Сопротивление материалов

МИНИСТЕРСТВО ОБРАЗОВАНИЯ И НАУКИ РОССИЙСКОЙ ФЕДЕРАЦИИ

Федеральное государственное бюджетное образовательное учреждение
высшего профессионального образования

«МОСКОВСКИЙ ГОСУДАРСТВЕННЫЙ СТРОИТЕЛЬНЫЙ УНИВЕРСИТЕТ»

В.П. Агапов

ÑÎÏÐÎÒÈÂËÅÍÈÅ
ÌÀÒÅÐÈÀËÎÂ

Ìîñêâà 2017

2-å èçäàíèå (ýëåêòðîííîå)

Ó÷åáíèê

УДК 539.3 (075)
ББК 30.121
            А 23

Р е ц е н з е н т ы :
доктор технических наук, профессор В.Н. Иванов, профессор кафедры
прочности материалов и конструкций РУДН;

доктор технических наук Л.Л. Сотников, директор филиала МГСУ 
в г. Люберцы, заведующий кафедрой промышленного и гражданского строительства;

доктор технических наук, профессор Г.М. Муртазалиев, заведующий кафедрой 
сопротивления материалов, теоретической и строительной механики 
Дагестанского государственного технического университета

Агапов, В.П. 

А 23   Сопротивление материалов [Ýëåêòðîííûé ðåñóðñ] : учебник / 
Â. Ï. Àãàïîâ ; Ì-âî îáðàçîâàíèÿ è íàóêè Ðîñ. Ôåäåðàöèè, Ìîñê. ãîñ. 
ñòðîèò. óí-ò.— 2-å èçä. (ýë.). — Ýëåêòðîí. òåêñòîâûå äàí. (1 ôàéë pdf : 
337 ñ.). — Ì. : Èçäàòåëüñòâî ÌÈÑÈ—ÌÃÑÓ, 2017 — Ñèñòåì. òðåáîâàíèÿ: Adobe Reader XI ëèáî Adobe Digital Editions 4.5 ; ýêðàí 10".

ISBN 978-5-7264-1624-3

Изложены основы расчетных и экспериментальных методов исследования напряженно-деформированного состояния элементов конструкций 
при растяжении — сжатии, кручении, изгибе и комбинированном нагружении. Содержатся сведения о расчетах стержней на устойчивость. Рассмотрены поведение стержней при действии динамических нагрузок. Приведены сведения о современных методах расчета стержней и стержневых 
систем на прочность.

Теоретический материал проиллюстрирован примерами расчета стержней при различных воздействиях.

Для студентов, обучающихся по программе специалитета по специальности 08.05.01 «Строительство уникальных зданий и сооружений».

УДК 539.3 (075)
ББК 30.121

ISBN 978-5-7264-1624-3 
© ФГБОУ ВПО «МГСУ», 2014

Äåðèâàòèâíîå ýëåêòðîííîå èçäàíèå íà îñíîâå ïå÷àòíîãî èçäàíèÿ: 
Ñîïðîòèâëåíèå ìàòåðèàëîâ : ó÷åáíèê / Â. Ï. Àãàïîâ ; Ì-âî îáðàçîâàíèÿ è íàóêè Ðîñ. Ôåäåðàöèè, Ìîñê. ãîñ. ñòðîèò. óí-ò. — Ì. : Èçäàòåëüñòâî ÌÈÑÈ—ÌÃÑÓ, 2014. — 336 ñ. — ISBN 978-5-7264-0805-7

 ñîîòâåòñòâèè ñî ñò. 1299 è 1301 ÃÊ ÐÔ ïðè óñòðàíåíèè îãðàíè÷åíèé, 
óñòàíîâëåííûõ òåõíè÷åñêèìè ñðåäñòâàìè çàùèòû àâòîðñêèõ ïðàâ, ïðàâîîáëàäàòåëü âïðàâå òðåáîâàòü îò íàðóøèòåëÿ âîçìåùåíèÿ óáûòêîâ èëè âûïëàòû 
êîìïåíñàöèè.

