Книжная полка Сохранить
Размер шрифта:
А
А
А
|  Шрифт:
Arial
Times
|  Интервал:
Стандартный
Средний
Большой
|  Цвет сайта:
Ц
Ц
Ц
Ц
Ц

Теоретическая механика в задачах. Лагранжева механика. Гамильтонова механика

Покупка
Артикул: 686207.01.99
Данное издание продолжает серию учебных пособий по теоре- тической механике, выпускаемых кафедрой теоретической механи- ки и мехатроники механико-математического факультета Москов- ского государственного университета им. М.В.Ломоносова. В посо- бии приводятся подробные решения задач основных типов по курсу ¾Аналитическая механика¿. Издание предназначено для студентов и аспирантов естественно-научных факультетов университетов, а так- же преподавателей теоретической механики.
Барбашова, Т. Ф. Теоретическая механика в задачах. Лагранжева механика. Гамильтонова механика: Учебное пособие / Барбашова Т.Ф., Кугушев Е.И., Попова Т.В. - Москва :МЦНМО, 2014. - 391 с.: ISBN 978-5-4439-2025-2. - Текст : электронный. - URL: https://znanium.com/catalog/product/969480 (дата обращения: 25.05.2024). – Режим доступа: по подписке.
Фрагмент текстового слоя документа размещен для индексирующих роботов. Для полноценной работы с документом, пожалуйста, перейдите в ридер.
Т. Ф. Барбашова
Е. И. Кугушев 
Т. В. Попова

Т. Ф. Барбашова, Е. И. Кугушев, Т. В. Попова 
    Теоретическая механика в задачах

Т. Ф. Барбашова
Е. И. Кугушев
Т. В. Попова

ТЕОРЕТИЧЕСКАЯ
МЕХАНИКА
В ЗАДАЧАХ

ЛАГРАНЖЕВА МЕХАНИКА.
ГАМИЛЬТОНОВА МЕХАНИКА

Допущено УМО по классическому университетскому образованию
в качестве учебного пособия для студентов высших учебных
заведений, обучающихся по направлению подготовки высшего
профессионального образования 010800 «Механика
и математическое моделирование» и специальности
010701 «Фундаментальная математика и механика»

Электронное издание

Издательство МЦНМО
Mocква • 2014

УДК 531.39
ББК 22.2
Б24

Барбашова Т. Ф., Кугушев Е. И., Попова Т. В.
Теоретическая механика в задачах. Лагранжева механика. Гамильтонова механика
Электронное издание
М.: МЦНМО, 2014
391 с.
ISBN 978-5-4439-2025-2

Данное издание продолжает серию учебных пособий по теоретической механике, выпускаемых кафедрой теоретической механики и мехатроники механико-математического факультета Московского государственного университета им. М. В. Ломоносова. В пособии приводятся подробные решения задач основных типов по курсу
«Аналитическая механика». Издание предназначено для студентов и
аспирантов естественно-научных факультетов университетов, а также преподавателей теоретической механики.

Подготовлено на основе книги: Т. Ф. Барбашова, Е. И. Кугушев, Попова Т. В. Теоретическая механика в задачах. Лагранжева механика.
Гамильтонова механика. — М.: МЦНМО, 2013.

Издательство Московского центра
непрерывного математического образования
119002, Москва, Большой Власьевский пер., 11. Тел. (499) 241-74-83
http://www.mccme.ru

ISBN 978-5-4439-2025-2

c⃝ Т. Ф. Барбашова, Е. И. Кугушев,
Т. В. Попова, 2013.
c⃝ МЦНМО, 2014.

