Геометрические методы в теории обыкновенных дифференциальных уравнений

В. И. Арнольд

Геометрические методы
в теории обыкновенных
дифференциальных уравнений

Электронное издание

Москва
Издательство МЦНМО


УДК .
ББК ..
А

Арнольд В. И.
Геометрические методы в теории обыкновенных дифференциальных
уравнений
Электронное издание
М.: МЦНМО, 
 с.
ISBN ----

В книге изложен ряд основных идей и методов, применяемых для
исследования обыкновенных дифференциальных уравнений. Элементарные методы интегрирования рассматриваются с точки зрения общематематических понятий (разрешение особенностей, группы Ли
симметрий, диаграммы Ньютона и т. д.).
Теория уравнений с частными производными первого порядка изложена на основе геометрии контактной структуры.
Рассматриваются вопросы качественной теории дифференциальных уравнений (структурная устойчивость, У-системы), асимптотических методов (усреднение, адиабатические инварианты), аналитических методов локальной теории в окрестности особой точки или
периодического решения (нормальные формы Пуанкаре), а также теории бифуркаций фазовых портретов при изменении параметров.
Книга рассчитана на широкие круги математиков –– от студентов,
знакомых лишь с простейшими понятиями анализа и алгебры, до преподавателей, научных работников и всех читателей, применяющих
дифференциальные уравнения в физике и естественных науках.

Подготовлено на основе книги: Арнольд В. И. Геометрические методы в теории обыкновенных дифференциальных уравнений. –– -е изд. –– М.: МЦНМО,
. ––  с.: ил.

Издательство Московского центра
непрерывного математического образования
, Москва, Большой Власьевский пер., ,
тел. ()––.
http://www.mccme.ru

ISBN ----
© В. И. Арнольд, .
© МЦНМО, .

Оглавление

Предисловие . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .


Некоторые используемые обозначения . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .


Г л а в а . Специальные уравнения . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

§ 1. Дифференциальные уравнения, инвариантные относительно
групп симметрий . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

§ 2. Разрешение особенностей дифференциальных уравнений
. . . . .

§ 3. Уравнения, не разрешенные относительно производных
. . . . . .

§ 4. Нормальная форма уравнения, не разрешенного относительно
производной, в окрестности регулярной особой точки . . . . . . . .

§ 5. Стационарное уравнение Шрёдингера . . . . . . . . . . . . . . . . . .

§ 6. Геометрия дифференциального уравнения второго порядка
и геометрия пары полей направлений в трехмерном пространстве


Г л а в а . Уравнения с частными производными первого порядка .

§ 7. Линейные и квазилинейные уравнения с частными производными первого порядка
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

§ 8. Нелинейное уравнение с частными производными первого
порядка . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

§ 9. Теорема Фробениуса . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .


Г л а в а . Структурная устойчивость . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 
§ 10. Понятие структурной устойчивости . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 
§ 11. Дифференциальные уравнения на торе . . . . . . . . . . . . . . . . .

§ 12. Аналитическое приведение к повороту аналитических диффеоморфизмов окружности . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 
§ 13. Введение в гиперболическую теорию . . . . . . . . . . . . . . . . . . 
§ 14. У-системы . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 
§ 15. Структурно устойчивые системы не всюду плотны
. . . . . . . . . 

Г л а в а . Теория возмущений . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 
§ 16. Метод усреднения . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

§ 17. Усреднение в одночастотных системах . . . . . . . . . . . . . . . . . 
§ 18. Усреднение в многочастотных системах
. . . . . . . . . . . . . . . . 
§ 19. Усреднение в гамильтоновых системах . . . . . . . . . . . . . . . . .

§ 20. Адиабатические инварианты . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 
§ 21. Усреднение в слоении Зейферта . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .



Оглавление

Г л а в а . Нормальные формы . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 
§ 22. Формальное приведение к линейной нормальной форме . . . . . 
§ 23. Резонансный случай . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 
§ 24. Области Пуанкаре и Зигеля . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 
§ 25. Нормальная форма отображения в окрестности неподвижной
точки . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 
§ 26. Нормальная форма уравнения с периодическими коэффициентами . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 
§ 27. Нормальная форма окрестности эллиптической кривой . . . . . . 
§ 28. Доказательство теоремы Зигеля . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 

Г л а в а . Локальная теория бифуркаций . . . . . . . . . . . . . . . . . . 
§ 29. Семейства и деформации . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 
§ 30. Матрицы, зависящие от параметров, и особенности декрементдиаграмм
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 
§ 31. Бифуркации особых точек векторного поля . . . . . . . . . . . . . . 
§ 32. Версальные деформации фазовых портретов . . . . . . . . . . . . . 
§ 33. Потеря устойчивости положения равновесия . . . . . . . . . . . . . 
§ 34. Потеря устойчивости автоколебаний
. . . . . . . . . . . . . . . . . .

