Введение в современную теорию чисел

Ю. И. Манин, А. А. Панчишкин

Введение в современную
теорию чисел

Электронное издание

Москва
Издательство МЦНМО
2014

УДК 511
ББК 122.130
М23

Манин Ю. И., Панчишкин А. А.
Введение в современную теорию чисел
Электронное издание
М.: МЦНМО, 2014
552 с.
ISBN 978-5-4439-2027-6

Предлагаемая читателю книга — это переработанная и дополненная версия книги «Теория чисел I. Введение в теорию чисел» Ю. И. Манина и
А. А. Панчишкина (М.: ВИНИТИ, 1989) и ее английского перевода (Encyclopaedia of Mathematical Sciences, v. 49, Springer-Verlag, 1995). Книга состоит из вводных глав к различным разделам теории чисел. Все главы объединены общей концепцией: вместе с читателем пройти от наглядных примеров
теоретико-числовых объектов и задач, через общие понятия и теории, развитые на протяжении долгого времени, к некоторым новейшим достижениям
и в ´идениям современной математики и наброскам для дальнейших исследований. Новые разделы, написанные для данного издания, включают в себя
сжатое изложение доказательства Уайлса великой теоремы Ферма, недавно
открытый полиномиальный алгоритм проверки на простоту числа, обзор счета рациональных точек на многообразиях и другие сюжеты; заключительная
часть книги посвящена арифметическим когомологиям и некоммутативной
геометрии.

Подготовлено на основе книги: Ю. И. Манин, А. А. Панчишкин. Введение
в современную теорию чисел.— 2-е изд., испр.— М.: МЦНМО, 2013.

Издательство Московского центра
непрерывного математического образования
119002, Москва, Большой Власьевский пер., 11. Тел. (499) 241-74-83
http://www.mccme.ru

ISBN 978-5-4439-2027-6
© Манин Ю. И., Панчишкин А. А., 2009.
© МЦНМО, 2014.

Оглавление

Предисловие . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
11
Введение . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
13

Часть I. Задачи и приемы

Глава 1. Элементарная теория чисел . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
21

§1.1. Задачи о целых числах. Делимость и простота . . . . . . . . . . . . . . . . .
21
1.1.1.
Системы счисления . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
21
1.1.2.
Простые и составные числа . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
22
1.1.3.
Основная теорема арифметики и алгоритм Евклида . . .. . . . . .
24
1.1.4.
Вычисления с классами вычетов . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
26
1.1.5.
Квадратичный закон взаимности и распознавание простоты
числа
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .. . . . . . . . . . . . . . .
29
1.1.6.
Распределение простых чисел
. . . . . . . . . . .. . . . . . . . . . . .
32
§1.2. Диофантовы уравнения первой и второй степени. . . . . . . . . . . . . . . .
37
1.2.1.
Уравнение ax + by = c . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
37
1.2.2.
Диофантовы системы линейных уравнений . . . . . . . . . . . . . .
38
1.2.3.
Уравнения второй степени . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
40
1.2.4.
Принцип Минковского—Хассе для квадратичных форм
. . . . .
42
1.2.5.
Уравнение Пелля . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
45
1.2.6.
Представление целых чисел и квадратичных форм квадратичными формами . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .. . . . . . . . . . . . .
46
1.2.7.
Связь с аналитической теорией чисел
. . . . . . . .. . . . . . . . . .
51
1.2.8.
Эквивалентность бинарных квадратичных форм . . . .. . . . . . . .
54
§1.3. Кубические уравнения . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
56
1.3.1.
Проблема существования рационального решения . . .. . . . . . .
56
1.3.2.
Сложение точек на кубической кривой . . . . . . . .. . . . . . . . . .
57
1.3.3.
Строение группы рациональных точек на кубической кривой . .
59
1.3.4.
Кубические сравнения по простому модулю
. . . . . .. . . . . . . .
66
§1.4. Задачи о континууме: приближения и непрерывные дроби . . . . . . . . .
68
1.4.1.
Диофантовы приближения иррациональных чисел . . . . . . . . .
68
1.4.2.
Ряды Фарея . . . . . . . . . . . . . . . . . . .. . . . . . . . . . . . . . . .
69
1.4.3.
Непрерывные (цепные) дроби . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
70
1.4.4.
SL2-эквивалентность чисел . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
71
1.4.5.
Периодические цепные дроби. Решение уравнения Пелля . . . .
72
§1.5. Диофантовы приближения и иррациональность . . . . .. . . . . . . . . . . .
73
1.5.1.
Идеи доказательства иррациональности числа
z(3) . . . . . . . . .
73