Оглавление

Предисловие
5

Глава 1
Лагранжева механика
7
1.1. Уравнения Лагранжа . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
7
1.1.1.
Уравнения Лагранжа системы с обобщенными силами . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
7
1.1.2.
Функция Лагранжа. Уравнения Лагранжа в случае потенциальных сил . . . . . . . . . . . . . . . .
37
1.1.3.
Понижение
порядка
уравнений
Лагранжа
по
Раусу . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
54
1.2. Определение реакций с помощью уравнений Лагранжа .
67
1.3. Принцип виртуальных перемещений Даламбера . . . . .
75
1.4. Малые колебания . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
92
1.4.1.
Малые колебания натуральных систем
. . . . . .
92
1.4.2.
Фигуры Лиссажу . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 120
1.4.3.
Малые колебания в окрестности положения относительного равновесия . . . . . . . . . . . . . . . . 132
1.4.4.
Малые колебания в окрестности стационарного
движения . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 153

Глава 2
Гамильтонова механика
186
2.1. Функция Гамильтона. Канонические уравнения Гамильтона . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 186
2.2. Скобки Пуассона
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 207
2.3. Канонические преобразования . . . . . . . . . . . . . . . . 216
2.4. Уравнение Гамильтона–Якоби
. . . . . . . . . . . . . . . 252
2.5. Переменные действие-угол . . . . . . . . . . . . . . . . . . 284
2.5.1.
Системы с одной степенью свободы
. . . . . . . . 284
2.5.2.
Системы с несколькими степенями свободы . . . . 317
2.5.3.
Приведение гамильтониана к простому виду . . . 330
2.6. Преобразование Биркгофа . . . . . . . . . . . . . . . . . . 355

Приложения
378

Литература
386

Предметный указатель
389

Основные обозначения

Oxyz — декартова система координат с началом в точке O и осями
Ox, Oy, Oz;
z — число, комплексно сопряженное z;
a — вектор a;
F — вектор F ;
e — единичный вектор;
−−→
AB — вектор с началом в точке A и концом в точке B;
A или A — матрица A или A;
E — единичная матрица;
AT — транспонированная матрица A;
(a, b) = ab — скалярное произведение векторов a и b;
a2 = (a, a);
|a| =
√

a2 — модуль (величина) вектора a;
|−−→
AB| — модуль вектора −−→
AB;
∥a∥ — евклидова норма вектора a;
a × b — векторное произведение векторов a и b;
α ∧ β — внешнее произведение дифференциальных форм α и β;

˙a(t) = da

dt — производная функции a(t) по времени;

¨a(t) = d 2a

dt2 — вторая производная функции a(t) по времени;

˙a(t) = da

dt — производная вектор-функции a(t) по времени;

¨a(t) = d 2a

dt2 — вторая производная вектор-функции a(t) по времени.

Греческий алфавит
A α — альфа
B β — бета
Γ γ — гамма
∆ δ — дельта
E ε — эпсилон
Z ζ — дзета
H η — эта
Θ θ — тета
I ι — йота
K κ — каппа
Λ λ — лямбда
M µ — мю (ми)
N ν — ню (ни)
Ξ ξ — кси
O o — омикрон
Π π — пи
P ρ — ро
Σ σ — сигма
T τ — тау
Y υ — ипсилон
Φ ϕ — фи
X χ — хи
Ψ ψ — пси
Ω ω — омега

Любимым нашим родителям
и учителям посвящается

Предисловие

Данное издание продолжает серию учебных пособий по теоретической механике, выпускаемых кафедрой теоретической механики и
мехатроники механико-математического факультета Московского государственного университета им. М. В. Ломоносова. Пособие предназначено для обучения студентов и аспирантов решению задач по
аналитической механике. В нем приводятся подробные решения более 100 задач основных типов по курсу “Аналитическая механика” и
по второй части курса “Теоретическая механика”, которые читаются
на механико-математическом факультете МГУ им. М. В. Ломоносова.
В книгу входят два раздела: Лагранжева механика и Гамильтонова механика. В каждом разделе даны теоретические понятия, теоремы
и формулы, необходимые при решении задач. Представлены решения
задач разного уровня сложности, иллюстрирующие общие методы и
приемы, которые можно использовать при решении других задач механики. Отличительной чертой пособия является разбор целого ряда
задач по темам “Переменные действие-угол” и “Преобразование Биркгофа”.
Студентам перед решением задач рекомендуется внимательно разобраться в соответствующей части теоретического материала, приведенного в каждом разделе.
При изложении теоретической части авторы основывались на материалах изданий [1], [11], [17]–[20], [35], [46]. Около половины включенных в пособие задач взяты из сборников задач по теоретической и
аналитической механике [9], [12], [14], [16], [36], [38], [39].
Издание предназначено для студентов и аспирантов естественнонаучных факультетов университетов, а также преподавателей теоретической механики.
Авторы выражают благодарность И. Л. Антонову, В. Г. Вильке,
О. Э. Зубелевичу, А. В. Карапетяну, В. А. Прошкину, В. В. Сазонову и
Д. В. Трещеву, прочитавшим рукопись и сделавшим конструктивные
замечания.

