Аналитическая теория дифференциальных уравнений. Том 1

Аналитическая теория 
дифференциальных 
уравнений

Ю. С. Ильяшенко, С. Ю. Яковенко 
 Аналитическая теория дифференциальных уравнений

Ю. С. Ильяшенко 
С. Ю. Яковенко

ISBN 978-5-4439-0230-2

9 785443 902302 >

Том 1

Ю. С. Ильяшенко, С. Ю. Яковенко

Аналитическая теория
дифференциальных уравнений

Том 1

Электронное издание

Допущено УМО по классическому университетскому образованию
в качестве учебного пособия для студентов высших учебных заведений,
обучающихся по направлениям 01.03.01 «Математика»,
01.03.03 «Механика и математическое моделирование», специальности
01.05.01 «Фундаментальные математика и механика»

Москва
Издательство МЦНМО
2014

УДК 517.91
ББК 22.161.6
И49

Ильяшенко Ю. С., Яковенко С. Ю.
Аналитическая теория дифференциальных уравнений. Том 1.
М.: МЦНМО, 2014.
428 с.
ISBN 978-5-4439-2088-7

Предлагаемая книга — первый том двухтомной монографии, посвящённой аналитической теории дифференциальных уравнений.
В первой части этого тома излагается формальная и аналитическая теория нормальных форм и теорема о разрешении особенностей
для векторных полей на плоскости.
Вторая часть посвящена алгебраически разрешимым локальным
задачам теории аналитических дифференциальных уравнений, квадратичным векторным полям и проблеме локальной классификации
ростков векторных полей в комплексной области. Дано современное
изложение работы Дюлака (1908) об условиях центра и классической
работы Баутина о рождении не более чем трех предельных циклов при
бифуркации особой точки квадратичного векторного поля типа центр.
Изложена теория алгебраически разрешимых локальных задач и доказана алгебраическая неразрешимость проблемы различения центра
и фокуса.
В третьей части изложена линейная теория: подход Арнольда
к теории нормальных форм линейных систем с нелинейной точки зрения, проблема Римана — Гильберта, явление Стокса, теорема Сибуи
о секториальной нормализации.
В приложениях приводится необходимый минимум сведений
из теории римановых поверхностей и многомерного комплексного
анализа.
Книга предназначена для студентов, аспирантов и научных работников физико-математических специальностей.

Подготовлено на основе книги:
Ю. С. Ильяшенко, С. Ю. Яковенко. Аналитическая теория дифференциальных
уравнений. Том 1. — М.: МЦНМО, 2014.

Издательство Московского центра
непрерывного математического образования
119002, Москва, Большой Власьевский пер., 11. Тел. (499) 241–74–83.
http://www.mccme.ru

ISBN 978-5-4439-2088-7

ffi Ильяшенко Ю. С.,
Яковенко С. Ю., 2014
ffi МЦНМО, 2014

Оглавление

Предисловие . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
11

Часть I
нормальные формы и разрешение особенностей

Глава 1.
Аналитические дифференциальные уравнения
в комплексной области . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
17

§ 1.1. Дифференциальные уравнения и их решения. Задача Коши . . . . . .
17
§ 1.2. Принцип сжимающих отображений . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
18
§ 1.3. Применение принципа сжимающих отображений
к оператору Пикара . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
19
§ 1.4. Линейные дифференциальные уравнения.
Экспонента линейного оператора . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
22
§ 1.5. Теорема о выпрямлении . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
24
§ 1.6. Векторные поля. Эквивалентность векторных полей . . . . . . . . . . . .
26
§ 1.7. Векторное поле как оператор дифференцирования . . . . . . . . . . . . .
27
§ 1.8. Выпрямление векторного поля . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
29
§ 1.9. Однопараметрические группы голоморфных отображений . . . . . . .
29
Упражнения и задачи . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
30

Глава 2.
Голоморфные слоения и их особые точки. . . . . . . . . . . . . . . . . .
32