Оглавление

1.5.2.
Мepa иррациональности числа . . . . . . . . . . .. . . . . . . . . . . .
74
1.5.3.
Теорема Туэ—Зигеля—Рота, трансцендентные числа,
диофантовы уравнения . . . . . . . . . . . . . . . . .. . . . . . . . . . .
75
1.5.4.
Вывод тождеств (1.5.1) и (1.5.2) . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
77
1.5.5.
Рекуррентные последовательности an и bn . . . . . . . . . . . . . .
78
1.5.6.
Трансцендентные числа и седьмая проблема Гильберта . . . . . .
80
1.5.7.
Работа Ю. В. Нестеренко о e

p [610]
. . . . . . . . . . . . . . . . . .
80

Глава 2. Некоторые приложения элементарной теории чисел . . . . . . . .
81

§2.1. Разложение и кодирование с открытым ключом . . . . . . . . . . . . . . . .
81
2.1.1.
Временн ´ые затраты для разложения чисел . . . . . . . . . . . . .. .
81
2.1.2.
Односторонние функции и кодирование с открытым ключом
. .
81
2.1.3.
Криптосистема с открытым ключом . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
82
2.1.4.
Статистика и массовое производство простых чисел . .. . . . . . .
84
2.1.5.
Вероятностные методы проверки на простоту . . . . .. . . . . . . .
85
2.1.6.
Проблема дискретного логарифма и протокол обмена ключами
Диффи—Хеллмана
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
86
2.1.7.
Вычисление дискретного логарифма для эллиптических кривых
над конечными полями (ECDLP) . . . . . . . . . . . . . .. . . . . . .
86
§2.2. Детерминированные проверки на простоту. . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
87
2.2.1.
Тест на простоту Адлемана—Померанса—Румели: основные
идеи . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
88
2.2.2.
Гауссовы суммы и их использование в тестах на простоту . . . .
89
2.2.3.
Детальное описание теста на простоту . . . . . . . . . . . . . . . . .
93
2.2.4.
Простые числа лежат в классе P . . . . . . . . . . .. . . . . . . . . .
97
2.2.5.
Алгоритм М. Агравала, Н. Каяла и Н. Саксены . . . . . . . . . . . 100
2.2.6.
Практические и теоретические доказательства простоты.
Алгоритм ECPP (Elliptic Curve Primality Proving), построенный
Ф. Мореном [142]
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 101
2.2.7.
Арифметические прогрессии из простых чисел
. . . . . . . . . . . 102
§2.3. Разложение больших чисел на множители. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 103
2.3.1.
Сравнение сложности тестов на простоту и разложения чисел
на множители . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .. . . . . . . . . . . . . 103
2.3.2.
Разложение чисел и квадратичные формы
. . . . . . .. . . . . . . . 104
2.3.3.
Вероятностный алгоритм CLASNO . . . . . . . . . .. . . . . . . . . . 105
2.3.4.
Метод цепных дробей (CFRAC) и вещественные квадратичные
поля . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 107
2.3.5.
Использование эллиптических кривых . . . . . . . . . . . . . . . . . 110

Часть II. Идеи и теории

Глава 3. Индукция и рекурсия . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 115

§3.1. Элементарная теория чисел с точки зрения логики . . . . . . . . . . . . . . 115
3.1.1.
Элементарная теория чисел . . . . . . . . . . . .. . . . . . . . . . . . . 115
3.1.2.
Логика . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 116
§3.2. Диофантовы множества . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 117

