Лагранжевы и лежандровы характеристические классы

В. А. Васильев



Лагранжевы и лежандровы характеристические классы












МЦНМО

В. А. Васильев




Лагранжевы и лежандровы характеристические классы

















Издательство МЦНМО
2018

ББК 22.152
     В19



В. А. Васильев
Лагранжевы и лежандровы характеристические классы
Электронное издание
М.: Изд-во МЦНМО, 2018
312 с.
ISBN 978-5-4439-2641-4

   В книге развита техника построения характеристических классов, двойственных к особым множествам дифференцируемых отображений. Доказаны многочисленные соотношения на сосуществование особенностей или мультиособенностей на одном многообразии.
   Книга содержит введение в симплектическую и контактную геометрию и в теорию особенностей.
   В Дополнении, написанном М. Э. Казаряном, результаты книги интерпретированы в терминах теории эквивариантных гомологий и применены к этой теории.
   Для студентов-математиков, аспирантов и научных работников.

Подготовлено на основе книги: Васильев В. А. Лагранжевы и лежандровы характеристические классы. М.: МЦНМО, 2000. 312 с. ISBN 5-900916-41-3.

Издательство Московского центра
непрерывного математического образования
119002, Москва, Большой Власьевский пер., 11.
Тел. (495) 241-74-83
www.mccme.ru










ISBN 978-5-4439-2641-4

                                       © В. А. Васильев, 1999.
                                       © Издательство МЦНМО, 2018.

предисловие к русскому изданию




   Лагранжевы многообразия — это подмногообразия специального вида в фазовых пространствах гамильтоновых систем; они возникают в механике, оптике и вариационном исчислении при исследовании систем лучей. Например, изучаемая в геометрической оптике фокусировка лучей происходит в множестве критических значений проекции лагранжева многообразия, отвечающего данной задаче, из фазового пространства в конфигурационное. В волновой оптике условие квазиклассической разрешимости задачи Коши формулируется в терминах индекса Маслова— некоторого класса одномерных когомологий лагранжева многообразия.
   Точки фокусировки классифицируются, в частности, по интенсивности свечения; начальный отрезок этой классификации совпадает со списком элементарных катастроф Тома - Арнольда. Исходное замечание данной работы состоит в том, что эти классы катастроф являются образующими некоторого абстрактного коцепного комплекса: образующая группы одномерных когомологий этого комплекса отвечает за индекс Маслова, а остальные классы когомологий также являются лагранжевыми характеристическими классами, то есть определяют инварианты лагранжева кобордизма, введённого В. И. Арнольдом.
   Другое приложение этого комплекса — многочисленные результаты о сосуществовании особенностей. Например, на общем трёхмерном компактном лагранжевом многообразии чётно число точек А4 («ласточкиных хвостов» в терминологии Тома), равно как и число точек D4 («омбилик»), а на четырёхмерном компактном лагранжевом многообразии чётно число точек типа А5 («бабочек»).
   Хотя эти и другие результаты по большей части относятся к симплек-тической геометрии (по Арнольду, к «симплектической топологии»), методы в основном взяты из теории особенностей гладких функций. В главе 1 приведены основные понятия обеих этих дисциплин.
   Симплектическая топология—лишь одно небольшое поле приложения развитых в книге топологических методов. За время, прошедшее после первого издания, они были существенно развиты и переосмыслены, главным образом в работах М. Э. Казаряна, в общих рамках теории эквивариантных (ко)гомологий. Эти новые результаты, а также многочисленные их красивые приложения к новым областям содержатся в обзорной статье Казаряна, добавленной в конце книги.

предисловие к русскому изданию

    Эта книга вначале была издана на английском языке [ИЗ]. Она обязана своим появлением В. И. Арнольду, который весной 1980 г. предложил мне попытаться определить аналоги индекса Маслова при помощи высших особенностей. Беседы с ним во время работы над этой темой много раз приводили меня на путь истинный. Я очень благодарен ему за это.
    Я также благодарю А. А. Бейлинсона, Д. Б. Фукса, А. М. Габриэлова, М. Э. Казаряна, А. В. Пажитнова, В. В. Серганову и В. М. Закалюкина, эрудиция и доброжелательность которых сильно помогли мне в этой работе.
    И конечно я очень благодарен издательству Московского Центра непрерывного математического образования за счастье увидеть свою книгу изданной на родном языке.

    сентябрь 1998 г.                             В. А. Васильев

введение




    Лагранжевы и лежандровы многообразия возникают в механике, оптике и оптимальном управлении при исследовании систем лучей, волновых фронтов и их особенностей.
    Система лучей (например, система нормалей к поверхности) образует вблизи поверхности гладкое расслоение, но вдали от начальной поверхности лучи могут пересекаться, образуя огибающие (каустики), см. нижнюю часть рис. 1.


