Книжная полка Сохранить
Размер шрифта:
А
А
А
|  Шрифт:
Arial
Times
|  Интервал:
Стандартный
Средний
Большой
|  Цвет сайта:
Ц
Ц
Ц
Ц
Ц

Введение в теорию схем и квантовые группы.

Покупка
Артикул: 682438.01.99
Язык «пучков с нильпотентами»— неотъемлемая часть багажа совре- менного математического физика, особенно изучающего или использующего приложения суперсимметрий. Книга содержит обработанную запись двухгодового курса лекцийЮ.И.Ма- нина по теории схем Гротендика — геометризации коммутативной алгебры. Изложение исключительно прозрачно и доступно студентам второго курса математических факультетов и чуть более старших курсов—физических. Несуществующая пока некоммутативная геометрия—наука, изучающая некоммутативные алгебры «функций на том, что мы пока не умеем опре- делить». Третья глава книги излагает введение в теорию квадратичных ал- гебр и квантовых групп—раздел некоммутативной геометрии, возникший из примеров и теории интегрируемых динамических систем. Квантовые группы описывают (до этих лекций неизвестные) симметрии обычных пространств, гораздо бо´ льшие, чем те, что описывают группы Ли.
Манин, Ю. И. Введение в теорию схем и квантовые группы.: Курс лекций / Манин Ю.И. - Москва :МЦНМО, 2014. - 256 с.: ISBN 978-5-4439-2159-4. - Текст : электронный. - URL: https://znanium.com/catalog/product/958595 (дата обращения: 27.05.2024). – Режим доступа: по подписке.
Фрагмент текстового слоя документа размещен для индексирующих роботов. Для полноценной работы с документом, пожалуйста, перейдите в ридер.
Ю. И. Манин

Введение в теорию схем
и квантовые группы

Под редакцией Д. А. Лейтеса и С. М. Львовского

Электронное издание

Москва
Издательство МЦНМО
2014

УДК 512.7, 512.667
ББК 22.147
М23

Манин Ю. И.
Введение в теорию схем и квантовые группы
Под ред. Д. А. Лейтеса и С. М. Львовского
Электронное издание
М.: МЦНМО, 2014
256 с.
ISBN 978-5-4439-2159-4

Язык «пучков с нильпотентами» — неотъемлемая часть багажа современного математического физика, особенно изучающего или использующего
приложения суперсимметрий.
Книга содержит обработанную запись двухгодового курса лекций Ю. И. Манина по теории схем Гротендика — геометризации коммутативной алгебры.
Изложение исключительно прозрачно и доступно студентам второго курса
математических факультетов и чуть более старших курсов — физических.
Несуществующая пока некоммутативная геометрия — наука, изучающая
некоммутативные алгебры «функций на том, что мы пока не умеем определить». Третья глава книги излагает введение в теорию квадратичных алгебр и квантовых групп — раздел некоммутативной геометрии, возникший из
примеров и теории интегрируемых динамических систем. Квантовые группы
описывают (до этих лекций неизвестные) симметрии обычных пространств,
гораздо б ´ольшие, чем те, что описывают группы Ли.

Подготовлено на основе книги:
Ю. И. Манин. Введение в теорию схем и квантовые группы / Под ред.
Д. А. Лейтеса и С. М. Львовского. — М.: МЦНМО, 2012.

Издательство Московского центра
непрерывного математического образования
119002, Москва, Большой Власьевский пер., 11,
тел. (499)-241-74-83
http://www.mccme.ru

ISBN 978-5-4439-2159-4
© Ю. И. Манин, 2012
© МЦНМО, 2014

ОГЛАВЛЕНИЕ

Предисловие редактора . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
5
Предисловие к новому изданию. . . . . . . . . . . . . .. . . . . . . . . . . . . . . . . .
6

