения . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
5

Предисловие . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
9

Глава 1. Плоские фигурные числа . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 12

1.1. Определения и формулы . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 12
1.2. Основные свойства многоугольных чисел . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19
1.3. Квадратные треугольные числа . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 25
1.4. Другие мультимногоугольные числа . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 34
1.5. Встречаемость данного числа среди всех многоугольных чисел . . 37
1.6. Центрированные многоугольные числа . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 39
1.7. Другие плоские фигурные числа . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 50
1.8. Обобщённые плоские фигурные числа . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 62

Глава 2. Пространственные фигурные числа . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 70

2.1. Пирамидальные числа . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 70
2.2. Кубические числа . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 78
2.3. Октаэдральные числа . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 82
2.4. Другие правильные многогранные числа . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 85
2.5. Некоторые полуправильные и звёздчатые многогранные числа . . 89
2.6. Центрированные пространственные фигурные числа . . . . . . . . . . 93
2.7. Другие пространственные фигурные числа . . . . . . . . . . . . . . . . . . 108
2.8. Обобщённые пространственные фигурные числа . . . . . . . . . . . . . 113

Глава 3. Многомерные фигурные числа . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 126

3.1. Пентатопные числа и их многомерные аналоги . . . . . . . . . . . . . . . 126
3.2. Биквадратные числа и их многомерные аналоги . . . . . . . . . . . . . . 131
3.3. Другие правильные политопные числа . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 139
3.4. Гнездовые числа . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 155
3.5. Пирамидальные числа второго порядка и их многомерные
аналоги . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 160

3.6. Центрированные многомерные фигурные числа . . . . . . . . . . . . . . 166
3.7. Обобщённые многомерные фигурные числа . . . . . . . . . . . . . . . . . 175

Глава 4. Фигурные числа в теории чисел . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 183

4.1. Таблицы сложения и умножения . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 183
4.2. Треугольник Паскаля и бином Ньютона . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 187

Содержание

4.3. Диофантовы уравнения. Пифагоровы тройки . . . . . . . . . . . . . . . . 192
4.4. Совершенные числа . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 199
4.5. Числа Мерсенна и Ферма . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 202
4.6. Числа Фибоначчи и Люка . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 206
4.7. Палиндромические числа . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 209
4.8. Другие специальные числа . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 214
4.9. Простые числа . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 217

4.10. Магические конструкции . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 222
4.11. Разбиения . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 225
4.12. Проблема Варинга . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 229

Глава 5. Теорема Ферма о многоугольных числах . . . . . . . . . . . . . . . . . . 237

5.1. История задачи . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 237
5.2. Теорема Лагранжа о четырёх квадратах . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 239
5.3. Теорема Гаусса о трёх треугольных числах: элементарное
рассмотрение . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 242

5.4. Доказательство теоремы Гаусса о трёх треугольных числах . . . . . . 245
5.5. Суммы квадратов и теорема Минковского о выпуклом теле . . . . . 256
5.6. Доказательство Коши теоремы о многоугольных числах . . . . . . . . 265
5.7. Доказательство Пепена теоремы о многоугольных числах . . . . . . 273
5.8. Другие результаты, связанные с теоремой . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 282

Глава 6. Калейдоскоп чисел . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 289

Глава 7. Упражнения . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 297

Решения и указания . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 318

Литература . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 341

Предметный указатель . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 346

Обозначения

• = {1, 2, 3, ...} — множество натуральных чисел.

• = {... , −3, −2, −1, 0, 1, 2, 3, ...} — множество целых чисел.

• b|a — ненулевое целое число b делит целое число a: a = bc, где c ∈ .

• НОД(a1, ... , a𝑛) — наибольший общий делитель целых чисел a1, ... , a𝑛, среди
которых по крайней мере одно отлично от 0, т. е. наибольшее целое число,
делящее a1, ... , a𝑛. Если НОД(a1, ... , a𝑛) = 1, то числа a1, ... , a𝑛 называются
взаимно простыми; если НОД(a𝑖, a𝑗) = 1 для любых разных i, j ∈ {1, ... , n}, то
числа a1, ... , a𝑛 называются попарно взаимно простыми.

