Кольца формальных матриц и модули над ними
Научное
Покупка
Год издания: 2018
Кол-во страниц: 190
Дополнительно
Данная книга является первой, где систематически изучаются
формальные матрицы. Элементы этих матриц принадлежат несколь-
ким (в общем случае разным) кольцам и бимодулям. Частным слу-
чаем формальных матриц второго порядка являются контексты Мо-
риты, поначалу предназначавшиеся для описания эквивалентностей
между категориями модулей. Они также очень удобны для переноса
свойств с одного кольца на другое. Существуют аналоги контекстов
Мориты для полуколец, хопфовых и квазихопфовых алгебр, коколец
и категорий. Формальные матрицы весьма полезны для построения
колец с односторонними несимметричными свойствами. Подробно
исследуются инъективные, плоские, проективные и наследственные
модули над кольцами формальных матриц. Вводится и изучается
понятие определителя формальной матрицы над коммутативным
кольцом. Его свойства могут отличаться в некоторых случаях от
свойств обычного определителя. Также группы Гротендика и Уайтхе-
да кольца формальных матриц выражаются через соответствующие
группы колец с главной диагонали.
Тематика:
ББК:
УДК:
ОКСО:
ГРНТИ:
Скопировать запись
Фрагмент текстового слоя документа размещен для индексирующих роботов
П. А. Крылов, А. А. Туганбаев Кольца формальных матриц и модули над ними МЦНМО
П. А. Крылов, А. А. Туганбаев Кольца формальных матриц и модули над ними Электронное издание Москва Издательство МЦНМО 2018
УДК 512 ББК 22.14 K85 Крылов П. А., Туганбаев А. А. Кольца формальных матриц и модули над ними. Электронное издание. М.: МЦНМО, 2018. 190 с. ISBN 978-5-4439-3115-9 Данная книга является первой, где систематически изучаются формальные матрицы. Элементы этих матриц принадлежат нескольким (в общем случае разным) кольцам и бимодулям. Частным случаем формальных матриц второго порядка являются контексты Мориты, поначалу предназначавшиеся для описания эквивалентностей между категориями модулей. Они также очень удобны для переноса свойств с одного кольца на другое. Существуют аналоги контекстов Мориты для полуколец, хопфовых и квазихопфовых алгебр, коколец и категорий. Формальные матрицы весьма полезны для построения колец с односторонними несимметричными свойствами. Подробно исследуются инъективные, плоские, проективные и наследственные модули над кольцами формальных матриц. Вводится и изучается понятие определителя формальной матрицы над коммутативным кольцом. Его свойства могут отличаться в некоторых случаях от свойств обычного определителя. Также группы Гротендика и Уайтхеда кольца формальных матриц выражаются через соответствующие группы колец с главной диагонали. Подготовлено на основе книги: Крылов П. А., Туганбаев А. А. Кольца формальных матриц и модули над ними. — М.: МЦНМО, 2017. — 192 с. ISBN 978-5-4439-1115-1. Издательство Московского центра непрерывного математического образования 119002, Москва, Большой Власьевский пер., 11 тел. (499) 241–08–04 http://www.mccme.ru ISBN 978-5-4439-3115-9 ffi Крылов П. А., Туганбаев А. А., 2017 ffi МЦНМО, 2017
Содержание Предисловие . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 5 Список обозначений . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 9 Глава 1. Кольца формальных матриц . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 11 § 1. Построение колец формальных матриц порядка 2 . . . . 11 § 2. Примеры колец формальных матриц порядка 2 . . . . . . 16 § 3. Кольца формальных матриц порядка n ⩾ 2 . . . . . . . . . 19 § 4. Некоторые идеалы колец формальных матриц . . . . . . . 23 § 5. Кольцевые свойства . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 27 § 6. Аддитивные задачи . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 33 Глава 2. Модули над кольцами формальных матриц . . . . . . . 41 § 7. Первоначальные свойства модулей над кольцами формальных матриц . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 41 § 8. Малые и существенные подмодули . . . . . . . . . . . . . . . . 