Подготовлено на основе книги

C

M

Y

CM

MY

CY

CMY

K

manin_obl_br-3.ai   11.03.2010   1:23:18
manin_obl_br-3.ai   11.03.2010   1:23:18

Ю.И.Манин

Математика
как
метафора

Второе издание, дополненное

Электронное издание

Издательство МЦНМО
Москва 

УДК ()
ББК .г
M

Манин Ю. И.
Математика как метафора
Электронное издание
М.: МЦНМО, 
 с.
ISBN ----

В книге Ю. И. Манина собраны написанные и опубликованные в
разные годы очерки по истории и философии математики и физики,
теории культуры и языка, а также впервые публикуемые отрывки из
воспоминаний, стихи и стихотворные переводы.
Первое издание книги вышло в  году.

Подготовлено на основе книги: Манин Ю. И. Математика как метафора.
-е изд., доп. –– М.: МЦНМО, . ––  с.

Издательство Московского центра
непрерывного математического образования
, Москва, Большой Власьевский пер., ,
тел. ()––.
http://www.mccme.ru

ISBN ----
© Ю. И. Манин, .
© МЦНМО, .

Оглавление

Доказательство существования (вместо предисловия) . . . . . . .


Часть I
Математика как метафора

Математика и культура . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

Математика как метафора . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

Вычислимость и язык . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

Истина, строгость и здравый смысл . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

Истина как ценность и долг: чему нас учит математика . . . . . .

Теорема Г¨еделя . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

Георг Кантор и его наследие . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

Математика как профессия и призвание . . . . . . . . . . . . . . . .


Часть II
Математика и физика

Математика и физика . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

Связи между математикой и физикой . . . . . . . . . . . . . . . . . .

Размышления об арифметической физике . . . . . . . . . . . . . . . 

Часть III
Из ненаписанного

Стихи и переводы . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 
Скупка мыслей на Арбате
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 
Аркадий, Борис, Володя . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .


Часть IV
Язык, сознание, статьи о книгах

К проблеме ранних стадий речи и сознания (филогенез) . . . . . 
«Мифологический плут» по данным психологии и теории
культуры
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .



ОАрхетип Пустого Города . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 
Тынянов и Грибоедов. Заметки о «Смерти Вазир-Мухтара» . . . . 
Солнце, бедный тотем . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

Ватикан, осень  . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

Человек и знак
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 
«Это –– любовь» . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

Новая встреча с Алисой . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

Треугольник мысли
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 
Трилогия о математике . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 
Пространство свободы
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 

Полная библиография работ Ю.И.Манина . . . . . . . . . . . . . .


Доказательство существования
(вместо предисловия)

Памяти моих родителей

В этой книге собраны примерно два десятка моих «нетехнических»
текстов, по большей части написанных и опубликованных за последние тридцать лет. Жанр ее, по старинному выражению, –– маргиналии, заметки на полях, наброски мыслей, подготовительные черновики, не превратившиеся в теоремы, определения, романы или философские трактаты.
Математика, прекрасное ремесло, которым я занимался всю жизнь,
служит здесь не только поводом для нематематических размышлений, но и метафорой человеческого существования. Не следует
понимать эту фразу эзотерически. Математиков мало в каждом поколении, и они общаются часто над головами современников и
через прошедшие десятилетия и столетия, как это делают поэты,
музыканты, философы.
Сопровождающее такую жизнь чувство, «одиночество бегуна на
длинную дистанцию», разные люди компенсируют по-разному. Я с
детства любил чтение обильное и беспорядочное.

∗ ∗ ∗

Большая часть того, что меня занимало в математике, связана
с алгебраической геометрией. Ее основная тема –– изучение решений систем полиномиальных уравнений со многими неизвестными.
Если уравнения выбраны и зафиксированы, мы представляем себе
множество всех их решений, состоящее из n-ок комплексных чисел,
в виде геометрического образа, формы, размещенной в n-мерном
(или 2n-мерном) пространстве. В одних направлениях эта форма
уходит в бесконечность, а в других прихотливо замыкается на себе.
Разнообразие и сложность таких форм бесконечно богаче, чем все,
что можно увидеть на современных выставках абстрактного искусства. Математики научились находить регулярности, взаимосвязи
и закономерности в этом огромном мире.


