«Жесткие» и «мягкие» математические модели

В. И. Арнольд

«Жесткие» и «мягкие»
математические модели

Электронное издание

Москва
Издательство МЦНМО
2014

УДК 51.001.8
А84

Арнольд В. И.
«Жесткие» и «мягкие» математические модели
Электронное издание
М.: МЦНМО, 2014
32 с.
ISBN 978-5-4439-2008-5

Эта брошюра представляет собой текст доклада, сделанного академиком В. И. Арнольдом в 1997 году на семинаре при Президентском
совете РФ. В докладе рассказано о применениях теории дифференциальных уравнений в таких науках, как экология, экономика и социология.

Подготовлено на основе книги: В. И. Арнольд. «Жесткие» и «мягкие»
математические модели. | 4-е изд., стереотип. | М.: МЦНМО, 2013.

Издательство Московского центра
непрерывного математического образования
119002, Москва, Большой Власьевский пер., 11,
тел. (499) 241 74 83.
http://www.mccme.ru

ISBN 978-5-4439-2008-5
c⃝ Арнольд В. И., 2000
c⃝ МЦНМО, 2014

Содержание

1. Модель войны или сражения
4

2. Оптимизация как путь к катастрофе
7

3. Жесткие модели как путь к ошибочным
предсказаниям
15

4. Опасность многоступенчатого управления
17

5. Математические модели перестройки
20

6. Статистика первых цифр степеней двойки
и передел мира
22

7. Математика и математическое образование
в современном мире
26

3

Примером жесткой модели является таблица умножения. Простейший пример мягкой модели | принцип «чем дальше в лес,
тем больше дров». Возможность полезной математической теории мягких моделей открыта относительно недавно. В докладе
на простейших примерах будет показано, как эта теория может
применяться в экономических, экологических и социологических
моделях.

1. Модель войны или сражения

В простейшей модели борьбы двух противников (скажем, двух
армий) | модели Ланкастера | состояние системы описывается
точкой (x; y) положительного квадранта плоскости. Координаты этой точки, x и y | это численности противостоящих армий.
Модель имеет вид
_x = −by;

_y = −ax:

Здесь a | мощность оружия армии x, а b | армии y. Попросту
говоря, предполагается, что каждый солдат армии x убивает за
единицу времени a солдат армии y (и, соответственно, каждый
солдат армии y убивает b солдат армии x). Точка над буквой
здесь и далее означает производную по времени t, то есть скорость изменения обозначенной буквой величины.
Это | жесткая модель, которая допускает точное решение

dx
dy = by

ax;
ax dx = by dy;
ax2 − by2 = const:

Эволюция численностей армий x и y происходит вдоль гиперболы, заданной этим уравнением (рис. 1). По какой именно
гиперболе пойдет война, зависит от начальной точки.
Эти гиперболы разделены прямой √ax =
√

by. Если начальная
точка лежит выше этой прямой (случай 1 на рис. 1), то гипербола выходит на ось y. Это значит, что в ходе войны численность
армии x уменьшается до нуля (за конечное время). Армия y выигрывает, противник уничтожен.

4