§ 2.1. Основные определения . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
32
§ 2.2. Слоения и интегрируемые распределения . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
34
§ 2.3. Голономия . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
36
§ 2.4. Слоения с особенностями . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
39
§ 2.5. Комплексные сепаратрисы . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
42
§ 2.6. Надстройка над отображением в себя . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
45
Упражнения и задачи . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
46

Глава 3.
Формальные потоки и теорема о включении в поток . . . . . . . . .
48

§ 3.1. Формальные векторные поля и формальные отображения . . . . . . . .
48
§ 3.2. Теорема об обратной функции . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
52
§ 3.3. Интегрирование и формальные потоки формальных
векторных полей . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
53
§ 3.4. Включение в поток и матричные логарифмы . . . . . . . . . . . . . . . . .
55
§ 3.5. Логарифмы и дифференциальные операторы . . . . . . . . . . . . . . . . .
57
§ 3.6. Включение в формальный поток . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
59
Упражнения и задачи . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
59

Глава 4.
Формальные нормальные формы . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
61

§ 4.1. Теорема о формальной классификации . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
61
§ 4.2. Шаг индукции: гомологическое уравнение . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
62

Оглавление

§ 4.3. Разрешимость гомологического уравнения . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
63
§ 4.4. Резонансные нормальные формы: парадигма Пуанкаре — Дюлака . .
65
§ 4.5. Теорема Белицкого . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
67
§ 4.6. Параметрический случай . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
71
§ 4.7. Формальная классификация формальных отображений . . . . . . . . . .
73
§ 4.8. Каспидальные точки . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
74
§ 4.9. Векторные поля с нулевой линейной частью . . . . . . . . . . . . . . . . .
76
§ 4.10. Формальные нормальные формы элементарных особых точек
на вещественной плоскости . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
78
Упражнения и задачи . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
82

Глава 5.
Голоморфные нормальные формы . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
83

§ 5.1. Области Пуанкаре и Зигеля . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
83
§ 5.2. Голоморфная классификация в области Пуанкаре . . . . . . . . . . . . . .
84
§ 5.3. Резонансный случай: полиномиальная нормальная форма . . . . . . .
89
§ 5.4. Голоморфные нормальные формы отображений . . . . . . . . . . . . . . .
91
§ 5.5. Приведение к линейной нормальной форме в области Зигеля:
теоремы Зигеля, Брюно и Йоккоза (мини-обзор) . . . . . . . . . . . . . .
93
§ 5.6. Гомотопический метод . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
95
§ 5.7. Альтернатива для расходимости нормализующего ряда . . . . . . . . . .
99
§ 5.8. Ёмкость и неравенство Бернштейна . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 102
Упражнения и задачи . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 103

Глава 6.
Конечно порождённые группы ростков
конформных отображений . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 105

§ 6.1. Эквивалентность конечно порождённых групп ростков
конформных отображений . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 105
§ 6.2. Первые шаги формальной классификации . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 108
§ 6.3. Интегрируемые ростки . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 115
§ 6.4. Динамика конечно порождённых групп ростков и псевдогруппы . . . 117
§ 6.5. Периодические орбиты и периодические ростки . . . . . . . . . . . . . . . 119
§ 6.6. Замыкание псевдогруппы и плотность орбит . . . . . . . . . . . . . . . . . 121
§ 6.7. Счётное число предельных циклов для типичных псевдогрупп . . . . . 123
§ 6.8. Жёсткость конечно порождённых групп конформных ростков . . . . . 124
§ 6.9. Ослабление условий типичности . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 128
Упражнения и задачи . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 129

Глава 7.
Голоморфные инвариантные многообразия . . . . . . . . . . . . . . . . 130

§ 7.1. Инвариантные многообразия для гиперболических особых точек . . 130
§ 7.2. Гиперболические инвариантные кривые для седлоузлов . . . . . . . . . 134
Упражнения и задачи . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 136

Глава 8.
Разрешение особенностей на плоскости . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 138