Оглавление
5

3.2.1.
Перечислимость и диофантовы множества . . . . . . . . . . . . . . 117
3.2.2.
Диофантовость перечислимых множеств . . . . . . .. . . . . . . . . . 117
3.2.3.
Свойства диофантовых множеств . . . . . . . . . .. . . . . . . . . . . 118
3.2.4.
Диофантовость и уравнение Пелля . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 119
3.2.5.
График экспоненты диофантов . . . . . . . . . . .. . . . . . . . . . . . 119
3.2.6.
Диофантовость и биномиальные коэффициенты . . . . . . . . . . . 120
3.2.7.
Биномиальные коэффициенты как остатки . . . . . . . . . . . . . . 120
3.2.8.
Диофантовость факториала . . . . . . . . . . . .. . . . . . . . . . . . . 120
3.2.9.
Факториал и алгоритм Евклида
. . . . . . . . . . .. . . . . . . . . . . 120
3.2.10. Дополнительные результаты . . . . . . . . . . .. . . . . . . . . . . . . . 121
§3.3. Частично рекурсивные функции и перечислимые множества . . . . . . . . 122
3.3.1.
Частичные функции и вычислимые функции . . . . . . . . . . . . . 122
3.3.2.
Простейшие функции . . . . . . . . . . . . . . .. . . . . . . . . . . . . . 122
3.3.3.
Элементарные операции над частичными функциями
. . . . . . . 122
3.3.4.
Частично рекурсивное описание функций . . . . . . . . . . . . . . . 123
3.3.5.
Другие рекурсивные функции . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 125
3.3.6.
Дальнейшие свойства рекурсивных функций . . . . . . . . . . . . . 127
3.3.7.
Связь с множествами уровня . . . . . . . . . . . .. . . . . . . . . . . . 127
3.3.8.
Связь с проекциями множеств уровня . . . . . . . . . . . . . . . . . 128
3.3.9.
Теорема Матиясевича . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 128
3.3.10. Существование некоторых биекций . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 128
3.3.11. Операции на примитивно перечислимых множествах
. .. . . . . . 130
3.3.12. Функция Гёделя . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 130
3.3.13. Свойства перечислимых множеств
. . . . . . . . .. . . . . . . . . . . 131
§3.4. Диофантовы множества и алгоритмическая неразрешимость . . . . . . . . 131
3.4.1.
Алгоритмическая нераспознаваемость и неразрешимость . . . . . 131
3.4.2.
План доказательства теоремы Матиясевича . . . . . . . . . . . . . 132

Глава 4. Арифметика алгебраических чисел . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 134

§4.1. Алгебраические числа: реализации и геометрия . . . .. . . . . . . . . . . . . 134
4.1.1.
Присоединение корней многочленов
. . . . . . . . . . . . . . . . . . 134
4.1.2.
Расширения Галуа и элементы Фробениуса . . . . . . . . . . . . . . 136
4.1.3.
Тензорное произведение полей и геометрическое изображение
алгебраических чисел . . . . . . . . . . . . . . . . .. . . . . . . . . . . . 138
4.1.4.
Единицы, логарифмическое отображение и регулятор . . . . . . . 140
4.1.5.
Точки решетки в выпуклом теле . . . . . . . . . . .. . . . . . . . . . . 142
4.1.6.
Вывод теоремы о единицах из леммы о выпуклом теле . . .. . . . 144
§4.2. Разложение простых идеалов, дедекиндовы кольца и нормирования . . . 145
4.2.1.
Простые идеалы и однозначность разложения на множители . . 145
4.2.2.
Конечность числа классов . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 147
4.2.3.
Разложение простых идеалов в расширениях
. . . . . . . . . . . . 148
4.2.4.
Разложение простых идеалов в циклотомических полях
. . . . . 150
4.2.5.
Простые идеалы, показатели и нормирования . . . . .. . . . . . . . 152
§4.3. Локальные и глобальные методы . . . . . . . . . . .. . . . . . . . . . . . . . . . 154
4.3.1.
p-адические числа . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 154
4.3.2.
Приложения p-адических чисел к решению сравнений . . . . . . 158

