Теория случайных процессов

Министерство образования и науки Российской Федерации 

НАЦИОНАЛЬНЫЙ ИССЛЕДОВАТЕЛЬСКИЙ 
МОСКОВСКИЙ ГОСУДАРСТВЕННЫЙ СТРОИТЕЛЬНЫЙ УНИВЕРСИТЕТ 

Л.В. Кирьянова, А.Ю. Лемин, Т.А. Мацеевич 

ТЕОРИЯ СЛУЧАЙНЫХ ПРОЦЕССОВ 

Курс лекций 

Москва 2017 

2-е издание (электронное)

УДК 519.2 
ББК 22.172 
  К43 

Рецензенты: 
кандидат технических наук А.А. Медведев,  
профессор Российского государственного геологоразведочного университета;  
кандидат физико-математических наук С.П. Зоткин, 
доцент кафедры информатики и прикладной математики НИУ МГСУ  

 Кирьянова, Людмила Владимировна. 
К43   
     Теория случайных процессов [Электронный ресурс]: курс лекций / 
Л. В. Кирьянова, А. Ю. Лемин, Т. А. Мацеевич; М-во образования и науки 
Рос. Федерации, Моск. гос. строит. ун-т. — 2-е изд. (эл.). — Электрон. 
текстовые дан. (1 файл pdf : 98 с.). — М. : Издательство МИСИ—МГСУ, 
2017. — Систем. требования: Adobe Reader XI либо Adobe Digital Editions 
4.5 ; экран 10".

ISBN 978-5-7264-1584-0 

 Рассмотрены основные понятия, теоремы и методы теории случайных процессов и их применение к инженерным задачам проектирования, строительства и эксплуатации зданий и сооружений. Дана классификация случайных процессов (с особым вниманием к Пуассоновскому процессу), теория цепей Маркова с непрерывным 
и дискретным временем. Более половины курса занимает изложение теории систем 
массового обслуживания (СМО). Приведена классификация СМО, рассмотрены 
показатели качества обслуживания и эффективности работы СМО, разобраны примеры анализа работы различных СМО. Заключительные лекции посвящены статистике случайных процессов, их линейному прогнозированию и моделированию. 
Излагаемые понятия и теоремы сопровождаются разбором большого числа задач. 

Для студентов бакалавриата, обучающихся по направлению подготовки 
01.03.04 Прикладная математика.  

УДК 519.2 
ББК 22.172 

ISBN 978-5-7264-1584-0 
© Национальный исследовательский  

Московский государственный        
строительный университет, 2016 

Деривативное электронное издание на основе печатного издания: Теория случайных процессов : курс лекций / Л. В. Кирьянова, А. Ю. Лемин, Т. А.  Мацеевич; М-во 
образования и науки Рос. Федерации, Моск. гос. строит. ун-т. — М. : Издательство 
МИСИ—МГСУ, 2016. — 96 с. — ISBN 978-5-7264-1421-8.

В соответствии со ст. 1299 и 1301 ГК РФ при устранении ограничений, установленных 
техническими средствами защиты авторских прав, правообладатель вправе требовать от 
нарушителя возмещения убытков или выплаты компенсации.

Лекция 1 

Определение случайного процесса.  
Фазовое пространство.  
Реализация случайного процесса 