§ 8.1. Полярное раздутие . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 138
§ 8.2. Алгебраическое раздутие (σ-процесс) . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 140
§ 8.3. Раздутие аналитических кривых и слоений с особенностями . . . . . . 143
§ 8.4. Теорема о разрешении особенностей . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 145
§ 8.5. Раздутие в аффинной карте: вычисления . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 147
§ 8.6. Дивизоры . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 149
§ 8.7. Кратность пересечения и индекс пересечения . . . . . . . . . . . . . . . . 151
§ 8.8. Раздутие и индекс пересечения . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 156
§ 8.9. Раздутие и кратность слоений с особенностями . . . . . . . . . . . . . . . 160

Оглавление
5

§ 8.10. Разрешение каспидальных точек . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 162
§ 8.11. Заключительные замечания: уничтожение резонансных узлов
и дикритических касаний . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 165
Упражнения и задачи . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 167

Часть II
особые точки аналитических
векторных полей на плоскости

Глава 9.
Векторные поля на плоскости
с характеристическими траекториями . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 171

§ 9.1. Первые шаги: классификация Пуанкаре . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 171
§ 9.2. Секториальное разбиение окрестностей неэлементарных
особых точек . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 173
§ 9.3. Монодромные особые точки, характеристические орбиты,
предельные циклы . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 174
§ 9.4. Основная альтернатива и топологическая классификация особых
точек с характеристическими орбитами . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 176
§ 9.5. Три вопроса . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 179
§ 9.6. Три кошмара . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 179
§ 9.7. Алгебраическая разрешимость . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 181
§ 9.8. Разрешимость проблемы вычисления кратности . . . . . . . . . . . . . . . 182
§ 9.9. Алгебраическая разрешимость основной альтернативы . . . . . . . . . . 183
§ 9.10. Топологически достаточные струи . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 185
§ 9.11. Вывод . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 186
Упражнения и задачи . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 186

Глава 10. Алгебраическая разрешимость локальных задач.
Проблема различения центра и фокуса . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 188

§ 10.1. Разрешимость в пространствах струй: терминология . . . . . . . . . . . 189
§ 10.2. Топологическая классификация вырожденных элементарных
особенностей на плоскости . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 191
§ 10.3. Обобщённые эллиптические точки и проблема различения
центра и фокуса . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 194
§ 10.4. Вычисление отображения голономии . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 196
§ 10.5. Почти алгебраическая разрешимость проблемы различения центра
и фокуса в обобщённом эллиптическом случае . . . . . . . . . . . . . . . . 199
§ 10.6. Разрешимость до коразмерности 1 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 200
§ 10.7. Неразрешимость проблемы устойчивости для слабого фокуса . . . . . 201
Упражнения и задачи . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 206

Глава 11. Голономия и первые интегралы . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 208

§ 11.1. Проблема интегрируемости и её разрешимость . . . . . . . . . . . . . . . 208
§ 11.2. Интегрируемость вещественных слоений . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 210
§ 11.3. Исчезающая голономия особой точки слоения . . . . . . . . . . . . . . . . 212
§ 11.4. Топология комплексных слоений и (не)интегрируемость
элементарных особенностей . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 213
§ 11.5. Теорема Пуанкаре — Ляпунова: доказательство и (контр)примеры . . 217
§ 11.6. Простые слоения на (2, 0) . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 220

Оглавление

§ 11.7. Обзор дальнейших результатов . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 223
Упражнения и задачи . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 228

Глава 12. Нули аналитических функций, зависящих от параметров,
и малые предельные циклы . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 230

§ 12.1. Бифуркация Пуанкаре — Андронова — Хопфа — Такенса:
малые предельные циклы, рождающиеся из эллиптических точек . . 230
§ 12.2. Идеал Баутина и производящие функции . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 232
§ 12.3. Начала формальной теории . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 234
§ 12.4. Идеал Баутина сходящегося ряда . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 238
§ 12.5. Индекс Баутина и цикличность . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 241
§ 12.6. Эллиптические векторные поля на плоскости:
идеалы Баутина и Дюлака . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 245
§ 12.7. Универсальные полиномиальные семейства, цикличность
и локализованная проблема Гильберта . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 251
Упражнения и задачи . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 254