55 § 9. Цоколь и радикал . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 60 § 10. Инъективные модули и инъективные оболочки . . . . . . 64 § 11. Максимальное кольцо частных . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 72 § 12. Плоские модули . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 79 § 13. Проективные и наследственные модули и кольца . . . . 86 § 14. Эквивалентности между категориями R-mod, S-mod и K-mod . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 93 § 15. Наследственные кольца эндоморфизмов абелевых групп . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 103 Глава 3. Кольца формальных матриц над данным кольцом . . 109 § 16. Кольца формальных матриц над кольцом R . . . . . . . . . 109 § 17. Некоторые свойства колец формальных матриц над R . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 118 § 18. Характеризация матриц множителей . . . . . . . . . . . . . . 121 § 19. Классификация колец формальных матриц . . . . . . . . . 127 § 20. Проблема изоморфизма . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 135
Содержание § 21. Определители формальных матриц . . . . . . . . . . . . . . . 140 § 22. Некоторые теоремы о формальных матрицах . . . . . . . 148 Глава 4. Группы Гротендика и Уайтхеда колец формальных матриц . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 157 § 23. Эквивалентность двух категорий проективных модулей . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 157 § 24. Группа K0(A, B) . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 162 § 25. Группа K0 кольца формальных матриц . . . . . . . . . . . . . 167 § 26. Группа K1 кольца формальных матриц . . . . . . . . . . . . . 172 § 27. Группы K0 и K1 колец матриц порядка n ⩾ 2 . . . . . . . . 176 Литература . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 181 Предметный указатель . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 189
Предисловие Большое значение матриц для математики и её приложений общеизвестно. Прежде всего это относится к числовым матрицам. Активно изучаются и используются также матрицы со значениями в кольцах (см., например, [19] и [79]), полукольцах (см., например, [35]), булевых алгебрах (см., например, [60]), полугруппах и решётках. Рассматриваемые в этой книге матрицы называются формальными матрицами или обобщёнными матрицами. Что это за матрицы? Предварительно поясним, что элементы этих матриц принадлежат нескольким (в общем случае разным) кольцам и бимодулям. В своей известной работе [81] Морита ввёл то, что сейчас называют контекстом Мориты или ситуацией предэквивалентности. Контекст Мориты (R, S, M, N, ϕ, ψ) состоит из колец R и S, бимодулей M и N, а также связанных между собой определённым образом бимодульных гомоморфизмов ϕ и ψ. Первоначально контексты Мориты предназначались для описания эквивалентностей между категориями модулей. Они также очень удобны для переноса свойств с одного кольца R на другое кольцо S; см., например, [5, 58, 109]. Контексты Мориты были предметом исследований большого числа публикаций. Существуют аналоги контекстов Мориты для полуколец, хопфовых и квазихопфовых алгебр, коколец и категорий. По данному контексту Мориты (R, S, M, N, ϕ, ψ) можно естественным образом построить кольцо матриц 𝑅 𝑀 𝑁 𝑆 с обычными матричными операциями. Это кольцо называется кольцом контекста Мориты, или кольцом формальных матриц (порядка 2), или кольцом обобщённых матриц. Эта вторая точка зрения на контекст Мориты как на матричное кольцо и преобладает в книге. Не составляет большого труда определить кольцо формальных матриц любого порядка n. Итак, мы уделяем основное внимание кольцам формальных матриц и модулям над такими кольцами. Кольца формальных матриц постоянно появляются в теории колец и модулей, теории конечномерных алгебр (см., например, [8], [9]) и при изучении колец эндоморфизмов абелевых групп (см., напри