Оглавление

4.3.3.
Символ Гильберта . . . . . . . . . . . . . . . .. . . . . . . . . . . . . . . 159
4.3.4.
Алгебраические расширения поля Qp и поля Тэйта
. . . . . . . . 161
4.3.5.
Нормализованные нормирования
. . . . . . . . . .. . . . . . . . . . . 163
4.3.6.
Точки числовых полей. Формула произведения . . . . . . . . . . . 165
4.3.7.
Адели и идели . . . . . . . . . . . . . . . . . .. . . . . . . . . . . . . . . . 167
4.3.8.
Геометрия аделей и иделей . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 169
§4.4. Теория полей классов . . . . . . . . . . . . . . .. . . . . . . . . . . . . . . . . . . 174
4.4.1.
Абелевы расширения поля рациональных чисел . . . . . . . . . . . 174
4.4.2.
Элементы Фробениуса числовых полей и отображение взаимности Артина . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .. . . . . . . . . . . . . . 177
4.4.3.
Теорема Чеботарева о плотности простых идеалов . . .. . . . . . . 179
4.4.4.
Закон разложения и отображение взаимности . . . . .. . . . . . . . 179
4.4.5.
Ядро отображения взаимности . . . . . . . . . . .. . . . . . . . . . . . 180
4.4.6.
Символ Артина . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 181
4.4.7.
Глобальные свойства символа Артина . . . . . . . .. . . . . . . . . . 181
4.4.8.
Связь символа Артина и локальных символов . . . . . . . . . . . . 183
4.4.9.
Свойства локального символа
. . . . . . . . . . .. . . . . . . . . . . . 184
4.4.10. Явная конструкция абелевых расширений локального поля и вычисление локального символа
. . . . . . . . . . . . . .. . . . . . . . . 185
4.4.11. Абелевы расширения числовых и функциональных полей
. . . . 188
§4.5. Группа Галуа в арифметических задачах . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 191
4.5.1.
Деление круга на n равных частей
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . 191
4.5.2.
Расширения Куммера и символ степенного вычета . . . . . . . . . 195
4.5.3.
Когомологии Галуа . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 198
4.5.4.
Когомологическое определение локального символа . . . . . . . . 201
4.5.5.
Группа Брауэра, закон взаимности и принцип
Минковского—Хассе . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .. . . . . 203

Глава 5. Арифметика алгебраических многообразий . . . . . . . . . . . . . . 209

§5.1. Арифметические многообразия: схемы конечного типа над кольцом целых чисел . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 209
5.1.1.
Решение уравнений и кольца . . . . . . . . . . . .. . . . . . . . . . . . 209
5.1.2.
Множество решений систем . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 209
5.1.3.
Пример: «язык сравнений» . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 209
5.1.4.
Эквивалентность систем уравнений . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 210
5.1.5.
Решения системы как гомоморфизмы K-алгебр . . . . . . . . . . . 210
5.1.6.
Спектр кольца
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 211
5.1.7.
Функции на спектрах . . . . . . . . . . . . . . .. . . . . . . . . . . . . . 211
5.1.8.
Топология пространства Spec A . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 212
5.1.9.
Схемы . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .. . . . . . . . . . . . . . . . . . 215
5.1.10. Точки схемы со значениями в кольцах . . . . . . . .. . . . . . . . . . 217
5.1.11. Решения уравнений и точки схем
. . . . . . . . . .. . . . . . . . . . . 217
5.1.12. Теорема Шевалле
. . . . . . . . . . . . . . . .. . . . . . . . . . . . . . . 218
5.1.13. Некоторые геометрические понятия . . . . . . . .. . . . . . . . . . . . 219
§5.2. Геометрические методы изучения диофантовых уравнений. . . . . . . . . . 221
5.2.1.
Основные вопросы . . . . . . . . . . . . . . . .. . . . . . . . . . . . . . . 221

Оглавление
7

5.2.2.
Геометрическая классификация
. . . . . . . . . .. . . . . . . . . . . . 223
5.2.3.
Существование рациональных точек и препятствия к принципу
Хассе . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .. . . . . . . . . . . . . . . 224
5.2.4.
Конечные и бесконечные множества решений . . . . . . . . . . . . 227
5.2.5.
Число точек ограниченной высоты
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . 229
5.2.6.
Высота и геометрия Аракелова . . . . . . . . . . .. . . . . . . . . . . . 233
5.2.7.
Рациональные многообразия . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 234
§5.3. Эллиптические кривые, абелевы многообразия и линейные группы. . . . 236
5.3.1.
Алгебраические кривые и римановы поверхности . . . . . . . . . . 236
5.3.2.
Эллиптические кривые . . . . . . . . . . . . . .. . . . . . . . . . . . . . 238
5.3.3.
Кривая Тэйта и ее точки конечного порядка . . . . . . . . . . . . . 245
5.3.4.
Теорема Морделла—Вейля и когомологии Галуа . . . . . . . . . . 247
5.3.5.
Абелевы многообразия и якобианы . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 252
5.3.6.
Формула Зигеля и числа Тамагавы . . . . . . . . . .. . . . . . . . . . 259
§5.4. Диофантовы уравнения и представления Галуа . . . . .. . . . . . . . . . . . . 266
5.4.1.
Модуль Тэйта эллиптической кривой . . . . . . . . . . . . . . . . . . 266
5.4.2.
Теория комплексного умножения
. . . . . . . . . .. . . . . . . . . . . 268
5.4.3.
Характеры l-адических представлений . . . . . . . . . . . . . . . . . 271
5.4.4.
Представления в характеристике p . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 272
5.4.5.
Модуль Тэйта числового поля
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 273
§5.5. Теорема Фальтингса и проблемы конечности в диофантовой геометрии
276
5.5.1.
Сведение гипотезы Морделла к гипотезе Шафаревича
. .. . . . . 276
5.5.2.
Теорема Шафаревича . . . . . . . . . . . . . . .. . . . . . . . . . . . . . 278
5.5.3.
Переход к абелевым многообразиям . . . . . . . . .. . . . . . . . . . 279
5.5.4.
Проблемы конечности и гипотеза Тэйта . . . . . . . . . . . . . . . . 281
5.5.5.
Сведение гипотез Тэйта к свойству конечности для изогений . . 282
5.5.6.
Высота Фальтингса—Аракелова . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 284
5.5.7.
Гипотеза T и поведение высоты при изогениях . . . . .. . . . . . . . 287

