Собрание трудов. Т. 1

А. И. Ларкин

Собрание трудов
Том 1

МЦНМО

А. И. Ларкин

СОБРАНИЕ ТРУДОВ

I

Электронное издание

Москва • МЦНМО • 2014

УДК 53
ББК 22.3
Л 25

Ларкин А. И.
Собрание трудов. Т. 1
Электронное издание
М.: МЦНМО, 2014
714 с.
ISBN 978-5-4439-2020-7

Настоящая книга представляет собой первый том полного собрания научных трудов академика Анатолия Ивановича Ларкина (1932–2005). Его труды относятся к
различным областям теоретической физики: теории плазмы, физики ядра, квантовой
теории поля, теории фазовых переходов, сверхпроводимости и другим разделам теории
конденсированного состояния.
В первом томе собраны статьи, опубликованные с 1959 по 1976 гг.
Книга предназначена научным работникам, аспирантам и студентам старших курсов, специализирующихся в области теоретической физики.

Подготовлено на основе книги: А. И. Ларкин. Собрание трудов. Т. 1. — М.:
МЦНМО, 2009.

Издательство Московского центра
непрерывного математического образования
119002, Москва, Большой Власьевский пер., 11. Тел. (499) 241-74-83

http://www.m

me.
ru

ISBN 978-5-4439-2020-7
⃝c МЦНМО, 2014.

Содержание

Предисловие . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
6
Уравнение состояния плазмы . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
10
Прохождение частиц через плазму . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
22
Термодинамические функции низкотемпературной плазмы . . . . . . . . . .
33
О применении методов теории сверхпроводимости к вопросу о массах
элементарных частиц . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
37
Масса частицы в одномерной модели с четырехфермионным взаимодействием . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
42
О возможности сверхпроводимости у полупроводников . . . . . . . . . . . .
50
Коллективные возбуждения в сверхпроводнике . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
57
О коллективных возбуждениях при спаривании с моментом, отличным
от нуля . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
74
О K-мезон-гиперонных резонансах . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
82
Решение уравнений Бете–Салпетера для модели Ферми–Янга . . . . . .
93
Теория сверхтекучей ферми-жидкости. Применение к ядру . . . . . . . . .
100
Полюса Редже в нерелятивистской задаче с нелокальным и сингулярным взаимодействием . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
118
Феноменологический подход к теории ядра . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
130
Особенность амплитуды при l
= −1 в уравнениях Бете–Салпетера . .
147
Влияние коллективных возбуждений на электродинамику сверхпроводников . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
164
Неоднородное состояние сверхпроводников . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
181
Векторное спаривание в сверхпроводниках малых размеров . . . . . . . .
194
Вращательный спектр ядер при больших моментах . . . . . . . . . . . . . . . .
197
The disappearance of nuclear pairing correlations as influenced by rotation 211
Сверхпроводник малых размеров в сильном магнитном поле . . . . . . . .
215
О фазовых переходах второго рода . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
227
Модель Изинга при взаимодействии с неближайшими соседями . . . . .
245
О методе самосогласованного поля при описании фазовых переходов
257
О граничном условии эффекта Джозефсона . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
274
Туннельный эффект между сверхпроводниками в переменном поле . . .
279