ДМеня больше всего привлекали приложения алгебраической геометрии к теории чисел и к физике. Одна из старейших задач теории
чисел, восходящая к Древней Греции и до сих пор носящая имя Диофанта Александрийского (около  года нашей эры), также касается
решений полиномиальных уравнений, но на этот раз мы постулируем, что коэффициенты полиномов суть целые числа, и спрашиваем:
Существуют ли решения, у которых все координаты тоже целые
(или рациональные)? Насколько их много?
На заре нашей науки, когда математики античности только учились ставить такие вопросы и находить на них ответы, даже простейшие уравнения приносили глубокие озарения. Тот факт, что
уравнение x2 −2y2 =0 не имеет других целочисленных решений,
кроме x = y =0, открыл глаза на то, что мир геометрических величин
много больше мира «рационально измеримых» величин (диагональ
квадрата несоизмерима с его стороной). По существу, евклидова
геометрия была также началом теоретической физики –– кинематики
идеально твердых тел в двумерном или трехмерном гравитационном
вакууме, –– а попытки связать формы с числами привели много позже
к кристаллизации алгебраического, аналитического и вычислительного аппарата физики. Диагональ единичного квадрата
2, сторона
куба с объемом 2 ( 32) и длина окружности единичного диаметра π
были изначально физическими константами, а привычные нам вещественные числа в истории математики медленно осознавались
как огромное потенциальное вместилище для значений всех физических величин. Целых и рациональных чисел для познания мира не
хватало.
С другой стороны, для описания и физического мира, и мира идей,
для передачи от учителя к ученику того, что уже понято, для сохранения от забвения в следующих поколениях, люди нуждались в словах, символах, знаках, в жестких правилах для обращения с ними.
Силлогизмы Аристотеля оказались таким же зачатком теории языка
науки, как пифагорейские открытия –– зачатком теоретической физики. Медленно, через схоластов, Лейбница, Буля, Гёделя, фон Неймана
и многих других, развивалось осознание того, что с текстами на языке
науки можно обращаться так же, как с целыми числами.
Теория познания, принадлежа философии, находится за пределами
нашего обсуждения, но можно вообразить и ее технические задачи,
скажем, можно ли из данного компендиума знаний логически извлечь
ответ на новый вопрос, или это требует расширения базы знаний?
Через две с лишним тысячи лет после Диофанта и Пифагора выяснилось, что в принципе любая такая задача сводится к одной, которую

Д

мы уже сформулировали: есть ли решение у данной системы диофантовых уравнений?
∗ ∗ ∗
Взаимодействие алгебраической геометрии с теорией чисел привело к пониманию удивительного и фундаментального принципа: ответы на диофантовы вопросы о системе уравнений критически зависят от геометрической формы пространства всех комплексных решений этой системы.
Например, пространство всех комплексных решений может выглядеть (топологически) как сфера, или тор, или сфера с несколькими
ручками. Количество ручек называется родом, это очень устойчивый
инвариант системы уравнений, и кажется, что он имеет мало общего
с арифметическими тонкостями и дискретными точками решетки целочисленных векторов (в проективном пространстве различие между
целыми и рациональными точками стирается).
Тем не менее, род определяет, когда множество всех рациональных
решений может быть бесконечным: только если ручек не больше одной.
Это –– содержание знаменитой гипотезы Морделла, которой я занимался в шестидесятые годы. Позже я попытался наметить контуры
программы, которая прояснила бы взаимоотношения между геометрическими и диофантовыми свойствами в любой размерности.
В рабочий инструментарий теоретической физики до недавнего
времени входили только рудименты алгебраической геометрии. Положение стало меняться в шестидесятые годы прошлого века, когда
аппарат квантовой теории поля и особенно теории струн вывел алгебраическую геометрию на первый план.
Привычный образ мировой линии точечной элементарной частицы был замещен образом мирового листа маленькой струны. Такой
лист выглядит как (риманова) поверхность, и ее род –– число ручек ––
соответствует числу петель в выражениях для фейнмановских амплитуд, которые с сороковых годов стали центральным теоретическим
и вычислительным средством квантовой физики.
Мне удалось вычислить так называемую меру Полякова на пространстве модулей (параметров) римановых поверхностей, знание
которой необходимо для вычисления фейнмановских интегралов.
Оказалось, что она строится из тех же арифметических компонент,
которые играли центральную роль в полном доказательстве гипотезы
Морделла, незадолго до того полученном Гердом Фальтингсом.
Контрапункт этих двух тем –– языка и геометрии, теории чисел
и физики, логики и интуиции –– постоянно возникает в физико-математических частях книги.