Глава 6. Дзета-функции и модулярные формы . . . . . . . . . . . . . . . . . . 289

§6.1. Дзета-функции арифметических схем . . . . . . . . . . . . . .. . . . . . . . . . 289
6.1.1.
Определение дзета-функций
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 289
6.1.2.
Аналитическое продолжение дзета-функций . . . . . . . . . . . . . 291
6.1.3.
Схемы над конечным полем и теорема Делиня . . . . . .. . . . . . . 291
6.1.4.
Дзета-функции и тригонометрические суммы . . . . . . . . . . .. . . 295
§6.2. L-функции, теория Тэйта и явные формулы . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 300
6.2.1.
L-функции рациональных представлений Галуа . . . . . . . .. . . . 300
6.2.2.
Формализм Артина
. . . . . . . . . . . . . . . .. . . . . . . . . . . . . . 302
6.2.3.
Пример: дзета-функция Дедекинда . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 305
6.2.4.
Характеры Гекке и теория Тэйта . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 306
6.2.5.
Явные формулы . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 314
6.2.6.
Группа А. Вейля и ее представления
. . . . . . . . .. . . . . . . . . . 316
6.2.7.
Дзета-функции, L-функции и мотивы
. . . . . . . . . . . . . . . . . 318
§6.3. Модулярные формы и эйлеровы произведения . . . . . .. . . . . . . . . . . . 324
6.3.1.
Связь между алгебраическими многообразиями и L-функциями
324
6.3.2.
Классические модулярные формы . . . . . . . . . .. . . . . . . . . . . 325

Оглавление

6.3.3.
Приложение: кривая Тэйта и полустабильные эллиптические
кривые
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 327
6.3.4.
Аналитические семейства эллиптических кривых и конгруэнцподгруппы . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .. . . . . . . . . . . . . . 329
6.3.5.
Модулярные формы относительно конгруэнц-подгрупп . . . . . . 329
6.3.6.
Теория Гекке . . . . . . . . . . . . . . . . . .. . . . . . . . . . . . . . . . . 332
6.3.7.
Примитивные формы . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 337
6.3.8.
Обратная теорема в форме Вейля . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 339
§6.4. Модулярные формы и представления Галуа . . . . . . .. . . . . . . . . . . . . 344
6.4.1.
Сравнения Рамануджана и представления Галуа
. . . .. . . . . . . 344
6.4.2.
Связь с конструкцией Эйхлера—Шимуры
. . . . . . . . . . . . . . 346
6.4.3.
Гипотеза Шимуры—Таниямы—Вейля
. . . . . . . . . . . . . . . . . 347
6.4.4.
Гипотеза Берча—Свиннертон-Дайера
. . . . . . . . . . . . . . . . . 348
6.4.5.
Гипотеза Артина и параболические формы . . . . . . . . . . . . . . 355
6.4.6.
Модулярные представления над конечными полями . . .. . . . . . 358
§6.5. Автоморфные формы и программа Ленглендса . . . . . .. . . . . . . . . . . . 359
6.5.1.
Связь классических модулярных форм с теорией представлений
359
6.5.2.
Автоморфные L-функции
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .. . . 363
6.5.3.
Принцип функториальности Ленглендса . . . . . . .. . . . . . . . . . 366
6.5.4.
Автоморфные формы и гипотезы Ленглендса
. . . . . .. . . . . . . 367

