Книжная полка Сохранить
Размер шрифта:
А
А
А
|  Шрифт:
Arial
Times
|  Интервал:
Стандартный
Средний
Большой
|  Цвет сайта:
Ц
Ц
Ц
Ц
Ц

Собрание сочинений. Том II

Покупка
Артикул: 682509.01.99
ЖанПьер Серр—один из величайших математиков нашего времени, чьи работы на протяжении последнего полувека преобразили современную математику, в особенности алгебраическую топологию, алгебраическую геометрию, теорию алгебр и групп Ли, теорию чисел. Собрание сочинений выпускается к 75летию ученого. Во 2й том настоящего издания включены работы 1955-60 гг.
Серр, Ж. Собрание сочинений. Том II: Сборник научных трудов / Серр Ж. - Москва :МЦНМО, 2014. - 560 с.: ISBN 978-5-4439-2037-5. - Текст : электронный. - URL: https://znanium.com/catalog/product/958737 (дата обращения: 19.07.2024). – Режим доступа: по подписке.
Фрагмент текстового слоя документа размещен для индексирующих роботов. Для полноценной работы с документом, пожалуйста, перейдите в ридер.
НЕЗАВИСИМЫЙ МОСКОВСКИЙ УНИВЕРСИТЕТ

Жан-Пьер СЕРР

СОБРАНИЕ СОЧИНЕНИЙ

II

Под редакцией М. А. Цфасмана

Электронное издание

Москва • МЦНМО • 2014

УДК 51
ББК 22.1
C 33

Серр Ж.-П.
Собрание сочинений. Т. 2
Электронное издание
М.: МЦНМО, 2014
558 с.
ISBN 978-5-4439-2037-5

Жан-Пьер Серр — один из величайших математиков нашего времени, чьи работы
на протяжении последнего полувека преобразили современную математику, в особенности алгебраическую топологию, алгебраическую геометрию, теорию алгебр и групп
Ли, теорию чисел.
Собрание сочинений выпускается к 75-летию ученого. Во 2-й том настоящего
издания включены работы 1955–60 гг.

Подготовлено на основе книги: Ж.-П. Серр. Собрание сочинений. Т. 2. — М.:
НМУ: МЦНМО, 2004.

Издательство Московского центра
непрерывного математического образования
119002, Москва, Большой Власьевский пер., 11. Тел. (499) 241-74-83

http://www.m

me.
ru

ISBN 978-5-4439-2037-5
⃝c МЦНМО, 2014.

СОДЕРЖАНИЕ

Одна теорема двойственности . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
5
Когерентные алгебраические пучки . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
21
Одно топологическое свойство областей Рунге . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
112
Заметки о моей научной деятельности (1955) . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
114
Письмо в редакцию . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
123
Теория полей классов для неразветвленных накрытий алгебраических
многообразий (по С. Ленгу) . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
124
Геометрия алгебраическая и аналитическая . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
132
О гомологической размерности нётеровых колец и модулей . . . . . . . . .
165
Критерий рациональности для алгебраических поверхностей
(по курсу К. Кодаиры) . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
179
О когомологиях алгебраических многообразий . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
190
О неразветвленных накрытиях алгебраических многообразий
(совместно с С. Ленгом) . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
202
Краткое содержание лекций 1956–1957 уч. г. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
213
Об индексе расслоенного многобразия (совместно с С. Черном
и Ф. Хирцебрухом) . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
215
О топологии алгебраических многообразий в характеристике p . . . . . .
224
Проективные модули и векторные расслоения . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
257
Расслоенные алгебраические пространства . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
272
Теорема Римана – Роха (совместно с А. Борелем) . . . . . . . . . . . . . . . . .
304
Некоторые свойства абелевых многообразий в характеристике p . . . .
344
Накрытия. Фундаментальная группа . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
366
Классы круговых полей (по К. Ивасаве) . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
377
Краткое содержание лекций 1957–1958 уч. г. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
386
Универсальные морфизмы и многообразия Альбанезе . . . . . . . . . . . . .
389
Универсальные морфизмы и дифференциалы третьего рода . . . . . . . . .
408
О фундаментальной группе унирационального многообразия . . . . . . . .
415
Краткое содержание лекций 1958–1959 уч. г. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
420
Локальные поля и изогении . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
422
Кэлеровы аналоги некоторых гипотез Вейля . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
430
О рациональности представления Артина . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
433
Рациональность
-функции алгебраических многообразий
(по Б. Дворку) . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
449
Разветвленные накрытия проективной плоскости (по С. Абъянкару) . .
458
Краткое содержание лекций 1959–1960 уч. г. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
465
О проективных модулях . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
468
Проалгебраические группы . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
481
Конечные группы с периодическими когомологиями (по Р. Суону) . . . .
547

В 2003 году Ж.-П. Серр стал первым лауреатом премии
Абеля, с формулировкой «За ключевую роль в формировании
современного облика многих областей математики, включая
топологию, алгебраическую геометрию и теорию чисел».
Наши сердечные поздравления!