Теорией случайных процессов называют раздел математики, изучающий закономерности случайных явлений в динамике их развития.  
Теория случайных процессов — это сравнительно новый раздел теории 
вероятностей, особенно интенсивно развивающийся в настоящее время 
в связи с широким кругом его практических приложений. 
При изучении явлений окружающего мира мы достаточно часто 
наблюдает процессы, течение которых нельзя заранее предсказать точно, 
например: 
1) частица, совершающая броуновское движение, меняет свое положение случайным образом в результате соударений с молекулами 
жидкости; 
2) численность населения города меняется с течением времени
случайным образом под влиянием рождаемости, смертности, миграции 
и т.д.; 
3) уровень воды в реке меняется случайным образом в зависимости
от погоды, количества осадков, таяния снега, интенсивности оросительных мероприятий и т.д. 
Вообще говоря, в природе нет совершенно детерминированных, т.е. 
неслучайных процессов; но есть процессы, на ход которых случайные 
факторы влияют так слабо, что ими можно пренебречь при изучении 
данного явления (например, процесс обращения планет вокруг солнца). 
Однако существуют и такие процессы, где случайность играет основную роль (уже упоминавшееся броуновское движение частицы). Между 
двумя крайними случаями лежит целый спектр процессов, где случайность играет большую или меньшую роль. Учитывать или не учитывать 
случайность процесса зависит также от того, какую практическую задачу требуется решить. Так, при составлении расписания движения самолетов между двумя городами, можно считать их траектории прямолинейными, а движение равномерным. Те же допущения не подойдут, 
если решается задача конструирования автопилота для управления полетом самолета. 
Случайный процесс — это семейство случайных величин X(t), зависящих от некоторого параметра t, где параметр 
T
t 
 — множеству 
значений параметра. В большинстве практических приложений параметр t трактуется как время. 

Сечение случайного процесса в момент времени 
0t  — это обычная

случайная величина 
 
0
X t
, которая получается, если зафиксировать у 

случайного процесса значение времени 0t .
Таким образом, понятие случайного процесса является обобщением 
понятия случайной величины. 
Аналогично тому, как случайная величина может быть представлена 
функцией элементарного события (появляющегося в результате стохастического эксперимента), можно и случайный процесс X(t) трактовать 
как функцию двух аргументов — времени t и элементарного события : 

 


 
,
;
;
;
,
X t
t
t
T
X t
 



  

где  — элементарное событие; 
 — пространство элементарных событий; 
 — множество возможных значений случайного процесса, которое 
называют фазовым пространством. 
Предположим, что стохастический эксперимент (или опыт) уже 
произведен, и произошло некоторое событие 
0
  , т.е. зафиксируем 

второй аргумент  у функции 



 ,t
. Тогда мы получим функцию
одного аргумента t: 

 


0
,
;
.
x t
t
t
T
 


 

Эту функцию называют реализацией или траекторией случайного 
процесса. Таким образом, реализация случайного процесса является неслучайной функцией, в которую превращается случайный процесс в 
результате опыта. 
Записывая температуру воздуха θ в течение суток в некоторой географической точке в зависимости от времени t, можно получить реализацию θ(t) случайного процесса Θ(t). 
Другим примером реализации случайного процесса могут быть  
записи прибора — самописца: 
кардиограммы, эхограммы и другие подобные. 
Если 
произведён 
не 
один 
опыт, а несколько, в результате 
каждого из которых наблюдалось 
какая-либо реализация случайного процесса, то получают целое 
семейство реализаций. 

Семейство реализаций случайного процесса — это несколько 
различных реализаций одного случайного процесса 
Семейство реализации случайного процесса аналогично совокупности наблюдавшихся значений случайной величины 
 
0
X t
. 
Различие состоит в том, что здесь 
наблюдается не числовые значения, а функции аргумента t. 
Семейство реализаций случайного процесса является основным экспериментальным материалом, на базе которого можно получить статистические характеристики случайного процесса. 
 
Характеристики случайных процессов 
 
К характеристикам случайного процесса относят математическое 
ожидание, дисперсию и ковариационную функцию. 
 

 
 
Математическим ожиданием случайного процесса называется траектория математических ожиданий, составляющих этот процесс случайных величин: 

 
 .
m t
MX t

 

Дисперсией случайного процесса называется траектория дисперсий, 
составляющих этот процесс случайных величин:  

 
 
2
.
t
DX t


 

Таким образом, математическое ожидание m(t) случайного процесса 
X(t) представляет собой некоторую неслучайную «среднюю функцию», 
около которой варьируются реализации случайного процесса. 
Дисперсия случайного процесса σ2(t) представляет собой неслучайную неотрицательную функцию, характеризующую степень разброса 
реализаций случайного процесса X(t) около его математического ожидания m(t). 
Математическое ожидание и дисперсия случайного процесса являются весьма важными, но отнюдь не исчерпывающими, так как определяются только одномерным законом распределения. 
 