Г л а в а
1. Аффинные схемы

Введение . .. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
7
§ 1.1.
Уравнения и кольца . . . . . . . . . . . . . . . .. . . . . . . . . . . . . . . . . .
8
§ 1.2.
Геометрический язык: точки . . . . . . . . . . . .. . . . . . . . . . . . . . . . .
13
§ 1.3.
Геометрический язык (продолжение). Функции на спектрах и топология
Зарисского . . . . . . .. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
16
§ 1.4.
Основные свойства топологии Зарисского. . . . . . . . . . . . . . . . . . .
21
§ 1.5.
Аффинные схемы . . .. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
32
§ 1.6.
Топологические свойства некоторых морфизмов . . . .. . . . . . . . . . . .
36
§ 1.7.
Замкнутые подсхемы и примарное разложение . . . . . . . . . . . . . . . .
45
§ 1.8.
Теорема Гильберта о нулях . . . . . . . . . . . . .. . . . . . . . . . . . . . . . .
53
§ 1.9.
Отступление: дзета-функция. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .. . . . . .
57
§ 1.10. Расслоенное произведение . . . . . . . . . . . .. . . . . . . . . . . . . . . . . .
63
§ 1.11. Отступление: аффинные групповые схемы . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
67
§ 1.12. Векторные расслоения и проективные модули . . . . .. . . . . . . . . . . .
77
§ 1.13. Нормальное расслоение и регулярные вложения. . . .. . . . . . . . . . . .
86
§ 1.14. Дифференциалы . . . .. . . . . . . . . . . . . .. . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
90
§ 1.15. Отступление: проблема Серра и теорема Сешадри . . . . . . . . . . . . .
94
§ 1.16. Добавление. Язык категорий. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
98

Г л а в а
2.
Пучки, схемы и проективные пространства

§ 2.1.
Общие сведения о пучках. . . . . . . . . . . . . .. . . . . . . . . . . . . . . . . 108
§ 2.2.
Структурный пучок на Spec A: случай кольца без делителей нуля . . . 114
§ 2.3.
Структурный пучок на Spec A: общий случай . . . . . . . . . . . . . . . . . 116
§ 2.4.
Схемы: склеивание и бирациональная эквивалентность . . . . . . . . . . 119
§ 2.5.
Морфизмы схем . . . .. . . . . . . . . . . . . . .. . . . . . . . . . . . . . . . . . . 124
§ 2.6.
Проективные спектры . . . . . . . . . . . . . . .. . . . . . . . . . . . . . . . . . 126
§ 2.7.
Алгебраические инварианты градуированных колец. Многочлен Гильберта . . . . . . . . . . .. . . . . . . . . . . . . .. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 131
§ 2.8.
Характеристические функции и теорема Безу . . . . . . . . . . . . . . . . . 137

Оглавление

§ 2.9.
Предпучки и пучки модулей: обзор. . . . . . . . . .. . . . . . . . . . . . . . . 141
§ 2.10. Квазикогерентные пучки над аффинными схемами . . . . . . . . . . . . . 145
§ 2.11. Обратимые пучки и группа Пикара . . . . . . . . . .. . . . . . . . . . . . . . 148
§ 2.12. Когомологии Чеха. . .. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 155
§ 2.13. Когомологии проективного пространства. . . . . .. . . . . . . . . . . . . . . 163
§ 2.14. Теорема Серра . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 169
§ 2.15. Пучки на Proj R и градуированные модули. . . . . . . . . . . . . . . . . . . 172
§ 2.16. Приложения к теории многочлена Гильберта . . . . . . . . . . . . . . . . . 175
§ 2.17. Группа Гротендика: первые сведения . . . . . . . .. . . . . . . . . . . . . . . . 180
§ 2.18. Резольвенты и гладкость . . . . . . . . . . . . .. . . . . . . . . . . . . . . . . . 186

Г л а в а
3. Квантовые группы и некоммутативная геометрия

Введение . .. . . . . . . . . . . .. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 192
§ 3.1.
Квантовая группа GLq(2) . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .. . . . . . 194
§ 3.2.
Биалгебры и алгебры Хопфа. . . . . . . . . . . . .. . . . . . . . . . . . . . . . 199
§ 3.3.
Квадратичные алгебры как квантовые линейные пространства. . . . . . 205
§ 3.4.
Пространства квантовых матриц I. Категорная точка зрения. . . . . . . 209
§ 3.5.
Пространства квантовых матриц II. Координатный подход . . . . . . . . 212
§ 3.6.
Добавление потерянных соотношений. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 217
§ 3.7.
От полугрупп к группам. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 221
§ 3.8.
Фробениусовы алгебры и квантовый детерминант . . . .. . . . . . . . . . . 225
§ 3.9.
Комплексы Кошуля и скорость роста квадратичных алгебр . . . . . . . 228
§ 3.10. ∗-алгебры Хопфа и компактные матричные псевдогруппы . . . . . . . . 235
§ 3.11. Уравнения Янга—Бакстера . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 237
§ 3.12. Алгебра в тензорных категориях и функторы Янга—Бакстера. . . . . . 241
§ 3.13. Некоторые открытые проблемы . . . . . . . . . . .. . . . . . . . . . . . . . . . 246