• НОК(a1,...,a𝑛) — наименьшее общее кратное ненулевых целых чисел a1,...,a𝑛,
т. е. наименьшее натуральное число, делящееся на числа a1, ... , a𝑛.

• ОСТ(a, b) — остаток от деления целого числа a на натуральное число b: a =
= bq + ОСТ(a, b), где q, ОСТ(a, b) ∈ и 0 ⩽ ОСТ(a, b) < b.

• P = {2, 3, 5, 7, 11, 13, 17, 19, ...} — множество простых чисел, т. е. натуральных
чисел, у которых ровно два натуральных делителя; обычно простые числа
будут обозначаться буквами p и q, возможно, с индексами; n = pα1
1 · ... · pα𝑘
𝑘 —
разложение на простые множители натурального числа n > 1, т. е. его представление в виде произведения натуральных степеней различных простых
чисел p1, ... , p𝑘.

• S = {4, 6, 8, 9, 10, 12, 14, 15, 16, 18, ...} — множество составных чисел, т. е. натуральных чисел, у которых число натуральных делителей больше двух.

• n = (c𝑠c𝑠−1 ... c1c0)𝑔 = c𝑠g𝑠 + c𝑠−1g𝑠−1 + ... + c1g + c0, g ∈ \{1}, 0 ⩽ c𝑖 ⩽ g − 1,
c𝑠 ̸= 0, — запись натурального числа n в g-ичной системе счисления; например,
279 = 1B312 = 1 · 122 + 11 · 12 + 3.

• ⌊x⌋, x ∈ , — целая часть числа x: наибольшее целое число, меньшее или
равное x.

• {x}, x ∈ , — дробная часть числа x: {x} = x − ⌊x⌋.

• ⌈x⌉, x ∈ , — целая часть плюс единица: наименьшее целое число, большее
или равное x.

• φ(n), n ∈ , — функция Эйлера: количество натуральных чисел, взаимно простых с n; φ(n) = |{x ∈ : x ⩽ n, НОД(x, n) = 1}|.

• µ(n), n ∈ , — функция Мёбиуса: µ(1) = 1, µ(n) = (−1)𝑘, если n = p1 · ... · p𝑘 —
произведение k различных простых чисел, и µ(n) = 0, если n делится на квадрат простого числа.

• τ(n) =
𝑑|𝑛 1, n ∈ , — тау-функция (или функция числа делителей): количество натуральных делителей натурального числа n.

Обозначения

• σ(n) =
𝑑|𝑛 d, n ∈ , — сумма делителей.

• σ𝑘(n) =
𝑑|𝑛 d𝑘, n ∈ , k ∈ , — функция делителей: сумма k-х степеней натуральных делителей натурального числа n. В частности, σ0(n) = τ(n) и σ1(n) =
= σ(n).

• a ≡ b (mod n) — целое число a сравнимо с целым числом b по модулю n, n ∈ ,
т. е. n|(a − b).

• a𝑛 = {x ∈ : x ≡ a (mod n)} = {... , a − 2n, a − n, a, a + n, a + 2n, a + 3n, ...} —
класс вычетов (числа a) по модулю n: множество всех целых чисел, сравнимых с a по модулю n. Любой представитель r𝑎 класса a𝑛 называется вычетом
числа a по модулю n. Наименьший неотрицательный представитель класса a𝑛
называется наименьшим неотрицательным вычетом числа a по модулю n; он
совпадает с остатком ОСТ(a, n) от деления a на n. Наименьший по абсолютной величине представитель класса a𝑛 называется минимальным вычетом
числа a по модулю n.