ПРЕДИСЛОВИЕ

Учебник написан на основе лекций, читаемых автором в МГСУ
по курсу сопротивления материалов. Он предназначен для студентов, обучающихся по строительным специальностям, но может быть 
полезен студентам всех технических вузов, в которых изучается сопротивление материалов.
Сопротивление материалов является классической дисциплиной, основные положения которой были сформулированы более 
ста лет тому назад и в дальнейшем не подвергались какому-либо 
серьезному пересмотру. В нашей стране в разное время, в том числе и за последние 10–20 лет, было издано много прекрасных учебников по данной дисциплине.  Поэтому написание нового учебника по сопротивлению материалов требует некоторого обоснования. 
Создавая новый учебник, автор руководствовался следующими 
соображениями.
В последние годы резко вырос объем знаний, которые необходимо усвоить выпускнику любого высшего учебного заведения. Поэтому на изучение многостраничных томов студентам просто физически не хватает времени, в связи с чем возникает необходимость 
издания лаконичных по форме и содержательных по существу учебников практически по всем дисциплинам. Одной из целей автора 
было написание такого учебника по сопротивлению материалов.
При изучении той или иной дисциплины студент должен отчетливо осознавать ее связь с другими дисциплинами и ее значение 
для формирования базовых профессиональных знаний. Поэтому в 
данный учебник включен раздел, посвященный современным методам расчета конструкций и сооружений на прочность и показы

вающий, какой вклад в разработку этих методов вносит сопротивление материалов. И, наконец, автор счел необходимым подробно 
рассмотреть понятие сосредоточенной силы, с которым студентам 
приходится сталкиваться как в курсе сопротивления материалов, 
так и в других дисциплинах, связанных с расчетом конструкций на 
прочность. Это сделано с целью  уберечь будущих специалистов от 
ошибок при интерпретации результатов расчетов, в которых распределенная нагрузка заменяется сосредоточенными силами. 
В остальном содержание учебника является традиционным для 
данной дисциплины.
Для лучшего усвоения теоретического материала в учебник включено большое количество примеров расчета. Примеры подобраны 
таким образом, чтобы облегчить студентам выполнение расчетнографических работ по курсу сопротивления материалов.
Автор выражает благодарность рецензентам книги за ценные замечания и сотрудникам книжной редакции издательства 
МИСИ – МГСУ, принимавшим участие в подготовке учебника 
к изданию.
Все возможные замечания по содержанию учебника следует направлять по электронной почте: agapovpb@mail.ru; они будут с благодарностью приняты автором.

В.П. Агапов

1. ВВЕДЕНИЕ

1.1. ПРЕДМЕТ ИЗУЧЕНИЯ, ЗАДАЧИ И МЕТОДЫ
СОПРОТИВЛЕНИЯ МАТЕРИАЛОВ
Человек создан беззащитным перед лицом природы, но наделен разумом, позволяющим ему возводить конструкции и сооружения для обеспечения своей жизнедеятельности: для защиты от природных стихий, для 
производства товаров потребления, для перемещения людей и перевозки 
грузов и т.п. Диапазон создаваемых человеком объектов широк и продолжает расширяться. Большая часть существующих и вновь проектируемых 
конструкций и сооружений должна обладать прочностью и жесткостью для 
выполнения своих функций. Жилые и промышленные здания не должны 
разрушаться под действием собственного веса и внешних сил (ветра, снега, вибраций оборудования и т.п.), и при этом они не должны деформироваться настолько, чтобы это затрудняло пребывание в этих зданиях людей 
и препятствовало нормальной эксплуатации оборудования; транспортные 
средства не должны разрушаться при движении по дорогам, по воде и по 
воздуху и т.д. Иначе говоря, несущие части конструкций и сооружений 
должны обладать прочностью и жесткостью. 
Понятия прочности и жесткости знакомы каждому, тем не менее  уточним их, поскольку в курсе сопротивления материалов эти понятия относятся к основным. Под прочностью в сопротивлении материалов подразумевается способность конструкции воспринимать внешние силы без 
разрушения, под жесткостью — способность под действием нагрузки 
сохранять без существенных изменений геометрические размеры конструкции. Таким образом, при создании конструкций и сооружений необходимо правильно подобрать размеры отдельных элементов, способы 
их соединения и материалы, обеспечивающие как прочность, так и жесткость. Решением этих задач занимается комплекс научных дисциплин, 
объединяемых общим названием — «механика твердого деформируемого тела». Сопротивление материалов — один из разделов этого комплекса. В него входят также строительная механика, теория упругости, теория 
пластичности и теория ползучести. Чтобы выяснить роль этих дисциплин, 
проанализируем состав несущих конструкций, используемых в различных 
областях техники. 