Литература . . . . . . . . . . . .. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 248
Литература, добавленная редактором . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 250
Предметный указатель . . . . . . . . . . . . . . . . .. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 253

Предисловие редактора

Мне давно хотелось сделать доступными манинские «Лекции по алгебраической геометрии» [19, 15*] — мою первую любовь.
Написанные практически одновременно с брошюрой И. Макдональда
[33*] и лекциями Мамфорда [42], манинские лекции поразительно отличаются от них прозрачностью и доходчивостью. Даже появившаяся позже
книга Атьи и Макдональда «Коммутативная алгебра» [1] и еще более наглядное изложение геометрии коммутативной алгебры М. Ридом в книге
[17*], которую я рекомендую как дополнение к этой книге, не смогли заменить эти лекции. О пучках можно теперь прочесть не только довольно
скучноватую книгу Годмана (в переводе с французского превращенного
в Годемана) [8], но и интересную (хотя и толстую) книгу [10*].
Я счастлив, что уговорил, наконец, автора переиздать эти лекции. За
прошедшие 40 лет они совсем не устарели. Наоборот! Лишь теперь их
важность стала доходить не только до математиков, но и до физиков-теоретиков. Без элементов теории категорий, особенно понятий представимого
и копредставимого функторов, сейчас невозможно внятно (и верно) изложить многие результаты (а то и понятия) современной физики (например,
связанные с суперсимметриями). Книги [34*, 7*] — замечательные учебники теории категорий, но все-таки толстоватые. Студента или физика они
могут и отпугнуть. Вкратце (слишком кратко) нужный материал был изложен по-русски разве лишь в переводе первого издания учебника Ленга
по алгебре, откуда к третьему изданию [31*] категории были как бы изгнаны (видимо, чтобы объем книги не перевалил за 1000 страниц), но без
(ко)представимого функтора обойтись не удалось. А в книге, которую вы
держите в руках и первые издания которой ([19] + [15*]) вышли лишь
в 200 + 500 экземплярах и давно исчезли, все абсолютно необходимое изложено (с примерами!) на нескольких страницах.
Третья глава содержит, среди прочего, потрясающее естественное описание квадратичных алгебр и связанных с ними «скрытых» огромных
квантовых симметрий многих «коммутативных» классических объектов.
(Через полгода после того как я слушал двухчасовую лекцию Ю. И. Манина о них в зимней школе под Москвой, я эту лекцию воспроизвел по
памяти в Мичиганском университете: все действительно замечательное —
просто.)
Тем удивительнее, что эти симметрии никто до сих пор не изучает.