Глава 13. Квадратичные векторные поля и теорема Баутина . . . . . . . . . . . 255

§ 13.1. Квадратичные векторные поля . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 255
§ 13.2. Условия Дюлака на центр . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 257
§ 13.3. Неприводимые компоненты многообразия Дюлака . . . . . . . . . . . . . 258
§ 13.4. Доказательство теоремы Дюлака 13.3 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 259
§ 13.5. Символьные вычисления и «доказательство» теоремы
Жолондека 13.4 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 262
§ 13.6. Завершающие замечания . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 263
Упражнения и задачи . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 264

Глава 14. Комплексные сепаратрисы голоморфных слоений . . . . . . . . . . . 265

§ 14.1. Инвариантные кривые . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 265
§ 14.2. Линеаризация вдоль инвариантных кривых и индекс
комплексной сепаратрисы . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 266
§ 14.3. Суммарный индекс вдоль гладкой компактной
инвариантной кривой . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 269
§ 14.4. Индекс и раздутие . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 271
§ 14.5. Точки Кано . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 271
§ 14.6. Доказательство теоремы Камачо — Сада . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 274
§ 14.7. Локальная проблема Пуанкаре . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 274
§ 14.8. Вес компоненты исчезающего дивизора . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 276
§ 14.9. Взвешенная сумма порядков малости . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 279
§ 14.10. Минимальность интегрируемых слоений . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 282
Упражнения и задачи . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 285

Часть III
локальная и глобальная теория линейных систем

Глава 15. Общие факты о линейных системах . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 289

§ 15.1. Линейные дифференциальные уравнения: пфаффовы,
обыкновенные, матричные . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 289
§ 15.2. Фундаментальные системы решений . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 290
§ 15.3. Монодромия и голономия . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 293

Оглавление
7

§ 15.4. Калибровочное преобразование и голоморфная эквивалентность . . 294
§ 15.5. Системы с изолированными особыми точками . . . . . . . . . . . . . . . . 295
Упражнения и задачи . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 296

Глава 16. Локальная теория регулярных особых точек
и её приложения . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 298

§ 16.1. Регулярные особенности . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 298
§ 16.2. Фуксовы особые точки . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 301
§ 16.3. Формальная классификация фуксовых особенностей . . . . . . . . . . . . 301
§ 16.4. Голоморфная классификация фуксовых особенностей . . . . . . . . . . . 304
§ 16.5. Интегрируемость нормальных форм . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 306
§ 16.6. Дальнейшее упрощение нормальной формы фуксовых систем . . . . . 307
§ 16.7. Нелокальная теория линейных систем на сфере :
теорема Римана — Фукса . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 308
§ 16.8. Фуксовы системы и проблема Римана — Гильберта . . . . . . . . . . . . . 309
§ 16.9. Определитель Вронского инвариантной подсистемы . . . . . . . . . . . . 313
§ 16.10. Монополи . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 313
Упражнения и задачи . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 317

Глава 17. Глобальная теория линейных систем: голоморфные
векторные расслоения и мероморфная связность . . . . . . . . . . . . 318

§ 17.1. Голоморфное векторное расслоение . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 318
§ 17.2. Коциклы . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 320
§ 17.3. Операции над расслоениями . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 322
§ 17.4. Классификация линейных расслоений над сферой Римана . . . . . . . 324
§ 17.5. Сечения голоморфных векторных расслоений . . . . . . . . . . . . . . . . 327
§ 17.6. Степень голоморфного расслоения . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 328
§ 17.7. Голоморфная и мероморфная связность . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 330
§ 17.8. Связности и линейные системы . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 331
§ 17.9. Связности линейных расслоений. След мероморфной связности . . . . 334
§ 17.10. Классификация голоморфных векторных расслоений над . . . . . . . 336
Упражнения и задачи . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 342

Глава 18. Проблема Римана — Гильберта . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 345

