Фракталы как искусство. Сборник статей

Санкт-Петербург
2015

к а к   и С к у С С т в о

Ф Р а к т а Л Ы

Сборник статей

автор идеи 
Сергей Деменок

ББК 71.0
УДК 76.01 + 501
Ф 826

Ф 826  Фракталы как искусство. Сборник статей/ Пер. с англ., 
фр. Е. В. Николаевой.  – СПб.: «Страта», 2015. – 230 с.

ISBN 978-5-906150-18-9

В сборник вошли статьи зарубежных математиков и художниковфракталистов, многие из которых хорошо известны в научных и художественных кругах. Проблематика книги связана с философскими и эстетическими смыслами фрактального искусства, представляющего собой 
особый художественный феномен конца ХХ – начала ХХI вв. Подборка 
статьей представляет собой попытку посмотреть на цифровое фрактальное искусство с нескольких ракурсов: математического, технологического, 
эстетического и философского. Большинство текстов не носит специальноматематического характера и относится, скорее, к сфере digital humanities 
(цифровых гуманитарных наук).
Многие статьи сборника впервые публикуются на русском языке. 
Книга представляет интерес для специалистов в области эстетики, 
философии искусства, культурологии и искусствоведения, преподавателей 
и студентов художественных специальностей, широкого круга читателей.

© Деменок С. Л., введение и послесловие, 2015
© Николаева Е. В., перевод, 2015
© ООО «Страта», 2015
ISBN 978-5-906150-18-9

Все права защищены. Никакая часть настоящей книги не может быть воспроизведена 
или передана в какой бы то ни было форме и какими бы то ни было средствами, будь то 
электронные или механические, включая фотокопирование и запись на магнитный носитель, а также размещение в Интернете, если на то нет письменного разрешения владельцев.

All rights reserved. No parts of this publication can be reproduced, sold or transmitted by 
any means without permission of the publisher.

Ф о р м у л а
к у л ь т у р ы

С б о р н и к  с т а т е й

Ф Р а к т а Л Ы 
 к а к 
С к у С С т в о

Бенуа Мандельброт 

Майкл Барнсли, Луиза Барнсли 

Харалампос Сайтис

Ральф Абрахам 

Любица М. Коцич 

Ричард Тэйлор,  Адам П. Миколич, Дэвид Джонас 

Джуди С. Розато 

Группа «Искусство и Сложность» 

Карлос Гинзбург 

Сюзан Конде

Шарль Васало

Кен Келлер 

Керри Митчелл 

Элис Келли 

Дэмиен М. Джоунс 

Жанет Парк 

Скотт Дрэйвз, Ралф Абрахам,  
Пабло Виотти, Фредерик Дэйвид Абрахам,  
Джулиан Клинтон Спротт 

Елена Николаева

амоподобие — универсальное свойство природы. 
Фракталы, как принцип устройства мира, существовали всегда. Любой элемент мироздания подобен 
другому: рождение вселенной и возникновение отдельной жизни — суть одно. Но лишь сорок лет назад математик Бенуа Мандельброт продемонстрировал универсальность этих естественных структур и создал геометрию 
для их описания.
С этого времени посредством теории фракталов стали 
объяснять эволюцию галактик и деление клетки, географию Земли и глобальные перемены климата, развитие общества, существование семьи и движение биржевых цен.
А ведь фрактальное устройство мироздания описано еще в древнейшем буддистском тексте как сеть Индры: все в одном, одно во всем. Сеть Индры в индуистской мифологии — паутина, покрывающая Вселенную, 
ее горизонтальные нити представляют пространство, 
а вертикальные — время. В каждом пересечении нитей — бриллиантовая бусина, символ индивидуального 
существования. Если посмотреть на одну из них, вы увидите все остальные. Бесчисленные, бесконечные отражения друг друга.
Подобным образом каждая вещь не существует в отдельности, она включает в себя другую и является ею.
Ни одно свойство какой-либо части этой сети не является фундаментальным: все свойства одной части выте
С

в в Е Д Е Н и Е

Введение

кают из свойств других частей, их взаимоотношения определяют структуру всей сети. Мы живем в сети, структура которой — фрактал.
От песчинки до барханов пустыни, от капельки воды до гигантских 
волн цунами, от тающей снежинки до ледяного безмолвия, от единственной едва различимой на рассвете планеты — до завораживающей 
карты звездного небосклона, от лейтмотива соловья майской ночью — 
до партитуры симфонии, от притяжения мыслей и предметов — до пересечения жизненных путей.
Подборка статей сборника — взгляд на фрактальное искусство 
с нескольких ракурсов. Статьи Б. Мандельброта, М. Барнсли, X. Сaйтиса 
дают некоторое представление о математической стороне научных 
и художественных практик, основанных на концепции фрактальности. В статьях Р. Абарахама, Л. Коцича и Р. Тэйлора перебрасывается 
«мостик» от теории хаоса и фрактальности к фрактальному искусству нецифровой природы (живописи Ф. Купки, Дж. Тернера, С. Дали, 
Дж. Поллока и др.). Статьи Г. Розато, К. Гинзбурга, С. Конде, а также манифесты фрактального искусства посвящены философским и художественным проблемам фрактальной репрезентации реальности в искусстве. Эстетическая сторона цифрового фрактального искусства и статус 
фрактал-арта обсуждается в статьях Ш. Васало, К. Келлера, Э. Келли, 
Ж. Парк, Д. Джоунса, С. Дрейвза и его коллег. 
Статьи сборника, мы надеемся, дадут возможность понять и почувствовать завораживающий мир фрактального искусства.

