Задачи по линейной алгебре и геометрии

ЗАДАЧИ 
ПО ЛИНЕЙНОЙ АЛГЕБРЕ
И ГЕОМЕТРИИ

А. А. Гайфуллин, А. В. Пенской, С. В. Смирнов

А. А. Гайфуллин, А. В. Пенской, С. В. Смирнов  ЗАДАЧИ ПО ЛИНЕЙНОЙ АЛГЕБРЕ И ГЕОМЕТРИИ

Читающийся первокурсникам курс линейной алгебры и геометрии является, без сомнения, одним 
из самых важных курсов математических факультетов.
В самом деле, трудно найти такую область естественных наук, в которой не использовались бы 
понятия и методы линейной алгебры и геометрии.
Некоторым пробелом в имеющейся учебно-методической литературе по данному курсу до сих 
пор являлось отсутствие качественного пособия, 
где бы подробно разбирались решения стандартных задач.
Восполнить этот пробел и призвано данное издание.

ISBN 978-5-4439-0168-8

9 785443 901688 >

А. А. Гайфуллин, А. В. Пенской, С. В. Смирнов

Задачи
по линейной алгебре
и геометрии

Электронное издание

Допущено УМО по классическому университетскому образованию
в качестве учебного пособия для студентов высших учебных
заведений, обучающихся по направлениям 01.03.01 «Математика»,
01.03.03 «Механика и математическое моделирование»,
специальности 01.05.01 «Фундаментальные математика и механика»

Москва
Издательство МЦНМО
2014

УДК 512.64
ББК 22.143
Г14

Гайфуллин А. А., Пенской А. В., Смирнов С. В.
Задачи по линейной алгебре и геометрии.
М.: МЦНМО, 2014.
150 с.
ISBN 978-5-4439-2200-3

Данное пособие содержит подробные решения типовых задач
курса линейной алгебры и геометрии, читаемого на мехмате МГУ
им. М. В. Ломоносова.
Для студентов естественнонаучных специальностей, в первую
очередь физико-математических.

Подготовлено на основе книги:
А. А. Гайфуллин, А. В. Пенской, С. В. Смирнов. Задачи по линейной
алгебре и геометрии. — М.: МЦНМО, 2014.

Издательство Московского центра
непрерывного математического образования
119002, Москва, Большой Власьевский пер., 11. Тел. (499) 241–74–83.
http://www.mccme.ru

ffi А. А. Гайфуллин,
А. В. Пенской,
С. В. Смирнов, 2014
ISBN 978-5-4439-2200-3
ffi МЦНМО, 2014

Оглавление

Предисловие . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
6

Глава 1. Линейные пространства

1.1. Определение линейного пространства . . . . . . . . . . . . . .
8
1.2. Линейная зависимость . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 11
1.3. Базис, размерность, координаты . . . . . . . . . . . . . . . . . . 14
1.4. Линейные подпространства . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 18
1.5. Сумма и пересечение подпространств . . . . . . . . . . . . . . 25
1.6. Линейные функции и отображения . . . . . . . . . . . . . . . . 30
1.7. Аффинные пространства . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 32

Глава 2. Линейные операторы

2.1. Матрица линейного оператора . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 40
2.2. Ядро и образ линейного оператора . . . . . . . . . . . . . . . . 43
2.3. Собственные значения и собственные векторы . . . . . . . 44
2.4. Жорданова форма . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 46
2.5. Функции от матриц . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 57
2.6. Инвариантные подпространства . . . . . . . . . . . . . . . . . . 59

Глава 3. Билинейные и квадратичные функции

3.1. Элементарные свойства билинейных
и квадратичных функций . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 64
3.2. Приведение квадратичной формы к нормальному
виду невырожденными преобразованиями . . . . . . . . . . 65
3.3. Кососимметрические билинейные и эрмитовы
полуторалинейные функции . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 71

Глава 4. Евклидовы и эрмитовы пространства

4.1. Элементарные свойства скалярного произведения . . . . 75
4.2. Ортогональные системы векторов . . . . . . . . . . . . . . . . . 77
4.3. Матрица Грама и n-мерный объём . . . . . . . . . . . . . . . . . 85
4.4. Ортогональные проекции, расстояния и углы . . . . . . . . 88

Оглавление

4.5. Геометрия аффинных евклидовых пространств . . . . . . . 93
4.6. Симплексы . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .100
4.7. Метод наименьших квадратов
и интерполяция функций . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .102

Глава 5. Линейные операторы в евклидовых
и эрмитовых пространствах

5.1. Сопряжённые операторы . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .108
5.2. Самосопряжённые операторы . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .110
5.3. Ортогональные и унитарные операторы . . . . . . . . . . . .115
5.4. Кососимметрические операторы . . . . . . . . . . . . . . . . . .125
5.5. Полярное разложение . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .129

Глава 6. Квадратичные формы в евклидовом
пространстве

6.1. Приведение квадратичной формы к каноническому
виду ортогональными преобразованиями . . . . . . . . . . .132
6.2. Приведение пары квадратичных форм
к каноническому виду . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .135

Глава 7. Тензоры

7.1. Основные свойства тензоров . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .140
7.2. Операции над тензорами . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .144

