Аффинная и проективная геометрия

Я. П. Понарин

А Ф Ф И Н Н А Я
И П Р О Е К Т И В Н А Я
Г Е О М Е Т Р И Я

Электронное издание

Москва
Издательство МЦНМО
2014

УДК 514.14
ББК 22.151.3
П56

Понарин Я. П.
Аффинная и проективная геометрия
Электронное издание
М.: МЦНМО, 2014
287 с.
ISBN 978-5-4439-2032-0

Книга содержит элементарное систематическое изложение двух
классических геометрий как самостоятельных геометрических дисциплин без использования метрических понятий. Она адресуется лицам,
желающим самостоятельно заняться изучением основ высшей геометрии. Основное внимание уделяется аффинным и проективным преобразованиям. На базе проективной геометрии представлены модели
аффинной, евклидовой геометрий, геометрии Минковского и геометрии Лобачевского.
Предполагается, что читатель имеет хорошие знания элементарной
геометрии и определённый уровень общей математической культуры.
Имеется список задач для самостоятельного решения (около 200
задач).
Книга может служить учебным пособием для студентов математических факультетов вузов.

Подготовлено на основе книги: Я. П. Понарин. Аффинная и проективная геометрия. — М.: МЦНМО, 2009.

Издательство Московского центра
непрерывного математического образования
119002, Москва, Большой Власьевский пер., 11. Тел. (499) 241-74-83
http://www.mccme.ru

ISBN 978-5-4439-2032-0
c⃝ МЦНМО, 2014.
c⃝ Понарин Я. П., наследники, 2009.

Оглавление

Предисловие . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
12

Часть I. Аффинная геометрия

Глава I. Основы аффинной геометрии на плоскости

§1. Понятие об аффинной геометрии
. . . . . . . . . . . . . . . . .
17
1.1. Аффинная плоскость (17). 1.2. Аксиоматика аффинной
геометрии плоскости (17).
1.3. Аффинная геометрия как
самостоятельная наука (19).
§2. Некоторые аффинные понятия и теоремы
. . . . . . . . . . . .
20
2.1. Равенство отрезков прямой
и параллельных прямых (20).
2.2. Теорема Фалеса (21).
2.3. Сравнение
сонаправленных отрезков. Отношение коллинеарных отрезков (22).
2.4. Аффинная теорема Паппа (23).
2.5. Гомотетичные треугольники (24).
§3. Аффинные операции над векторами . . . . . . . . . . . . . . . .
25
3.1. Сложение и вычитание векторов (25).
3.2. Умножение
вектора на действительное число (25). 3.3. Алгебраические
свойства аффинных операций над векторами (26).
§4. Косое произведение векторов . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
27
4.1. Определение и его следствия (27). 4.2. Геометрический
смысл косого произведения (28).
4.3. Следствия (29).
§5. Косое произведение векторов в доказательствах аффинных
теорем планиметрии . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
30
5.1. Свойство трапеции (30).
5.2. Теорема Гаусса (30).
5.3. Свойство пары аффинно связанных треугольников (31).
5.4. Отношение площадей четырёхугольника и ассоциированного с ним треугольника (32).
§6. Аффинные преобразования плоскости . . . . . . . . . . . . . . .
32
6.1.
Определение
и
примеры
аффинных
преобразований (33).
6.2. Сохранение параллельности прямых при
аффинных преобразованиях (34). 6.3. Теорема Дарбу (34).
§7. Числовые инварианты аффинных преобразований
. . . . . . .
35
7.1. Отношение коллинеарных векторов (35).
7.2. Инва

Оглавление

риантность отношения площадей плоских фигур
(36).
7.3. Аффинные преобразования первого и второго родов (37).
§8. Конструктивное задание и координатные формулы
аффинного преобразования . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
38
8.1. Теорема о задании аффинного преобразования (38).
8.2.
Координатные
формулы
аффинного
преобразования (39).
§9. Неподвижные точки и неизменяемые направления
. . . . . . .
40
9.1. Неподвижные точки (40).
9.2. Неизменяемые направления (41).
§10. Родственные преобразования
. . . . . . . . . . . . . . . . . . .
43
10.1. Свойства родства (43).
10.2. Представление аффинного преобразования композицией двух родственных (45).
§11. Построение центра аффинного преобразования . . . . . . . . .
46
11.1. Использование композиции двух родственных преобразований (46).
11.2. Другой способ построения центра
аффинного преобразования (46).
§12. Формулы аффинных преобразований некоторых
частных видов . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
48
12.1. Родство (48).
12.2. Сдвиг (49).
12.3. Гомотетия (49).
12.4. Перенос и переносная симметрия (50).
§13. Эквиаффинные преобразования как композиции
косых симметрий
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
51
13.1. Примеры (51).
13.2. Теоремы о разложении эквиаффинных преобразований (51).
13.3. Критерий эквицентроаффинного преобразования (52).
§14. Группы преобразований и геометрии . . . . . . . . . . . . . . .
53
14.1. Понятие группы преобразований. Примеры
(53).
14.2. Определение геометрии по Клейну (54).
14.3. Аффинно эквивалентные фигуры (54).