Премия Нильса Хенрика Абеля (1802–1829) учреждена в 2002 г.
и присуждается ежегодно за выдающиеся достижения в области математики. Она является аналогом премии Нобеля, в силу исторических
причин по математике не присуждаемой.

Одна теорема двойственности

Посвящается г-ну Х. Хопфу к его шестидесятилетию

Введение

Пусть X — комплексно-аналитическое многообразие комплексной размерности n, и V — аналитическое расслоенное пространство над X, слой которого —
векторное пространство размерности r над C. Пучок S(V) ростков голоморфных сечений расслоенного пространства V является аналитическим когерентным
пучком на X, а его группы когомологий Hq(X, S(V)) играют важную роль в разнообразных вопросах. В частности, если X — проективное алгебраическое многообразие, а V — расслоенное пространство, ассоциированное с классом дивизоров D на X (в этом случае r
= 1), то размерности пространств Hq(X, S(V)) — это
«избыточности», которые участвуют в общей теореме Римана – Роха (см. об этом
заметки К. Кодаиры, Д. К. Спенсера [10], [11] и Ф. Хирцебруха [9], опубликованные в 1953 и 1954 гг.).
Как известно, классы дивизоров D и K − D (где K — канонический класс)
играют двойственную роль в теореме Римана – Роха. Здесь мы намереваемся
уточнить этот результат и обобщить его на случай произвольного расслоенного
пространства V, показав, что при выполнении достаточно общих условий векторные пространства Hq(X, S(V)) и Hn−q
∗
(X, S(

~V)) взаимно двойственны, где

~V —
расслоенное пространство, являющееся обобщением K − D. Частный случай этой
теоремы был уже получен А. Картаном и Л. Шварцем ([14], теорема 4), и доказательство общего случая — лишь несложное обобщение их метода.

1. Предварительные сведения

1. Тензорное произведение пучков модулей. Пусть X — топологическое
пространство X, и A
= x∈X Ax — пучок колец на X (за всеми определениями,
относящимися к пучкам, мы отсылаем к [3] и [5]). Мы предполагаем, что все кольца Ax — коммутативны и с единицей, которая непрерывно зависит от x. Пучок M
называется пучком A-модулей, если для всех x ∈ X на Mx задана такая структура унитарного Ax-модуля, что отображение (a, m) −→ a · m, определенное на
множестве G пар (a, m), для которых a ∈ Ax, m ∈ Mx для некоторой точки x ∈ X,
является непрерывным отображением множества G ⊂ A × M в M.

Serre J.-P. Un th ´eor `eme de dualit ´e // Comment. Math. Helv. 1955. V. 29. P. 9–26. Перев. А. Г. Кузнецова.

Одна теорема двойственности

Пусть M и N — два пучка A-модулей. Для всякого открытого подмножества U ⊂ X обозначим через AU, MU и NU группы сечений пучков A, M и N
над U. Ясно, что AU — коммутативное кольцо с единицей, а MU и NU — унитарные AU-модули. Положим PU

= MU ⊗ NU — тензорное произведение над AU.
Для V ⊂ U имеются канонические гомоморфизмы

AU −→ AV,
MU −→ MV,
NU −→ NV,

которые при переходе к тензорному произведению задают гомоморфизм из PU
в PV. Семейство модулей PU и гомоморфизмов PU −→ PV задает пучок P (см.
[3], доклад 14, 3). Его слой Px прямой предел (по всем x ∈ U) модулей PU. Из
равенств
Ax