Сергей Деменок

Бенуа Мандельброт 

какова ДЛиНа ПоБЕРЕжья БРитаНии? 
СтатиСтичЕСкоЕ СаМоПоДоБиЕ  
и ФРактаЛьНая РазМЕРНоСть

Бенуа Мандельброт (Benoît B. Mandelbrot) (1924—2010) — известный франко-американский математик, основатель нового раздела математики — фрактальной геометрии. 
Автор книги «Фрактальная геометрия природы» и других научных работ, в том числе 
по фрактальному анализу биржевых рынков. Его именем названо множество, которое 
он исследовал.

ереговые линии представляют собой пример в высшей степени сложных кривых, таких, что каждый 
из их участков может — в статистическом смысле — быть рассмотрен как образ целого в уменьшенном масштабе. Это свойство будем называть «статистическим самоподобием». Говорить о длине таких фигур 
обычно бессмысленно. Так, «левый берег реки Вислы, 
измеренный с повышенной точностью, дал бы длины в десятки, сотни и даже тысячи раз больше длины, 
снятой со школьной карты» 1. В более общем виде географические линии можно рассматривать как суперпозиции элементов широкого диапазона размеров; чем 
более мелкие элементы принимаются во внимание, 
тем более возрастает измеренная общая длина, и обычно нет ясного разделения между областью приложения 
географии и деталями, с которыми географии нет необходимости иметь дело.
Таким образом, нужны величины иные, чем длина, 
чтобы выявлять различия между разными степенями 
сложности у географических кривых. Когда кривая 
самоподобна, она характеризуется степенью подобия, D, которая обладает многими свойствами размерности, хотя обычно это дробная величина, больше 1 — размерности, приписываемой кривым. В свете 
этого мы заново рассмотрим некоторые наблюдения 
Ричардсона2. Я предполагаю интерпретировать их, 
приняв, например, что размерность западного побережья Великобритании D = 1,25. Это показывает, 

1  
См.: H. Steinhaus, Colloquium Math. 3, 1 (1954), где приводятся более 
ранние источники.
2  
L. F. Richardson in: General Systems Year-book 6, 139 (1961).

Б

Бенуа Мандельброт

что еще недавно эзотерическое понятие «случайной фигуры фрактальной размерности» имеет простое и конкретное применение 
и большую практическую значимость.
Методы самоподобия являются действенным инструментом 
в изучении феномена случайности, включая геостатистику, а также 
экономику 3 и физику 4. Фактически многие шумы имеют размерности D между 0 и 1, так что ученому следует рассматривать раз
3  
Mandelbrot B., Business J.  36, 394 (1963), или в: The Randomn Character of Stock Market 
Prices, P. H. Cootner, Ed. (M. I. T. Press, Cambridge, Mass, 1964), p. 297.
4  
Mandelbrot B., IEEE Inst. Elect. Electron. Eng. Trans. Commun. Technol. 13, 71 (1965) 
и IEEE Inst. Elect. Electron. Eng. Trans. Inform. Theory 13 (1967). Очень похожие рассуждения относятся к турбулентности, где типичные размеры «топографических элементов» 
(т. е. водоворотов) имеют очень широкий разброс, на что было впервые указано самим 
Ричардсоном в 1920-х гг. 

Рис. 1. Данные Ричарсона по измерениям географических кривых методом 
многоугольников, которые имеют равные стороны и вершины, расположенные на кривой. Для круга общая длина стремится к некоторому пределу 
по мере того, как длина сторон приближается к нулю. Во всех других случаях она возрастает по мере того, как сторона становится короче, при 
этом уклон графика с логарифмическим масштабом на обеих осях по абсолютной величине равен D — 1  1

1  
Richardson L. F.  Op. cit.

1.0
1.5
Log10 (Length of Side in Kilometers)

Log10 (Total Length in Kilometers)

CIRCLE

SOUTH AFRICAN COAST

WEST COAST OF BRITAIN

LAND-FRONTIER OF PORTUGAL

GERMAN LAND-FRONTIER, 1900

AUSRALIAN COAST

2.0
2.5
3.0
3.5

3.0

4.0

3.5