Элементы теории гомологий

В. В. Прасолов

Элементы
теории гомологий

МЦНМО

Серия «Классические направления в математике»

В. В. ПРАСОЛОВ

ЭЛЕМЕНТЫ ТЕОРИИ
ГОМОЛОГИЙ

Электронное издание

Москва
Издательство МЦНМО
2017

УДК 515.14
ББК 22.152
П70

Прасолов В. В.
Элементы теории гомологий
Электронное издание
М.: МЦНМО, 2017.
448 с.: ил.
ISBN 978-5-4439-2637-7

Эта книга является непосредственным продолжением книги «Элементы
комбинаторной и дифференциальной топологии». Она начинается с определения симплициальных гомологий и когомологий; приводятся многочисленные примеры их вычисления и их приложений. Затем обсуждается умножение Колмогорова—Александера на когомологиях. Значительная часть книги
посвящена различным приложениям (симплициальных) гомологий и когомологий. Многие из них связаны с теорией препятствий. Одним из таких
примеров служат характеристические классы векторных расслоений. Сингулярные гомологии и когомологии определяются во второй половине книги.
Затем рассматривается ещё один подход к построению теории когомологий — когомологии Чеха и тесно связанные с ними когомологии де Рама.
Книга завершается различными приложениями теории гомологий в топологии
многообразий. В книге приведено много задач (с решениями) и упражнений
для самостоятельного решения.
Книга содержит много конкретного материала и приложений, которые
могут заинтересовать даже специалистов в этой области.
Для студентов старших курсов и аспирантов математических и физических специальностей; для научных работников.

Подготовлено на основе книги: В. В. Прасолов. Элементы теории
гомологий. — 2-е изд., стереотипное. — М.: МЦНМО, 2014. —
ISBN 978-5-4439-0242-5.

Издательство Московского центра
непрерывного математического образования
119002, Москва, Большой Власьевский пер., 11.
Тел. (499) 241-08-04.
http://www.mccme.ru

ISBN 978-5-4439-2637-7
© Прасолов В. В., 2006
© МЦНМО, 2017

Оглавление

Предисловие . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
7
Некоторые обозначения . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
9

Глава I. Симплициальные гомологии
10
§ 1.
Определение и некоторые свойства . . . . . . . . . . . . . . . . . 10
1.1.
Определение групп гомологий . . . . . . . . . . . . . . . . 10
1.2.
Цепные комплексы
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 13
1.3.
Гомологии симплекса и его границы . . . . . . . . . . . . . 14
§ 2.
Инвариантность гомологий
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 15
2.1.
Ацикличные носители . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 15
2.2.
Топологическая инвариантность гомологий . . . . . . . . . 17
2.3.
Гомотопическая инвариантность гомологий . . . . . . . . . 20
§ 3.
Относительные гомологии . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21
3.1.
Точная гомологическая последовательность пары . . . . . 22
3.2.
Приведённые гомологии . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 27
3.3.
Последовательность Майера—Вьеториса
. . . . . . . . . 28
§ 4.
Когомологии и формулы универсальных коэффициентов
. . . . 31
4.1.
Когомологии . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 31
4.2.
Тензорное произведение и гомологии с произвольными
коэффициентами . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 36
4.3.
Группы Tor и Ext . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 38
4.4.
Формулы универсальных коэффициентов . . . . . . . . . . 43
§ 5.
Некоторые вычисления . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 45
5.1.
Фундаментальный класс
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . 45
5.2.
Клеточные гомологии . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 48
5.3.
Индекс пересечения и изоморфизм Пуанкаре
. . . . . . . 52
5.4.
Реализация гомологических классов поверхностей
. . . . 59
§ 6.
Эйлерова характеристика и теорема Лефшеца
. . . . . . . . . . 62
6.1.
Эйлерова характеристика . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 62
6.2.
Теорема Лефшеца о неподвижной точке
. . . . . . . . . . 67