 
 

 
 

Например, у процессов 
 
1
X
t  и 
 
2
X
t , реализации которых изображены на рисунке математические ожидания и дисперсии примерно 
одинаковы. Однако внутренняя структура этих процессов резко различна. Случайный процесс 
 
1
X
t  имеет плавно меняющиеся реализации, 

тогда как случайный процесс 
 
2
X
t  имеет резко выраженную колеба
тельную структуру. Для процесса 
 
1
X
t  характерна большая предска
зуемость реализации: если реализация процесса 
 
1
X
t  была в какой-то 

момент t больше его математического ожидания 
 
1
m
t , то с большой 
вероятностью можно ожидать, что и её продолжения будет лежать выше кривой 
 
1
m
t . Другими словами, для случайного процесса 
 
1
X
t  
характерна сильная вероятностная зависимость между двумя его сечениями 
 
1
X
t  и 
 
1
X
s  Это утверждение не справедливо для случайного 

процесса 
 
2
X
t . Между его сечениями 
 
2
X
t  и 
 
2
X
s  практически 
нет вероятностной зависимости при достаточном удалении сечений 
друг от друга. 
Для характеристики степени линейной зависимости между сечениями случайного процесса используют ещё одну характеристику — ковариационную функцию. 
Ковариационной функцией случайного процесса называется функция 
двух переменных, значения которой представляют собой коэффициенты ковариации сечений процесса в соответствующие моменты времени: 



 
 
 
 
 
 


,
cov
,
.
B t s
X t
X s
M
X t
m t
X s
m s








 




 

 

Ясно, что у случайных процессов 
 
1
X
t  и 
 
2
X
t  ковариационные 
функции различны: корреляционная функция B(t, s) убывает по мере 
увеличения разности 
s
t 
 гораздо медленнее, чем ковариационная 
функция процесса 
 
2
X
t . 
Итак, понятие математического ожидания случайного процесса, 
дисперсии случайного процесса и ковариационной функции обобщают 
соответствующие понятия для случайных величин. 
Подобно тому, как любая случайная величина полностью характеризуется своим законом распределения, случайный процесс может быть 
охарактеризован так называемым конечномерным распределением.  
Конечномерным распределением случайного процесса в моменты 

1
2
,
,... n
t t
t  называется распределение многомерной случайной величины, 

составленной из сечений процесса в моменты времени 1
2
,
,..., n
t t
t , т.е. по 
определению 



 
 
 


1
2
,
,...
1
2
1
1
1
2
2
,
,...
,
,...
n
t t
t
n
n
n
F
x x
x
P X t
x X t
x
X t
x




. 

Конечномерное распределение случайного процесса — это совокупность совместных законов распределения различных сечений процесса 
для всевозможных моментов времени. В качестве примера рассмотрим 
важный класс случайных процессов, где числовые характеристики полностью определяют распределение вероятностей. В теории случайных 
процессов большой класс образуют так называемые нормальные или 
гауссовские случайные процессы. 
Процесс называется гауссовским, если все его конечномерные распределения нормальные. Распределение вероятностей гауссовского 
случайного процесса полностью задается его математическим ожиданием m(t) и корреляционной функцией B(t,s). 
 
 
Лекция 2  
 
Классификация случайных процессов.  
Стационарные случайные процессы 
 
Теперь остановимся на вопросе о том, как классифицируют случайные процессы.  
В теории случайных процессов принято классифицировать их по тем 
или иным признакам. Самая элементарная классификация — «по времени» и «по состояниям». Для того, чтобы о ней рассказать, заметим, 
что при решении практических задач обычно предполагают, что случайный процесс протекает в некоторой системе S. Под системой может 
пониматься что угодно: техническое устройство, ремонтная мастерская, 
железнодорожный узел, биологическая популяция и т.д. Случайный 
процесс, протекающий в любой системе, представляет собой случайные 
переходы системы из состояния в состояние. Состояние системы может 
быть охарактеризовано с помощью каких-то численных переменных.  
Пример. Электронный банкомат в операционном зале банка может 
находиться в одном из трех состояний: 
1
S  — исправен, работает; 
2
S  — 

неисправен, отключён; 
3
S  — ремонтируется. 
Далее обратимся к определениям. 