Предисловие мер, [64]). Они встречаются в функциональном анализе, прежде всего в связи с операторными алгебрами (см., например, [14] и [28]). Среди колец формальных матриц выделяются кольца треугольных матриц или более общие объекты — кольца блочных треугольных матриц. Они нередко возникают при исследовании некоторых конечномерных алгебр и операторных алгебр. Помимо прочего, кольца формальных треугольных матриц служат источником примеров колец с асимметричными свойствами. Книга содержит далеко не все существующие результаты о кольцах формальных матриц. Однако авторы уверены, что содержание книги достаточно для того, чтобы читатель смог составить представление о существующих направлениях исследований в этой области. Здесь впервые систематически изложена теория колец формальных матриц и модулей над ними. В книге четыре главы. Первая глава посвящена кольцам формальных матриц порядка 2 и иногда произвольного порядка n. В главе 2 рассматриваются модули над кольцом формальных матриц порядка 2. Подробно исследуются инъективные, плоские, проективные и наследственные модули. В главе 3 вводится и изучается один частный вид колец формальных матриц — кольца формальных матриц над данным кольцом. Здесь много внимания уделяется свойствам отдельных матриц. С одной стороны, кольца формальных матриц порядка n над кольцом R наиболее близки к обычному кольцу M(n, R) всех (n × n)-матриц над R. В то же время они приобретают особенности, отсутствующие у кольца M(n, R). Например, два кольца формальных матриц одного порядка над данным кольцом могут быть не изоморфными; см. теорему 20.3. Кроме того, определитель формальной матрицы A над коммутативным кольцом не всегда совпадает с определителем транспонированной матрицы к A; см. свойство 7 из § 21. Далее, если F — поле, то по классической теореме Нётер — Сколема каждый автоморфизм F-алгебры M(n, F) является внутренним. Но существуют кольца формальных матриц порядка n над F, у которых группа внешних автоморфизмов содержит симметрическую группу S𝑚 для некоторого m, где 2 ⩽ m ⩽ n; см. пункт А из § 16. В главе 4 группы Гротендика и Уайтхеда кольца формальных матриц 𝑅 𝑀 𝑁 𝑆 выражаются через соответствующие группы колец R и S. Все кольца предполагаются ассоциативными и с ненулевой единицей, а модули считаются унитарными левыми, если не оговорено противное. Гомоморфизмы пишем слева от аргументов. За исключением
Предисловие 7 § 15, композиция отображений α: X → Y и β : Y → Z обозначается через αβ. Таким образом, (αβ)(x) = β(α(x)) для всех x ∈ X. (В § 15 предполагается, что (βα)(x) = β(α(x)).) В книге используются стандартные понятия и обозначения теории колец и модулей; см., например, [71, 90, 100, 102, 111]. Если R — кольцо, то J(R) — его радикал Джекобсона, C(R) — его центр, M(n, R) — кольцо всех (n × n)-матриц над R, R-mod — категория всех левых R-модулей. Если A — R-модуль, то End𝑅 A или End𝑅(A) — его кольцо эндоморфизмов.
Список обозначений E𝑖𝑗 — матричная единица |A| — определитель матрицы A d(A) — определитель формальной матрицы A A ⊗ B — кронекерово произведение матриц A и B M(n, R) — кольцо всех (n × n)-матриц над кольцом R M(n, R, {s𝑖𝑗𝑘}) или M(n, R, Σ) — кольцо всех формальных матриц порядка n над кольцом R с системой множителей {s𝑖𝑗𝑘} = Σ M(n, R, s) — кольцо всех формальных матриц порядка n над кольцом R с множителем s R◦ — противоположное кольцо к кольцу R P(R) — первичный радикал кольца R J(R) — радикал Джекобсона кольца R C(R) — центр кольца R Q(R) — максимальное левое кольцо частных кольца R R × S — прямое произведение колец R и S A1 ⊕ ... ⊕ A𝑛 — прямая сумма модулей A1, ... , A𝑛 Ker ϕ или Ker(ϕ) — ядро гомоморфизма ϕ Im ϕ или Im(ϕ) — образ гомоморфизма ϕ Rad A — радикал модуля A Soc A — цоколь модуля A Z — замыкание подмодуля Z модуля A A — инъективная оболочка модуля A A∗ — модуль характеров модуля A lim → 𝐼 A𝑖 — предел прямого спектра модулей A𝑖 R-mod (mod-R) — категория левых (правых) модулей над кольцом R