Оглавление

Глава II. Кольцо когомологий
70
§ 7.
Умножение в когомологиях . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 70
7.1.
Гомологии тотального цепного комплекса . . . . . . . . . . 70
7.2.
Определение умножения в когомологиях . . . . . . . . . . 72
7.3.
Кольца когомологий двумерных поверхностей . . . . . . . 76
§ 8.
Гомологии и когомологии многообразий . . . . . . . . . . . . . . 80
8.1.
Cap-произведение . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 80
8.2.
Кольца когомологий многообразий
. . . . . . . . . . . . . 85
8.3.
Два примера . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 87
8.4.
Изоморфизм Лефшеца
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 88
8.5.
Двойственность Александера . . . . . . . . . . . . . . . . . 92
8.6.
Тройное произведение Масси
. . . . . . . . . . . . . . . . 95
8.7.
Форма пересечения и сигнатура многообразия . . . . . . . 98
8.8.
Гомоморфизм Бокштейна и изоморфизм Пуанкаре
. . . . 102
8.9.
Линзы . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 103
§ 9.
Теорема Кюннета . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 105
9.1.
Цепной комплекс C∗(K × L) . . . . . . . . . . . . . . . . . 106
9.2.
Алгебраическая теорема Кюннета . . . . . . . . . . . . . . 107
9.3.
Гомологии прямого произведения
. . . . . . . . . . . . . . 109
9.4.
Теорема Кюннета для когомологий
. . . . . . . . . . . . . 111
9.5.
Умножение в когомологиях и теорема Кюннета . . . . . . 113
9.6.
Внешнее когомологическое произведение . . . . . . . . . . 117

Глава III. Применения симплициальных гомологий
122
§ 10. Гомологии и гомотопии . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 122
10.1. Теорема Гуревича
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 122
10.2. Теория препятствий . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 126
10.3. Теорема Хопфа—Уитни . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 130
10.4. Алгебраически тривиальные отображения . . . . . . . . . 132
10.5. Пространства Эйленберга—Маклейна . . . . . . . . . . . 134
10.6. Когомологии и отображения в пространства типа K (π, n) 137
10.7. Пространства Мура . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 140
§ 11. Характеристические классы . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 143
11.1. Векторные расслоения
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 143
11.2. Когомологии с локальными коэффициентами
. . . . . . . 148
11.3. Характеристические классы Штифеля—Уитни
. . . . . . 152
11.4. Свойства классов Штифеля—Уитни
. . . . . . . . . . . . 156
11.5. Приложения классов Штифеля—Уитни
. . . . . . . . . . 163
11.6. Универсальное расслоение . . . . . . . . . . . . . . . . . . 167
11.7. Стабильные когомологии многообразий Грассмана . . . . 172
11.8. Характеристические классы Чженя . . . . . . . . . . . . . 177

Оглавление
5

11.9. Расщепляющие отображения . . . . . . . . . . . . . . . . . 182
§ 12. Действия групп . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 189
12.1. Симплициальные действия . . . . . . . . . . . . . . . . . . 189
12.2. Эквивариантная симплициальная аппроксимация . . . . . 192
12.3. Неподвижные точки и неподвижные симплексы . . . . . . 193
12.4. Трансфер . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 194
12.5. Теория Смита
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 197
§ 13. Квадраты Стинрода . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 201
13.1. Построение квадратов Стинрода . . . . . . . . . . . . . . . 201
13.2. Свойства квадратов Стинрода . . . . . . . . . . . . . . . . 206

Глава IV. Сингулярные гомологии
212
§ 14. Основные определения и свойства . . . . . . . . . . . . . . . . . 212
14.1. Теорема о вырезании и точная последовательность Майера—Вьеториса
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 215
14.2. Аксиомы теории (ко)гомологий
. . . . . . . . . . . . . . . 220
14.3. Теорема Жордана—Брауэра . . . . . . . . . . . . . . . . . 222
14.4. Изоморфизм между симплициальными и сингулярными
гомологиями . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 224
14.5. Неравенства Морса . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 228
14.6. Умножения . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 230
14.7. Инвариант Хопфа . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 236
14.8. Симплициальный объём (норма Громова) . . . . . . . . . . 239
14.9. Когомологии с некоммутативными коэффициентами и теорема ван Кампена . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 240
§ 15. Изоморфизмы Пуанкаре и Лефшеца . . . . . . . . . . . . . . . . 245
15.1. Фундаментальный класс
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . 245
15.2. Изоморфизм Тома . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 254
15.3. Изоморфизм Пуанкаре . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 258
15.4. Изоморфизм Лефшеца
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 266
15.5. Обобщение теоремы Хелли . . . . . . . . . . . . . . . . . . 271
§ 16. Характеристические классы: продолжение . . . . . . . . . . . . . 272
16.1. Изоморфизм Тома для расслоений
. . . . . . . . . . . . . 274
16.2. Формулы Тома и Ву . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 278
16.3. Препятствия к вложениям . . . . . . . . . . . . . . . . . . 281

