Основы дифференциальной геометрии в интересных задачах

А. Б. Скопенков

Основы
дифференциальной
геометрии
в интересных задачах

МЦНМО

А. Б. Скопенков

Основы дифференциальной геометрии
в интересных задачах

Электронное издание

Москва
Издательство МЦНМО
2014

УДК 271.21
ББК 22.15
C44

Скопенков А. Б.
Основы дифференциальной геометрии в интересных задачах
Электронное издание
М.: МЦНМО, 2014
72 с.
ISBN 978-5-4439-2076-4

Настоящая брошюра возникла на основе курса лекций, прочитанных
автором на Летней математической школе «Современная математика» в
Дубне в 2007 г. В ней показано, как при решении интересных геометрических проблем, близких к приложениям, естественно возникают различные
понятия кривизны, отличающей изучаемую геометрию от «обычной». Приведены прямые элементарные определения этих понятий.
Брошюра предназначена студентам, аспирантам, работникам науки и
образования, изучающим и применяющим дифференциальную геометрию.
Для ее изучения достаточно владения основами анализа функций нескольких переменных (а во многих местах не нужно даже этого). Материал
преподнесен в виде циклов задач.
Первое издание книги вышло в 2009 году.

Подготовлено на основе книги: Скопенков А. Б.
Основы дифференциальной геометрии в интересных задачах. —
2-е изд., испр. — М.: МЦНМО, 2010. — 72 с.

Издательство Московского центра
непрерывного математического образования
119002, Москва, Большой Власьевский пер., 11,
тел. (499)241–74–83.
http://www.mccme.ru

ISBN 978-5-4439-2076-4
© А. Б. Скопенков, 2010.
© МЦНМО, 2014.

Оглавление

Введение
5
Зачем . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
5
Советы и соглашения . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
7
Литература . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
8

1.
Кривизны кривых
9
1.1.
Кривые . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
9
1.2.
Кривизна кривых . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
11
1.3.
Кручение пространственных кривых
. . . . . . . . .
14

2.
Числовые кривизны поверхностей
17
2.1.
Поверхности . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
17
2.2.
Объемлемая и внутренняя изометрии. Скалярная
кривизна . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
18
2.3.
Площадь поверхности
. . . . . . . . . . . . . . . . .
20
2.4.
Скалярная кривизна (обобщение) . . . . . . . . . . .
21
2.5.
Главные кривизны . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
22
2.6.
Полная средняя кривизна
. . . . . . . . . . . . . . .
26
2.7.
Средняя кривизна в точке . . . . . . . . . . . . . . .
28
2.8.
Полная гауссова кривизна . . . . . . . . . . . . . . .
29
2.9.
Гауссова кривизна в точке . . . . . . . . . . . . . . .
31
2.10.
Геодезические . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
33
2.11.
Параллельный перенос . . . . . . . . . . . . . . . . .
36
2.12.
Секционная кривизна . . . . . . . . . . . . . . . . . .
38

3.
Полилинейные кривизны
поверхностей
42
3.1.
Длины кривых на поверхностях . . . . . . . . . . . .
42
3.2.
Риманова метрика. Применение к внутренним изометриям
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
43
3.3.
Оператор кривизны Вейнгартена
(вторая квадратичная форма)
. . . . . . . . . . . . .
45
3.4.
Билинейная форма кривизны Риччи
. . . . . . . . .
48
3.5.
Тензор кривизны Римана . . . . . . . . . . . . . . . .
52

3

4.
Ковариантное дифференцирование
58
4.1.
Примеры тензорных полей . . . . . . . . . . . . . . .
58
4.2.
Ковариантное дифференцирование функций . . . . .
59
4.3.
Коммутатор векторных полей . . . . . . . . . . . . .
61
4.4.
Ковариантное дифференцирование векторных полей . . .
63
4.5.
Ковариантное дифференцирование тензорных полей
64

5.
Обобщение
68
5.1.
Элементы гиперболической геометрии Лобачевского
68
5.2.
Геометрия на римановых многообразиях . . . . . . .
69

4

Посвящается моей маме

The modern world is full of theories which are proliferating
at a wrong level of generality, we’re so good at theorizing, and
one theory spawns another, there’s a whole industry of abstract
activity which people mistake for thinking.

I. Murdoch. The Good Apprentice

Введение

Зачем

Приводимые задачи подобраны так, что в процессе их решения (и обсуждения) читатель увидит, как при решении интересных геометрических проблем, близких к приложениям, естественно возникают различные
понятия кривизны, отличающей изучаемую геометрию от «обычной».1

Дальнейшие знания читатель сможет почерпнуть в книгах из списка литературы.
Особенность этого текста — возможность познакомиться с некоторыми мотивировками и идеями дифференциальной геометрии при
сведении к необходимому минимуму её языка.
Я старался давать определения так, чтобы сразу было ясно, что определяемый объект интересен. А методы вычисления уже интересных (по
самому их определению) объектов формулировать в виде теорем. (Часто
изучение материала затрудняется тем, что вычислительные формулы
преподносятся в виде определений, которые становятся немотивированными.) Вместо абстрактных общих понятий (например, тензора
и ковариантного дифференцирования) рассматриваются их конкретные
используемые в курсе частные случаи, а обобщение остаётся в виде
задач, которые естественны и легки для читателя, разобравшегося с частными случаями. (Изучение «от общего к частному» часто приводит к абсурдному эффекту: сдающие курс воспроизводят громоздкое определение,
но не могут по этому определению привести ни одного содержательного
примера определяемого объекта.)
Простейшие кривизны — числовые поля, более сложные — поля
квадратичных форм, а тензор кривизны Римана («это маленькое чудовище полилинейной алгебры», по словам М. Громова) — поле четырёхли
1Тем самым он освоит основы дифференциальной геометрии (в частности, б ´ольшую часть
курса, изучаемого на механико-математическом факультете Московского государственного
университета им. М. В. Ломоносова — кроме интегрирования дифференциальных форм
и основ топологии).

