Группы отражений и правильные многогранники

Е. Ю. Смирнов

Группы отражений
и правильные
многогранники

МЦНМО

Летняя школа «Современная математика»
Дубна, июль 2008

Е.Ю.Смирнов

Группы отражений и правильные
многогранники

Электронное издание

Москва
Издательство МЦНМО
2014

УДК 514.113.5, 512.542
ББК 22.1.51, 22.14
С50

Смирнов Е. Ю.
Группы отражений и правильные многогранники
Электронное издание
М.: МЦНМО, 2014
48 с.
ISBN 978-5-4439-2077-1

Брошюра написана по материалам цикла лекций, прочитанных автором участникам Летней школы «Современная математика» в Дубне
20––26 июля 2008 г. В ней излагается классификация правильных многогранников в евклидовом пространстве произвольной размерности. Попутно
читатель знакомится с такими важными алгебраическими понятиями, как
группы отражений и системы корней.
Материал, изложенный в брошюре, иллюстрирует связь геометрии,
теории групп и комбинаторики.
Брошюра адресована студентам младших курсов.

Подготовлено на основе книги: Смирнов Е. Ю. Группы отражений и правильные
многогранники. –– М.: МЦНМО,
2009. –– 48 с.

Издательство Московского центра
непрерывного математического образования
119002, Москва, Большой Власьевский пер., 11,
тел. (499)241–74–83.
http://www.mccme.ru

ISBN 978-5-4439-2077-1
© Е. Ю. Смирнов, 2009.
© МЦНМО, 2014.

Оглавление

Введение . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
4

Лекция 1 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
7
1.1. Правильные многогранники в размерностях 2 и 3 . . . . . . . .
7
1.2. Группы отражений: основные определения и первые примеры .
10

Лекция 2 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
13
2.1. Системы корней
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
13
2.2. Простые и положительные корни
. . . . . . . . . . . . . . . . .
14
2.3. Сопряженность систем простых и положительных корней . . .
18
2.4. Группа W порождается простыми отражениями . . . . . . . . .
18
2.5. Многогранные конусы и двойственность
. . . . . . . . . . . . .
19
2.6. Камеры Вейля и фундаментальная область группы отражений .
20

Интермедия: группы отражений и кватернионы . . . . . . . . . .
23
21/2.1. Двулистное накрытие Sp(1) → SO(3)
. . . . . . . . . . . . . .
23
21/2.2. Конечные подгруппы в H суть системы корней . . . . . . . . .
24
21/2.3. Бинарные группы платоновых тел . . . . . . . . . . . . . . . .
25

Лекция 3 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
27
3.1. Графы Кокстера: определение
. . . . . . . . . . . . . . . . . . .
27
3.2. Классификация конечных групп отражений: формулировка результата . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
28
3.3. Доказательство теоремы 3.5: инструментарий
. . . . . . . . . .
29
3.4. Доказательство теоремы 3.5: необходимость . . . . . . . . . . .
31
3.5. Доказательство теоремы 3.5: достаточность
. . . . . . . . . . .
34

Лекция 4 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
37
4.1. Правильные многогранники и их группы симметрий . . . . . . .
37
4.2. Образующие группы Sym M и соотношения между ними . . . .
39
4.3. Система корней группы Sym M . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
40
4.4. Построение правильного многогранника по его группе симметрий 42
4.5. Подсчет числа граней у правильных многогранников . . . . . .
45
Литература . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
48

Введение

Основной целью нашего курса является описание всех правильных
многогранников в пространстве произвольной размерности. На плоскости
для всякого m ⩾ 3 существует ровно один (с точностью до подобия)
правильный m-угольник. В трехмерном пространстве правильных многогранников пять: тетраэдр, куб, октаэдр, икосаэдр и додекаэдр. А что
происходит в пространствах других размерностей?

∗ ∗ ∗
Правильные многогранники известны человечеству с давних времен.
Так, например, недавно в Шотландии при раскопках были обнаружены
камни, ограненные в виде всех пяти правильных многогранников. Эти
находки относят ко второму тысячелетию до нашей эры.
Первое письменное упоминание о правильных многогранниках принадлежит грекам. Пифагорейцам были известны тетраэдр, куб и октаэдр.
Описание додекаэдра и икосаэдра приписывается Теэтету Афинскому
(начало IV в. до н.э.); по-видимому, он же доказал, что других правильных
многогранников не существует.
Наиболее известное описание правильных многогранников содержится в диалоге Платона «Тимей», написанном около 360 г. до н.э. Именно
поэтому они часто называются платоновыми телами. В «Тимее» приводятся конструкции четырех многогранников и говорится, что они олицетворяют четыре стихии: тетраэдр –– это огонь, куб –– земля, октаэдр ––
воздух, а икосаэдр –– вода. Додекаэдр, согласно Платону, символизирует
Вселенную.
Идеи о ключевой роли правильных многогранников в устройстве мироздания пытался развить Иоганн Кеплер в своей работе «Mysterium
Cosmographicum» (1596 г.). Кеплер предполагал, что если расположить
пять платоновых тел в определенном порядке между шестью концентрическими сферами так, чтобы каждая сфера была описана вокруг меньшего
многогранника и вписана в больший, то радиусы этих сфер будут пропорциональны расстояниям от Солнца до всех шести известных в те
времена планет: Меркурия, Венеры, Земли, Марса, Юпитера и Сатурна.
Правда, впоследствии сам Кеплер на основании более точных измерений
и вычислений пришел к выводу об ошибочности такой модели.

∗ ∗ ∗
Задача классификации правильных многогранников в Rn была решена
швейцарским геометром Людвигом Шлефли в 1852 году. Его работу [9],