= lim
x∈U AU,
Mx

= lim
x∈U MU,
Nx

= lim
x∈U NU

следует 1), что модуль Px изоморфен Mx ⊗ Nx (тензорное произведение над Ax).
По этой причине пучок P называется тензорным произведением пучков M и N
и обозначается M ⊗A N. Так как кольцо A коммутативно, P — пучок A-модулей.
Если A — постоянный пучок, то мы возвращаемся к определению, введенному
в [3], доклад 14, 10.
Свойства тензорного произведения пучков M ⊗A N полностью повторяют
свойства тензорного произведения модулей:
1.1. Если M′ и N′ — еще два пучка A-модулей, а
' (соответственно
 ) —
A-линейный гомоморфизм из M в M′ (соответственно из N в N′), то тензорное
произведение
' ⊗
 является A-линейным гомоморфизмом M ⊗A N −→ M′ ⊗A N′.
1.2. Любая точная последовательность A-линейных гомоморфизмов

N −→ N′ −→ N′′ −→ 0

порождает точную последовательность

M ⊗A N −→ M ⊗A N′ −→ M ⊗A N′′ −→ 0.

1.3. Имеются канонические изоморфизмы

(M ⊗A N) ⊗A Q ≈ M ⊗A (N ⊗A Q),
M ⊗A N ≈ N ⊗A M,
M ⊗A A ≈ M,
и т. д.

Если X — комплексно-аналитическое многообразие, а в качестве пучка A взят
пучок O ростков голоморфных функций на X, то понятие пучка O-модулей совпадает с понятием аналитического пучка, определенным в [5],
5. При этом из
свойств 1.2 и 1.3 немедленно следует, что тензорное произведение двух аналитических когерентных пучков — аналитический когерентный пучок.
Наконец, отметим, что можно аналогичным способом определить пучки
Tor A
p (M, N)
= x∈X Tor Ax
p (Mx, Nx) для всех p ⩾ 0 (определение Tor p см. в [6],
гл. VI, 1). Напротив, определение пучка HomA(M, N) требует большей аккуратности и невозможно без дополнительных ограничений на M. Мы не останавливаемся на этом, так как далее мы используем лишь тензорное произведение.

1) Так как тензорное произведение перестановочно с прямыми пределами.

Одна теорема двойственности
7

2. Когомологии пространства с коэффициентами в пучке. (В этом пункте
мы предполагаем, что пространство X паракомпактно.)
Пусть
— семейство подмножеств X, удовлетворяющее следующим свойствам:
2.1. Все множества из
замкнуты.
2.2. Всякое замкнутое подмножество множества из
принадлежит
.
2.3. Конечное объединение множеств из
принадлежит
.
2.4. Всякое множество из
имеет окрестность, принадлежащую
.
Для всякого пучка F на X можно определить (см. [3]) группы когомологий X
с коэффициентами в F и с носителями в
, обозначаемые Hq

(X, F), q
= 0, 1,
:
:
:
Напомним их основные свойства:
2.5. H0

(X, F) — это группа сечений пучка F, носитель которых принадлежит
.
2.6. Hq

(X, F)
= 0 при q
> 0, если пучок F тонкий.
2.7. Каждая точная последовательность пучков 0 −→ A −→ B −→ C −→ 0 индуцирует точную последовательность когомологий:

:
:
: −→ Hq

(X, A) −→ Hq

(X, B) −→ Hq

(X, C) −→ Hq +1

(X, A) −→
:
:
:

Из этих свойств легко вывести (см. доклады 16 и 19 из [3], или [14], раздел 2)
2.8. Пусть 0 −→ F −→ C0

Æ
−−→ C1

Æ
−−→ C2

Æ
−−→
:
:
: — точная последовательность пучков, и предположим, что Hp

(X, Cq)
= 0 при p
> 0 (это, например, выполнено, если все Cq — тонкие). Тогда прямая сумма групп q⩾0 H0

(X, Cq) с оператором кограницы, заданным морфизмом
Æ, является градуированным комплексом,
q-я группа когомологий которого изоморфна группе Hq

(X, F).
В случае, когда
— это семейство всех замкнутых (соответственно компактных) подмножеств X, вместо Hq

(X, F) пишут Hq(X, F) (соответственно Hq
∗(X, F)).
Эти два семейства, наиболее важные для приложений, — единственные, которые
встретятся в 3 и 4.

2. Обобщение теоремы Дольбо

Начиная с этого момента, мы считаем, что X — комплексно-аналитическое
многообразие комплексной размерности n, счетное на бесконечности (и потому
паракомпактное).

3. Пучки дифференциальных форм на X. Нам понадобятся следующие пучки на многообразии X:
O
— пучок ростков голоморфных функций.

p
— пучок ростков голоморфных дифференциальных форм степени p.
Ap,q
— пучок ростков дифференциальных форм типа (p, q) с бесконечно дифференцируемыми коэффициентами.
Kp,q
— пучок ростков дифференциальных форм типа (p, q) с коэффициентами
в распределениях 2).

