Теоретическая механика в задачах. Лагранжева механика. Гамильтонова механика

Т. Ф. Барбашова
Е. И. Кугушев 
Т. В. Попова

Т. Ф. Барбашова, Е. И. Кугушев, Т. В. Попова 
    Теоретическая механика в задачах

Т. Ф. Барбашова
Е. И. Кугушев
Т. В. Попова

ТЕОРЕТИЧЕСКАЯ
МЕХАНИКА
В ЗАДАЧАХ

ЛАГРАНЖЕВА МЕХАНИКА.
ГАМИЛЬТОНОВА МЕХАНИКА

Допущено УМО по классическому университетскому образованию
в качестве учебного пособия для студентов высших учебных
заведений, обучающихся по направлению подготовки высшего
профессионального образования 010800 «Механика
и математическое моделирование» и специальности
010701 «Фундаментальная математика и механика»

Электронное издание

Издательство МЦНМО
Mocква • 2014

УДК 531.39
ББК 22.2
Б24

Барбашова Т. Ф., Кугушев Е. И., Попова Т. В.
Теоретическая механика в задачах. Лагранжева механика. Гамильтонова механика
Электронное издание
М.: МЦНМО, 2014
391 с.
ISBN 978-5-4439-2025-2

Данное издание продолжает серию учебных пособий по теоретической механике, выпускаемых кафедрой теоретической механики и мехатроники механико-математического факультета Московского государственного университета им. М. В. Ломоносова. В пособии приводятся подробные решения задач основных типов по курсу
«Аналитическая механика». Издание предназначено для студентов и
аспирантов естественно-научных факультетов университетов, а также преподавателей теоретической механики.

Подготовлено на основе книги: Т. Ф. Барбашова, Е. И. Кугушев, Попова Т. В. Теоретическая механика в задачах. Лагранжева механика.
Гамильтонова механика. — М.: МЦНМО, 2013.

Издательство Московского центра
непрерывного математического образования
119002, Москва, Большой Власьевский пер., 11. Тел. (499) 241-74-83
http://www.mccme.ru

ISBN 978-5-4439-2025-2

c⃝ Т. Ф. Барбашова, Е. И. Кугушев,
Т. В. Попова, 2013.
c⃝ МЦНМО, 2014.

Оглавление

Предисловие
5

Глава 1
Лагранжева механика
7
1.1. Уравнения Лагранжа . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
7
1.1.1.
Уравнения Лагранжа системы с обобщенными силами . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
7
1.1.2.
Функция Лагранжа. Уравнения Лагранжа в случае потенциальных сил . . . . . . . . . . . . . . . .
37
1.1.3.
Понижение
порядка
уравнений
Лагранжа
по
Раусу . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
54
1.2. Определение реакций с помощью уравнений Лагранжа .
67
1.3. Принцип виртуальных перемещений Даламбера . . . . .
75
1.4. Малые колебания . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
92
1.4.1.
Малые колебания натуральных систем
. . . . . .
92
1.4.2.
Фигуры Лиссажу . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 120
1.4.3.
Малые колебания в окрестности положения относительного равновесия . . . . . . . . . . . . . . . . 132
1.4.4.
Малые колебания в окрестности стационарного
движения . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 153

Глава 2
Гамильтонова механика
186
2.1. Функция Гамильтона. Канонические уравнения Гамильтона . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 186
2.2. Скобки Пуассона
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 207
2.3. Канонические преобразования . . . . . . . . . . . . . . . . 216
2.4. Уравнение Гамильтона–Якоби
. . . . . . . . . . . . . . . 252
2.5. Переменные действие-угол . . . . . . . . . . . . . . . . . . 284
2.5.1.
Системы с одной степенью свободы
. . . . . . . . 284
2.5.2.
Системы с несколькими степенями свободы . . . . 317
2.5.3.
Приведение гамильтониана к простому виду . . . 330
2.6. Преобразование Биркгофа . . . . . . . . . . . . . . . . . . 355