Типизация основных видов аффинных преобразований
плоскости . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
55

Задачи и упражнения . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
56

Глава II. Линии второго порядка на аффинной плоскости

§15. Эллипс
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
60
15.1. Аффинное определение и каноническое уравнение эллипса (60).
15.2. Исследование аффинных свойств эллипса
по его каноническому уравнению (61). 15.3. Задание эллипса двумя его сопряжёнными диаметрами (63).
15.4. Пара

Оглавление
5

метрические уравнения эллипса (64).
15.5. Теорема Аполлония (64).
§16. Аффинные автоморфизмы эллипса . . . . . . . . . . . . . . . .
65
16.1. Координатные формулы автоморфизмов эллипса (65).
16.2. Конструктивное представление эллиптического поворота (66). 16.3. Геометрический смысл угла эллиптического
поворота (67).
§17. Гипербола . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
68
17.1. Аффинное определение гиперболы и её каноническое
уравнение (68). 17.2. Асимптоты гиперболы. Сопряжённые
гиперболы (70).
17.3. Уравнение гиперболы относительно
её асимптот (71).
17.4. Параметрические уравнения гиперболы (71). 17.5. Построение точек гиперболы (72). 17.6. Гипербола как график дробно-линейной функции (72).
§18. Аффинные автоморфизмы гиперболы. Гиперболический
поворот . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
73
18.1. Справка о гиперболических синусе и косинусе (73).
18.2. Автоморфизмы гиперболы (74).
18.3. Гиперболический поворот (75).
§19. Парабола . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
76
19.1. Аффинное определение и каноническое уравнение параболы (76). 19.2. Диаметры параболы (78). 19.3. Построение точек параболы (78).
§20. Аффинные автоморфизмы параболы . . . . . . . . . . . . . . .
79
20.1. Формулы автоморфизмов параболы (79).
20.2. Параболический поворот (80).
§21. Диаметры и касательные . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
81
21.1. Критерии сопряжённости двух диаметров эллипса и
гиперболы (81).
21.2. Касательные к кривым второго порядка (82).
21.3. Построение касательных (83).
§22. Общее уравнение линий второго порядка . . . . . . . . . . . .
83
22.1. Определения (84).
22.2. Критерий вырожденности
кривой второго порядка (84).
§23. Определение вида невырожденной кривой второго
порядка по её общему уравнению . . . . . . . . . . . . . . . . .
86
23.1. Аффинная эквивалентность эллипсов, гипербол, парабол (86).
23.2. Признаки эллипса (87).
23.3. Критерий гиперболы (87).
23.4. Признаки параболы (88).
23.5. О мнимых кривых второго порядка (89).
Историческая справка . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
89

Задачи и упражнения . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
90

Оглавление

Глава III. Аффинные преобразования пространства

§24. Аффинное пространство . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
94
24.1. Аксиоматика аффинной стереометрии (94).
24.2. Параллельные прямые и плоскости (94).
§25. Тройное произведение векторов . . . . . . . . . . . . . . . . . .
95
25.1. Определение и свойства тройного произведения (95).
25.2. Геометрический смысл тройного произведения (97).
§26. Аффинные преобразования пространства . . . . . . . . . . . .
98
26.1. Определение и его следствия (98). 26.2. Конструктивное задание аффинного преобразования (98).
26.3. Координатные формулы аффинного преобразования пространства (99).
26.4. Отношение объёмов — аффинный инвариант (100).
§27. Неподвижные точки и неизменяемые направления
аффинного преобразования пространства . . . . . . . . . . . . 101
27.1. Неподвижные точки (101).
27.2. Неизменяемые направления (102).
27.3. Плоскости неизменяемых направлений (103).
§28. Родственные преобразования
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . 104
28.1. Родство пространства (104).
28.2. Частные виды родственных преобразований пространства (105).
28.3. Формулы родственных преобразований (106).
§29. Некоторые специальные виды аффинных преобразований
пространства . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 107
29.1. Косая осевая симметрия (107).
29.2. Переносная симметрия (107).
29.3. Косой перенос (108).
29.4. Аффинные
повороты (108).
29.5. Параболический сдвиг (109).
§30. Центр аффинного преобразования пространства . . . . . . . . 110
§31. Аффинные автоморфизмы тетраэдра
. . . . . . . . . . . . . . 110