2) «Распределением» на ориентируемом многообразии вещественной размерности m мы называем
поток степени 0, т. е. элемент пространства, двойственного пространству дифференциальных форм
степени m с компактным носителем (см. [12]). Такое определение необходимо, если мы хотим, чтобы
всякую функцию можно было рассматривать как распределение.

Одна теорема двойственности

Все эти пучки очевидным образом являются пучками O-модулей. При этом

0

= O,
p ⊂ Ap,0, Ap,q ⊂ Kp,q. Сечения пучка Kp,q — потоки типа (p, q) (см. [12]).
Известно, что для всякой формы
! типа (p, q) форма d! есть сумма формы типа (p
+ 1, q) и формы типа (p, q
+ 1), которые мы обозначим через d′

!
и d′′

! соответственно. Таким образом, дифференциальный оператор d′′ задает
гомоморфизм из Ap,q в Ap,q +1 и из Kp,q в Kp,q +1. Заметим, что эти гомоморфизмы
O-линейны, так как d′′(f)
= 0, если f — голоморфная функция.
Если
! — дифференциальная форма типа (p, 0) с дифференцируемыми коэффициентами, то условие d′′

!
= 0 очевидно эквивалентно голоморфности формы
!. То же верно и для потоков, как это следует, например, из [13], гл. VI, 6–7.
С другой стороны, согласно результату Гротендика (приведенному в [8]), всякая
форма
! типа (p, q) при q ⩾ 1, с коэффициентами в дифференцируемых функциях
или распределениях, для которой d′′

!
= 0, локально представляется в виде d′′

,
где
— форма типа (p, q − 1). Иными словами (см. [8]):

Предложение 1. Последовательности гомоморфизмов пучков

0 −→
p −→ Ap,0
d′′
−−→ Ap,1
d′′
−−→
:
:
: −→ Ap,n −→ 0

и
0 −→
p −→ Kp,0
d′′
−−→ Kp,1
d′′
−−→
:
:
: −→ Kp,n −→ 0

точны.

4. Аналитические расслоенные пространства с векторными слоями.
Пусть P — комплексно-аналитическое главное расслоенное пространство над X
структурная группа G которого — комплексная линейная группа GLr(C). Выберем
в качестве типичного слоя F пространство Cr с очевидным действием группы G.
Пусть V
= P ×G F — ассоциированное расслоенное пространство с типичным
слоем F (напомним, что V — факторпространство произведения P × F по отношению эквивалентности (p · g, f) ≡ (p, g · f) для p ∈ P, g ∈ G, f ∈ F). Действие
группы G сохраняет структуру векторного пространства в Cr, поэтому всякий
слой Vx расслоенного пространства V, x ∈ X, является комплексным r-мерным
векторным пространством. Такое расслоенное пространство V называется аналитическим расслоенным пространством с векторным слоем. Расслоенное
пространство V локально изоморфно произведению X × Cr, причем функции перехода задаются обратимыми голоморфными матрицами размера r.
Если s(x) — голоморфное сечение расслоенного пространства V над открытым множеством U ⊂ X, а f(x) — голоморфная функция на U, то произведение
f(x)s(x) является голоморфным сечением V над U. Кроме того, сумма двух голоморфных сечений также является голоморфным сечением. Таким образом, пучок S(V) ростков голоморфных сечений расслоенного пространства V наделяется
структурой аналитического пучка, причем поскольку V локально изоморфно произведению X × Cr, этот пучок локально изоморфен пучку Or. В частности, S(V)
является когерентным аналитическим пучком.
Обратно, пусть F — аналитический пучок, локально изоморфный пучку Or.
Тогда существует открытое покрытие {U

} многообразия X и изоморфизм
'

(для каждого
) из Or в ограничение F на U

; при этом
'−1

◦
'

— автоморфизм

Одна теорема двойственности
9

пучка Or над U

∩ U

который, следовательно, задается на U

∩ U

голоморфной
обратимой матрицей M

. Матрицы M

определяют расслоенное пространство
V с векторными слоями, для которого пучок S(V) изоморфен пучку F, и легко
видеть, что расслоенное пространство V определяется этим свойством однозначно
с точностью до изоморфизма.
Таким образом, возникает взаимно однозначное соответствие между локально
свободными аналитическими пучками ранга r (т. е. пучками, локально изоморфными пучку Or) и аналитическими расслоенными пространствами с r-мерными
векторными слоями 3).