1. Введение

Практически любая конструкция состоит из множества отдельных 
элементов, так или иначе связанных между собой. По их геометрической 
форме элементы могут быть классифицированы как трехмерные, двухмерные и одномерные.
Трехмерные — это элементы сплошной среды (тело плотины, станина 
станка, корпус автомобильного двигателя и т.п.), т.е. такие элементы, у которых все три основных размера имеют один и тот же порядок.
Двухмерные  — это пластины и оболочки, т.е. такие элементы, у которых один размер (толщина) намного меньше двух других. Например, 
плита перекрытия — это, с позиции механики твердого деформируемого 
тела, пластина, корпус автомобиля — это оболочка и т.п.
Одномерные — это элементы, у которых один размер (длина) больше 
двух других. В строительных сооружениях это элементы стержневого каркаса здания, отдельные балки и т.п. В машиностроительных конструкциях 
это всевозможные тяги, валы двигателей и передаточных механизмов и т.п. 
Сопротивление материалов как наука возникло раньше остальных 
 прочностных дисциплин, перечисленных выше, и поначалу предметом изучения этой науки были стержневые элементы. Начало теоретическим и 
экспериментальным исследованиям в этой области положил Г. Галилей 
(1564–1642). Им установлены важные соотношения между размерами 
стержней и нагрузками, которые эти стержни могут выдержать при растяжении и изгибе стержней. При исследовании растяжения Г. Галилей ввел 
понятие «абсолютного» сопротивления, равного силе, которую может выдержать сечение растянутого стержня. Полагая, что  таким же сопротивлением обладает изогнутый стержень, Г. Галилей определил предельную нагрузку для изгибаемого консольного стержня, нагруженного силой на свободном конце. Фактически Г. Галилей предположил, что опорное сечение 
изгибаемого консольного стержня целиком растянуто, что не соответствует 
действительности. Несмотря на это, Г. Галилей высказал правильные идеи 
об использовании с целью экономии материалов балок переменного сечения (балок равного сопротивления изгибу) и полых балок. 
Ошибка Г. Галилея в отношении сопротивления балок изгибу исправлена другими учеными. В частности, Э. Мариотт (1620–1684) предположил, 
что внутренние усилия в опорном сечении изгибаемой консоли изменяются по линейному закону от нуля в нижней точке до максимального значения в растянутой зоне, что в большей степени соответствовало действительности и позволило уточнить значения предельных нагрузок. А. Паран 
(1666–1716) развил представление Э. Мариотта и обосновал наличие сжатой зоны в опорном сечении изогнутого консольного стержня. 
Исследования Г. Галилея, Э. Мариотта и А. Парана проводились без 
учета свойств материала. Важное значение для дальнейшего развития науки о сопротивлении материалов имели исследования английского физика Р. Гука (1635–1703). Изучая упругие деформации твердых тел, Р. Гук 
установил, что между силами и перемещениями существует линейная зависимость. Используя эту зависимость и введя гипотезу плоских сечений, 

