Число Авогадро. Как увидеть атом

ИСТОКИ СОВРЕМЕННОЙ ФИЗИКИ 

Е.З. МЕЙЛИХОВ

ЧИСЛО АВОГАДРО  
КАК УВИДЕТЬ АТОМ

ISBN 978-5-91559-233-8

Íà ïåðâîé ïîëîñå îáëîæêè:
ïîðòðåò À. Àâîãàäðî; àòîìû óãëåðîäà â ðåø¸òêå ãðàôåíà
(èçîáðàæåíèå â ýëåêòðîííîì ìèêðîñêîïå).

Å.Ç. Ìåéëèõîâ
×èñëî Àâîãàäðî. Êàê óâèäåòü àòîì: Ó÷åáíîå ïîñîáèå /
Å.Ç. Ìåéëèõîâ – Äîëãîïðóäíûé: Èçäàòåëüñêèé Äîì «Èíòåëëåêò», 2017. – 88 ñ.
ISBN 978-5-91559-233-8

Èòàëüÿíñêèé ó÷åíûé Àìàäåî Àâîãàäðî (ñîâðåìåííèê À.Ñ. Ïóøêèíà) áûë ïåðâûì, êòî ïîíÿë, ÷òî êîëè÷åñòâî àòîìîâ (ìîëåêóë)
â îäíîì ãðàìì-àòîìå (ìîëå) âåùåñòâà îäèíàêîâî äëÿ âñåõ âåùåñòâ. Çíàíèå æå ýòîãî ÷èñëà îòêðûâàåò ïóòü ê îöåíêå ðàçìåðîâ
àòîìîâ (ìîëåêóë). Ïðè æèçíè Àâîãàäðî åãî ãèïîòåçà íå ïîëó÷èëà äîëæíîãî ïðèçíàíèÿ. Âîçìîæíî, ýòî ïðîèçîøëî ïîòîìó, ÷òî
ñàì ó÷åíûé íå áûë õèìèêîì-ýêñïåðèìåíòàòîðîì è ïîýòîìó íå
ìîã ñàì äîêàçàòü ñâîå ïðåäïîëîæåíèå.
Áîëåå ñòà ëåò ïîíàäîáèëîñü ó÷åíûì, äëÿ òîãî, ÷òîáû ñ ïðèåìëåìîé òî÷íîñòüþ íàéòè âåëè÷èíó ÷èñëà Àâîãàäðî. Íà÷èíàÿ
ñ êîíöà 19-ãî âåêà áûëî ðàçðàáîòàíî áîëüøîå ÷èñëî íåçàâèñèìûõ ìåòîäîâ åãî îïðåäåëåíèÿ, è ñåãîäíÿ ìû çíàåì, ÷òî îíî
ðàâíî NA   6.02  1023.  ýïîïåå ó÷àñòâîâàëè ñàìûå ñâåòëûå íàó÷íûå óìû – äîñòàòî÷íî íàçâàòü É. Ëîøìèäòà, Äæ. Ìàêñâåëëà,
Æ. Ïåððåíà, À. Ýéíøòåéíà, Ì. Ñìîëóõîâñêîãî.
Îñíîâíàÿ ÷àñòü êíèãè ïîñâÿùåíà ïîäðîáíîìó îáñóæäåíèþ
òåîðåòè÷åñêèõ è ýêñïåðèìåíòàëüíûõ àñïåêòîâ ñëó÷àéíîãî áðîóíîâñêîãî äâèæåíèÿ – ôèçè÷åñêîãî ôåíîìåíà, èçó÷åíèå êîòîðîãî êàê ðàç è ïîçâîëèëî äîñòàòî÷íî òî÷íî îïðåäåëèòü ÷èñëî
Àâîãàäðî. Ñàì æå ýòîò ôåíîìåí ïðîÿâëÿåòñÿ â ñàìûõ ðàçíûõ
îáëàñòÿõ íàóêè è òåõíèêè. Äîñòàòî÷íî óïîìÿíóòü, ÷òî èìåííî
îí êëàäåò ïðåäåë ÷óâñòâèòåëüíîñòè äåòåêòîðîâ, ñ ïîìîùüþ êîòîðûõ ñîâñåì íåäàâíî (2016 ã.) áûëî ýêñïåðèìåíòàëüíî ïîäòâåðæäåíî ñóùåñòâîâàíèå ãðàâèòàöèîííûõ âîëí. Êðîìå òîãî, â
êíèãå âïåðâûå íà ðóññêîì ÿçûêå ïðèâîäèòñÿ îñíîâíîé òðóä Àâîãàäðî, êîòîðûé, êàê ñìîæåò óáåäèòüñÿ ÷èòàòåëü, ïîðàæàåò ñâîåé àáñîëþòíîé ñîâðåìåííîñòüþ â îòíîøåíèè ñòèëÿ èçëîæåíèÿ è ëîãèêè äîêàçàòåëüñòâ.