Д. Лейтес

Предисловия

Предисловие к новому изданию

В этой книге собраны под одной обложкой записи двух курсов лекций,
читанных автором в 1966–68 и 1988 гг. соответственно.
Первый из них был посвящен в основном аффинным схемам, т. е. объяснению того, как любое коммутативное кольцо можно рассматривать
в качестве кольца функций на некотором пространстве.
Одной из центральных тем второго курса было распространение этого подхода на теорию некоммутативных колец: квантовые группы в этом
курсе рассматриваются как симметрии «некоммутативных аффинных пространств».
Я надеюсь, что элементарное педагогическое введение в алгебраический язык двух геометрий, коммутативной и некоммутативной, все еще
может быть полезным молодому читателю, тем более что вторая часть его
существовала до сих пор лишь в виде малодоступного издания на английском языке. Конечно, читатель должен иметь в виду, что обе геометрии
бурно развивались в течение последних десятилетий и есть много книг,
излагающих новые результаты и точки зрения.
Я органически неспособен редактировать мои старые тексты: если я начинаю это делать, то меня охватывает непреодолимое желание выкинуть
всё и переписать полностью заново. А интереснее сделать что-нибудь
новое.
Поэтому я хочу от души поблагодарить Д. А. Лейтеса и С. М. Львовского, избавивших меня от этого неблагодарного занятия, и добавить лишь
несколько слов о квантовых группах.
Хорошее введение в эту многогранную структуру — книга Касселя
[11*]. Мой подход постепенно развивался в направлении, следуя которому,
один и тот же основополагающий принцип — построить матрицу с некоммутирующими элементами, удовлетворяющими лишь абсолютно необходимым коммутационным соотношениям — оказался применим во все более
широком контексте н е к о м м у т а т и в н ы х геометрий.
В моей книге [36*] показано, среди прочего, что ограничиваться квадратичными алгебрами (как это сделано в гл. 3 этой книги) совершенно
необязательно.
В статье [25*] показано, что история о квадратичных алгебрах обобщается на операды, а в статье [22*] — что соответствующая теорема из моей
принстонской книжки [36*] проходит в очень широком контексте операдоподобных объектов.
Опуская дюжину работ в том же духе, хочу обратить внимание читателя
на недавние препринты arXiv:0711.2236 и arXiv:0901.0235.

Ю. И. Манин

Г Л А В А
1

АФФИННЫЕ СХЕМЫ

Введение

В первой главе наша цель—практически научить читателя геометрическому языку коммутативной алгебры. Необходимость излагать алгебраический материал отдельно и затем «применять» его к алгебраической геометрии постоянно обескураживала геометров: О. Зарисский и П. Самюэль
очень выразительно пишут об этом в предисловии к книге «Коммутативная
алгебра» [11].
Появление теории схем A. Гротендика открыло счастливую возможность вообще не проводить границу между «геометрией» и «алгеброй» —
они выступают теперь как дополнительные аспекты единого целого, подобно многообразиям и пространствам функций на них в других геометрических теориях.
С этой точки зрения к о м м у т а т и в н а я а л г е б р а с о в п а д а е т
с т е о р и е й л о к а л ь н ы х г е о м е т р и ч е с к и х о б ъ е к т о в — а ф ф и н н ы х с х е м (вернее, функториально ей двойственна).
Расшифровка последней фразы и составляет содержание главы. Я попытался последовательно объяснить, какого рода геометрические представления должны быть связаны, скажем, с примарным разложением, модулями и нильпотентами. По словам Г. Вейля, пространственная интуиция
«неоценима, если сознавать ее ограниченность». Я хотел учесть оба члена
этой изящной формулировки.
Конечно, геометрический акцент оказал сильное влияние и на выбор
материала; в частности, эта глава должна подготовить почву для введения
глобальных объектов. Поэтому в параграфе о векторных расслоениях на
«наивном» уровне изложены конструкции, принадлежащие по существу
уже теории пучков.
Наконец, мне хотелось как можно раньше ввести категорные понятия,
которые не так важны в локальных вопросах, но играют все большую роль
в дальнейшем. Читателю рекомендуется заранее просмотреть добавление
«Язык категорий» и возвращаться к нему по мере необходимости 1).

1)Сегодня можно посоветовать читателю также и книги [34*] и [7*]. — Здесь и далее
примечания редакторов.

Гл. 1. Аффинные схемы

Следующий небольшой список литературы не претендует на полноту.
Он должен помочь читателю быстрее войти в рабочие аспекты теории,
которые в этих записках отложены, быть может, слишком надолго.
Общие курсы: [25], [19], [42], [10], [3]–[5].
Более специальные вопросы: [19], [18], [20], [21].

§ 1.1. Уравнения и кольца

Изучение алгебраических уравнений—древнейшая математическая наука. В новые времена мода и удобства диктуют обращение к кольцам.
Рассмотрим систему уравнений X:

Fi(T) = 0,
где i ∈ I, T = (Tj)j∈J.