Глава V. Когомологии Чеха и де Рама
283
§ 17. Когомологии с коэффициентами в пучке . . . . . . . . . . . . . . 283
17.1. Пучки и предпучки
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 283
17.2. Когомологии Чеха . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 286
17.3. Расслоения со структурной группой . . . . . . . . . . . . . 292

Оглавление

17.4. Некоммутативные когомологии Чеха
. . . . . . . . . . . . 294
§ 18. Когомологии де Рама . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 296
18.1. Теорема Стокса. Гомотопическая инвариантность . . . . . 301
18.2. Изоморфизм Пуанкаре для когомологий де Рама . . . . . 306
§ 19. Теорема де Рама
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 310
19.1. Доказательство теоремы де Рама . . . . . . . . . . . . . . 311
19.2. Симплициальная теорема де Рама . . . . . . . . . . . . . . 317

Глава VI. Смесь
324
§ 20. Полином Александера . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 324
20.1. Форма Зейферта . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 324
20.2. Бесконечное циклическое накрытие . . . . . . . . . . . . . 326
20.3. Основная теорема . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 329
20.4. Свойства полинома Александера
. . . . . . . . . . . . . . 331
20.5. Полином Конвея . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 334
20.6. Свободное дифференциальное исчисление . . . . . . . . . 340
§ 21. Инвариант Арфа
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 350
21.1. Инвариант Арфа квадратичной формы . . . . . . . . . . . 350
21.2. Инвариант Арфа ориентированного зацепления . . . . . . 352
21.3. Заузленность вложений графа K7 . . . . . . . . . . . . . . 355
§ 22. Вложения и погружения . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 358
22.1. Сильная теорема Уитни о вложениях . . . . . . . . . . . . 358
22.2. Нормальная степень погружения
. . . . . . . . . . . . . . 368
§ 23. Комплексные многообразия . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 371
23.1. Полные пересечения . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 371
23.2. Гомологии гиперповерхности za0 + . . . + zan = 1 . . . . . . 374
§ 24. Группы Ли и H-пространства . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 377
24.1. Некоторые свойства групп Ли . . . . . . . . . . . . . . . . 377
24.2. Когомологии алгебр Ли . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 379
24.3. Максимальные торы . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 384
24.4. Регулярные элементы . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 387
24.5. H-пространства и алгебры Хопфа . . . . . . . . . . . . . . 392

Решения и указания . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 399
Литература . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 432
Предметный указатель
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 439

Предисловие

Эта книга является непосредственным продолжением книги «Элементы
комбинаторной и дифференциальной топологии» (М.: МЦНМО, 2004), на
которую мы обычно ссылаемся как на часть I. (Исправленную версию
части I можно найти в Internet по адресу http://www.mccme.ru/prasolov/.)
В гл. I определяются симплициальные гомологии и когомологии и приводятся многочисленные примеры их вычисления и их приложений. Это
расходится с тем, что обычно делается в современных курсах алгебраической топологии: в них, как правило, сразу вводятся сингулярные гомологии.
Но определение симплициальных гомологий более простое и естественное. Кроме того, при вычислениях, как правило, приходится обращаться
к симплициальным гомологиям. Поэтому у нас сингулярные гомологии появляются уже ближе к концу книги и используются лишь там, где они действительно необходимы, прежде всего для топологических многообразий.
Гомологии и когомологии с произвольными коэффициентами выражаются через гомологии с целыми коэффициентами с помощью функторов
Tor и Ext. Свойства этих функторов весьма важны для теории гомологий,
поэтому они подробно обсуждаются.
Теорема двойственности Пуанкаре сначала доказывается для симплициальных (ко)гомологий. Это доказательство годится только для гладких
многообразий (точнее говоря, для триангулируемых многообразий). Для
топологических многообразий нет теоремы о триангулируемости, поэтому
доказательство теоремы двойственности Пуанкаре для них по необходимости использует сингулярные (ко)гомологии. В связи с этим такое
доказательство, приведённое в гл. IV, весьма громоздко.
В гл. II рассматривается важная алгебраическая структура на когомологиях — умножение Колмогорова—Александера. Особенно много полезной информации это умножение даёт в случае многообразий. С умножением в когомологиях связаны такие топологические инварианты многообразий, как форма пересечения и сигнатура многообразия.
Один из возможных подходов к построению умножения в когомологиях
основан на теореме Кюннета, выражающей (ко)гомологии пространства