Приложения
378

Литература
386

Предметный указатель
389

Основные обозначения

Oxyz — декартова система координат с началом в точке O и осями
Ox, Oy, Oz;
z — число, комплексно сопряженное z;
a — вектор a;
F — вектор F ;
e — единичный вектор;
−−→
AB — вектор с началом в точке A и концом в точке B;
A или A — матрица A или A;
E — единичная матрица;
AT — транспонированная матрица A;
(a, b) = ab — скалярное произведение векторов a и b;
a2 = (a, a);
|a| =
√

a2 — модуль (величина) вектора a;
|−−→
AB| — модуль вектора −−→
AB;
∥a∥ — евклидова норма вектора a;
a × b — векторное произведение векторов a и b;
α ∧ β — внешнее произведение дифференциальных форм α и β;

˙a(t) = da

dt — производная функции a(t) по времени;

¨a(t) = d 2a

dt2 — вторая производная функции a(t) по времени;

˙a(t) = da

dt — производная вектор-функции a(t) по времени;

¨a(t) = d 2a

dt2 — вторая производная вектор-функции a(t) по времени.

Греческий алфавит
A α — альфа
B β — бета
Γ γ — гамма
∆ δ — дельта
E ε — эпсилон
Z ζ — дзета
H η — эта
Θ θ — тета
I ι — йота
K κ — каппа
Λ λ — лямбда
M µ — мю (ми)
N ν — ню (ни)
Ξ ξ — кси
O o — омикрон
Π π — пи
P ρ — ро
Σ σ — сигма
T τ — тау
Y υ — ипсилон
Φ ϕ — фи
X χ — хи
Ψ ψ — пси
Ω ω — омега

Любимым нашим родителям
и учителям посвящается

Предисловие

Данное издание продолжает серию учебных пособий по теоретической механике, выпускаемых кафедрой теоретической механики и
мехатроники механико-математического факультета Московского государственного университета им. М. В. Ломоносова. Пособие предназначено для обучения студентов и аспирантов решению задач по
аналитической механике. В нем приводятся подробные решения более 100 задач основных типов по курсу “Аналитическая механика” и
по второй части курса “Теоретическая механика”, которые читаются
на механико-математическом факультете МГУ им. М. В. Ломоносова.
В книгу входят два раздела: Лагранжева механика и Гамильтонова механика. В каждом разделе даны теоретические понятия, теоремы
и формулы, необходимые при решении задач. Представлены решения
задач разного уровня сложности, иллюстрирующие общие методы и
приемы, которые можно использовать при решении других задач механики. Отличительной чертой пособия является разбор целого ряда
задач по темам “Переменные действие-угол” и “Преобразование Биркгофа”.
Студентам перед решением задач рекомендуется внимательно разобраться в соответствующей части теоретического материала, приведенного в каждом разделе.
При изложении теоретической части авторы основывались на материалах изданий [1], [11], [17]–[20], [35], [46]. Около половины включенных в пособие задач взяты из сборников задач по теоретической и
аналитической механике [9], [12], [14], [16], [36], [38], [39].
Издание предназначено для студентов и аспирантов естественнонаучных факультетов университетов, а также преподавателей теоретической механики.
Авторы выражают благодарность И. Л. Антонову, В. Г. Вильке,
О. Э. Зубелевичу, А. В. Карапетяну, В. А. Прошкину, В. В. Сазонову и
Д. В. Трещеву, прочитавшим рукопись и сделавшим конструктивные
замечания.

Формулы для вычисления кинетической энергии системы

1. Формула Кёнига для вычисления кинетической энергии системы N материальных точек

T = Mv2
S

2
+ 1

2

N
i=1
mi ˙ρ2
i = TS + Tкен,
(Φ.1)

где mi — масса i-й точки; M =
N
i=1
mi — масса системы; vS — скорость

центра масс S системы; ˙ρi — скорость i-й точки в осях Кёнига; TS —
кинетическая энергия центра масс, если в него поместить массу всей
системы; Tкен — кинетическая энергия системы в осях Кёнига.
2. Кинетическая энергия твердого тела, вращающегося вокруг
неподвижной точки,