 
1.1. Предмет изучения, задачи и методы сопротивления материалов  
7

предполагающую, что поперечные сечения балок при изгибе поворачиваются, оставаясь плоскими, Я. Бернулли (1654–1705) установил, что кривизна изогнутой оси пропорциональна изгибающему моменту. Л. Эйлер 
(1707–1783) развил идеи Я. Бернулли и получил дифференциальное уравнение изогнутой оси, а Ш. Кулон (1736–1806) окончательно установил закон распределения напряжений при изгибе. Ш. Кулоном получены также 
основные соотношения при кручении стержней.
Английский физик Т. Юнг (1773–1829) ввел понятие модуля упругости материала при растяжении и  сжатии, а французский ученый А. Навье 
(1785–1836) дал современное определение модуля упругости как отношения 
напряжения (усилия, действующего на единицу площади) к относительному удлинению. А. Навье  придал дифференциальному уравнению изогнутой 
оси стержня современный вид, введя в это уравнение модуль упругости.
Таким образом, понадобилось почти триста лет, чтобы сформулировать 
основные положения сопротивления материалов как  науки о прочности и 
жесткости стержневых элементов. При этом использовались как аналитические, так и экспериментальные методы исследования, которые удачно 
дополняли друг друга. Начиная с ХVIII в., достижения науки о сопротивлении материалов начали широко применяться в инженерном деле, так 
как простые формулы, полученные в этой науке, позволяли определять 
размеры элементов конструкций и сооружений, удовлетворяющие условиям прочности и жесткости, а также требованиям экономичности.
По мере накопления знаний относительно прочности и деформаций 
стержней и разработки методов их расчета оказалось возможным применить 
эти знания и методы к некоторым типам двухмерных элементов, например 
к осесимметричным оболочкам. Однако для расчета сложных конструкций 
(пластинок и оболочек произвольного очертания, комбинированных систем) разработанные в сопротивлении материалов методы оказались недостаточными. Поэтому наряду с сопротивлением материалов стали развиваться и другие научные дисциплины. Этому в значительной мере способствовало возникновение в математике теорий дифференциального и 
интегрального исчисления. В частности, с использованием теории исчисления бесконечно малых величин в ХVIII в. возникла теория упругости, 
предметом изучения которой стали произвольной формы и произвольным 
образом нагруженные твердые деформируемые тела. Поскольку в теории 
упругости широко используются элементы дифференциального и интегрального исчисления, эту дисциплину иногда называют математической 
теорией упругости.
Для расчета двухмерных конструкций (пластинок и оболочек) разработаны специальные методы, рассматриваемые в теории пластинок и оболочек. 
Методы расчета стержневых систем (рам, ферм) рассматриваются в строительной механике стержневых систем. 
Многие инженерные конструкции и сооружения проектируют таким 
образом, чтобы материал этих объектов при действии эксплуатационных 
нагрузок работал в пределах упругости. Свойством идеальной упругости 

1. Введение 

называется свойство тел полностью восстанавливать свои первоначальные размеры и форму после устранения причин, вызвавших деформации 
этого тела. Ясно, что ось автомобильного колеса в процессе эксплуатации 
должна оставаться прямой. Это можно обеспечить, если спроектировать 
ось таким образом, чтобы ее материал при действии эксплуатационных 
нагрузок работал в пределах упругости. Тогда деформации, возникающие 
в процессе езды автомобиля, будут ничтожно малы и будут исчезать после 
устранения внешних воздействий. В перечисленных выше научных дисциплинах рассматриваются методы расчета и проектирования конструкций 
при условии их работы в пределах упругости. Отсюда и название основополагающей дисциплины — теория упругости.
Однако в процессе эксплуатации могут возникнуть нагрузки, приводящие 
к разрушению конструкции: землетрясения вызывают (или могут вызвать) 
разрушение конструкций зданий, попадание колеса автомобиля в глубокую 
выбоину может привести к поломке оси и т.п. Разрушение конструкций 
происходит, как правило, с образованием необратимых пластических деформаций. Методы расчета конструкций при возникновении пластических 
деформаций рассматриваются в теории пластичности. Методы теории пластичности дают возможность определять разрушающие нагрузки, что очень 
важно для определения коэффициентов запаса по прочности.
Поведение конструкций при длительном действии статических нагрузок 
изучают в теории ползучести. Существуют и другие научные дисциплины, 
так или иначе связанные с исследованием прочности конструкций и их 
элементов.
Таким образом, сопротивление материалов — один из разделов механики твердого деформируемого тела. Для стержневых конструкций сопротивление материалов является базовой дисциплиной. 