Формулы для вычисления кинетической энергии системы

1. Формула Кёнига для вычисления кинетической энергии системы N материальных точек

T = Mv2
S

2
+ 1

2

N
i=1
mi ˙ρ2
i = TS + Tкен,
(Φ.1)

где mi — масса i-й точки; M =
N
i=1
mi — масса системы; vS — скорость

центра масс S системы; ˙ρi — скорость i-й точки в осях Кёнига; TS —
кинетическая энергия центра масс, если в него поместить массу всей
системы; Tкен — кинетическая энергия системы в осях Кёнига.
2. Кинетическая энергия твердого тела, вращающегося вокруг
неподвижной точки,

T = 1

2
J1ω2
1 + J2ω2
2 + J3ω2
3
,
(Φ.2)

где J1, J2, J3 — моменты инерции относительно главных осей инерции
тела в неподвижной точке; ω1, ω2, ω3 — проекции угловой скорости
тела на эти оси.
3. Кинетическая энергия твердого тела, вращающегося вокруг
неподвижной оси Oz с угловой скоростью ω,

T = 1

2Jzω2,
(Φ.3)

где Jz — момент инерции тела относительно оси Oz.
4. Кинетическая энергия произвольно движущегося твердого тела

T = TS + Tкен = 1

2Mv2
S + 1

2
J1ω2
1 + J2ω2
2 + J3ω2
3
,
(Φ.4)

где M — масса тела; vS — скорость его центра масс; J1, J2, J3 — моменты инерции тела относительно главных центральных осей инерции
тела; ω1, ω2, ω3 — проекции абсолютной угловой скорости тела на эти
оси.
5. Кинетическая энергия твердого тела, совершающего плоскопараллельное движение,

T = TS + Tкен = 1

2Mv2
S + 1

2Jzω2,
(Φ.5)

где M — масса тела; vS — скорость его центра масс; ω — угловая
скорость тела; Jz — момент инерции тела относительно оси Sz, проходящей через его центр масс S перпендикулярно плоскости движения.

Глава 1
Лагранжева механика

1.1. Уравнения Лагранжа

1.1.1. Уравнения Лагранжа системы с обобщенными силами. Рассмотрим механическую систему, состоящую из N материальных точек с массами m1, m2, . . . , mN. Радиус-векторы точек в
абсолютной системе координат Oxyz обозначим через ri = (xi, yi, zi),
i = 1, . . . , N. Пусть на систему наложены удерживающие, голономные
(другое название — геометрические) связи, заданные системой уравнений
fj(r1, r2, . . . , rN, t) = 0,
j = 1, . . . , k.
(1.1)

Здесь и далее предполагается, что все функции непрерывно дифференцируемы нужное число раз. Множество положений, которые может занимать в R3N система точек при наложенных связях, называется конфигурационным пространством системы. Пусть существуют
вектор-функции переменных q = (q1, q2, . . . , qn) и t
ri(q, t) =
xi(q, t), yi(q, t), zi(q, t)
,
(1.2)

(q, t) ∈ Rn+1,
ri ∈ R3,
i = 1, . . . , N,
которые удовлетворяют следующим условиям:
1) уравнения связей (1.1) выполняются тождественно при подстановке в них вектор-функций (1.2)
fj
r1(q, t), . . . , rN(q, t), t
≡ 0,
j = 1, . . . , k;
2) для любых q, t функции (1.2) независимы по q. Это означает,