Литература . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .149

Посвящается светлой памяти
Евгения Григорьевича Скляренко

Предисловие

Читающийся первокурсникам в весеннем семестре курс линейной алгебры и геометрии является, без сомнения, одним из самых
важных курсов в программе механико-математического факультета
МГУ им. М. В. Ломоносова. В самом деле, трудно найти такую область
математики или других естественных наук, в которой не использовались бы понятия и методы из линейной алгебры и геометрии.
Некоторым пробелом в имеющейся учебно-методической литературе по данному курсу до сих пор являлось отсутствие качественного
пособия, где бы подробно разбирались решения стандартных задач.
Восполнить этот пробел и призвано данное издание.
Особую актуальность выпуск данного пособия приобрёл в последние годы, когда всё больше приходящих на мехмат МГУ выпускников
учреждений среднего образования имеет недостаточные навыки усвоения материала лекций и семинаров: всё реже наблюдается умение
качественно конспектировать лекции или делать записи разбираемых
на семинарах задач. Как результат, к сессии первокурсники всё чаще
приходят без читаемых конспектов и внятных записей семинарских
занятий, что приводит к катастрофическим последствиям на зачётах
и экзаменах.
Авторы надеются, что данное пособие, содержащее решения основных типовых задач курса линейной алгебры и геометрии, поможет
до какой-то степени изменить ситуацию к лучшему. В то же время
читающим его первокурсникам, безусловно, не стоит ждать чуда, так
как, с одной стороны, все задачи к типовым не сводятся, а с другой
стороны, представленный материал довольно обширен и за последнюю ночь перед зачётом усвоить материал пособия невозможно.
При написании данного пособия авторы, в первую очередь, ориентировались на программу курса «Линейная алгебра и геометрия»
механико-математического факультета МГУ и на сборник задач [7]
под редакцией Ю. М. Смирнова, который обычно используется на семинарских занятиях по этому курсу. Но поскольку представленные
в пособии задачи в основном являются типовыми, оно будет полез

Предисловие
7

ным не только для студентов мехмата МГУ, но и для всех студентов
физико-математических и инженерных специальностей или для тех,
кто обучается по специальности «Прикладная математика».
Авторы глубоко признательны коллегам по кафедре высшей геометрии и топологии мехмата МГУ под руководством академика РАН
С. П. Новикова. При составлении этого пособия был использован многолетний опыт наших коллег. Особой благодарности заслуживает доцент Е. А. Морозова, которая была инициатором и вдохновителем
работ над данным изданием.
Многие годы лекции по линейной алгебре и геометрии на мехмате МГУ читал безвременно ушедший из жизни профессор Е. Г. Скляренко, который очень много сделал для становления и развития данного курса. Его светлой памяти посвящается данное пособие.

Москва,
январь 2013 г.

ГЛАВА 1

Линейные пространства

1.1. Определение линейного пространства

Задача 1. В каких из следующих случаев указанные операции на
множестве X определены и задают структуру линейного пространства
над полем :

1) = , X — полуплоскость {(x, y) ∈ 2 | x ⩾ 0}, операции сложения
и умножения на числа стандартные (то есть покоординатные);
2) = , X — множество векторов в трёхмерном пространстве, выходящих из начала координат, концы которых лежат на заданной
плоскости; операции стандартные;
3) = , X — множество векторов на плоскости 2, все координаты
которых по модулю не превосходят единицы; операции стандартные;
4) = , X = ; операции стандартные;
5) = , X = (0, +∞), операции сложения ^+ и умножения на числа ^·
заданы формулами
u ^+ v = uv,
λ^· u = uλ;
(1.1)

6) = , X — множество ненулевых комплексных чисел; операции
стандартные;
7) произвольное, X — множество многочленов от одной переменной над степени n, где n∈— некоторое фиксированное число;
операции стандартные;
8) произвольное, X — множество многочленов от одной переменной над степени не выше некоторого фиксированного n ∈ ;
операции стандартные;
9) произвольное, X — множество всех многочленов от одной переменной над ; операции стандартные;
10) произвольное, X — множество всех матриц размера n × m с элементами из ; операции стандартные;

1.1. Определение линейного пространства
9

11) = , X — множество всех непрерывных функций на некотором
заданном отрезке; операции стандартные;
12) = , X = {a + b
2 | a, b ∈ }, операции стандартные?

Решение. 1) Полуплоскость X не является линейным пространством относительно стандартных операций, поскольку не является
даже абелевой группой по сложению: если ненулевой вектор v, не лежащий на оси ординат, содержится в X, то обратный к нему вектор −v
не содержится в X.
2) Если плоскость X не проходит через начало координат, то она
не содержит начала координат, которое является тривиальным элементом относительно покоординатно определённого сложения, и потому
не является линейным пространством. Пусть теперь плоскость X проходит через начало координат; тогда она задаётся уравнением вида

Ax + By + Cz = 0,
(1.2)

где коэффициенты A, B и C одновременно не обращаются в нуль. Если
точка P = (x0, y0, z0) удовлетворяет уравнению (1.2), то и обратная
ей относительно сложения точка (−x0, −y0, −z0) тоже удовлетворяет
уравнению (1.2). В силу линейности сумма любых двух решений этого
уравнения тоже является его решением. Ассоциативность и коммутативность сложения вытекают из ассоциативности и коммутативности
сложения действительных чисел. Поэтому X является абелевой группой относительно покоординатного сложения. Свойства ассоциативности и унитарности умножения на числа и дистрибутивность также
вытекают из свойств действительных чисел, поскольку операции в X
определены покоординатно. Таким образом, если плоскость X проходит через начало координат, стандартные операции превращают её
в линейное пространство.
3) Множество векторов на плоскости, все координаты которых
по модулю не превосходят единицы, не является линейным пространством, поскольку операция покоординатного сложения выводит за его
пределы: например, (1, 1) + (0, 1) = (1, 2).
4) Множество является линейным пространством над полем со
стандартными операциями; поэтому оно является линейным пространством и над любым его подполем (в частности, над ). Действительно,
операция сложения на X не использует свойств поля, а если свойства
ассоциативности и дистрибутивности выполнены для всех элементов
поля, то они выполнены и для всех элементов любого его подполя.
5) Рассмотрим теперь множество X =(0, +∞) с операциями, определёнными формулами (1.1). Поскольку произведение двух положи