Случайный процесс X(t) называется процессом с дискретным временем, если система, в которой он протекает, может менять свои состояния только в моменты времени, число которых конечно или счетно (т.е. 
множество T — множество моментов времени, когда система меняет 
свои состояния, является дискретным). 
Примером может служить процесс обстрела цели, в ходе которого 
цель может менять свои состояния (не повреждена, частично выведена 
из строя, перестала функционировать, полностью разрушена) в моменты времени t1, t2, t3… 
Сечения случайного процесса с дискретным временем образуют  
последовательность случайных величин, поэтому случайные процессы 
с дискретным временем называют также случайной последовательностью или временным рядом. 
Случайный процесс X(t) называется процессом с непрерывным  
временем, если переходы системы из состояния в состояние могут происходить в любой момент времени наблюдаемого периода. Для процесса с непрерывным временем множество T — множество моментов 
времени, когда система меняет свои состояния — несчетно, т.е. T — 
некоторый участок действительной оси. 
Примером процесса с непрерывным временем является броуновское 
движение частицы в поле зрения микроскопа. 
Случайный процесс, протекающий в системе S называется процессом с дискретными состояниями, если в любой момент времени t множество состояний — конечно или счетно, т.е. сечения такого процесса в 
любой момент времени есть дискретная случайная величина (она может 
быть одномерной или многомерной). 
Например, техническое устройство состоит из n узлов, которые могут в ходе работы устройства отказывать (выходить из строя). Число 
отказавших к моменту времени t узлов — случайный процесс с дискретными состояниями. 
Случайный процесс X(t) называется процессом с непрерывными состояниями, если его сечения в любой момент времени представляют 
собой непрерывную случайную величину. 
Пример случайного процесса с непрерывными состояниями — 
напряжение U(t) питания ЭВМ в момент времени t. В зависимости от 
характера изменения аргумента и строения фазового пространства все 
случайные процессы можно разделить на 4 класса: 
I. Процессы с дискретным временем и дискретными состояниями. 
Примером может служить процесс распространения мутаций генов в 
биологической популяции. 

II. Процессы с непрерывным временем и дискретными состояниями. 
К таким относятся процессы образования очередей. 
III. Процессы с дискретным временем и непрерывными состояниями. 
Примером является процесс перемешивания шихты во время плавки в 
доменной печи. 
IV. Процессы с непрерывным временем и непрерывными состояниями. Примером будет давление газа в заданном резервуаре в зависимости 
от времени. 
Кроме приведенной классификации возможны и другие. Более содержательной является классификация случайных процессов по характеру зависимости между значениями процесса X(t) в различные моменты времени t, это:  
1) случайные процессы с независимыми значениями; 
2) случайные процессы с независимыми приращениями; 
3) марковские случайные процессы; 
4) стационарные случайные процессы; 
5) мартингалы. 
Наиболее интересные конкретные результаты получены в двух специальных направлениях — марковских и стационарных процессах; 
наряду с ними повысился интерес к мартингалам. 
Исторически первыми изучались марковские случайные процессы. 
Работы А.А. Маркова начала XX века (1907 г.) по изучению последовательностей зависимых испытаний (цепей Маркова) послужили фундаментом всей современной теории марковских процессов. Начало общей 
теории случайных процессов было положено работами А.Н. Колмогорова 
и А.Я. Хинчина, относящимся 30-м гг. XX в. Колмогоров заложил основы теории марковских случайных процессов с непрерывным временем, 
а затем, примыкая к исследованиям Хинчина, теорию стационарных 
случайных процессов и процессов со стационарными приращениями. 
Теперь обратимся к определениям. 
Случайный процесс X(t) называется процессом с независимыми 
значениями, если для любых двух моментов времени сечения процесса 
в эти моменты — независимы. 
Если время дискретно, то процесс с независимыми значениями — 
это то же самое, что и последовательность независимых случайных  
величин. 
Случайный процесс X(t) называется процессом с независимыми  
приращениями, если для любых двух непересекающихся промежутков 
времени приращения процесса на этих промежутках — независимы. 
Случайные процессы с независимыми приращениями используют в 
физике, в частности так называемый винеровский процесс — процесс,