Просто арифметика

П Р О С Т О  
АРИФМЕТИКА

СТРАТА
Санкт-Петербург
2014

Михаил Ахманов

Автор идеи
Сергей Деменок

УДК 001, 501, 510
ББК 22.1 
А 95 

ISBN 978-5-906150-05-9

© Ахманов М. С, 2014, текст
© Ковалёва Т. В., 2014, рисунки
© Спроге М. П., 2014, обложка
© ООО «Страта», 2014

А 95  
Михаил Ахманов. Просто арифметика. — СПб.: 
ООО «Страта», 2014. — 176 с.

 
ISBN 978-5-906150-05-9  

Возможно, наши далекие предки еще не владели речью, 
но уже умели считать. Счет — древнейшая интеллектуальная 
операция, которую освоило человечество. Как считали египтяне и шумеры, греки и римляне? Как развивались приемы счета 
в Средние века и в Новое время? Как были изобретены первые 
компьютеры? Кто из гениев внес вклад в науку счета? 
Об этом рассказано в книге, которая предлагается вашему 
вниманию.

Все права защищены. Никакая часть настоящей книги не может быть 
воспроизведена или передана в какой бы то ни было форме и какими бы 
то ни было средствами, будь то электронные или механические, включая 
фотокопирование и запись на магнитный носитель, а также размещение 
в Интернете, если на то нет письменного разрешения владельцев.

All rights reserved. No parts of this publication can be reproduced, sold 
or transmitted by any means without permission of the publisher.

ПРЕлюдИя

Закутанные в шкуры существа жались к костру. Мужчины, 
женщины, дети… Пламя озаряло их лица, и временами, когда 
подбрасывали охапку веток и огонь разгорался, были видны 
стены и закопченный свод пещеры. Снаружи бушевала вьюга, 
с темных небес сыпал снег, сугробы скрывали склон горы и замерзшую реку, лес стоял неприютным и голым. Зима, период 
холода и голода… Мало добычи, мало мяса, мало шкур…
Где была та пещера?.. И когда?.. Может быть, в странах, что 
назовут потом Францией, Испанией или Чехией — через тридцать или тридцать пять тысячелетий. Она служила убежищем 
племени много лет, в ней спасались от пронзительного ветра, 
дождя и снегопада, хранили добычу, рождались и умирали. 
Никем не сосчитанные, текли годы; старика от мужчины отличали по морщинам и редким седым волосам, юношу — по отсутствию бороды и гладкой коже. Добычу тоже не считали; без 
этого было понятно, что один олень прокормит всех в течение 
дня, а если оленей два или три, то хватит мяса и на завтра. Сколько этих оленей, можно показать на пальцах, и это проще, чем 
произнести слово. Возможно, слова для такого отвлеченного 
понятия, как число, еще не появились, их заменяли пальцы, 
камешки, веточки. Но нельзя исключить, что уже существовало понятие «много»: много оленей, целое стадо, столько, что 
не хватит пальцев на одной руке или на обеих.
Но, несмотря на смутные представления о счете, а также 
о времени, люди в пещере понимали, что день сменяется ночью, 
а за ней приходит новый день. Холодный сезон длился много 
дней — пять, пять, и еще пять, и еще, — но подсчитать их с помощью пальцев было невозможно. Но есть плоская кость, которую можно царапать кремневым ножом; царапина — день, пять 
зарубок — пять дней, и от первой до последней — как от первого снегопада до дня, когда вскроется река.
Вероятно, кость с такими отметинами считалась в племени одним из главных сокровищ. Вождь достал ее, поднес 

Прелюдия

Прелюдия

к пламени костра и отметил угольком прошедший день. Зарубки, начиная с первой, были зачернены — знак прошедших 
дней зимы, скудных и голодных. Светлых царапин оставалось 
еще немало, целых четыре руки с лишним. Значит, зима скоро 
не кончится… Вождь тоскливо вздохнул и спрятал драгоценную 
кость.
Такова одна из гипотез: с помощью кости с зарубками отсчитывали дни холодного сезона, ибо людям хотелось знать, что 
их ожидает завтра и послезавтра. Возможно, сознание того, что 
до тепла осталось недолго, поддерживало их — ведь голодный 
и мрачный умирает быстрее, чем просто голодный. Возможно, 
кость с зарубками предназначалась для каких-то иных целей, 
но то, что подобный артефакт существовал, не подлежит сомнению. В 1937 г. в Вестонице (Моравия) была найдена лучевая 
кость волка, на которую нанесены 55 зарубок. Первые 25 сгруппированы по пятеркам, потом идет зарубка двойной длины, заканчивающая ряд. Новый ряд начинается опять с длинной зарубки, а сам артефакт относится к эпохе палеолита; его возраст 
примерно 30 000 лет.
Есть и более поздние находки — кости с зарубками из Африки, прародины человечества. Одну нашли в Конго в 1960 г. 
(возраст артефакта 20 000 лет), другую — в горной местности 
в Свазиленде, Южная Африка, в 1973 г. (возраст 35 000 лет). 
На этой кости 29 зарубок, и, возможно, этот примитивный календарь соответствует лунному месяцу. Даже если мы никогда 
не узнаем точного назначения этих костей, они несут бесценную 
информацию, сообщая, когда и как люди начали считать.