T = 1

2
J1ω2
1 + J2ω2
2 + J3ω2
3
,
(Φ.2)

где J1, J2, J3 — моменты инерции относительно главных осей инерции
тела в неподвижной точке; ω1, ω2, ω3 — проекции угловой скорости
тела на эти оси.
3. Кинетическая энергия твердого тела, вращающегося вокруг
неподвижной оси Oz с угловой скоростью ω,

T = 1

2Jzω2,
(Φ.3)

где Jz — момент инерции тела относительно оси Oz.
4. Кинетическая энергия произвольно движущегося твердого тела

T = TS + Tкен = 1

2Mv2
S + 1

2
J1ω2
1 + J2ω2
2 + J3ω2
3
,
(Φ.4)

где M — масса тела; vS — скорость его центра масс; J1, J2, J3 — моменты инерции тела относительно главных центральных осей инерции
тела; ω1, ω2, ω3 — проекции абсолютной угловой скорости тела на эти
оси.
5. Кинетическая энергия твердого тела, совершающего плоскопараллельное движение,

T = TS + Tкен = 1

2Mv2
S + 1

2Jzω2,
(Φ.5)

где M — масса тела; vS — скорость его центра масс; ω — угловая
скорость тела; Jz — момент инерции тела относительно оси Sz, проходящей через его центр масс S перпендикулярно плоскости движения.

Глава 1
Лагранжева механика

1.1. Уравнения Лагранжа

1.1.1. Уравнения Лагранжа системы с обобщенными силами. Рассмотрим механическую систему, состоящую из N материальных точек с массами m1, m2, . . . , mN. Радиус-векторы точек в
абсолютной системе координат Oxyz обозначим через ri = (xi, yi, zi),
i = 1, . . . , N. Пусть на систему наложены удерживающие, голономные
(другое название — геометрические) связи, заданные системой уравнений
fj(r1, r2, . . . , rN, t) = 0,
j = 1, . . . , k.
(1.1)

Здесь и далее предполагается, что все функции непрерывно дифференцируемы нужное число раз. Множество положений, которые может занимать в R3N система точек при наложенных связях, называется конфигурационным пространством системы. Пусть существуют
вектор-функции переменных q = (q1, q2, . . . , qn) и t
ri(q, t) =
xi(q, t), yi(q, t), zi(q, t)
,
(1.2)

(q, t) ∈ Rn+1,
ri ∈ R3,
i = 1, . . . , N,
которые удовлетворяют следующим условиям:
1) уравнения связей (1.1) выполняются тождественно при подстановке в них вектор-функций (1.2)
fj
r1(q, t), . . . , rN(q, t), t
≡ 0,
j = 1, . . . , k;
2) для любых q, t функции (1.2) независимы по q. Это означает,

что матрица ∂(r1, . . . , rN)

∂q
размером 3N× n

∂(r1, . . . , rN)

∂q
=












∂x1
∂q1

∂x1
∂q2
. . .
∂x1
∂qn
∂y1
∂q1

∂y1
∂q2
. . .
∂y1
∂qn
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
∂zN
∂q1

∂zN
∂q2
. . .
∂zN
∂qn












имеет ранг n.
Тогда переменные q = (q1, q2, . . . , qn) называются обобщенными
координатами в конфигурационном пространстве системы. Эти координаты однозначно задают положение системы.

Глава 1. Лагранжева механика

Пусть функции (1.1) функционально независимы по r1, . . ., rN, то

есть ранг матрицы Якоби ∂(f1, . . . , fk)

∂(r1, . . . , rN) равен k, тогда n = 3N − k.