Глава 7. Великая теорема Ферма и семейства модулярных форм . . . . . 369

§7.1. Гипотеза Шимуры—Таниямы—Вейля и высшие законы взаимности . . . 369
7.1.1.
Задача Пьера де Ферма (1601—1665) . . . . . . . . . . . . . . . . . 369
7.1.2.
Ошибка Г. Ламе . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 370
7.1.3.
Краткий обзор замечательного доказательства Уайлса
. . . . . . 371
7.1.4.
STW-гипотеза
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 373
7.1.5.
Связь с квадратичным законом взаимности
. . . . . .. . . . . . . . 373
7.1.6.
Полное доказательство STW-гипотезы . . . . . . . . . . . . . . . . 374
7.1.7.
Модулярность полустабильных кривых
. . . . . . . . . . . . . . . . 377
7.1.8.
Структура доказательства теоремы 7.13 (полустабильной STWгипотезы) . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .. . . . . . . . . . . . . . . 378
§7.2. Теорема Ленглендса—Туннелла и модулярность по модулю 3 . . . . . . . 380
7.2.1.
Представления Галуа: подготовка . . . . . . . . .. . . . . . . . . . . . 380
7.2.2.
Модулярность по модулю p . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 382
7.2.3.
Переход от параболических форм веса один к параболическим
формам веса два . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .. . . . . . . . . . . . 383
7.2.4.
Предварительный обзор этапов доказательства теоремы 7.13
о модулярности . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .. . . . . . . . . . . . . 384
§7.3. Модулярность представлений Галуа и универсальные кольца деформаций . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 385
7.3.1.
Представления Галуа над локальными нётеровыми алгебрами
385
7.3.2.
Деформации представлений Галуа . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 386
7.3.3.
Модулярные представления Галуа . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 388
7.3.4.
Допустимые деформации и модулярные деформации . . .. . . . . . 390
7.3.5.
Универсальные кольца деформаций . . . . . . . . .. . . . . . . . . . . 392

Оглавление
9

§7.4. Основная теорема Уайлса и критерии изоморфизма локальных колец . . 394
7.4.1.
Идеи доказательства основной теоремы 7.33 . . . . .. . . . . . . . . 394
7.4.2.
Сюръективность отображения
fΣ . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 395
7.4.3.
Построения универсального кольца деформаций RΣ . . . . . . . . 396
7.4.4.
Набросок построения универсального кольца модулярных деформаций TΣ . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 397
7.4.5.
Универсальность и теорема плотности Чеботарева . . . . . . . . . 399
7.4.6.
Критерии изоморфизма локальных колец . . . . . . .. . . . . . . . . 399
7.4.7.
Второй критерий изоморфизма локальных колец и J-структуры
400
§7.5. Шаг индукции по Уайлсу: применение критериев и когомологии Галуа
401
7.5.1.
Шаг индукции по Уайлсу при доказательстве основной теоремы
7.33
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 401
7.5.2.
Формула, связывающая #ΦRΣ и #ΦRΣ′ : подготовка . . . . . . . . 403
7.5.3.
Группа Зельмера и ΦRΣ . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 404
7.5.4.
Инфинитезимальные деформации . . . . . . . . . .. . . . . . . . . . . 404
7.5.5.
Деформации типа DΣ . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 406
§7.6. Относительный инвариант, основное неравенство и минимальный случай 410
7.6.1.
Относительный инвариант . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 410
7.6.2.
Основное неравенство
. . . . . . . . . . . . . .. . . . . . . . . . . . . . 412
7.6.3.
Минимальный случай . . . . . . . . . . . . . . .. . . . . . . . . . . . . . 414
§7.7. Окончание доказательства Уайлса и теорема об абсолютной неприводимости . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 416
7.7.1.
Теорема об абсолютной неприводимости
. . . . . . .. . . . . . . . . 416
7.7.2.
От p = 3 к p = 5 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .. . . . . . 419
7.7.3.
Семейства эллиптических кривых с фиксированным r5,E . . . . . 420
7.7.4.
Окончание доказательства . . . . . . . . . . . .. . . . . . . . . . . . . . 422