•

a

p

— символ Лежандра:
a

p

=1, если целое число a, взаимно простое с нечётным простым числом p, является квадратичным вычетом по модулю p (т. е.
сравнение x2 ≡a (mod p) имеет решение x0 ∈),
a

p

=−1, если целое число a,
взаимно простое с нечётным простым числом p, является квадратичным невычетом по модулю p (т. е. у сравнения x2 ≡ a (mod p) решений нет), и
a

p

= 0,
если p|a.

•

a

n

=
a

p1

α1 · ... ·
a

p𝑘

α𝑘 для нечётного натурального числа n= pα1
1 ·...· pα𝑘
𝑘 —

символ Якоби. Когда n — простое число, символ Якоби
a

n

сводится к символу
Лежандра.

• P𝑛(a) — мультипликативный порядок (или порядок модуля) целого числа a
(взаимно простого с n) по модулю n: наименьшее натуральное число γ, при
котором aγ ≡ 1 (mod n).

• [a0,a1,...,a𝑛,...]=a0+
1

a1 +
1

...
1

a𝑛 +...

— цепная дробь: здесьa0∈, a1,...,a𝑛 ∈и последний член a𝑛, если он существует, больше 1.

• δ𝑘 = [a0, a1, ... , a𝑘] = P𝑘/Q𝑘, k = 0, 1, ... , n, ... , — подходящие дроби к цепной
дроби [a0, a1, ... , a𝑛, ...].

• x2−Dy2=±1, где D — свободное от квадратов натуральное число, — уравнение
Пелля.

• x2 − Dy2 = ±c, где c ∈ \{1} и D — свободное от квадратов натуральное число, — уравнение типа Пелля.

• a1, a2 = a1 + d, a3 = a2 + d = a1 + 2d, ... , a𝑛 = a𝑛−1 + d = a1 + (n − 1)d, ... , где

a1, d ∈, — арифметическая прогрессия с разностью d; a1 +...+a𝑛 = n(a1 + a𝑛)

2
.

Обозначения
7

• b1, b2 =b1 ·q, b3 =b2 ·q=b1 ·q2, ... , b𝑛 =b𝑛−1 ·q=b1 ·q𝑛−1, ... , где b1, q∈\{0}, —
геометрическая прогрессия со знаменателем q; b1 + ... + b𝑛 = b1(q𝑛 − 1)/(q − 1)
при q ̸= 1.

• f (x) = c0 + c1x + c2x2 + ... + c𝑛x𝑛 + ... , |x| < r, — производящая функция последовательности c0, c1, c2, ... , c𝑛, ...

• b0c𝑛+𝑘 + b1c𝑛+𝑘−1 +...+ b𝑛c𝑘 = 0, b0, ... , b𝑛 ∈ , b0 ̸= 0, — линейное рекуррентное
уравнение порядка n для последовательности

c0, c1, c2, ... , c𝑛−1, c𝑛 = −b1

b0 c𝑛−1 − ... − b𝑛

b0 c0,

c𝑛+1 = −b1

b0 c𝑛 − ... − b𝑛

b0 c1, ... , c𝑛+𝑘 = −b1

b0 c𝑛+𝑘−1 − ... − b𝑛

b0 c𝑘, ...

с начальными условиями c0, c1, ... , c𝑛−1.

• A = ((a𝑖 𝑗)), 1 ⩽ i, j ⩽ n, — квадратная матрица размера n × n с вещественными
элементами a𝑖 𝑗. Матрица A называется симметричной, если a𝑖 𝑗 = a𝑗𝑖 при всех
i, j ∈ {1, 2, ... , n}. Матрица A называется единичной матрицей и обозначается
символом I𝑛, если a𝑖𝑖 = 1 и a𝑖 𝑗 = 0 при i ̸= j. Матрица A𝑇 = ((a𝑗𝑖)) называется
транспонированной к A. Матрица A−1, для которой A · A−1 = I𝑛, называется
обратной к A.