1.2. СХЕМАТИЗАЦИЯ КОНСТРУКЦИИ. 
РЕАЛЬНЫЙ ОБЪЕКТ И РАСЧЕТНАЯ СХЕМА

Любая реальная конструкция, к какой бы области техники она ни относилась, имеет силовую (несущую) часть, которая обеспечивает прочность 
и жесткость данной конструкции, и вспомогательные (с точки зрения прочности) части, которые могут иметь самое разнообразное назначение.  Это 
могут быть функциональные элементы, не влияющие на прочность (например сантехнические конструкции в строительном сооружении), элементы 
ограждения, элементы внешнего оформления и т.п. При расчете любой 
конструкции на прочность вводится понятие расчетной схемы. Перед составлением расчетной схемы ставится задача исследования и в зависимости 
от содержания этой задачи дается упрощенное изображение конструкции. 
Упрощение достигается отбрасыванием второстепенных факторов, мало 
влияющих на результаты расчета. При этом при расчете одной и той же 
конструкции могут использоваться разные расчетные схемы. Например, 

 
1.2. Схематизация конструкции. Реальный объект и расчетная схема 
9

при исследовании общей прочности конструкции ее отдельные составные 
части могут изображаться упрощенно, с указанием их основных характеристик. Напротив, при исследовании местной прочности узлов и агрегатов 
последние должны изображаться на расчетных схемах с сохранением всех 
их особенностей. 

Рис. 1.1. Конструкция и расчетная схема автомобильного колеса: 
а — конструкция; б — расчетная схема

Рассмотрим проблемы, связанные с разработкой расчетной схемы, на 
примере автомобильного колеса, условно изображенного на рис. 1.1, а.
Предположим, что расчетчика интересует суммарное усилие,  передаваемое  на узлы крепления рессоры к несущей части кузова автомобиля от 
воздействия со стороны дороги. Тогда расчетная схема данного узла автомобиля может быть представлена в виде, изображенном на рис. 1.1, б. 
На этом рисунке жесткость рессоры представлена пружиной С1, суммарная жесткость шины 
и диска колеса — пружиной С2 и суммарная 
масса колеса и рессоры — массой m. При необходимости же рассчитать на прочность диск 
колеса расчетная схема может быть такой, как 
показано на рис. 1.2.

Рис.1. 2. Расчетная схема 
диска автомобильного колеса

Рис. 1.3. Конструкция (а) 
и расчетная схема колонны (б)

1. Введение 

При расчете на прочность стержней последние могут быть представлены на расчетных схемах своими осями, как показано, например, на 
рис. 1.3.

1.3. ВНЕШНИЕ СИЛЫ

Каждая конструкция выполняет свои функции, взаимодействуя с окружающими телами. В результате появляются силы. Например, на автомобиль 
действуют собственный вес, вес пассажиров и оборудования, аэродинамические нагрузки, силы взаимодействия с дорожным полотном, инерционные 
силы (рис. 1.4). На строительную конструкцию, фрагмент которой показан 
на рис. 1.5, действуют собственный вес, ветровые и снеговые нагрузки, в 
сейсмоопасных районах возможно появление сейсмических нагрузок. На 
скелет человека, который также можно рассматривать как некоторую механическую несущую систему, действует собственный вес, в некоторых случаях к нему добавляются силы инерции и некоторые другие, часто нежелательные, воздействия. При расчете или проектировании конструкций последние 
рассматриваются изолированно от окружающих тел, при этом действие этих 
тел заменяется силами, которые называются внешними. Внешние силы 
делятся на объемные и поверхностные. Объемные силы распределены по 
объему тела и приложены к каждой его частице (магнитные и инерционные 
силы, силы земного притяжения и т.п.). Поверхностные силы приложены 
к участкам поверхности. Как правило, поверхностные силы являются распределенными. Однако, если участок, на котором действует некоторая распределенная нагрузка, мал, то эту нагрузку можно представить в виде сосредоточенной силы. Например, на рис. 1.6, а показан фрагмент строительной конструкции, включающий фундаментную плиту, колонны и плиту 
перекрытия, нагруженную распределенной нагрузкой. Нагрузки на фунда
Рис. 1.4. Силы, действующие на автомобиль:
1 — аэродинамические силы; 2 — вес пассажиров и оборудования; 
3 — силы взаимодействия с дорожным полотном