Предисловие

X × Y через (ко)гомологии пространств X и Y. Эта теорема имеет и самостоятельный интерес.
Глава III посвящена различным приложениям (симплициальных) гомологий и когомологий. Многие из этих приложений связаны с теорией
препятствий. Одно из таких приложений—построение характеристических
классов векторных расслоений. Обсуждаются также и другие подходы
к построению характеристических классов —через универсальное расслоение, аксиоматический подход. Затем рассматриваются (ко)гомологические свойства пространств, на которых действуют группы: строятся трансфер и точная последовательность Смита. Завершается глава построением
квадратов Стинрода, обобщающих операцию умножения в когомологиях.
В гл. IV определяются сингулярные (ко)гомологии и приводятся некоторые их приложения. В частности, доказываются некоторые свойства
характеристических классов. (Эти доказательства технически удобнее проводить с помощью сингулярных когомологий, хотя сами утверждения можно сформулировать для симплициальных когомологий.)
В гл. V рассматривается ещё один подход к построению теории когомологий — когомологии Чеха и тесно связанные с ними когомологии
де Рама. Для когомологий де Рама доказывается теорема двойственности
Пуанкаре. Затем конструкция де Рама, изначально введённая для гладких
многообразий, переносится на произвольные симплициальные комплексы.
Заключительная глава VI посвящена различным приложениям теории
гомологий, в основном в топологии многообразий. Сначала подробно обсуждается полином Александера, который строится с помощью гомологий
циклического накрытия; обсуждается также инвариант Арфа. Затем доказывается сильная теорема Уитни о вложениях. Приводится формула для
вычисления классов Чженя полных пересечений. Обсуждаются некоторые
гомологические свойства групп Ли и H-пространств.
В книге приведено много задач (с решениями) и упражнений для самостоятельного решения. Задачи составлены по материалам семинаров по
топологии для студентов II курса Независимого московского университета,
которые автор вёл в 2003 г.
Основные обозначения из части I мы обычно используем без особых
объяснений, но в некоторых случаях даны явные ссылки на соответствующие страницы части I. То же самое относится к теоремам и другим
утверждениям.
Во время работы над этой книгой автор получал финансовую поддержку от Российского фонда фундаментальных исследований согласно проектам 05-01-01012а, 05-01-02805-НЦНИЛ_а, 05-01-02806-НЦНИЛ_а.

Некоторые обозначения

Hk(X; G) — k-мерные гомологии пространства X с коэффициентами в G;
Hk(X; G) —k-мерные когомологии пространства X с коэффициентами в G;
Hom(A, B) — группа гомоморфизмов A → B;
A ⊗ B — тензорное произведение абелевых групп A и B;
Tor(A, B) — см. с. 38—39;
Ext(A, B) — см. с. 38—39;
Cokerα — коядро гомоморфизма α (см. с. 24);
[Mn] — фундаментальный класс многообразия Mn;
χ(X) — эйлерова характеристика пространства X;
Λ(f) — число Лефшеца отображения f;
σ(M4n) — сигнатура многообразия M4n;
εk — тривиальное векторное расслоение размерности k;
wk(ξ) — k-й класс Штифеля—Уитни расслоения ξ;
ck(ξ) — k-й класс Чженя расслоения ξ;
pk(ξ) — k-й класс Понтрягина расслоения ξ;
Sqi — квадрат Стинрода;
Mn
1 # Mn
2 — связная сумма многообразий Mn
1 и Mn
2