5. Дифференциальные формы с коэффициентами в аналитическом расслоенном пространстве с векторными слоями. Пусть V — аналитическое расслоение на векторные пространства над базой X. Рассмотрим следующие пучки,
построенные по V:

p(V)
= S(V) ⊗O

p,
Ap,q(V)
= S(V) ⊗O Ap,q,

Kp,q(V)
= S(V) ⊗O Kp,q.

Заметим, что
0(V)
= S(V),
p(V) ⊂ Ap,0(V), Ap,q(V) ⊂ Kp,q(V). Сечения расслоения Ap,q(V) будем называть дифференциальными формами типа (p, q) с коэффициентами в V. Поскольку пучок S(V) локально изоморфен пучку Or, всякая такая
форма локально представляется как набор из r обычных дифференциальных форм
типа (p, q).
Так как d′′ — O-линейный гомоморфизм из Ap,q в Ap,q +1, то можно определить
гомоморфизм
1 ⊗ d′′ : S(V) ⊗O Ap,q −→ S(V) ⊗O Ap,q +1,
получив тем самым гомоморфизм из Ap,q(V) в Ap,q +1(V), который мы также обозначим через d′′. Аналогичное определение годится и для пучков Kp,q(V).

Предложение 2. Последовательности гомоморфизмов пучков

0 −→
p(V) −→ Ap,0(V)
d′′
−−→ Ap,1(V)
d′′
−−→
:
:
: −→ Ap,n(V) −→ 0
и
0 −→
p(V) −→ Kp,0(V)
d′′
−−→ Kp,1(V)
d′′
−−→
:
:
: −→ Kp,n(V) −→ 0
точны.

В самом деле, эти последовательности получаются из точных последовательностей предложения 1 тензорным умножением на локально свободный пучок S(V).

Предложение 3. Пучки Ap,q(V) и Kp,q(V) — тонкие.

В самом деле, для всякой дифференцируемой функции g на X отображение

! −→ g ·
! является O-линейным гомоморфизмом пучка Ap,q в себя и, следовательно, оно задает гомоморфизмом пучка Ap,q(V) в себя. Воспользовавшись
теперь разбиением единицы {g

}, мы видим, что пучок Ap,q(V) — тонкий. Те же
рассуждения применимы и к пучку Kp,q(V).

3) Разумеется, аналогичный результат верен и для топологических (а также для дифференцируемых,
вещественно-аналитических, алгебраических, . . .) расслоений на векторные пространства.

Одна теорема двойственности

6. Группы когомологий X с коэффициентами в
p(V). Обозначим через
Ap,q

(V)
= H0

(X, Ap,q(V)) — пространство дифференциальных форм типа (p, q)
с коэффициентами в V и с носителями в семействе
, удовлетворяющем условиям 2.1, 2.2, 2.3 и 2.4. Дифференциальный оператор d′′ отображает Ap,q

(V)
в Ap,q +1

(V), причем d′′ ◦ d′′

= 0. Положим A

(V)
= p,q Ap,q

(V). Пространство
A

(V) с оператором d′′ является биградуированным комплексом. Обозначим его
группу когомологий бистепени (p, q) через Hp,q(A

(V)). Если
является семейством всех замкнутых (соответственно компактных) подмножеств в X, мы будем
писать Ap,q(V) и A(V) (соответственно Ap,q
∗ (V) и A∗(V)) вместо Ap,q

(V) и A

(V).
Аналогично определим пространства Kp,q

(V) и K

(V)
= p,q Kp,q

(V).
Применяя 2.8 к точным последовательностям предложения 2 (что допустимо вследствие предложения 3), получаем следующую теорему, которая обобщает
результат работы [8]:

Теорема 1. Пусть X — счетное на бесконечности комплексно-аналитическое многообразие, V — аналитическое расслоенное пространство
с векторными слоями над базой X, а
— семейство замкнутых подмножеств многообразия X, удовлетворяющее условиям 2.1, 2.2, 2.3 и 2.4. Тогда
группа когомологий Hq

(X,
p(V)) изоморфна любой из групп Hp,q(A

(V))
и Hp,q(K

(V)).

(Более того, каждая из этих трех групп обладает структурой комплексного
векторного пространства, и изоморфизмы теоремы 1 согласованы с этими структурами.)