§ 35. Версальные деформации эквивариантных векторных полей
на плоскости . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 
§ 36. Перестройки топологии при резонансах . . . . . . . . . . . . . . . . 
§ 37. Классификация особых точек . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 

Образцы экзаменационных задач . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 

Предисловие

Основное открытие Ньютона, то, которое он счел нужным засекретить и опубликовал лишь в виде анаграммы, состоит в следующем: «Data aequatione quotcunque fluentes quantitae involvente fluxiones
invenire et vice versa». В переводе на современный математический
язык это означает: «Полезно решать дифференциальные уравнения».
В настоящее время теория дифференциальных уравнений представляет собой трудно обозримый конгломерат большого количества разнообразных идей и методов, в высшей степени полезный
для всевозможных приложений и постоянно стимулирующий теоретические исследования во всех отделах математики.
Большая часть путей, связывающих абстрактные математические теории с естественно-научными приложениями, проходит через дифференциальные уравнения. Многие разделы теории дифференциальных уравнений настолько разрослись, что стали самостоятельными науками; проблемы теории дифференциальных уравнений имели большое значение для возникновения таких наук, как
линейная алгебра, теория групп Ли, функциональный анализ, квантовая механика и т. д. Таким образом, дифференциальные уравнения лежат в основе естественно-научного математического мировоззрения.
При отборе материала для настоящей книги автор старался изложить основные идеи и методы, применяемые для изучения дифференциальных уравнений. Особые усилия были приложены к тому,
чтобы основные идеи, как правило простые и наглядные, не загромождались техническими деталями. С наибольшей подробностью
рассматриваются наиболее фундаментальные и простые вопросы,
в то время как изложение более специальных и трудных частей теории носит характер обзора.
Книга начинается с исследования некоторых специальных дифференциальных уравнений, интегрируемых в квадратурах. При этом
основное внимание уделяется не формально-рецептурной стороне
элементарной теории интегрирования, а ее связям с общематематическими идеями, методами и понятиями (разрешение особенно


Предисловие

стей, группы Ли, диаграммы Ньютона), с одной стороны, и естественно-научным приложениям –– с другой.
Теория уравнений с частными производными первого порядка
рассматривается при помощи естественной контактной структуры
в многообразии 1-струй функций. Попутно излагаются необходимые элементы геометрии контактных структур, делающие всю теорию независимой от других источников.
Значительную часть книги занимают методы, обычно называемые качественными. Современное развитие основанной А. Пуанкаре качественной теории дифференциальных уравнений привело
к пониманию того, что, подобно тому как явное интегрирование
дифференциальных уравнений, вообще говоря, невозможно, невозможным оказывается и качественное исследование сколько-нибудь
общих дифференциальных уравнений с многомерным фазовым пространством. В книге обсуждается анализ дифференциальных уравнений с точки зрения структурной устойчивости, т. е. устойчивости
качественной картины по отношению к малым изменениям дифференциальных уравнений. Изложены основные результаты, полученные после первых работ А. А. Андронова и Л. С. Понтрягина в этой
области: начала теории структурно устойчивых У-систем Аносова,
все траектории которых экспоненциально неустойчивы, и теорема
Смейла о неплотности множества структурно устойчивых систем.
Обсуждается также вопрос о значении этих математических открытий для приложений (речь идет об описании устойчивых хаотических режимов движения, вроде турбулентных).
К наиболее мощным и часто применяемым методам исследования дифференциальных уравнений относятся различные асимптотические методы. В книге изложены основные идеи метода усреднения, восходящего к работам основоположников небесной механики
и широко используемого во всех областях приложений, где нужно
отделить медленную эволюцию от быстрых осцилляций (Н. Н. Боголюбов, Ю. А. Митропольский и др.).
Несмотря на обилие исследований по усреднению, в вопросе об
эволюции даже для простейших многочастотных систем далеко не
все ясно. В книге дается обзор работ о прохождении резонансов и о
захвате в резонанс, направленных к выяснению этого вопроса.
Основой метода усреднения является идея уничтожения возмущений посредством подходящего выбора системы координат. Эта
же идея лежит в основе теории нормальных форм Пуанкаре. Метод