ГлАвА 1.  
дРЕвнИй ЕГИПЕТ И вАвИлОнИя 

Труд археологов и изучение примитивных племен, еще сохранившихся в XX веке, позволяет заполнить лакуну между 
приемами счета доисторических охотников и сравнительно высокими математическими знаниями Древнего Египта 
и Двуречья. Путь лежит от подсчета дней с помощью зарубок 
на кости к подсчету животных, мер зерна, денежных единиц 
и иных ценностей, к измерению предметов и расстояний, размеров полей, каналов, архитектурных сооружений, к вычислению потребного для храмов, дворцов и защитных стен количества кирпичей или каменных блоков. На этом пути сразу 
возникает несколько интересных для исследования задач: какими знаками записывались числа и какой материал для этого 
применялся; тип системы, в которой представлялись числа; 
какое число являлось основанием системы счисления; какие 
математические операции были известны в той или иной культуре; как соотносились знания в области геометрии и численного счета и с какими потребностями практики было связано 
их развитие. Но, вероятно, первым вопросом является, где 
и почему возникла математика, где и почему кость сменилась 
более подходящим для записи материалом, а зарубки — сложной системой знаков.
Этот вопрос связан с проблемой зарождения первых 
центров цивилизации. Известно, что они возникли в теплых 
климатических зонах (но не в тропиках, а примерно между 
25—35 параллелями), в плодородных долинах огромных рек, 
где изобилие воды и тепла, а также сезонные разливы, приносящие ил, способствовали земледелию, где имелся материал 
для построек, камень, глина или лес, где река служила не только источником воды, но и удобной транспортной артерией. 

Древний Египет

В Старом Свете эти условия сложились в долинах Нила, рек 
Месопотамии Тигра и Евфрата, рек Индии Инда и Ганга и рек 
Китая Янцзы и Хуанхэ. Стоит ли удивляться, что именно там 
и возникла математика.

Древний египет

Египет — древнейшее государство мира с централизованной властью. Страна похожа на гигантскую метлу: на сотни километров тянется длинная ручка-река, а ближе к морю Нил, 
распавшись на прутья-протоки, образует широкую Дельту. 
С запада и востока — пустыни. Узкие полосы обитаемой земли по речным берегам — будто зеленая лента с голубой прошивкой водной нити, брошенная среди желтых, оранжевых, 
бурых песков. Земля плодородна — дает в год по два-три урожая зерна, овощей и фруктов. Население в некоторые периоды равняется семи-восьми миллионам — примерно 1/12 всего 

На эту тему рассуждали такие великие греческие мыслители, как Геродот (484—
425 гг. до н. э.) и Аристотель 
(384—322 гг. до н. э.). «Отец 
истории» Геродот считал, 
что геометрия появилась 
в Египте, и задачи у этой науки были практические: межевание полей после разлива Нила, а также измерения, 
необходимые при строительстве. Эта мысль подкреплялась огромным опытом — Геродот объездил 
половину Ойкумены, побывал в Египте, Вавилонии 
и даже в скифских степях. 

Но у философа Аристотеля 
было другое мнение — он 
рассматривал 
математику 
как интеллектуальную игру, 
изобретенную египетскими 
жрецами, которые располагали свободным временем.