Следствие 1. Группа когомологий Hq

(X, S(V)) изоморфна как группе
H0,q(A

(V)), так и группе H0,q(K

(V)).

Обратно, из следствия 1 можно вывести теорему 1: поскольку
p(V) — локально свободный пучок, существует такое расслоенное пространство W с векторным слоем, что пучок S(W) изоморфен пучку
p(V) (легко видеть, что слой Wx
расслоения W в точке x ∈ X канонически изоморфен пространству Vx ⊗C
p Dx,
где Dx обозначает пространство, двойственное касательному пространству к X
в точке x). Применяя к расслоенному пространству W следствие 1 мы видим, что
группа
Hq

(X,
p(V))
= Hq

(X, S(W))

изоморфна группе H0,q(A

(W)), и теперь, чтобы вывести отсюда теорему 1, остается проверить, что пространство A0,q(W) изоморфно Ap,q(V), что не представляет
сложности.

Следствие 2. Hq

(X,
p(V))
= 0 при q
> n, где n — комплексная размерность многообразия X.

7. Замечание. Для произвольного аналитического пучка F можно также рассмотреть последовательность

0 −→ F −→ F ⊗O A0,0
d′′
−−→ F ⊗O A0,1
d′′
−−→
:
:
: −→ F ⊗O A0,n −→ 0.

Одна теорема двойственности
11

Если бы можно было доказать, что эта последовательность точна, мы бы получили таким образом резольвенту пучка F тонкими пучками (см. 2.8). Тогда теорема 1, а также ее следствия были бы распространены на все аналитические
пучки. К сожалению, точность этой последовательности совершенно не очевидна.
Ее можно было бы доказать, проверив, что Tor Ox
p (Fx, A0,0
x )
= 0 для всех p ⩾ 1, но
этот вопрос представляется непростым [1].

3. Теорема двойственности

8. Топология на пространстве Ap,q(V). Сейчас мы определим систему полунорм 4) на пространстве Ap,q(V) сечений пучка Ap,q(V).
Рассмотрим наборы (K,
',
 , k), удовлетворяющие следующим условиям:
8.1. K — компакт в X.
8.2.
' — аналитический гомоморфизм окрестности U компакта K на открытое
подмножество Cn.
8.3.
 — изоморфизм прообраза
−1(U) на U × Cr, где
обозначает проекцию
V −→ X.
8.4. k — последовательность 2n неотрицательных целых чисел r1,
:
:
: , rn, s1,
:
:
:

:
:
: , sn.
Пусть
! — элемент пространства Ap,q(V). Ограничение
! на U можно отождествить (посредством изоморфизма
 ) с набором r дифференциальных форм
типа (p, q) на U. В свою очередь, такой набор форм можно отождествить (посредством морфизма
') с набором из r
n
p
n
q
= N дифференцируемых функций
на
'(U). Обозначим эти функции через
!i,', , 1 ⩽ i ⩽ N. Рассмотрим дифферен
циальный оператор Dk

=

r1

+:::
+rn

+s1

+:::
+sn

zr1
1

:
:
:
zrn
n



zs1
1

:
:
:


zsn
n
и положим

pK,', ,k(
!)
= Sup
z∈ '(K)
Sup
1⩽i⩽N
|Dk

!i,', (z)|.
(8.5)

Функции pK,', ,k являются полунормами, причем семейство полунорм pK,', ,k
при всевозможных наборах (K,
',
 , k) задает топологию на пространстве Ap,q(V).
Эта топология, очевидно, отделима и не меняется, если ограничиться рассмотрением семейства компактов K

, внутренности которых покрывают всё X, выбрав
для каждого из них по паре (
'

,
 

), удовлетворяющей условиям 8.2 и 8.3. Таким
образом, топология на Ap,q(V) может быть задана счетным семейством полунорм;
эта топология метризуема.
Последовательность
!n элементов пространства Ap,q(V) сходится к 0 в описанной нами топологии, если в окрестности всякой точки многообразия X набор
из N функций, локально представляющий форму
!n, равномерно сходится к 0 вместе со всеми своими производными. Итак можно сказать, что мы ввели на Ap,q(V)
топологию локальной (или на всяком компакте, что то же самое) равномерной
сходимости со всеми производными. Пространство Ap,q(V) совершенно аналогично пространству E (см. [13, с. 88],). Так же, как и для пространства E, можно
доказать полноту Ap,q(V), проверив тем самым, что оно является пространством Фреше.

4) По всем вопросам относительно топологических векторных пространств см. [1].