Если в точке (q, t) ранг матрицы ∂(r1, . . . , rN)

∂q
меньше n, то в этой

точке координаты q вырождаются. Для изучения движения системы
в окрестности такой точки нужно использовать другие обобщенные
координаты.
Предположим,
что
положения
точек
системы
определяются
вектор-функциями (1.2), для которых выполнено условие 2). Тогда
на систему наложены голономные связи вида (1.1) и q — обобщенные
координаты системы. Поэтому голономные связи можно задавать соотношениями (1.2). Система, на которую наложены голономные связи,
называется голономной.
Пусть введены обобщенные координаты. Тогда в любой момент
времени t каждому положению r = (r1, r2, . . . , rN) точек системы
о д н о з н а ч н о отвечает некоторый вектор обобщенных координат
q = (q1, q2, . . . , qn) такой, что r = r(q, t). Соответственно каждому закону движения r(t) =
r1(t), r2(t), . . . , rN(t)
точек системы отвечает некоторая кривая q(t) =
q1(t), q2(t), . . . , qn(t)
в пространстве обобщенных координат такая, что

ri(t) = ri
q(t), t
,
i = 1, . . . , N.
(1.3)

Вектор dq

dt = ˙q(t) =
˙q1(t), ˙q2(t), . . . , ˙qn(t)
называется вектором обоб
щенных скоростей. Дифференцируя (1.3) по времени, для абсолютных
скоростей точек системы получаем

˙ri = dri

dt = d

dt

ri
q(t), t
= ∂ri

∂q
dq
dt + ∂ri

∂t .

В любой момент времени t обобщенные координаты q и обобщенные
скорости ˙q однозначно определяют положения и скорости точек системы в абсолютном пространстве:

ri = ri(q, t),
˙ri = ∂ri

∂q ˙q + ∂ri

∂t ,
i = 1, . . . , N.
(1.4)

Пусть t∗ — некоторый момент времени. Освободим систему от связей (1.1) и наложим на нее с в я з и п р и з а ф и к с и р о в а н н о м
в р е м е н и

fj(r1, r2, . . . , rN, t∗) = 0,
j = 1, . . . , k.

Такие связи будем называть зафиксированными связями. В качестве
обобщенных координат выберем те же координаты q, причем вместо
функций (1.2) перехода от обобщенных координат к абсолютным возь

1.1. Уравнения Лагранжа
9

мем следующие

ri(q) =
xi(q, t∗), yi(q, t∗), zi(q, t∗)
,
i = 1, . . . , N.

Пусть в момент времени t = t∗ система находится в точке r∗= r
q∗).
Введем некоторую гладкую кривую q(τ), τ ∈ R, такую, что q(0) = q∗.
Переменную τ будем рассматривать как время для системы с зафиксированными связями. Тогда движению системы по кривой q(τ) соответствует движение по гладкой кривой r(τ) = r
q(τ)
, причем r(0) = r∗.
Скорости точек системы при зафиксированных связях называются
виртуальными скоростями. Виртуальная скорость v системы в точке r∗ (при τ = 0) — это вектор

v = dr

dτ

τ=0
= ∂r

∂q
dq
dτ

τ=0
= ∂r

∂q q′(0).
(1.5)

Виртуальным перемещением системы в точке r∗ называется дифференциал функции r(τ), то есть линейная часть ее приращения

δr = (δr1, . . . , δrN) = v δτ = dr

dτ

τ=0
δτ = ∂r

∂q
dq
dτ

τ=0
δτ.

Виртуальным перемещением i-й точки системы в положении r = r∗

называется дифференциал

δri = vi δτ = dri

dτ

τ=0
δτ = ∂ri

∂q
dq
dτ

τ=0
δτ.
(1.6)

В обобщенных координатах имеем

δr = ∂r

∂q
dq
dτ

τ=0
δτ = ∂r

∂q δq,
где δq = dq

dτ

τ=0
δτ.
(1.7)

Обозначение δf для дифференциала функцииf вместо стандартного df
используется для того, чтобы отметить, что дифференцирование производится при зафиксированном времени. Виртуальные перемещения
имеют физическую размерность перемещения, а физическая размерность виртуальной скорости зависит от физической размерности переменной τ.

Действительным перемещением системы называется дифференциал вектор-функции r(q, t)

dr = ∂r

∂q dq + ∂r

∂t dt.

Виртуальным перемещением системы называется дифференциал
вектор-функции r(q, t) при з а ф и к с и р о в а н н о м времени

δr = ∂r

∂q δq.
(1.8)