что матрица ∂(r1, . . . , rN)

∂q
размером 3N× n

∂(r1, . . . , rN)

∂q
=












∂x1
∂q1

∂x1
∂q2
. . .
∂x1
∂qn
∂y1
∂q1

∂y1
∂q2
. . .
∂y1
∂qn
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
∂zN
∂q1

∂zN
∂q2
. . .
∂zN
∂qn












имеет ранг n.
Тогда переменные q = (q1, q2, . . . , qn) называются обобщенными
координатами в конфигурационном пространстве системы. Эти координаты однозначно задают положение системы.

Глава 1. Лагранжева механика

Пусть функции (1.1) функционально независимы по r1, . . ., rN, то

есть ранг матрицы Якоби ∂(f1, . . . , fk)

∂(r1, . . . , rN) равен k, тогда n = 3N − k.

Если в точке (q, t) ранг матрицы ∂(r1, . . . , rN)

∂q
меньше n, то в этой

точке координаты q вырождаются. Для изучения движения системы
в окрестности такой точки нужно использовать другие обобщенные
координаты.
Предположим,
что
положения
точек
системы
определяются
вектор-функциями (1.2), для которых выполнено условие 2). Тогда
на систему наложены голономные связи вида (1.1) и q — обобщенные
координаты системы. Поэтому голономные связи можно задавать соотношениями (1.2). Система, на которую наложены голономные связи,
называется голономной.
Пусть введены обобщенные координаты. Тогда в любой момент
времени t каждому положению r = (r1, r2, . . . , rN) точек системы
о д н о з н а ч н о отвечает некоторый вектор обобщенных координат
q = (q1, q2, . . . , qn) такой, что r = r(q, t). Соответственно каждому закону движения r(t) =
r1(t), r2(t), . . . , rN(t)
точек системы отвечает некоторая кривая q(t) =
q1(t), q2(t), . . . , qn(t)
в пространстве обобщенных координат такая, что

ri(t) = ri
q(t), t
,
i = 1, . . . , N.
(1.3)

Вектор dq

dt = ˙q(t) =
˙q1(t), ˙q2(t), . . . , ˙qn(t)
называется вектором обоб
щенных скоростей. Дифференцируя (1.3) по времени, для абсолютных
скоростей точек системы получаем

˙ri = dri

dt = d

dt

ri
q(t), t
= ∂ri

∂q
dq
dt + ∂ri

∂t .

В любой момент времени t обобщенные координаты q и обобщенные
скорости ˙q однозначно определяют положения и скорости точек системы в абсолютном пространстве:

ri = ri(q, t),
˙ri = ∂ri

∂q ˙q + ∂ri

∂t ,
i = 1, . . . , N.
(1.4)

Пусть t∗ — некоторый момент времени. Освободим систему от связей (1.1) и наложим на нее с в я з и п р и з а ф и к с и р о в а н н о м
в р е м е н и

fj(r1, r2, . . . , rN, t∗) = 0,
j = 1, . . . , k.

Такие связи будем называть зафиксированными связями. В качестве
обобщенных координат выберем те же координаты q, причем вместо
функций (1.2) перехода от обобщенных координат к абсолютным возь
1.1. Уравнения Лагранжа
9

мем следующие

ri(q) =
xi(q, t∗), yi(q, t∗), zi(q, t∗)
,
i = 1, . . . , N.

Пусть в момент времени t = t∗ система находится в точке r∗= r
q∗).
Введем некоторую гладкую кривую q(τ), τ ∈ R, такую, что q(0) = q∗.
Переменную τ будем рассматривать как время для системы с зафиксированными связями. Тогда движению системы по кривой q(τ) соответствует движение по гладкой кривой r(τ) = r
q(τ)
, причем r(0) = r∗.
Скорости точек системы при зафиксированных связях называются
виртуальными скоростями. Виртуальная скорость v системы в точке r∗ (при τ = 0) — это вектор

v = dr

dτ

τ=0
= ∂r

∂q
dq
dτ

τ=0
= ∂r

∂q q′(0).
(1.5)

Виртуальным перемещением системы в точке r∗ называется дифференциал функции r(τ), то есть линейная часть ее приращения

δr = (δr1, . . . , δrN) = v δτ = dr

dτ

τ=0
δτ = ∂r

∂q
dq
dτ

τ=0
δτ.