Рис. 1. Лагранжево многообразие и его каустика

    На языке геометрической оптики, каустика — это место фокусировки света. Её видно на стене, когда пучок света отражается вогнутой поверхностью или преломляется в стакане воды. При этом на каустике есть отдельные точки ещё более сильного свечения — они соответствуют более сложным особенностям систем лучей, чем обычная огибающая.
    Существует далеко продвинутая классификация особенностей каустик (см. [12], [94], [95]). Например, простейшие точки каустики, изображённые на рис. 1, образуют класс А₂; особенность, соответствующая отдельным точкам более сильного свечения, называется А₃. Если мы начнём двигать отражающую поверхность, то в отдельные моменты возникнут ещё более яркие точки — это особенности А₄ и Z>₄.
    Удобным средством изучения систем лучей и их особенностей являются лагранжевы многообразия. Всякой системе лучей на многообразии Мп можно сопоставить (п — 1)-параметрическое семейство кривых в соответствующем фазовом пространстве, т. е. в пространстве кокасательного

введение

расслоения над Мп. Лучи на Мп являются проекциями этих кривых. Эти кривые заметают гладкое п-мерное подмногообразие фазового пространства, оно и называется лагранжевым многообразием, соответствующим системе лучей. Каустики соответствуют особенностям проекций лагранжевых многообразий на Мп (см. рис. 1). Например, в терминологии Уитни-Тома А₂ соответствует складке проекции, Л₃ — сборке, А,] —ласточкиному хвосту, Z>₄ — кошельку или пирамиде, и т. д. На всяком лагранжевом многообразии общего положения*) множество точек любого класса этой классификации является гладким подмногообразием, коразмерность которого зависит лишь от выбранного класса.
    Волновой фронт системы лучей—это поверхность, которая получится, если на каждом луче (например, на каждой нормали к поверхности)

Рис. 2. Система эквидистант гладкой кривой

отметить точку, расстояние от которой до исходной поверхности вдоль луча равно фиксированному числу t (см. рис. 2). При малых t волновой фронт является гладкой поверхностью, а затем на нём появляются особые точки. (Каустика системы лучей — это в точности объединение особых точек её фронтов по всем t.)
Всякий волновой фронт в Мп можно представить как проекцию некото

рого гладкого подмногообразия пространства (п — 1)-мерных касательных элементов (т. е. пространства проективизованного кокасательного расслоения над Мп). Это подмногообразие называется лежандровым многообразием, соответствующим фронту; особенности фронтов классифицируются по типам особенностей проекций лежандровых многообразий в Мп.
   Локальное строение особенностей каустик и волновых фронтов общего положения достаточно хорошо изучено: в настоящее время известна классификация лагранжевых и лежандровых особенностей коразмерности, не превосходящей 10 (см. [12], [16], [95]). Иначе обстоит дело с глобальными вопросами: как могут комбинироваться между собой различные локальные особенности? Этот вопрос является топологическим и требует для своего решения топологических методов. Первым примером

  *) Пример лагранжева многообразия и системы лучей необщего положения даёт идеальная линза, собирающая весь световой пучок в одну точку. При учёте неизбежной малой асимметрии эта точечная каустика превращается в каустику общего положения.

введение

7

является следующая простая теорема: чётность числа точек возврата компактного волнового фронта на плоскости не меняется при распространении фронта (см. рис. 2). Например, эквидистанта замкнутой плоской кривой может иметь 0, 2,4,6,... точек возврата, но не может иметь 1,3,... . В настоящей работе описываются дальнейшие ограничения на сосуществование особенностей на каустиках и волновых фронтах.
   Для описания таких ограничений особенностям каустик и фронтов сопоставляются классы когомологий на лагранжевых и лежандровых многообразиях (так называемые лагранжевы и лежандровы характеристические классы, см. [85]). Характеристическими эти классы являются в том смысле, что соответствующие им характеристические числа (определяемые числами особенностей того или иного класса на многообразии) одинаковы у лагранжево (лежандрово) кобордантных многообразий.
   Лагранжев (лежандров) кобордизм определяется следующим образом (см. [15]). Световое состояние в области определяет световое состояние на краю: например, отражённый или преломленный свет на стене определяется освещением всей комнаты. В терминах лагранжевых многообразий это означает, что лагранжево подмногообразие в кокасательном расслоении многообразия с краем определяет лагранжево подмногообразие в кокасательном расслоении края; по определению, это—лагранжев край исходного лагранжева многообразия. Понятие лагранжева края позволяет ввести группы лагранжевых кобордизмов (см. [15]). Например, кобор-дантность нулю световой картины на стенах означает, что её можно задать некоторым освещением комнаты.
   Простейший случай, когда возникают лежандровы кобордизмы, следующий. Рассмотрим систему лучей (например, нормалей к поверхности); волновые фронты, соответствующие двум различным значениям времени t, лежандрово кобордантны *) (их несвязное объединение является краем фронта, лежащего в пространстве-времени и определённого всеми положениями фронтов, соответствующих промежуточным значениям t).
   Лагранжевы и лежандровы характеристические классы — это классы когомологий лагранжевых (лежандровых) многообразий, определяющие инварианты таких кобордизмов.
   Первый из таких классов — это класс Маслова, определённый первоначально для нужд квантовой механики (см. [56], [57], [3]). Этот класс имеет размерность 1 и задаётся индексом пересечения со всем критическим множеством лагранжевой проекции.