Содержание

Коллективные возбуждения вблизи точек фазового перехода второго
рода . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
289
Термодинамика идеального ферромагнетика . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
309
Аналог эффекта Джозефсона в ядерных превращениях . . . . . . . . . . . .
330
Спиновые волны и корреляционные функции в ферромагнетике . . . . .
337
Ширина линии излучения при эффекте Джозефсона . . . . . . . . . . . . . . .
357
Влияние флуктуаций на свойства сверхпроводника при температурах
выше критической . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
363
The influence of fluctuation pairing of electrons on the conductivity of
normal metal . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
372
Тепловые колебания и эффект Мессбауэра в области фазовых переходов в сегнетоэлектриках . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
374
Эффект Джозефсона в сверхпроводниках, разделенных нормальным
металлом . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
387
О квазиклассическом методе в теории сверхпроводимости . . . . . . . . . .
401
О слоистой структуре в сегнетоэлектриках-фотопроводниках . . . . . . .
413
О фазовых переходах первого рода, близких ко второму . . . . . . . . . . .
425
Фазовый переход в одноосных сегнетоэлектриках . . . . . . . . . . . . . . . . .
438
Эффект Джозефсона в точечных сверхпроводящих контактах . . . . . . .
452
Флуктуации в сверхпроводниках . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
456
Влияние неоднородностей на структуру смешанного состояния сверхпроводников . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
458
Вириальное разложение для магнитных примесей в металлах . . . . . . .
463
Вириальное разложение для магнитных примесей в металлах . . . . . . .
469
О возможных состояниях квазиодномерных систем . . . . . . . . . . . . . . .
483
Влияние неоднородностей на свойства сверхпроводников . . . . . . . . . . .
494
Магнитные примеси в почти магнитном металле . . . . . . . . . . . . . . . . . .
505
Плотность состояний в неоднородных сверхпроводниках . . . . . . . . . . .
518
Fluctuation conductivity in the vicinity of the superconducting transition
533
Сопротивление сверхпроводников вблизи критического поля Hc2 . . . .
547
Корреляционные функции одномерной ферми-системы с дальнодействием (модель Томонага) . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
557
Электродинамика неоднородных сверхпроводников второго рода . . . .
574
Влияние флуктуаций на температуру перехода в квазиодномерных
сверхпроводниках . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
586
Вклад парамагнонов в свободную энергию Не3 . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
600
Флуктуационная магнитная восприимчивость сверхпроводников и нормальных металлов . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
604
Спаривание с ненулевым спином в слоистых и в квазиодномерных
сверхпроводниках . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
620
Эффект Джозефсона в широких сверхпроводящих контактах . . . . . . .
629
Изолированная точка на кривой перехода первого рода . . . . . . . . . . . .
640

Содержание
5

Нелинейная проводимость сверхпроводников в смешанном состоянии
652
Корреляционные функции в одномерных системах с сильным взаимодействием . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
667
Спонтанное нарушение симметрии первого рода . . . . . . . . . . . . . . . . . .
682
Вязкость вихрей в чистых сверхпроводниках . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
694
Сверхпроводящие контакты с неравновесной функцией распределения
электронов . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
698
Влияние примесей на фазовые переходы в квазиодномерных проводниках . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
709

Предисловие

От редакторов

Настоящая книга представляет собой первый том полного собрания научных
трудов академика Анатолия Ивановича Ларкина (1932–2005). Здесь собраны
статьи, опубликованные с 1959 по 1976 гг. Более поздние работы войдут во второй
и третий тома издания, которые, как мы надеемся, выйдут из печати в ближайшее
время.
Научные интересы Анатолия Ивановича были чрезвычайно широки. Его труды относятся к различным областям теоретической физики: теории плазмы, физики ядра, квантовой теории поля, теории фазовых переходов, сверхпроводимости и другим разделам теории конденсированного состояния. Кроме того, работы
А. И. Ларкина часто устанавливали или проясняли внутренние связи между различными областями физики. Хотя основные результаты А. И. Ларкина хорошо
известны в научном сообществе, в оригинальных статьях есть множество ценных
идей и вычислений, неизбежно выпадающих из обзоров и монографий. Нам и нашим коллегам часто приходится обращаться к журнальным статьям А. И., в том
числе и очень давним. Эффективный способ знакомства с этими работами, предоставляемый настоящим изданием, окажется особенно полезен для студентовтеоретиков, не имевших возможности лично общаться с Анатолием Ивановичем.
Статьи упорядочены хронологически и представлены на языке оригинального
издания (в первом томе имеется лишь несколько англоязычных статей, во втором и третьем томах их будет значительно больше). При подготовке издания
мы постарались исправить замеченные в журнальных изданиях опечатки. Выражаем благодарность коллегам, помогавшим нам в работе над этим изданием:
И. С. Бурмистрову, В. Г. Ваксу, В. Б. Гешкенбейну, Л. Б. Иоффе, Ю. Н. Овчинникову, П. М. Островскому, И. В. Протопопову, К. С. Тихонову, М. Н. Сербину,
Я. В. Фоминову.
Представляется правильным сопроводить собрание трудов предисловием, сообщающим читателю об их авторе. В качестве такового мы решили использовать
краткую биографию А. И. Ларкина, написанную его учениками и соавторами и
опубликованную в сентябрьском номере журнала «Успехи физических наук» за
2005 г. С любезного согласия редакции УФН мы воспроизводим ниже этот текст.