Виртуальным перемещением i-й точки системы в положении r = r∗

называется дифференциал

δri = vi δτ = dri

dτ

τ=0
δτ = ∂ri

∂q
dq
dτ

τ=0
δτ.
(1.6)

В обобщенных координатах имеем

δr = ∂r

∂q
dq
dτ

τ=0
δτ = ∂r

∂q δq,
где δq = dq

dτ

τ=0
δτ.
(1.7)

Обозначение δf для дифференциала функцииf вместо стандартного df
используется для того, чтобы отметить, что дифференцирование производится при зафиксированном времени. Виртуальные перемещения
имеют физическую размерность перемещения, а физическая размерность виртуальной скорости зависит от физической размерности переменной τ.

Действительным перемещением системы называется дифференциал вектор-функции r(q, t)

dr = ∂r

∂q dq + ∂r

∂t dt.

Виртуальным перемещением системы называется дифференциал
вектор-функции r(q, t) при з а ф и к с и р о в а н н о м времени

δr = ∂r

∂q δq.
(1.8)

Глава 1. Лагранжева механика

Размерность пространства виртуальных перемещений называется
числом степеней свободы системы. В случае голономных связей размерность пространства виртуальных перемещений совпадает с размерностью пространства обобщенных координат. Поэтому число степеней
свободы голономной системы равно числу обобщенных координат.
Виртуальные перемещения точек твердого тела. Пусть механическая система представляет собой твердое тело, содержащее три
точки, не лежащие на одной прямой. В этом случае положение любой
точки тела в пространстве определяется положением некоторой его
точки P и ориентацией жестко связанного с телом репера. Скорость vB
любой точки B тела по формуле Эйлера полностью определяется скоростью vP точки P тела (полюса) и вектором ω угловой скорости тела:

vB = vP + ω × −−→
PB,
−−→
PB = rB − rP ,
(1.9)

где rB и rP — радиус-векторы точек B и P соответственно.
Предположим, что в момент времени t∗ точки тела находятся в
положении r∗ = (r∗
1, . . . , r∗
N). Для связей при зафиксированном времени t = t∗ рассмотрим некоторое движение твердого тела из точки r∗.
Пусть этому движению соответствует гладкая кривая r(τ), τ ∈ R, такая, что r(0)= r∗. Переменную τ будем рассматривать как время для

системы с зафиксированными связями. Согласно (1.5) vi = dri

dτ

τ=0
—

виртуальная скорость i-й точки тела при τ = 0. Пусть vP — виртуальная скорость полюса P, а ω — угловая скорость тела в момент τ = 0.
Используя (1.6) и (1.9), найдем виртуальное перемещение i-й точки в
момент τ = 0
δri = vi δτ =
vP + ω × (r∗
i − r∗
P )
δτ =

= vP δτ + ω δτ × (r∗
i − r∗
P ),
i = 1, . . . , N.
(1.10)

Первое слагаемое в (1.10) согласно (1.6) — это виртуальное перемещение точки P:
vP δτ = δrP .

Рассмотрим вектор ωδτ, входящий в (1.10). Положение и скорость
любой точки твердого тела есть вектор-функции обобщенных координат, обобщенных скоростей и времени
см. (1.4)
. При этом скорости
точек линейно зависят от обобщенных скоростей. Из формулы Эйлера (1.9) следует, что угловая скорость твердого тела тоже является вектор-функцией обобщенных координат, обобщенных скоростей и
времени, причем зависимость от обобщенных скоростей линейная:

ω =

n
k=1
wk(q, t) ˙qk + w0(q, t).
(1.11)