Здесь T = (Tj) — независимые переменные, I, J — некоторые множества
индексов, Fi —многочлены из кольца K[T]. Кольцо K, в котором лежат коэффициенты, считается фиксированным, оно называется основным кольцом или кольцом констант. О системе X говорят, что она определена
над K.
Таким образом, система уравнений, по определению, состоит из следующих объектов: 1) кольцо констант K; 2) «неизвестные» T; 3) многочлены Fi («левые части»).
Что следует называть решением системы X?
Одно определение напрашивается: решение есть набор элементов t =
= (tj)j∈J кольца K такой, что Fi(t) = 0 при всех i ∈ I. Однако это определение слишком ограничительно: нас могут интересовать решения, не принадлежащие K, например, комплексные корни многочлена с вещественными
коэффициентами. Более общ ´о, пусть L — некоторое кольцо. Чтобы рассматривать решения системы X в кольце L, мы должны уметь подставлять
элементы из L в многочлены с коэффициентами из K, в частности, уметь
умножать L на элементы из K. Класс таких колец L выделяется следующим
определением.

1.1.1. Определение. K-алгеброй L называется множество L, снабженное структурами K-модуля и кольца, которые связаны следующими
аксиомами:
а) внешнее умножение K × L → L дистрибутивно относительно сложения слева и справа;
б) k(l1l2) = (kl1)l2 для всех k ∈ K, l1, l2 ∈ L.

1.1.2. Лемма. Пусть L — некоторая K-алгебра, тогда отображение K → L: k → k1L, где 1L — единица в L, является гомоморфизмом колец.

§ 1.1. Уравнения и кольца
9

Наоборот, пусть L—некоторое кольцо, f: K → L—гомоморфизм
колец. Тогда умножение K × L → L, определенное формулой

(k, l) → f(k)l для любых k ∈ K, l ∈ L,

определяет на L структуру K-алгебры.

Д о к а з а т е л ь с т в о, сводящееся к автоматической проверке аксиом,
мы оставляем читателю.

Гомоморфизмом K-алгебр f: L1 → L2 называется отображение, которое одновременно является гомоморфизмом K-модулей и колец.

1.1.3. Пример. Любое кольцо L является Z-алгеброй (Z всегда обозначает кольцо целых чисел). Эта структура определена однозначно гомоморфизмом Z → L, при котором единица переходит в единицу.

Теперь мы можем определить, что такое решение системы X.

1.1.4. Определение. Решением системы X со значениями в K-алгебре L называется семейство элементов t = (tj)j∈J, tj ∈ L, для которого
Fi(t) = 0 при всех i ∈ I. Множество таких решений обозначается X(L).

По предыдущему замечанию, для системы с целыми коэффициентами
можно рассматривать ее решения в любом коммутативном кольце.
Пусть f: L1 → L2 — гомоморфизм K-алгебр. Сопоставляя каждому решению t = (tj) системы X со значениями в L1 решение (f(tj)) этой же системы со значениями в L2, получаем отображение множеств X(L1) → X(L2).
Следующее старинное рассуждение содержит в зародыше обе эти идеи.

1.1.5. Примеры.
1) Язык сравнений. Пусть n — целое число вида
4m + 3. Вот классическое доказательство того, что n не является суммой
двух квадратов целых чисел: иначе было бы разрешимо сравнение

T2
1 + T2
2 ≡ 3
(mod 4);

простейший перебор показывает, что это не так.
С нашей точки зрения это означает следующее. Пусть X — уравнение

T2
1 + T2
2 = n,
где K = Z.

Мы хотим доказать, что X(Z) = ∅. Рассмотрим гомоморфизм Z → Z/(4)
(редукция по модулю 4); он определяет отображение множеств решений

X(Z) → X(Z/4Z).

Если бы X(Z) было непусто, то и X(Z/4Z) было бы непусто, что не так.
Более общ ´о, для любой системы уравнений X с целыми коэффициентами и любого целого числа m мы можем рассматривать множества X(Z/mZ)

Гл. 1. Аффинные схемы

и пытаться извлекать отсюда сведения о X(Z). Вообще, если X(L) = ∅ для
какого угодно нетривиального (1 ̸= 0) кольца L, то и X(Z) = ∅. (Практически обычно проверяют конечные кольца Z/mZ и поле вещественных
чисел R.) Ряд самых глубоких результатов теории диофантовых уравнений связан с вопросом, когда верно обратное утверждение. Прототипом
их является теорема Лежандра: пусть X — уравнение

a1T2
1 + a2T2
2 + a3T2
3 = 0,
где K = Z;