5

нейных форм. В этом курсе даются прямые геометрические определения
сначала первых, затем вторых и потом третьего. Конечно, простейшие
кривизны выражаются через более сложные (и такие выражения часто
удобны для вычисления простейших кривизн), но определение простых
понятий через более сложные затрудняет изучение материала.
Ввиду прозрачной геометрической мотивированности изучаемых понятий
изложение в основном синтетично и бескоординатно. Несмотря на стремление к ясности и ориентированность на приложения (а точнее, как раз
в силу такого стремления), я старался поддержать достаточно высокий уровень строгости. Например, чётко различаются параметризованные и непараметризованные кривые и поверхности (отсутствие их чёткого различения
мешает начинающим, хотя допустимо и удобно для специалистов).
Принятый стиль изложения отвечает духу К. Ф. Гаусса (и других первооткрывателей), много занимавшегося приложениями и превратившего
один из разделов географии в данный раздел математики. Изложение
«от простого к сложному» и в форме, близкой к форме рождения материала, продолжает устную традицию, восходящую к Лао Цзы и Платону,
а в современном преподавании математики представленную, например,
книгами Пойа и журналом «Квант».
Мне кажется, принятый стиль изложения не только сделает материал
более доступным, но позволит сильным студентам (для которых доступно
даже абстрактное изложение) приобрести математический вкус и стиль
с тем, чтобы разумно выбирать проблемы для исследования, а также ясно
излагать собственные открытия, не скрывая ошибки (или известности полученного результата) за чрезмерным формализмом. К сожалению, такое
(бессознательное) сокрытие ошибки часто происходит с молодыми математиками, воспитанными на чрезмерно формальных курсах (происходило
и с автором этих строк; к счастью, почти все мои ошибки исправлялись
перед публикациями).
Чтение этого текста и решение задач потребуют от большинства читателей усилий (впрочем, некоторые читатели данного текста жаловались,
что в нём нет серьёзных задач, а есть лишь тривиальные упражнения).
Однако эти усилия будут сполна оправданы тем, что вслед за великими
математиками в процессе изучения интересных геометрических проблем
читатель откроет некоторые основные понятия и теоремы дифференциальной геометрии. Надеюсь, это поможет читателю совершить собственные настолько же полезные открытия (не обязательно в математике)!
Данный текст основан на лекциях и семинарах, которые автор вёл
на мехмате МГУ в 2004 – 2007 годах и в Летней школе «Современная
математика» в 2007 году. Некоторые его фрагменты были представлены на семинаре кафедры дифференциальной геометрии и прило
6

жений мехмата МГУ (рук. акад. РАН А. Т. Фоменко) и на семинаре
по геометрии в МЦНМО (рук. д.ф.м.н. В. Ю. Протасов). Благодарю
А. Иванова, С. Маркелова, А. Ошемкова, А. Пляшечника, В. Прасолова,
А. Толченникова, Г. Челнокова и всех слушателей (точнее, решателей)
курсов за полезные замечания и обсуждения, а В. Прасолова за предоставление рисунка из [Pr]. Во втором издании исправлены опечатки и
сделаны незначительные добавления.

Советы и соглашения

Приводимые определения кривизн независимы друг от друга. Поэтому после изучения поверхностей можно сразу изучать любую из вводимых здесь кривизн (для скалярной, средней и гауссовой кривизн необходимо ещё понятие площади, для секционной и римановой — параллельного переноса, а для риччиевой — геодезических и экспоненциального
отображения). При этом, естественно, задачи о связи изучаемой кривизны
с ещё не изученными придётся отложить на потом.
Для понимания условий и для решения задач достаточно уверенного владения основами анализа функций нескольких переменных (и, чем
дальше, тем больше, линейной алгебры). Все необходимые новые определения приводятся здесь. Кое-где требуется также теорема о существовании и единственности решения дифференциального уравнения.
Важные факты выделены словом «теорема» или «следствие». Иногда
подсказками являются соседние задачи; указания даются в конце каждой
темы. Факты, для доказательства которых читателю может понадобиться
литература (или консультация специалиста), приводятся со ссылками.
Если условие задачи является формулировкой утверждения, то это утверждение и надо доказать.
Рассматриваемые понятия и факты интересны, полезны и нетривиальны
даже для поверхностей вращения и графиков функций (в основном в трёхмерном пространстве), а также для поверхностей многогранников. Например, инвариант Дена, с помощью которого была решена 3-я проблема Гильберта, тесно связан со средней кривизной поверхности многогранника. Поэтому не приводится примеров более сложных поверхностей (кроме плоскости Лобачевского в самом конце). Однако для хорошего понимания материала читателю будет полезно изучить такие примеры [Ra03, MF04].
Заданные в условиях функции предполагаются бесконечно дифференцируемыми, если не оговорено противное. Определения даются в предположении, что используемые в них пределы (в частности, производные)
существуют. Через ·, × и ∧ обозначаются скалярное, векторное и смешанное (не путать с внешним!) произведения, соответственно.

7