М. А. Скворцов и М. В. Фейгельман
Черноголовка, 2008 г.

Предисловие
7

Памяти Анатолия Ивановича Ларкина 1

5 августа 2005 г. скончался Анатолий Иванович Ларкин — один из самых самобытных физиков-теоретиков своего поколения, внесший определяющий вклад
почти во все области физики конденсированного состояния. Анатолий Иванович
умер неожиданно, полный новых идей и творческих планов, не завершив многообещающих начинаний.
Анатолий Иванович Ларкин родился 14 октября 1932 г. в г. Коломна. Научная
биография академика РАН, заведующего сектором Института теоретической физики им Л. Д. Ландау, профессора МГУ, профессора физики и члена Института
теоретической физики университета Миннесоты (Миннеаполис, США), лауреата
престижных международных знаков признания — премии им. Хьюлетта и Пакарда, премии Ф. Лондона, премии Л. Онсагера и премии Дж. Бардина — начиналась
в Москве, более полувека назад. Поступив в МИФИ, он учился физике у блестящих учителей: И. Е. Тамма, М. А. Леонтовича, И. Я. Померанчука, А. Б. Мигдала.
Свою первую научную работу он выполнил под руководством А. Д. Сахарова,
после чего был принят сначала в аспирантуру, а затем и на работу в ЛИПАН
(ныне Российский научный центр «Курчатовский институт») в группу А. Б. Мигдала, где в то время работали Б. Т. Гейликман, В. М. Галицкий, С. Т. Беляев,
В. Г. Вакс. В те времена теоретическая физика еще не распалась на множество узких направлений, и молодые ученые, следуя опыту своих учителей, успешно
работали в различных ее областях. В своих первых работах А. И. Ларкин применяет недавно развитую технику гриновских функций к изучению термодинамики
и потерь быстрых частиц в плазме. В другой серии работ совместно с А. Б. Мигдалом он распространяет теорию ферми-жидкости Ландау на физику атомного
ядра. С начала 60-х годов его привлекает развитие теории сверхпроводимости,
которая становится увлечением на всю жизнь.
Так, в 1964 г. А. И. Ларкин и Ю. Н. Овчинников впервые рассматривают
куперовское спаривание с ненулевым импульсом — этот результат окажется понастоящему оценен значительно позже.
В 1966 г. А. И. Ларкин переходит в только что организованный Институт теоретической физики им. Л. Д. Ландау. С этим институтом связаны многие годы его
жизни. Эта связь не прерывается и после перехода Анатолия Ивановича в 1995
году в Институт теоретической физики университета Миннесоты (Миннеаполис,
США), где А. И. Ларкин работал до последних дней жизни и нашел новых друзей,
учеников и соавторов.
А. И. Ларкин интенсивно и плодотворно работает над проблемами ядерной
физики и теории частиц, магнитных и неупорядоченных систем, вплотную подходит к решению загадки фазовых переходов второго рода. В то же время он снова и
снова возвращается к проблемам физики сверхпроводников. Вклад А. И. Ларкина
в решение этих проблем действительно монументален. Отметим самые выдающиеся из его достижений в этой области физики: теория сверхпроводящих флуктуаций
(совместно с Л. Г. Асламазовым), теория эффекта Джозефсона в SNS-контактах
(совместно с Л. Г. Асламазовым и Ю. Н. Овчинниковым), теория слабого пиннинга, теория коллективного крипа, квазиклассическая теория неравновесных

1 Успехи физических наук. 2005. Т. 175 (9). С. 1011.