  *) Строго говоря, лежандров кобордизм определяется не для фронтов, а для соответствующих им лежандровых многообразий.

введение

    Точнее, его значение на замкнутой ориентированной кривой в лагранжевом многообразии общего положения определяется следующим образом. Как угодно мало пошевелив эту кривую, мы можем добиться того, что она будет пересекаться с особым множеством проекции лишь в его простейших точках (типа складки, см. рис. 2), причём все эти пересечения— трансверсальные. В. П. Маслов заметил, что на любом общем лагранжевом многообразии складка имеет инвариантную трансверсальную ориентацию, т. е. окрестность любой её точки делится ею на две части, одна из которых некоторым стандартным образом определяется как положительная, а другая — как отрицательная. Значение индекса Маслова на кривой равно числу её точек пересечения со складкой, в которых она переходит с отрицательной стороны в положительную, минус число точек, в которых она переходит с положительной стороны в отрицательную. Индекс Маслова участвует в условиях квантования: будучи приведен по модулю четырёх, он определяет препятствие к существованию глобального асимптотического решения задачи Коши с быстроосциллирующими начальными данными.
    Во второй главе настоящей работы описывается серия лагранжевых и лежандровых характеристических классов, являющихся многомерными аналогами класса Маслова: они определяются индексами пересечения с множеством точек, в которых лагранжева проекция имеет более сложные особенности. При этом используется классификация лагранжевых и лежандровых особенностей, полученная в [6], [94], [73]. Например, все лагранжевы особенности, имеющие коразмерность С. 7, содержатся в следующем списке:

Азй’ ^2fe Р      ■>  -®8’ -f*8,²’ -^9’ ^9
    На общем лагранжевом многообразии замыкание любого из множеств точек S = A₂fₑ, ^2A:₊i UA₂fₑ₊i, UDfₑ и т. д. вблизи любой точки диффео-морфно аналитическому множеству, а следовательно, *) индекс пересечения с ним — корректно определённый класс в когомологиях лагранжева многообразия с коэффициентами в ?2    Для того, чтобы в любом лагранжевом многообразии можно было определить и целочисленный класс, двойственный к множеству точек типа S, необходимо, чтобы (как и в случае индекса Маслова) особое множество {S} имело стандартную коориентацию (т. е. ориентацию нормального расслоения). Классы особенностей, удовлетворяющие этому условию, будем называть коориентируемыми.


 *) См. [26].

введение

9

    Теорема (см. [85]). Из классов коразмерности С- 7 коориентируемы-ми являются A₂ₖ,A^ₖ₊₁,E^,E₇,E₈,Pg’²,Pg, а остальные (т. е. А^_₁? Dk,Xg) не являются коориентируемыми. Классы A^ₖ₊₁,A₂ₖ —коориен-тируемы, a А₎А;₁,О^—некоориентируемы при любых к (см. теоремы 9.1, 9.3 настоящей книги).
    Но коориентируемость класса особенностей не достаточна для того, чтобы в любом лагранжевом многообразии существовал двойственный целочисленный характеристический класс. Нужно ещё, чтобы соответствующее критическое множество правильно вело себя вблизи всех точек своего замыкания.
    Условие «правильного поведения» состоит в том, что класс должен быть коциклом некоторого абстрактного коцепного комплекса ы. Элементами этого комплекса являются формальные суммы коориентируемых классов особенностей, градуировка соответствует коразмерностям классов, а умножение элемента на —1 соответствует смене коориентации. Ко-граничный оператор комплекса о определяется взаимными примыканиями классов соседних коразмерностей.
    Пример: индекс Маслова, двойственный к А%. На двумерном лагранжевом многообразии общего положения граница (одномерного) множества особых точек типа А% может состоять только из отдельных точек A3. Если бы неориентированное множество А2 в окрестности точки A3 вело себя так, как изображено на рис. За или рис. 36, то индекс пересечения с ним не был корректно определённым целочисленным классом. Действительно, индекс пересечения с А2 малой ориентированной окружности, обходящей центральную точку A3, оказался бы не равен 0, тогда как эта окружность, конечно, гомологична нулю и никакой коцикл не может принимать на ней ненулевого значения.
    В терминах комплекса о, рисунок За соответствовал бы формуле 8(Аг) = A3, рис. 36 — 8(Аг) = 2Аз, рис. Зв — 8(Аг) = 0. Поскольку дейст


а                     б                     в

Рис. 3. На рис. За, 36, Зв центральная точка изображает особенность типа Аз, отрезки — складку {Л2}, стрелки — коориентацию складки.