КАК зАРоДилАСь  
МАТеМАТиКА 

Глава 1. Древний Египет и Вавилония

населения планеты. Ремесла и искусства процветают: египтяне возводят гигантские храмы, усыпальницы, ирригационные сооружения, делают папирус, более долговечный, чем 
бумага, выплавляют бронзу и стекло, разводят скот и птицу. 
Возникает письменность, появляются мастера ваяния и живописи, развиваются медицина, литература и, разумется, математика. До наших дней дошли папирусы с лирическими песнями, сказаниями, религиозными и научными текстами, и среди 
них — медицинский папирус Эберса и математический Райнда (или Ахмеса) (см. цветную вкладку).
Но, несмотря на все эти достижения, в египетской культуре 
заметны черты изоляционизма. В долине Нила произрастали виноград, смоковница и финиковая пальма, но не имелось яблонь; 
среди множества одомашненных животных и птиц (антилопы, 
гуси, утки, голуби, журавли) отсутствовала курица и долгое время не было лошадей; торговля на бытовом уровне носила характер натурального обмена, а зарубежная торговля являлась государственной монополией — ее вели доверенные слуги фараона. 

В результате в Египте на протяжении тысячелетий не сложилась система денежных единиц — отчасти ее заменяли кольца из золота, 
серебра и меди. В древности же (как, впрочем, и в наше время) свободная торговля  
являлась мощным стимулом развития математики.

В древнем Египте применялась непозиционная десятичная система счисления и были известны лишь два арифметических действия — сложение и вычитание. Таблицы 
умножения египтяне не знали; умножение сводилось к многократному сложению, а деление — к подбору числа, которое, будучи умножено на делитель, дает делимое. Столь же 
длительными и неуклюжими были действия с дробями, причем египтяне знали только простые дроби, имеющие в числителе единицу, — 1/2, 1/3, 1/4 и так далее (исключение — 
дробь 2/3). Действия, которые покажутся элементарными 
школьнику наших дней, занимали у египетских математиков 
долгие часы. Если что и достойно восхищения, так их трудолюбие.

Древний Египет

Иными словами, это способы представления чисел в таком виде, который 
удобен для выполнения 
всевозможных математических операций. В процессе совершенствования 
этих способов появилась 
современная 
система, 
которая называется десятичной 
позиционной. 
В ней значение цифры 
зависит от позиции и, 
при 
ее 
перемещении 
на одно место, меняется 
в десять раз. Рассмотрим 
для примера число 423; 
в нем четверка соответствует четырем сотням, 
двойка — двум десяткам, 
а тройка — трем единицам. Если с теми же цифрами представить число 
234, то теперь двойка 
соответствует 
сотням, 
тройка — десяткам, а четверка — единицам. В случае, например, системы 
древних вавилонян, тоже 
позиционной, но с основанием 60, а не 10, перемещение на одну позицию 
будет изменять значение 
цифры в шестьдесят раз. 
В непозиционной системе 
значение цифры постоянно и не зависит от ее 
позиции в записи числа. 

Цифры с единицы до девяти 
обозначались 
некими символами, другие 
символы использовались 
для обозначения узловых 
чисел, как правило, десятка, сотни, тысячи и т. д. 
В записи числа эти знаки 
повторялись столько раз, 
сколько в нем было тысяч, 
сотен и десятков. Например, обозначим цифры  
1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9 буквами русского алфавита  
А, Б, В, Г, Д, Е, Ж, З, И, а числа 10, 100 и 1000 — буквами латинского алфавита  
X, Y, Z. Тогда число 423 запишется как YYYYXXВ (четыре сотни, два десятка 
и три), а число 5233 — 
ZZZZZYYXXXВ (пять тысяч, 
две сотни, три десятка 
и три). Легко заметить, что 
эти числа можно записать 
иначе — ВXXYYYY или 
YYZZZZZВXXX — и от этого их значение и смысл не 
изменятся. 
Непозиционные системы счисления 
применялись 
древними египтянами, греками 
и римлянами; они неудобны для привычных нам вычислений на бумаге, и потому во многих странах 
использовали счетные дос- 
ки-абаки.

СиСТеМы СчиСления

Глава 1. Древний Египет и Вавилония

Египтяне обозначали узловые числа следующими иероглифами

чиСлА иеРоГлиФы

Число
ИЕРОГЛИФ

1

10

100

1 000

10 000

100 000

  

Символика изображений такова: единицы — вертикальные 
черточки, десятки — кусок веревки, сотни — свернутая веревка, тысячи — болотное растение, десятки тысяч — палец, сотни 
тысяч — нечто похожее на головастика. С помощью этих знаков 
число 45386 запишется в аддитивном представлении следующим образом: 
10000 + 10000 + 10000 + 10000 + 1000 + 1000 + 1000 + 
1000 + 1000 + 100 + 100 + 100 + 10 + 10 + 10 + 10 + 10 + 10 + 
10 + 10 + 1 + 1 + 1 + 1 + 1 + 1.
Иероглифическая запись выглядит так:

Иероглифическое изображение числа 45386