если X(Z) = {(0, 0, 0)}, то хотя бы для одного из колец L = Z/mZ, где
m ̸= 0, 1, или L = R имеем X(L) = {(0, 0, 0)} [2, гл. 1, § 7].
2) Пусть K = R, число неизвестных конечно и равно n. Тогда X(R) ⊂ Rn

есть алгебраическое множество над R, X(C) ⊂ Cn — его «комплексификация». Из-за алгебраической замкнутости поля C изучение множества
X(C) часто оказывается более легким и в большинстве случаев составляет необходимый первый этап исследования, даже если мы в основном
интересуемся чисто вещественными вопросами.
Яркий пример доставляет следующая теорема Харнака.
Пусть F(T0, T1, T2) — форма степени d с вещественными коэффициентами. Уравнение F = 0 определяет на вещественной проективной плоскости
кривую X(R). Теорема Харнака утверждает, что число связных компо
нент этой кривой не превосходит (d − 1)(d − 2)

2
+ 1.

0
1
2

T1
T0

T2
T0

F = T0T 2
1 − T2(T2 − T0)(T2 − 2T0)

X(R) на проективной плоскости

Рис. 1.1

X(R) ⊂ X(C)

тор X(C)

Рис. 1.2

Метод доказательства теоремы основан именно на вложении X(R) в
X(C), а не в проективную плоскость, где она банально помещается с самого
начала. Ограничимся для простоты случаем, когда кривая X(C) «неособа»,
то есть является компактным ориентируемым двумерным многообразием.

§ 1.1. Уравнения и кольца
11

Его род, то есть «число ручек», равен тогда (d − 1)(d − 2)

2
(на рис. 1.2: d =
= 3, X(C) —тор). Доказательство теоремы основано на двух утверждениях.
Прежде всего, автоморфизм комплексного сопряжения действует на
X(C) непрерывно, и X(R) является в точности множеством неподвижных
точек этого автоморфизма. Кроме того, если «разрезать» X(C) вдоль X(R),
то X(C) распадется в точности на два куска, как распадается сфера Римана, разрезанная вдоль вещественной оси (случай d = 1). Отсюда оценка
Харнака получается уже несложными чисто топологическими соображениями; см., например, [24, § 44].
3) X — уравнение 0 · T + 2 = 0, где K = Z. Очевидно,

X(L) =

∅,
если 2 · 1L ̸= 0,
L,
если 2 · 1L = 0.

Пример нарочито искусственный, но подобные ему встречаются в «арифметической геометрии»: дискриминанты и дифференты появляются именно
так.

1.1.6. Определение. Две системы уравнений X, Y с одними и теми же
неизвестными, заданные над кольцом K, называются эквивалентными,
если X(L) = Y(L) для любой K-алгебры L.

Среди систем уравнений, которые эквивалентны данной, мы можем
рассмотреть «самую большую», которая однозначно определяется.
Именно, пусть P — идеал в кольце многочленов K[T], где T = (Tj)j∈J,
порожденный левыми частями {Fi(T) | i ∈ I} системы уравнений X. Легко
понять, что система уравнений, полученная приравниванием к нулю всех
элементов идеала P, эквивалентна данной системе уравнений F(T) = 0. В то
же время построенная система максимальна в том смысле, что если к ней
добавить еще одно уравнение f(T) = 0, в ней не содержащееся, то получится новая, неэквивалентная данной, система. Чтобы в этом убедиться,
достаточно в качестве K-алгебры L взять факторкольцо K[T′]/P, где T′ =
= (T′
j)j∈J — независимые переменные. В этом кольце L решением исходной
системы будет t = (tj), где tj ≡ T′
j (mod P), в то время как f(t) ̸= 0, потому
что f /∈ P.

1.1.7. Предложение. X(L) = HomK (A, L), где A = K[T]/P, T = (Tj)j∈J,
а HomK — множество гомоморфизмов K-алгебр.

Д о к а з а т е л ь с т в о. Пусть t = (tj) ∈ X(L). Существует гомоморфизм
K-алгебр K[Tj] → L, который на K совпадает со структурным гомоморфизмом K → L (см. п. 1.1.2), a Tj переводит в tj. По определению множества
X(L), P принадлежит ядру этого гомоморфизма, так что его можно провести через гомоморфизм A = K[T]/P → L.