"Парадокс" Банаха-Тарского
Покупка
Тематика:
Математика
Год издания: 2014
Кол-во страниц: 44
Дополнительно
Вид издания:
Учебное пособие
Уровень образования:
Общее образование
ISBN: 978-5-4439-2015-3
Артикул: 686102.01.99
В 1924 году выдающиеся польские математики Стефан Банах и Аль-
фред Тарский доказали, что шар в пространстве можно разрезать на ко-
нечное число частей, из которых можно сложить шар другого объема.
В брошюре мы расскажем, почему эта теорема, производящая впечат-
ление нелепости, не противоречит возможности измерять объемы тел,
и познакомим читателя с красивой математикой, стоящей за этим уже
классическим результатом.
Для школьников старших классов и студентов младших курсов.
Тематика:
ББК:
УДК:
ОКСО:
ГРНТИ:
Скопировать запись
Фрагмент текстового слоя документа размещен для индексирующих роботов
В. С. Губа, С. М. Львовский «Парадокс» Банаха–Тарского МЦНМО
Летняя школа «Современная математика» Дубна, июль В. С. Губа, С. М. Львовский «Парадокс» Банаха––Тарского Электронное издание Москва Издательство МЦНМО
УДК .+. ББК .+. Г Губа В. С., Львовский С. М. «Парадокс» Банаха––Тарского Электронное издание М.: МЦНМО, с. ISBN ---- В году выдающиеся польские математики Стефан Банах и Альфред Тарский доказали, что шар в пространстве можно разрезать на конечное число частей, из которых можно сложить шар другого объема. В брошюре мы расскажем, почему эта теорема, производящая впечатление нелепости, не противоречит возможности измерять объемы тел, и познакомим читателя с красивой математикой, стоящей за этим уже классическим результатом. Для школьников старших классов и студентов младших курсов. Подготовлено на основе книги: В. С. Губа, С. М. Львовский. «Парадокс» Банаха––Тарского. –– М.: МЦНМО, . Издательство Московского центра непрерывного математического образования , Москва, Большой Власьевский пер., . Тел. () -- http://www.mccme.ru ISBN ---- © Губа В. С., Львовский С. М., . © МЦНМО, .
Предисловие Эта брошюра представляет собой расширенную версию мини-курса, прочитанного вторым автором в июле года на летней школе «Современная математика» в Дубне. В курсе существенно использовались идеи, разработанные первым автором. В книгу мы добавили коечто из того, на что не хватило времени на занятиях. Парадоксом Банаха––Тарского называется следующая теорема, доказанная в году Стефаном Банахом и Альфредом Тарским, опиравшимися, в свою очередь, на теорему, опубликованную в году Феликсом Хаусдорфом. Пусть B1 и B2 –– два шара разных радиусов. Тогда шар B1 можно представить в виде объединения конечного числа попарно непересекающихся множеств B1 = X1 ∪ X2 ∪…∪ Xn, а шар B2 –– в виде объединения конечного числа попарно непересекающихся множеств B′ 1 = X ′ 1 ∪ X ′ 2 ∪ … … ∪ X ′ n таким образом, что множество X1 переводится некоторым движением пространства в X ′ 1, X2 переводится некоторым движением пространства в X ′ 2, …, Xn переводится некоторым движением пространства в X ′ n. Иными словами, шар B1 можно разрезать на конечное число частей, из которых можно сложить B2. То же верно и для любых двух многогранников в пространстве и вообще для более-менее любых двух тел (точную формулировку мы приведем ниже). Разумеется, это утверждение вопиющим образом противоречит интуиции: как же такое возможно, если у шаров разного радиуса объемы разные?! Почему факт наличия объемов у тел теорему Банаха––Тарского не опровергает и каков ее «философский» смысл, мы обсудим в разделе после того как эту теорему докажем, а пока что скажем одно: за шокирующей формулировкой теоремы Банаха––Тарского стоит красивая и важная математика, и именно она является главным предметом нашей книжки. Для выполнимости теоремы Банаха––Тарского очень существенно, что действие происходит именно в пространстве: на плоскости тот же номер уже не проходит, и невозможно разрезать многоугольник на конечное число частей, из которых складывается многоугольник другой площади. В заключительной части книжки мы постараемся объяснить, почему так выходит и чем в этом смысле пространство «хуже» плоскости. Или лучше?
Для чтения основной части брошюры знать сверх школьной программы почти ничего не требуется: надо только быть знакомым с понятием множества и несколькими типичными примерами счетных и несчетных множеств. Кроме того, желательно знать, как устроены движения плоскости. Странным образом оказывается, что доказательство противоречащей интуиции теоремы Банаха––Тарского проще, чем доказательство полностью соответствующего интуиции результата, согласно которому аналог теоремы Банаха––Тарского для плоскости места не имеет. Поэтому в посвященном этому заключительном разделе требования к предварительным знаниям читателя существенно выше, чем в остальной части брошюры, и даже читателю, этими знаниями обладающему, многое придется принять на веру. По крайней мере мы старались, чтобы в этом трудном разделе сложность нарастала постепенно и чтобы читатель-школьник не «утратил нить» максимально долго. Авторы благодарны Ф. В. Петрову за ценные обсуждения. . Равносоставленность в наивном и точном смысле Два многоугольника на плоскости называются равносоставленными, если один из них можно разрезать на конечное число частей, из которых без зазоров и наложений можно сложить другой. Например, из квадрата со стороной 1 можно сделать прямоугольный треугольник с углом 45◦ и катетом 2 (рис. ). Рис. . Квадрат равносоставлен с равнобедренным прямоугольным треугольником Из самог´о определения очевидно, что у равносоставленных прямоугольников площади равны; в XIX веке было доказано и обратное: как гласит так называемая теорема Бойяи––Гервина, если площади двух прямоугольников равны, то они равносоставлены. Доказательство этой теоремы можно найти, например, в книге С. Л. Табачникова и Д. Б. Фукса «Математический дивертисмент» (М.: МЦНМО, ), лекция ; мы не будем его воспроизводить.