• det A или |A| — определитель данной матрицы A = ((a𝑖 𝑗)) размера n × n. При
n = 2 он вычисляется по формуле det A = a11a22 − a21a12; при произвольном
n ⩾ 3 он вычисляется по формуле det A =
𝑛
𝑗=1(−1)1+𝑗a1𝑗 · det A1𝑗, где A1𝑗 —
(n−1)×(n−1)-матрицы, полученные удалением первой строки и j-го столбца
матрицы A.

• n! — факториал натурального числа n: n! = 1 · 2 · ... · n, n ∈ ; 0! = 1.

• x𝑛, x ∈, n∈, — убывающий факториал числа x: x𝑛 = x ·(x −1)·...·(x −n+1).

• x𝑛, x ∈ , n ∈ , — возрастающий факториал числа x: x𝑛 = x · (x + 1) · ... · (x +
+ n − 1).

•

n
m

— биномиальный коэффициент:
n
m

=
n!

m!(n − m)!, 0 ⩽ m ⩽ n.

• F𝑛 = 22𝑛 + 1, n = 0, 1, 2, ... , — числа Ферма.

• M𝑛 = 2𝑛 − 1, n = 1, 2, 3, ... , — числа Мерсенна.

• u1, u2, ... , u𝑛, ... — числа Фибоначчи: u𝑛+2 = u𝑛+1 + u𝑛, u1 = u2 = 1.

• L1, L2, ... , L𝑛, ... — числа Люка: L𝑛+2 = L𝑛+1 + L𝑛, L1 = 1, L2 = 3.

• C𝑛 = 1

n

2n − 2
n − 1

, n = 1, 2, 3, ... , — числа Каталана.

• S(n, m) =
1
m!
𝑚
𝑖=0(−1)𝑖 m
i

(m − i)𝑛, n ⩾ 1, 1 ⩽ m ⩽ n, — числа Стирлинга
второго рода.

• B(n) =
𝑛−1
𝑘=0
n − 1
k

B(k), B(0) = 1, — числа Белла.

• B𝑛 = −
1

n + 1
𝑛
𝑘=1
n + 1
k + 1

B𝑛−𝑘, B0 = 0, — числа Бернулли.

Обозначения

• S𝑚(n) = n((m − 2)n − m + 4)

2
— n-е m-угольное число, т. е. m-угольное число с номером n.

• CS𝑚(n) = mn2 − mn + 2

2
— n-е центрированное m-угольное число.

• P𝑚(n) = mn2 − mn + 1 — n-е m-грамное число; в частности, P6(n) = S(n) =
= 6n2 − 6n + 1 — n-е звёздчатое число.

• P(n) = n(n + 1) — n-е продолговатое число.

• S3
𝑚(n) = n(n + 1)((m − 2)n − m + 5)

6
— n-е m-пирамидальное число.

• C(n) = n3 — n-е кубическое число.

• O(n) = n(2n2 + 1)

3
— n-е октаэдральное число.

• I(n) = n(5n2 − 5n + 2)

2
— n-е икосаэдральное число.

• D(n) = n(9n2 − 9n + 2)

2
— n-е додекаэдральное число.

• SO(n) = n(2n2 − 1) — n-е звёздчато-октаэдральное число.

• RD(n) = 4n3 − 6n2 + 4n − 1 — n-е ромбододекаэдральное число.

• CS3
𝑚(n) = mn3 + n(6 − m)

6
— n-е центрированное m-пирамидальное число.

• PCS3
𝑚(n) = n(mn2 − mn + 2)

2
— n-е центрированное m-призматическое число.

• S𝑘
𝑚(n) = n(n + 1) ... (n + k − 2)((m − 2)n − m + k + 2)

k!
— n-е k-мерное m-пирамидаль
ное число; в частности, S𝑘
3(n) = n(n + 1) ... (n + k − 1)

k!
— n-е k-мерное гипертетраэдральное число.

• C𝑘(n) = n𝑘 — n-е k-мерное гиперкубическое число.