≈
.

© 2017, Å.Ç. Ìåéëèõîâ
© 2017, ÎÎÎ Èçäàòåëüñêèé Äîì
«Èíòåëëåêò», îðèãèíàë-ìàêåò,
îôîðìëåíèå

ISBN 978-5-91559-233-8

ОГЛАВЛЕНИЕ

Введение . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
4

Единственный теоретик среди физиков . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
9

— Кто Вы, сеньор Авогадро? — Сын юриста! . . . . . . . . . . . . . . . . . .
13

Что сделал Авогадро? . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
15

Как измерить число Авогадро? . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
19

Броуновское движение . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
23

Экспериментальные исследования броуновского движения . . . . . . . . .
25

Вращательное броуновское движение асимметричных частиц
и макроскопических тел . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
32

Теоретические исследования броуновского движения . . . . . . . . . . . .
37

Приложение . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
70

ВВЕДЕНИЕ

«...Если бы в результате какой-либо мировой
катастрофы все накопленные знания оказались бы уничтоженными и к грядущим поколениям живых существ пришла бы только одна фраза, то какое утверждение, составленное из наименьшего количества слов, принесло
бы наибольшую информацию? Я считаю, что
это — атомная гипотеза: ...все тела состоят из атомов — маленьких телец, находящихся в беспрерывном движении...»

Р. Фейнман. Фейнмановские лекции по физике.
Вып. 1. — М.: Мир, 1965.

В начале 80-х годов прошлого века появился новый профессиональный праздник химиков и физиков — День Моля. Он начинается в 6:02 утра 23 октября и длится до 6:02 вечера того же дня. Согласно американской традиции эта дата записывается в виде 6:02/10/23 и
отсылает нас к так называемому числу Авогадро, равному NA ≈ 6,02·1023
и определяющему число частиц (атомов или молекул) в одном моле
вещества. В связи с этим Американское химическое общество учредило
и способствует проведению Национальной недели химии — той недели,
в которую попадает 23 октября.
Число Авогадро (константа Авогадро, постоянная Авогадро) определяется как количество атомов в 12 граммах чистого изотопа углерода-12
(12C). Обозначается оно обычно как NA, реже L. Значение числа Авогадро, рекомендованное CODATA (рабочая группа по фундаментальным
постоянным) в 2015 г.: NA = 6,02214082(11) · 1023 моль−1. Моль — это
количество вещества, которое содержит NA структурных элементов (т.е.
столько же элементов, сколько атомов содержится в 12 г 12C), причем
структурными элементами обычно являются атомы, молекулы, ионы и
др. По определению атомная единицы массы (а.е.м.) равна 1/12 массы атома 12C. Один моль (граммоль) вещества имеет массу (молярную

Введение
5

массу), которая, будучи выраженной в граммах, численно равна молекулярной массе этого вещества (выраженной в атомных единицах массы). Например: «1 моль натрия имеет массу 22,9898 г и содержит (примерно) 6,02 · 1023 атомов», «1 моль фторида кальция CaF2 имеет массу
(40,08+2 · 18,998) = 78,076 г и содержит (примерно) 6,02·1023 молекул».
В конце 2011 г. на XXIV Генеральной конференции по мерам и весам единогласно принято предложение определить моль в будущей версии Международной системы единиц (СИ) таким образом, чтобы избежать его привязки к определению грамма. Предполагается, что в 2018 г.
моль будет определен непосредственно числом Авогадро, которому будет приписано точное (без погрешности) значение, базирующееся на результатах измерений, рекомендованных CODATA. Пока же число Авогадро является не принимаемой по определению, а измеряемой величиной.
Эта константа названа в честь известного итальянского химика Амедео Авогадро (1776–1856 гг.), который хотя сам этого числа и не знал,
но понимал, что это — очень большая величина. На заре развития атомной теории Авогадро выдвинул гипотезу (1811 г.), согласно которой при
одинаковых температуре и давлении в равных объемах идеальных газов содержится одинаковое число молекул. Позже было показано, что
эта гипотеза есть следствие кинетической теории газов, и сейчас она
известна как закон Авогадро. Его можно сформулировать так: один
моль любого газа при одинаковых температуре и давлении занимает
один и тот же объем, при нормальных условиях равный 22,41383 л (нормальным условиям соответствуют давление P0 = 1 атм и температура
T0 = 273,15 К). Эта величина известна как молярный объем газа.
Первую попытку найти число молекул, занимающих данный объем,
предпринял в 1865 г. Й. Лошмидт. Из его вычислений следовало, что
количество молекул в единице объема воздуха равно 1,8 · 1018 см−3, что,
как оказалось, примерно в 15 раз меньше правильного значения. Через
8 лет Дж. Максвелл привел гораздо более близкую к истине оценку —
1,9 · 1019 см−3. Наконец, в 1908 г., Перрен дает уже приемлемую оценку
NA = 6,8 · 1023 моль−1 числа Авогадро, найденную из экспериментов по
Броуновскому движению.
С тех пор было разработано большое число независимых методов
определения числа Авогадро, и более точные измерения показали, что,
в действительности, в 1 см3 идеального газа при нормальных условиях
содержится (примерно) 2,69 · 1019 молекул. Эта величина называется
числом (или постоянной) Лошмидта. Ей соответствует число Авогадро
NA ≈ 6,02 · 1023.
Число Авогадро — одна из важных физических постоянных, сыгравших большую роль в развитии естественных наук. Но является ли она
«универсальной (фундаментальной) физической постоянной»? Сам этот