Задачи и упражнения . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 112

Глава IV. Квадрики в аффинном пространстве

§32. Определение квадрики. Пересечение квадрики
с плоскостью . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 114
32.1. Определение (114). 32.2. Пара плоскостей как квадрика (114).
32.3. Пересечение квадрики с плоскостью (115).
§33. Цилиндрические квадрики . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 116
33.1. Определение и составление уравнения цилиндрической
квадрики (116).
33.2. Канонические уравнения цилиндрических квадрик (118).
33.3. Проекция кривой на коорди

Оглавление
7

натную плоскость (119).
33.4. Плоские сечения цилиндрических квадрик (120).
§34. Конические квадрики . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 121
34.1. Определение конической квадрики, составление её
уравнения (121).
34.2. Уравнение конуса второго порядка
с вершиной в начале координат. Каноническое уравнение конуса (122).
34.3. Условие распадения конической
квадрики на пару плоскостей (123).
§35. Кривые второго порядка как конические сечения
. . . . . . . 124
§36. Эллипсоид
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 126
36.1.
Определение
и
геометрическая
форма
эллипсоида (126).
36.2. Сопряжённые диаметры и диаметральные
плоскости эллипсоида (127).
36.3. Сопряжённые тройки
диаметров и сопряжённые тройки диаметральных плоскостей (129).
§37. Гиперболоиды . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 130
37.1. Однополостный гиперболоид (130).
37.2. Двуполостный гиперболоид (133).
§38. Однополостный гиперболоид как линейчатая квадрика . . . . 135
§39. Эллиптический параболоид
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 141
39.1. Аффинное каноническое уравнение и сечения эллиптического параболоида (141). 39.2. Диаметральные плоскости
и диаметры эллиптического параболоида (143).
§40. Гиперболический параболоид . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 144
40.1. Сечения и форма гиперболического параболоида (144).
40.2. Диаметральные плоскости и диаметры гиперболического параболоида (146). 40.3. Прямолинейные образующие
гиперболического параболоида (147).
§41. Касательные прямые и касательные плоскости
к квадрикам . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 148
41.1. Касательные прямые (148).
41.2. Касательные плоскости (149).
§42. Аффинная классификация квадрик
. . . . . . . . . . . . . . . 150

Задачи и упражнения . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 152

Часть II. Проективная геометрия

Глава I. Основы геометрии проективной плоскости

§1. Определение проективной плоскости
. . . . . . . . . . . . . . . 156

Оглавление

§2. Классические модели проективной плоскости. Действительная
проективная плоскость . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 157
2.1. Связка прямых аффинного трёхмерного пространства
как модель проективной плоскости (158). 2.2. Расширенная
аффинная плоскость (158).
2.3. Действительная проективная плоскость (160).
§3. Принцип двойственности для проективной плоскости . . . . . . 161
§4. Проективные координаты . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 163
4.1. Определение и аффинный смысл проективных координат точки (163).
4.2. Замена проективной системы координат (165).
§5. Уравнения прямой в проективных координатах.
Теорема Дезарга
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 166
5.1. Виды уравнений прямой (166).
5.2. Критерий принадлежности трёх прямых одному пучку (167).
5.3. Теорема
Дезарга (167).
5.4. Обратная теорема Дезарга (168).
§6. Двойное отношение четырёх точек прямой . . . . . . . . . . . . 169
6.1. Определение двойного отношения четырёх точек прямой (169). 6.2. Сохранение двойного отношения при замене
проективной системы координат (170). 6.3. Свойства двойного отношения четырёх точек прямой (171).
6.4. Двойное
отношение четырёх коллинеарных точек аффинной плоскости (173).
§7. Двойное отношение и проективные координаты точек
. . . . . 173
7.1. Представление двойного отношения в проективных координатах (173).
7.2. Выражение отношений проективных
координат точки через двойные отношения (174).
§8. Двойное отношение четырёх прямых пучка и его свойства . . . 175
§9. Разделённость пар точек проективной прямой . . . . . . . . . . 178
§10. Гармоническая четвёрка точек
. . . . . . . . . . . . . . . . . . 179