Часть III. Аналогии и в ´идения

Глава III-0. Вводный очерк части III: мотивировки и общее описание . . 427

§III.1. Аналогии и различия между числами и функциями: точка на бесконечности, архимедовы свойства и т. д.. . . . . . . . . . . .. . . . . . . . . . . . . . . . . . 427
III.1.1. Формула Коши о вычетах и формула произведения
. . . . . . . . 427
III.1.2. Арифметические многообразия . . . . . . . . . . .. . . . . . . . . . . . 428
III.1.3. Бесконечно малые окрестности слоев
. . . . . . . . . . . . . . . . . 428
§III.2. Геометрия Аракелова, слой над бесконечностью, циклы и функции Грина (по Жилле—Суле) . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .. . . . . . . . . . . . . . 429
III.2.1. Арифметические группы Чжоу . . . . . . . . . . . .. . . . . . . . . . . 430
III.2.2. Арифметическая теория пересечений и теорема
Римана—Роха
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 431
III.2.3. Геометрическое описание замкнутых слоев над бесконечностью
433
§III.3. Теория дзета-функций, локальные множители для ∞, Γ-множители
Серра и общее описание дзета-функций как определителей арифметических
Фробениусов: программа Денингера. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 435
III.3.1. Архимедовы L-множители . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .. . . . 437
III.3.2. Формулы Денингера . . . . . . . . . . . . . . . .. . . . . . . . . . . . . . 437

Оглавление

§III.4. Предположение, что недостающие геометрические объекты — некоммутативные пространства. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 438
III.4.1. Типы и примеры некоммутативных пространств и как с ними
обращаться. Некоммутативная геометрия и арифметика . . . . . 438
III.4.2. Общие сведения о спектральных тройках . . . . . . . . . . . . . . . 442
III.4.3. Содержание части III: описание основных этапов данной программы . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 443

Глава 8. Геометрия Аракелова и некоммутативная геометрия
(по К. Конзани и М. Марколли, [278]) . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 446

§8.1. Униформизация Шоттки и геометрия Аракелова. . . . .. . . . . . . . . . . . 446
8.1.1.
Мотивировки и контекст работы Конзани—Марколли
. . . . . . 446
8.1.2.
Аналитическая конструкция вырождающихся кривых над полными локальными полями и геометрия Аракелова (по Мамфорду, см. [601])
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 447
8.1.3.
Группы Шоттки и новые перспективы в геометрии Аракелова . . 452
8.1.4.
Гиперболические тела с ручками . . . . . . . . . .. . . . . . . . . . . . 456
8.1.5.
Геометрия Аракелова и гиперболическая геометрия . .. . . . . . . 459
§8.2. Когомологические конструкции, архимедов оператор Фробениуса и регуляризованные определители . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 463
8.2.1.
Архимедовы когомологии
. . . . . . . . . . . . .. . . . . . . . . . . . . 463
8.2.2.
Локальный множитель и архимедовы когомологии . . . . . . . . . 467
8.2.3.
Когомологические конструкции . . . . . . . . . .. . . . . . . . . . . . . 468
8.2.4.
Дзета-функция специального слоя и кручение Райдемайстера
469
§8.3. Спектральные тройки, динамика и дзета-функции . . . . . . . . . . . . . . . 472
8.3.1.
Динамическая теория на бесконечности . . . . . . .. . . . . . . . . . 475
8.3.2.
Гомотопический фактор . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 476
8.3.3.
Фильтрация
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 478
8.3.4.
Гильбертово пространство и градуировка . . . . . .. . . . . . . . . . 479
8.3.5.
Алгебра Кунца—Кригера
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .. . . 479
8.3.6.
Арифметические поверхности: гомологии и когомологии . . . . . 482
8.3.7.
Архимедовы множители с точки зрения динамики
. . . .. . . . . . 484
8.3.8.
Динамическая теория для кривых Мамфорда
. . . . . .. . . . . . . 484
8.3.9.
Когомологии пространства W (∆/Γ)T . . . . . . . . . . . . . . . . . . 488
8.3.10. Спектральные тройки и кривые Мамфорда . . . . . . . . . . . . . . 491
§8.4. Редукция по модулю ∞ . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 492
8.4.1.
Гомотопические факторы и «редукция по модулю бесконечности» . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 492
8.4.2.
Отображение Баума—Конна . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 494
Литература . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 496
Предметный указатель . . . . . . . . . . . . . . . . .. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 546