§ 18.1. Проблема Римана — Гильберта для абстрактных расслоений . . . . . . 346
§ 18.2. Связности на тривиальном расслоении . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 349
§ 18.3. Инвариантные подрасслоения и неприводимость . . . . . . . . . . . . . . 351
§ 18.4. Теорема Болибруха — Костова . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 355
§ 18.5. Контрпример Болибруха . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 357
Упражнения и задачи . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 360

Глава 19. Линейные дифференциальные уравнения высших порядков . . . . 362

§ 19.1. Дифференциальные уравнения высших порядков:
алгебраическая теория . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 362
§ 19.2. Линейные обыкновенные дифференциальные уравнения:
наивный подход . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 364
§ 19.3. Факторизация дифференциальных операторов . . . . . . . . . . . . . . . . 367
§ 19.4. Фуксовы особенности уравнений высших порядков . . . . . . . . . . . . 371
§ 19.5. Струйные расслоения и инвариантные конструкции . . . . . . . . . . . . 373
§ 19.6. Проблема Римана — Гильберта для уравнений высших порядков . . . 378
Упражнения и задачи . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 382

Оглавление

Глава 20. Иррегулярные особенности и явление Стокса . . . . . . . . . . . . . . 384
§ 20.1. Иррегулярные особые точки в размерности 1 . . . . . . . . . . . . . . . . . 384
§ 20.2. Стандартная форма Биркгофа . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 385
§ 20.3. Резонансы и формальная диагонализация . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 388
§ 20.4. Формальное упрощение резонансного случая . . . . . . . . . . . . . . . . . 389
§ 20.5. Срезающее преобразование и разветвлённая формальная
нормальная форма . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 390
§ 20.6. Голоморфная секториальная нормализация . . . . . . . . . . . . . . . . . . 392
§ 20.7. Секториальные автоморфизмы и матрицы Стокса . . . . . . . . . . . . . 393
§ 20.8. Явление Стокса. Голоморфная классификация
иррегулярных особенностей . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 394
§ 20.9. Теорема реализуемости . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 397

Дополнение: доказательство теоремы Сибуи

§ 20.10. Нормализация в «узких» секторах . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 398
§ 20.11. Ключевой пример . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 400
§ 20.12. Интегральное уравнение и доказательство теоремы 20.23 . . . . . . . . 403
§ 20.13. Расширение секторов и доказательство теоремы Сибуи 20.16 . . . . . . 405
Упражнения и задачи . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 405

Приложение А. Элементы многомерного комплексного анализа . . . . . . . . 406
§ А.1. Голоморфные функции нескольких переменных . . . . . . . . . . . . . . . 406
§ А.2. Теорема об обратной функции . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 406
§ А.3. Мультииндексные обозначения . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 407
§ А.4. Интегральная формула Коши . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 407
§ А.5. Следствия . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 407
§ А.6. Принцип компактности Вейерштрасса . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 408
§ А.7. Устранение особенностей ограниченных функций . . . . . . . . . . . . . 408
§ А.8. Устранение компактных особенностей . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 408
§ А.9. Ростки голоморфных функций . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 409
§ А.10. Мероморфные функции . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 409
§ А.11. Аналитические множества . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 410
§ А.12. Голоморфные функции нескольких переменных . . . . . . . . . . . . . . . 410
§ А.13. Локальная униформизация . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 410
§ А.14. Аналитичность и алгебраичность . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 411

Приложение Б. Элементы теории римановых поверхностей . . . . . . . . . . . 412

§ Б.1. Римановы поверхности и алгебраические кривые . . . . . . . . . . . . . . 412
§ Б.2. Род и степень алгебраической кривой . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 412
§ Б.3. Мероморфные функции на римановых поверхностях . . . . . . . . . . . 413
§ Б.4. Голоморфные и мероморфные формы на римановых поверхностях . . 413
§ Б.5. Униформизация . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 414

Список обозначений . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 415

Предметный указатель . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 417

Литература . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 422

Елене и Анне,

за их бесконечное терпение
и неистощимую поддержку
в течение этих долгих лет‌