Задачи и упражнения . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 181

Глава II. Проективные отображения и преобразования

§11. Проективные отображения прямой на прямую
(пучка на пучок)
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 184
11.1. Перспективные отображения (184).
11.2. Проективное отображение прямой на прямую (пучка на пучок) (185).
11.3. Теорема Паппа (187).
§12. Проективные преобразования прямой
. . . . . . . . . . . . . . 187
§13. Проективные инволюции прямой . . . . . . . . . . . . . . . . . 189

Оглавление
9

13.1. Задание и координатные формулы (189).
13.2. Неподвижные
точки
инволюции.
Виды
инволюций
(190).
13.3. Вторая теорема Дезарга (191).
§14. Проективные преобразования плоскости . . . . . . . . . . . . . 192
14.1.
Определение
и
задание
проективных
коллинеаций (192).
14.2. Координатные формулы проективного
преобразования (193).
14.3. Построение образа точки при
коллинеации (194).
§15. Неподвижные точки коллинеации. Гомология . . . . . . . . . . 195
15.1. Неподвижные точки (195). 15.2. Гомология проективной плоскости (196). 15.3. Гомологии расширенной аффинной плоскости (197). 15.4. Гармоническая гомология (198).
§16. Неподвижные прямые коллинеации. Представление
коллинеации композицией гомологий . . . . . . . . . . . . . . . 199
16.1.
Существование
неподвижной
прямой
коллинеации (200).
16.2. Представление коллинеации плоскости
композицией двух гомологий (201).
§17. Проективная геометрия с групповой точки зрения . . . . . . . 202

Задачи и упражнения . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 205

Глава III. Проективная теория линий второго порядка

§18. Проективное определение линии второго порядка
. . . . . . . 207
18.1. Определение и характеристическое свойство линии
второго порядка (207).
18.2. Распадение линии второго
порядка на пару прямых (208).
§19. Основная теорема проективной теории линий
второго порядка . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 209
§20. Уравнение линии второго порядка в проективных
координатах
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 210
§21. Теорема Паскаля и её применение . . . . . . . . . . . . . . . . 212
21.1. Аналитическое доказательство теоремы Паскаля (212).
21.2. Теорема Паскаля для вырожденных шестиугольников (214).
§22. Поляра точки и полюс прямой . . . . . . . . . . . . . . . . . . 216
22.1. Определения поляры и полюса (216).
22.2. Построение поляры (217).
22.3. Построение полюса данной прямой (219).
22.4. Построение касательных к линии второго
порядка (219).
§23. Уравнение поляры
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 220
23.1. Координатный критерий полярной сопряжённости
точек (220).
23.2. Уравнение касательной (221).

Оглавление

§24. Полярное соответствие (поляритет)
. . . . . . . . . . . . . . . 222
24.1. Определение и координатные формулы (222). 24.2. Пучок прямых второго порядка
(223).
24.3. Понятие
о корреляции общего вида (224).
§25. Теорема Брианшона . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 224
25.1. Теорема Брианшона для описанного шестиугольника (224).
25.2. Теорема Брианшона для вырожденных
шестиугольников (225).
25.3. Обратная теорема Брианшона (226).
§26. Проективные связи точек кривой второго порядка
и прямой линии . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 227
26.1. Перспективное соответствие (227).
26.2. Проективное
преобразование кривой второго порядка (228).
26.3. Теорема Штаудта (229).
26.4. Критерий инволюции кривой
второго порядка (229).
§27. Проективная классификация линий второго порядка
. . . . . 230

Задачи и упражнения . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 232

Глава IV. Проективные модели аффинной и трёх метрических
геометрий

§28. Проективно-аффинная плоскость. Проективно-аффинные
преобразования
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 234
§29. Основные понятия проективно-аффинной геометрии
. . . . . 237
29.1. Параллельные прямые
(238).
29.2. Проективноаффинное определение вектора (238).
29.3. Отношение
коллинеарных векторов (240).
§30. Умножение вектора на число . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 241
30.1. Ассоциативность умножения вектора на число (241).
30.2. Дистрибутивный закон умножения вектора на число (242).
§31. Аффинное истолкование проективных теорем
. . . . . . . . . 242
§32. Линии второго порядка на проективно-аффинной
плоскости . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 244
32.1. Аффинные свойства линий второго порядка
(244).
32.2. Уравнения эллипса, гиперболы и параболы в аффинных координатах (246).
32.3. Аффинная классификация
линий второго порядка (247).
§33. Проективно-евклидова плоскость. Преобразования подобия . . 248
33.1. Формулы преобразования подобия (250).
§34. Длина отрезка и мера угла на проективно-евклидовой
плоскости. Групповой подход к евклидовой геометрии . . . . . 251