Предисловие

явлений в сверхпроводниках, теория макроскопического квантового туннелирования (последние четыре совместно с Ю. Н. Овчинниковым), теория гранулированных сверхпроводников (совместно с Л. Б. Иоффе, М. А. Скворцовым и
М. В. Фейгельманом).
Вклад А. И. Ларкина в физику чрезвычайно разнообразен. Наряду с теорией
сверхпроводимости, ему принадлежат фундаментальные результаты во множестве
других областей теоретической физики. В 1961 г. в совместной работе с В. Г. Ваксом, посвященной физике мягких пионов, впервые высказывается фундаментальная идея о спонтанном нарушении симметрии как механизме возникновения динамической симметрии элементарных частиц. В 1969 г. А. И. Ларкин, совместно
с Д. Е. Хмельницким, опубликовал работу по теории одноосных сегнетоэлектриков. В этой работе впервые в теории конденсированного состояния был применен
метод ренормализационной группы. Сейчас этот метод является одним из основных инструментов теоретической физики. Эта работа сыграла важную роль в создании теории критических явлений. А. И. Ларкин оказал существенное влияние
и на развитие теории одномерных систем. В работах, выполненных в соавторстве
с И. Е. Дзялошинским и, позднее, с К. Б. Ефетовым, впервые были вычислены
фермионные функции Грина и корреляционные функции. Тем самым были заложены основы современной теории одномерных электронных систем. Важным вкладом в эту область стало применение А. И. Ларкиным и К. Б. Ефетовым теории
слабого пиннинга к динамике волны зарядовой плотности, а также вычисление
А. И. Ларкиным и П. А. Ли энергии активации фрейлиховской проводимости.
В 80-е годы происходит существенный прогресс в понимании физики неупорядоченных проводников и в этой области А. И. Ларкин становится общепризнанным
лидером. Совместно со своими соавторами (Л. П. Горьков, Д. Е. Хмельницкий,
К. Б. Ефетов, А. Г. Аронов, Б. Л. Альтшулер, С. Хиками, Й. Нагаока) он вносит
значительный вклад в эту область и закладывает основы таких новых направлений, как слабая локализация, мезоскопика и квантовый хаос в электронных
системах.
Список научных достижений А. И. Ларкина можно продолжать и продолжать.
С середины 80-х годов XX в. и до конца жизни он активно работал в области теории высокотемпературной сверхпроводимости (совместно с Л. Б. Иоффе), теории
вихревого состояния (совместно с Дж. Блаттером, В. М. Винокуром, В. Б. Гешкенбейном и М. В. Фейгельманом), теории флуктуаций (совместно с А. А. Варламовым и В. М. Галицким), физики наноструктур (совместно с Л. И. Глазманом
и К. А. Матвеевым), теории диффузии и хаоса (совместно с И. Л. Алейнером
и Ч. Тианом). Изучая его последние публикации можно только поражаться их
глубине и актуальности, а также тому, что первая в списке его работ имеет уже
полувековую давность. К сожалению, Анатолий Иванович написал совсем немного обзорных статей и всего одну, только что вышедшую, книгу (совместно
с А. А. Варламовым). Выход ее русского издания будет уже посмертным.
Научные достижения А. И. Ларкина неразрывно связаны в его жизни с воспитанием молодых теоретиков. Анатолий Иванович никогда не имел одновременно
много учеников, однако его выдающийся талант Учителя привел в теоретическую
физику многих способных людей, очень разных по характеру и складу их дарования: Ю. Н. Овчинникова, Л. Г. Асламазова, Д. Е. Хмельницкого, К. Б. Ефетова,