• O𝑘(n) =
𝑘−1
𝑗=0 (−1) 𝑗 k − 1
j

2𝑘−𝑗−1S𝑘−𝑗
3 (n) — n-е k-мерное октаэдральное число.

• N𝑘(n) = (n + 1)𝑘+1 − n𝑘+1 — n-е k-мерное гнездовое число.

• TS4(n), TCS𝑚(n), TS3
3(n), TC(n), TO(n), TI(n) — n-е усечённые числа: квадратное, центрированное m-угольное, тетраэдральное, кубическое, октаэдральное,
икосаэдральное соответственно.

• C(n), S3
𝑚(n), O(n), S𝑘
3(n), C𝑘(n), O𝑘(n) — n-е центрированные числа: кубическое, m-пирамидное, октаэдральное, k-мерное гипертетраэдральное, k-мерное
гиперкубическое, k-мерное гипероктаэдральное соответственно.

• −S𝑚(n) = S𝑚(−n), −CS𝑚(n) = CS𝑚(−n), −S3
𝑚(n) = S3
𝑚(−n), −S𝑘
3(n) = S𝑘
3(−n),
−C𝑘(n) = C𝑘(−n), −O𝑘(n) = O𝑘(−n), n ∈ , — n-е обобщённые числа с отрицательными номерами: m-угольное, центрированное m-угольное, m-пирамидальное, k-мерное гипертетраэдральное, k-мерное гиперкубическое, k-мерное
гипероктаэдральное соответственно.

Предисловие

Фигурные числа, так же как и большинство классов специальных чисел,
имеют долгую и богатую историю. Это понятие было введено в пифагорейской
школе (VI век до н. э.) в результате попытки связать геометрию с арифметикой.
Пифагорейцы, следуя своему кредо «всё является числом», представляли любое
положительное целое число в виде набора точек на плоскости.

Фигурное число — это число, которое можно представить правильной дискретной геометрической моделью из точек. Это может быть, скажем, многоугольное,
многогранное или политопное число, если эти точки образуют правильный многоугольник, правильный многогранник или правильный политоп соответственно.
Фигурные числа могут также образовывать и другие формы, такие как центрированные многоугольники, L-образные, трёхмерные (и многомерные) тела и т. д.
В частности, многоугольные числа обобщают числа, которые можно представить в виде треугольника (треугольные числа) или квадрата (квадратные
числа), вплоть до m-угольных для любого целого числа m ⩾ 3.
Помимо классических многоугольных чисел, на плоскости можно построить
центрированные многоугольные числа. Каждое центрированное многоугольное
число образовано центральной точкой, окруженной многоугольными слоями
с постоянным числом сторон. Каждая из сторон многоугольного слоя содержит
на одну точку больше, чем любая строка предыдущего слоя.
В главе 1 мы рассмотрим эти и другие плоские фигурные числа со множеством свойств, взаимосвязей и взаимозависимостей.
Располагая точки в определённом порядке не на плоскости, а в пространстве,
мы получим пространственные фигурные числа. Наиболее известные из них —
это пирамидальные числа, соответствующие треугольным, четырёхугольным
и вообще произвольным m-угольным пирамидам. Они задаются как суммы
соответствующих многоугольных чисел. Если физически складывать шарики
таким образом, то устойчивыми будут только треугольные и четырёхугольные
пирамиды, и древние греки рассматривали только соответствующие два класса
пространственных фигурных чисел. Кубические числа соответствуют кубам, построенным из шаров. Октаэдральные, додекаэдральные и икосаэдральные числа
соответствуют трём оставшимся платоновым телам.
Часто рассматривают центрированные пространственные фигурные числа.
Они строятся так же, как и центрированные многоугольные числа. Рассматриваются также и числа, которые могут быть получены путём сложения или
вычитания пирамидальных чисел меньшего размера. Это соответствует усечению соответствующего многогранника или помещению пирамиды на грань, как
при построении звёздчатого многогранника.