Диаграммы Юнга и их предельная форма

А. И. Буфетов, М. В. Житлухин,
Н. Е. Козин

Диаграммы Юнга
и их предельная форма

МЦНМО

Летняя школа «Современная математика»
Дубна, июль 

А. И. Буфетов, М. В. Житлухин, Н. Е. Козин

Диаграммы Юнга и их
предельная форма

Электронное издание

Москва
Издательство МЦНМО


УДК .
ББК .
Б

Буфетов А. И., Житлухин М. В., Козин Н. Е.
Диаграммы Юнга и их предельная форма
Электронное издание
М.: МЦНМО, 
 с.
ISBN ----

Брошюра посвящена асимптотическим свойствам диаграмм Юнга —
картинок на клетчатой бумаге, изображающих разбиение натурального
числа в сумму нескольких слагаемых. В ней доказывается, что типичная
(в смысле меры Планшереля) диаграмма Юнга большого размера имеет
форму, близкую к некоторой фиксированной.
Брошюра написана по материалам цикла лекций на Летней школе
«Современная математика» в Дубне в  г. Она доступна студентам
младших курсов и школьникам старших классов.

Подготовлено на основе книги: А. И. Буфетов, М. В. Житлухин,
Н. Е. Козин. Диаграммы Юнга и их предельная форма. — -е изд.,
стереотип. — М.: МЦНМО, . — ISBN ----.

Издательство Московского центра
непрерывного математического образования
, Москва, Большой Власьевский пер., ,
тел. () ––.
http://www.mccme.ru

ISBN ----

© Буфетов А. И., Житлухин М. В.,
Козин Н. Е., .
© МЦНМО, .

Предисловие

Пусть p(N) — число способов разбить натуральное число N в сумму
невозрастающих слагаемых. Эйлер, рассматривавший задачу о вычислении p(N) для различных значений N, доказал замечательную формулу
+∞
N=0
p(N)tN =
∞
n=1

1

1−tn .

Действительно, переписав бесконечное произведение в правой части в
виде произведения рядов и раскрыв скобки, получим

(1+ t + t2 +…)(1+ t2 + t4 +…)(1+ t3 + t6 +…)…=

=1+ t +2t2 +…+ p(N)tN +…;

нетрудно заметить, что коэффициент p(N) при tN должен быть в точности равен числу всех возможных способов разбиения числа N в суммы
положительных целых. Позднее Харди и Рамануджану удалось получить знаменитую асимптотическую формулу []

p(N)∼
1

4N
3 e

2π
6
N.

Кроме того, сами разбиения получили удобную и наглядную интерпретацию в виде диаграмм из клеток, которые и были названы диаграммами Юнга в честь Альфреда Юнга.

В  году Вершик и Керов в СССР [] и Логан и Шепп в США
[] одновременно и независимо обнаружили, что типичная (в смысле
меры Планшереля) диаграмма Юнга большого размера имеет форму,
близкую к некоторой фиксированной.
Вершик и Керов также доказали, что длина первой строки диаграммы Юнга имеет асимптотику 2
N (по отношению к мере Планшереля). Это позволило им получить решение знаменитой проблемы Улама
о длине максимальной возрастающей подпоследовательности случайной перестановки.
Задача описания больших диаграмм Юнга тесно связана с задачей
описания собственных значений случайных матриц большого размера. Замечательным образом распределение этих собственных значе
Альфред Юнг (—) — английский математик, выпускник и впоследствии преподаватель Кембриджского университета. В  году предложил идею представления
разбиений чисел в виде диаграмм. С  года был священником в деревне Бердбрук
графства Эссекс.
Вершиком были также получены предельные формы и для ряда других мер []).



ний имеет предельную форму — её описывает знаменитый полукруговой закон Вигнера. Согласно этому закону, с ростом N б´ольшая часть
собственных значений матрицы размера N будет попадать в интервал
[−(2+ ǫ)
N, (2+ ǫ)
N], а формы соответствующих гистограмм будут
приближаться к форме полукруга.
Перемасштабированное отклонение от 2
N длины первой строки
диаграммы Юнга размера N имеет распределение, которое, как оказывается, совпадает с аналогичным распределением для собственных
значений случайных матриц (см. работы Трейси и Видома [], Байка,
Дейфта и Йоханссона [], Бородина, Окунькова и Ольшанского [] и
Йоханссона []).
Объяснение неожиданного сходства таких, казалось бы, совершенно различных задач лежит вне рамок данной брошюры (см. по этому
поводу работу Окунькова []).

−2
N
2
N

Диаграмма Юнга и ее предельная форма

−2
N
2
N

Гистограмма собственных значений и распределение Вигнера



Брошюра представляет собой записки курса об асимптотических
свойствах диаграмм Юнга на летней школе «Современная математика» в  г.
В §  вводятся основные определения, касающиеся комбинаторики
диаграмм Юнга, которые будут использоваться в дальнейшем. В частности, определяется вероятностная мера Планшереля и приводится
формула крюков.
В §  показано, что формула крюков может быть приближена некоторым интегралом, называемым интегралом крюков.
В §  обсуждается экстремаль, определяющая предельную форму
диаграмм.
В §  изучается интеграл крюков как функция отклонения от экстремали. Оказывается, что такое отклонение фактически является соболевской нормой порядка 1/2 на прямой.
В §  сформулирована и доказана основная теорема Вершика—Керова—Логана—Шеппа о предельной форме диаграмм Юнга.
В §  доказывается оценка на длину первой строки типичной диаграммы Юнга.
В §  последняя оценка применяется для решения проблемы Улама
о среднем значении длин максимальных возрастающих подпоследовательностей перестановок из N элементов.
В приложении А, написанном В. А. Клепцыным и Г. А. Мерзоном,
приводится набросок доказательства формулы крюков, основанного
на методе отражений. Приложение Б, написанное Я. М. Сергиенко,
содержит доказательство биективности RSK-соответствия между перестановками и парами таблиц Юнга одинаковой формы.
Мы глубоко благодарны Н. Ю. Медведю и Н. С. Устинову, указавшим
на ряд недочетов и давшим ценные советы по улучшению текста, а
также В. А. Клепцыну, вклад которого в подготовку данной брошюры
невозможно переоценить.