Предисловие
9

П. Б. Вигмана, В. Н. Филева, Л. Б. Иоффе, В. Б. Гешкенбейна, В. М. Галицкого,
К. А. Матвеева, Ч. Тиана.
До последних дней он оставался желанным соавтором для большого числа
коллег как именитых, так и молодых. Всякому, кому посчастливилось работать
с Анатолием Ивановичем, известно особое чувство восторга овладения новым
знанием. Человечность, доброта, обаяние А. И. Ларкина и радость участия в совместном творчестве притягивали к нему стольких людей с различными характерами и талантами!
Анатолий Иванович Ларкин умер, не завершив множество начинаний, оставив
ученикам и соавторам заканчивать десяток начатых, благодаря его идеям, исследований. Поэтому еще долго будут появляться работы с его именем.

А. А. Абрикосов, Б. Л. Альтшулер, В. Г. Вакс,
А. А. Варламов, П. Б. Вигман, Л. П. Горьков,
Л. И. Глазман, И. Е. Дзялошинский, К. Б. Ефетов,
Л. Б. Иоффе, Ю. Н. Овчинников, Д. Е. Хмельницкий

Уравнение состояния плазмы

А. А. Веденов, А. И. Ларкин

Свободная энергия F полностью ионизованного газа находится
в виде разложения по плотности n:

F
= Fидеальн

+ An3/2

+ Bn2 ln n
+ Cn2.

Член An3/2 совпадает с известным результатом Дебая–Хюккеля. Получены выражения для функций B и C. При вычислениях использовалась диаграммная техника.

Вопросу об уравнении состояния системы частиц с кулоновским взаимодействием посвящено большое число работ. Обычные формулы для вириальных коэффициентов в этом случае неприменимы. Кулоновские силы являются дальнодействующими, поэтому при разложении термодинамических величин по степеням плотности газа уже в первом члене этого разложения нельзя ограничиться
парными взаимодействиями. Дебаем и Хюккелем [1] с помощью метода самосогласованного поля был найден первый член разложения свободной энергии по
плотности взаимодействующих частиц n, который оказался пропорциональным
n3/2 (для единицы объема). В работах Глаубермана и Юхновского [2] предприняты попытки вычисления следующих членов разложений по плотности, однако
применяемые в этих работах методы являются незаконными и приводят к неверным результатам.
В настоящей работе для вычисления первых членов разложения по плотности применяется графический метод, аналогичный методу Фейнмана в квантовой
электродинамике.

1. Диаграммная техника. Газовое приближение

Рассматривается система взаимодействующих частиц в объеме V в состоянии
термодинамического равновесия при температуре T
= 1/. Гамильтониан системы
равен H
= H0

+ H′, где

H0

=
p

"pa

+
p ap,
H′

= 1

2V

p1p2q
Vqa

+
p1a

+
p2ap2

+qap1−q,
"p

= p2/2m.

Журнал экспериментальной и теоретической физики. — 1959. — Т. 36, № 4. — С. 1133–1142.

Уравнение состояния плазмы
11

Здесь ap и a

+
p — операторы уничтожения и рождения частиц; Vq

=
e−iqxV (x)dx,
где V (x) — потенциал парного взаимодействия частиц. Для кулоновского взаимодействия Vq

= 4e2/q2.
Статистическая сумма газа взаимодействующих частиц дается выражением

Z
= Sp exp
− H
+
p
a

+
p ap
,

где
— химический потенциал.
Как
показано
Мацубара
[3],
отношение
Z/Z0
(где
Z0

=

= Sp × exp
− H0

+
p
a

+
p ap
) удобно вычислять методом, применяемым

в квантовой электродинамике для нахождения S-матрицы. При этом Z/Z0
изображается суммой всех графиков, которые в электродинамике служат для
вычисления вакуумного среднего от S-матрицы. Сплошной линии соответствует
нулевая гриновская функция