Введение

термин не определен и обычно ассоциируется с более или менее подробной таблицей числовых значений физических констант, которые следует
использовать при решении задач. В связи с этим фундаментальными
физическими постоянными зачастую считаются те величины, которые
не являются константами природы и обязаны своим существованием
всего лишь выбранной системе единиц (таковы, например, магнитная
и электрическая постоянные вакуума) или условным международным
соглашениям (такова, например, атомная единица массы). В число фундаментальных констант часто включают многие производные величины (например, газовую постоянную R, класический радиус электрона
re = e2/mec2 и т. п.) или, как в случае с молярным объемом, значение некоторого физического параметра, относящегося к специфическим
экспериментальным условиям, которые выбраны лишь из соображений
удобства (давление 1 атм и температура 273,15 К). С этой точки зрения
число Авогадро есть истинно фундаментальная константа.
Истории и развитию методов определения этого числа и посвящена
настоящая книга. Эпопея длилась около 200 лет, и на разных этапах
была связана с многообразными физическими моделями и теориями,
мноие из которых не потеряли актуальности и по сей день. К этой истории приложили руку самые светлые научные умы — достаточно назвать
А. Авогадро, Й. Лошмидта, Дж. Максвелла, Ж. Перрена, А. Эйнштейна, М. Смолуховского. Список можно было бы и продолжить...
Автор должен признаться, что идея книги принадлежит не ему, а
Льву Федоровичу Соловейчику — его однокашнику по Московскому
физико-техническому институту, человеку, который занимался прикладными исследованиями и разработками, но в душе остался физикомромантиком. Это человек, который (один из немногих) продолжает «и в
наш жестокий век» бороться за настоящее «высшее» физическое образование в России, ценит и в меру сил пропагандирует красоту и изящество физических идей. Известно, что из сюжета, который А. Пушкин
подарил Н. Гоголю, возникла гениальная комедия. Конечно, здесь — не
тот случай, но, может быть, и эта книга покажется кому-то полезной.
Автор глубоко признателен А. Д. Калашникову, взявшему на себя
утомительный труд внимательного прочтения рукописи. В результате
был обнаружен целый ряд неточностей, которые, благодаря этому, и
были устранены.
То, что Вы сейчас читаете, это — не «научно-популярный» труд,
хотя и может показаться таковым с первого взгляда. В нем на некотором историческом фоне обсуждается серьезная физика, используется
серьезная математика и обсуждаются довольно сложные научные модели. Фактически, она состоит из двух (не всегда резко разграниченных) частей, рассчитанных на разных читателей — одним она может

Введение
7

показаться интересной с историко-химической точки зрения, а других,
возможно, заинтересует физико-математическая сторона проблемы. Автор же имел в виду любознательного читателя — студента физического
или химического факультета, не чуждого математики и увлеченного
историей науки. Есть ли такие студенты? Точного ответа на этот вопрос
автор не знает, но, исходя из собственного опыта, надеется, что — есть.
Закончим настоящее введение формулировкой и решением задачи,
имеющей отношение к понятию фундаментальных физических постоянных. Можно считать ее шуточной, но, как говорят, «в каждой шутке —
только доля шутки».

Задача

Пристальный взгляд на таблицу универсальных физических констант показывает, что примерно 30% из них имеет первой значащей цифрой единицу (этот результат не зависит от выбора системы единиц!). Почему?