Д∗ ∗ ∗

Во второй половине прошлого века взаимный интерес гуманитариев и математиков друг к другу создавал атмосферу, в которой
могло начаться сотрудничество. Разрыв «двух культур» (Ч. П. Сноу)
стал казаться преодолимым, по крайней мере в Москве и в Париже.
Лингвисты, побуждаемые как внутренней логикой своих задач, так
и растущими возможностями компьютеров, начали разрабатывать
принципы точного описания естественных языков; меня особенно
увлекла замечательная общелингвистическая программа «Смысл––
Текст» Игоря Мельчука. Колмогоров с учениками занялся поэтической речью и ее статистикой. Во встречном направлении шли
семиотики и стиховеды. Не обходилось без разочарований и раздражения.
Меня, однако, не соблазняла перспектива применить свои рабочие навыки математика к гуманитарному материалу. Мне хотелось
вжиться в него, как вживаются в чужую страну, и описать увиденное
словами не столь точными, сколь выразительными. (В контексте литературоведения Сьюзен Зонтаг назвала такую установку «эротическим
отношением к литературе».)
Плодами этих мечтаний оказались три статьи: «Архетип Пустого
Города», «„Мифологический плут“ по данным психологии и теории
культуры», «К проблеме ранних стадий речи и сознания (филогенез)».
В конечном счете, все три работы возникли из желания понять
черты коллективной психологии человеческого поведения. Материалистические объяснения истории, сформулированные на деревянном
официальном арго, не объясняли ни ее неправдоподобной жестокости, ни ее творческой страсти. Иногда казалось, что историю делают
не вожди, классы и массы, а кучка садистов руками толп мазохистов.
Я услышал «архетип Пустого Города» в разных мотивах искусства и облек его в словесную оболочку аналитической психологии
Юнга, рационализировав его как подсознательную тень «проектного
сознания», создающего светские и религиозные утопии, иногда невероятной красоты и мощи. В недавних комментариях Г. И. Ревзина

 «В таблицах сумма по столбцам и сумма по строкам никак не хотели сходиться 〈…〉
Впрочем, таблицы с цифрами мало кто читает: в моей книге „Современный русский
стих“ (. C. ) неправильно суммированы подсчеты по тактовику Блока и поэтому
неправильны все выводы из них, но за  лет никто этого не заметил». (Гаспаров М.
Записи и выписки. М.: НЛО, . С. ).

Д

и А. А. Грякалова этот архетип привлекается в дискурсах, посвященных искусствоведению и философии детства.

Мифологический плут требует более пространных комментариев.
Много лет я вел домашний семинар, посвященный психолингвистике и эволюции сознания и интеллекта (это был один из вариантов
традиционных московских посиделок «на кухне»).
Среди его участников и докладчиков были лингвисты, нейробиологи, психиатры, филологи. Мы пытались найти общие интересы
и вопросы, где соединение разных профессиональных знаний, привычек и опыта могли бы привести к чему-нибудь новому.
Я постепенно сосредоточился на раздумьях, которые мог себе
позволить только дилетант. Я попытался вообразить себе зарождение
языка как системы социального поведения.
Методы сравнительного языкознания позволяют реконструировать словарь и грамматику праязыковых состояний в дописьменную
эпоху. Они основаны на сравнении фонетически и семантически
близких слов родственных языков, затем (скажем, в ностратических
реконструкциях) на сравнении фонетически и семантически близких реконструированных корней. С каждым шагом реконструкции
количество сохранившегося материала убывает экспоненциально,
поэтому дальше примерно (10––13) · 103 лет до н. э., то есть раннего
неолита, компаративистика дойти не может (конечно, эти глоттохронологические датировки могут уточняться и оспариваться). Привлечение генетических данных (Луиджи Кавалли-Сфорца) подкрепляет
и углубляет полученную картину, но о собственно языках уже не
сообщает ничего.
Между тем, говорить человек начал предположительно где-то
между 3 · 104 и 105 лет до н. э., и я хотел вообразить, как это могло
происходить.
Для краткости я представлю свои размышления в виде серии сухих
и упрощенных тезисов.
(а) В исторически описанных обществах изредка появлялись люди, чей уровень речевой компетенции на порядки превосходил уровень обычных, даже образованных и активных деятелей. Можно
вспомнить таких кристаллизаторов национальных языков, как Данте,
Шекспир и Пушкин. В дописьменных обществах, вероятно, такими
были творцы «Одиссеи» и «Гильгамеша».

 http://www.projectclassica.ru /v_o/11_2004/11_2004_o_01b.htm,
http://www.archi.ru/press/revzin/kom071201.htm,
http://social.philosophy.pu.ru/?cat=publications&key=105 .