G0(p, t1 − t2)
= Sp T exp
˘
− H0

+
P a

+
p ap
¯
ap(t1)a

+
p (t2)

Sp exp
˘
− H0

+
P a

+
p ap
¯
=

=

(1 ∓ np)e−(
"p−)
> 0,

∓npe−(
"p−)
< 0.
(1)

Здесь верхний и нижний знаки относятся, соответственно, к случаю ферми- и
бозе-частиц, T — символ упорядочения по аргументу t,

= t1 − t2;
ap(t)
= ape−(
"p−)t;
a

+
p (t)
= a

+
p e(
"p−)t;
np

= [e(
"p−)
± 1]−1.

Пунктирной линии соответствует Vq

Æ(
). На графиках удобно считать, что точки, расположенные сверху, соответствуют большим временам. Тогда все пунктирные линии будут горизонтальными. Сплошной линии, идущей вверх, при этом
соответствует множитель ∓npe−(
"p−)
, а идущей вниз: (1 ∓ np)e−(
"p−)
.
Сумма графиков, дающих Z/Z0, как и в квантовой электродинамике, может
быть представлена в виде e−L. Величина L есть сумма всех связных замкнутых
графиков, причем все рассматриваемые ниже графики входят в сумму с множителем (−1)r +1+k/2k, где k — число пунктирных линий в данном графике, а r —
число замкнутых петель. Все рассматриваемые графики являются замкнутыми;
поэтому множитель e

в (1) можно опустить.
Термодинамический потенциал
= −T ln Z равен

=
0

+
=
0

+ TL,
0

= −T ln Z0.

В дальнейшем будем считать газ невырожденным (так что отклонение от
больцмановского распределения мало); введем величину n, связанную с химическим потенциалом равенством

n
= e

(m/2h2

)3/2.
(2)

Уравнение состояния плазмы

Рассмотрим сначала случай короткодействующих сил. Для определенности будем считать частицы бесспиновыми. Для нахождения второго вириального коэффициента нужно просуммировать все графики, содержащие две сплошные линии,
идущие вверх, а остальные линии — идущие вниз (рис. 1). В этих графиках мы
пренебрежем np по сравнению с единицей.

+
+
+
:
:
:
+
+
+
+
:
:
:

Рис. 1.

В k-том порядке теории возмущений имеется k одинаковых графиков, отличающихся только тем, какая из k пар сплошных линий идет вверх. Поэтому в каждом порядке можно рассматривать только один график и опустить множитель
1/k. Тогда

−
= 1

2

0

dt2

t2
0

dt1Gp1 (t1 − t2)Gp2 (t1 − t2) ×

× [(p1p2p1p2t2t1)
+
(p1p2p2p1t2t1)] d3p1 d3p2.
(3)

(p1p2p3p4t1t2) изображается суммой графиков «лестничного типа» (рис. 2) и
удовлетворяет уравнению

g(pp′t1t2)
= Vp−p′

Æ(t1 − t2) −

−

t1
t2

dt′ d3p1Vp−p1Gg/2+p1 (t1t′)Gg/2−p1 (t1t′)
g(p1p′t′t2).

Здесь

d3p
= dpx dpy dpz/(2)3,
g(pp′)
=
(g/2
+ p, g/2 − p, g/2
+ p′, g/2 − p′).

+
+
+
:
:
:

Рис. 2.

Переходя к относительным переменным
= t1 − t2,
′

= t′ − t2 и подставляя
G(p )
= e−"p

(
> 0), получим

g(pp′

)
= Vp−p′

Æ(
) −

0

d′ d3p1Vp−p1 × exp
− 1

m

p2
1

+ g2

4

(
−
′)
g(p1p′

′)