Предисловие


нормальных форм является основным методом локальной теории
дифференциальных уравнений, описывающей поведение фазовых
кривых в окрестности особой точки или замкнутой фазовой кривой. В книге изложены основы метода нормальных форм Пуанкаре,
включая доказательство фундаментальной теоремы Зигеля о линеаризации голоморфного отображения.
Важные применения метод нормальных форм Пуанкаре находит
не только при исследовании отдельного дифференциального уравнения, но и в теории бифуркаций, когда предметом изучения является семейство уравнений, зависящих от параметров.
Теория бифуркаций изучает изменения качественной картины
при изменении параметров, от которых зависит система. При общих значениях параметров обычно приходится иметь дело с системами общего положения (все особые точки простые и т. д.). Однако
если система зависит от параметров, то при некоторых значениях
параметров неизбежно встречаются вырождения (например, слияние двух особых точек векторного поля).
В однопараметрическом семействе общего положения встречаются лишь простейшие вырождения (те, от которых нельзя избавиться малым шевелением семейства). Таким образом возникает
иерархия вырождений по коразмерностям соответствующих поверхностей в функциональном пространстве всех изучаемых систем:
в однопараметрических семействах общего положения встречаются
лишь вырождения, соответствующие поверхностям коразмерности
один, и т. д.
В последние годы в теории бифуркаций наблюдается значительный прогресс, связанный с применением идей и методов общей теории особенностей дифференцируемых отображений X. Уитни.
Книга заканчивается главой о теории бифуркаций, в которой
применяются развитые в предыдущих главах методы и описаны результаты, полученные в этой области, начиная с основополагающих
работ А. Пуанкаре и А. А. Андронова.
При изложении всех вопросов автор стремился избежать аксиоматически-дедуктивного стиля, характерным признаком которого
являются немотивированные определения, скрывающие фундаментальные идеи и методы; подобно притчам, их разъясняют лишь ученикам наедине.
Продолжающаяся, как утверждают, уже более  лет аксиоматизация и алгебраизация математики привела к неудобочитаемости


Предисловие

столь большого числа математических текстов, что стала реальностью всегда угрожающая математике угроза полной утраты контакта с физикой и естественными науками. Автор старался вести изложение таким образом, чтобы книгой могли пользоваться не только
математики, но все потребители теории дифференциальных уравнений.
У читателя настоящей книги предполагается лишь очень небольшие общематематические представления в объеме примерно первых двух курсов университетской программы; достаточно (но не
необходимо), например, знакомство с учебником В. И. Арнольда
«Обыкновенные дифференциальные уравнения» (М., *).
Изложение построено таким образом, чтобы читатель мог пропускать места, оказавшиеся для него трудными, без большого ущерба для понимания дальнейшего: были приняты меры к тому, чтобы
по возможности избегать ссылок из главы в главу и даже из параграфа в параграф.
Содержание настоящей книги составил материал ряда обязательных и специальных курсов, читавшихся автором на механикоматематическом факультете МГУ в –– годах для студентовматематиков II––III курсов, для слушателей факультета повышения
квалификации и на экспериментальном потоке математиков естественно-научного профиля.
Автор выражает благодарность студентам О. Е. Хадину, А. К. Ковальджи, Е. М. Кагановой и доценту Ю. С. Ильяшенко, чьи конспекты были очень полезными при подготовке этой книги. Составленный Ю. С. Ильяшенко конспект специального курса, а также конспекты лекций на экспериментальном потоке в течение ряда лет находились в библиотеке факультета. Автор благодарен многочисленным читателям и слушателям этих курсов за ряд ценных замечаний,
использованных при подготовке книги. Автор благодарен рецензентам Д. В. Аносову и В. А. Плиссу за тщательное рецензирование рукописи, способствовавшее ее улучшению.

Июнь  г.
В. И. Арнольд

* При изложении нескольких отдельных вопросов используются или упоминаются
также самые первоначальные сведения о дифференциальных формах, группах Ли
и функциях комплексного переменного. Для понимания большей части книги знакомство с этими сведениями не обязательно.

Некоторые используемые обозначения

–– множество всех вещественных чисел.
–– множество всех комплексных чисел.
–– множество всех целых чисел.
n –– n-мерное вещественное линейное пространство.
∃ –– существует.
∀ –– для всякого.
a ∈ A –– элемент a множества A.
A ⊂ B –– подмножество A множества B.
A ∩ B –– пересечение (общая часть) множеств A и B.
A ∪ B –– объединение множеств A и B.
A \ B –– разность множеств A и B (часть A вне B).
A×B –– прямое произведение множеств A и B (множество пар (a, b),
a ∈ A, b∈ B).
A ⊕ B –– прямая сумма линейных пространств.
f : A → B –– отображение f из A в B.
x→ y или y= f (x) –– отображение f переводит элемент x в элемент y.
Im f или f (A) –– образ отображения f (но Im z –– мнимая часть z).
f −1(y) –– полный прообраз точки y при отображении f (множество
всех x, для которых f (x)= y).
Ker f –– ядро линейного оператора f (полный прообраз нуля).
˙f –– скорость изменения функции f (производная по времени t).
f ′, f∗, df /dx, Df /Dx –– производная отображения f .
TxM –– касательное пространство к многообразию M в точке x.
A ⇒ B –– из утверждения A следует B.
A ⇔ B –– утверждения A и B равносильны.
ω1 ∧ω2 –– внешнее произведение дифференциальных форм ω1 и ω2.
f ◦ g –– суперпозиция отображений (( f ◦ g)(x)= f(g(x))).
Lv f –– производная функции f по направлению векторного поля v.

Пусть (x1, …, xn) –– координатные функции. Вектор v задается
тогда своими компонентами v1, …, vn. Производная по направлению