Решение

В отсутствие общей теории всего сущего будем считать универсальные константы случайными величинами x, распределенными в некотором интервале (0, M), где M ≫ 1. Хотя функция распределения f(x)
этих величин неизвестна, ясно, что в этом интервале они распределены неравномерно, т. е. f(x) ̸= const = 1/M. Действительно, если бы это
было так, то вероятность того, что константа попадет в близкий к нулю
интервал [0, a], где a ≪ 1, была бы равна

pa =

a
0

f(x) dx = a

M ≪ 1,

т.е. чрезвычайно мала. Однако реально это не так (см. таблицу, в которой
n ∼ lg x — десятичный порядок соответствующей физической константы).
Из таблицы видно, что число «малых» и «больших» физических констант примерно одинаково. Иными словами, число констант в интервалах 10n–10n+m, 10n+m–10n+2m, 10n+2m–10n+3m, . . . , содержащих одинаковое число декад (n, m — целые числа), примерно одинаково, т. е. не
зависит от n. Это, в частности (при m = 1), означает, что

10n+1
10n
f(x) dx = const .

Введение

Таблица

Физическая константа
n (в системе СИ)

Постоянная Планка h
−34

Магнетон Бора µB
−24

Постоянная Больцмана k
−23

Заряд электрона e
−19

Гравитационная постоянная G
−11

Постоянная Стефана–Больцмана σ
−8

Постоянная тонкой структуры α
−3

Отношение масс протона и электрона mp/me
+3

Постоянная Ридберга R∞
+7

Скорость света c
+8

Удельный заряд электрона e/me
+11

Отношение Джозефсона 2e/h
+14

Число Авогадро NA
+23

Последнее, как легко проверить, справедливо только, если f(x) ∼ 1/x.
При этом доля p(1) физических констант, начинающихся с цифры 1, в
каждой декаде (а, значит, и во всем интервале 0 < x < M) равна

p(1) =

2
Z

1
f(x) dx

10
Z

1
f(x) dx

=

2
Z

1
(1/x) dx

10
Z

1
(1/x) dx

= lg 2 ≈ 0,3,

что соответствует «эксперименту».
Вообще, доля p(a) физических констант, начинающихся с цифры a
(a = 1, 2, . . . , 8, 9), равна

a+1
Z

a
(1/x) dx

10
Z

1
(1/x) dx

= lg(1 + 1/a)

и составляет p(2) ≈ 0,175, p(3) ≈ 0,125, . . . , p(9) ≈ 0,03. Таким образом,
число физических констант, начинающихся с цифры 9, в десять раз
меньше числа констант, начинающихся с цифры 1.
Примечание. В официальной издании «Фундаментальные физические константы» (ГСССД 1-87. М., 1989) приведена таблица, содержащая 103 числа. Из них 38 имеют первой значащей цифрой единицу.

ЕДИНСТВЕННЫЙ ТЕОРЕТИК
СРЕДИ ФИЗИКОВ

Постоянные Авогадро и Лошмидта, упомянутые во введении, возникли в поисках ответа на вопрос «Как устроено вещество?».
На решение этой фундаментальной проблемы людям понадобилось около двух тысяч лет. Первые две, взаимно исключающие друг друга, идеи
о строении материи возникли еще в глубокой древности: согласно одной
из них вещество непрерывно и состоит из неких «первичных» элементов (в разные времена это были, например, земля, вода, свет и воздух
или же ртуть и сера — носители качеств металличности и горючести,
соответственно). Другая гипотеза — все тела состоят из малых, более
не делимых частиц — атомов, или элементов. Последние Аристотель
определял так: «Элементом называется то основное в составе вещи,
из чего вещь слагается, причем оно не делится дальше.» Правильный
ответ мог быть, конечно, найден только экспериментальным путем, однако соответствующие научные методы и технологии возникли лишь в
конце XVIII века.
Первую научную гипотезу строения материи из «элементов» предложил английский ученый Р. Бойль, который установил (1662 г.) самый
первый газовый закон, связывающий давление газа p и его объем V
простым соотношением pV = const. Он ввел в науку понятие «химического элемента как простого тела, не составленного из других». Однако Бойль не привел никаких разумных научных аргументов в пользу существования элементарных «корпускул» и не представил никаких
соображений относительно причин, заставляющих эти «элементы» соединяться друг с другом.
Ответ на последний вопрос попытался дать И. Ньютон (1704 г.):
«Частицы всех однородных тел, плотно соприкасающихся друг с другом, очень сильно сцепляются... они притягивают одна другую с некоторой силой, которая очень велика при непосредственном соприкосновении..., но не простирается со значительным действием на большие
расстояния.»