Простейшие задачи вариационного исчисления

Министерство образования и науки Российской Федерации
Уральский федеральный университет
имени первого Президента России Б. Н. Ельцина

Ю. В. Авербух, Т. И. Сережникова

ПРОСТЕЙШИЕ ЗАДАЧИ
ВАРИАЦИОННОГО ИСЧИСЛЕНИЯ

Рекомендовано методическим советом УрФУ в качестве
учебно-методического пособия для студентов, обучающихся
по направлениям подготовки:
230401 — Прикладная математика (специалитет),
220300 — Автоматизированные технологии
и производства (специалитет),
231300 — Прикладная математика (бакалавриат)

Москва
Издательство «ФЛИНТА»
Издательство Уральского университета
2018

2-е издание, стереотипное

УДК 517.972(075.8)
ББК 22.161.8я73
A19

Рецензенты: д-р физ.-мат. наук, проф. Г. А. Тимофеева, зав. кафедрой
«Высшая и прикладная математика» УрГУПС; канд. физ.-мат. наук
А. А. Усова, науч. сотр. отдела динамических систем ИММ УрО РАН

Научный редактор — д-р физ.-мат. наук, проф. А. Н. Сесекин

Авербух, Ю. В.

     Простейшие задачи вариационного исчисления [Электронный 
ресурс]: учеб.-метод. пособие / Ю. В. Авербух, Т. И. Сережникова. — 2-е 
изд., стер. — М. : ФЛИНТА : Изд-во Урал. ун-та, 2018. — 41 с.

ISBN 978-5-9765-3510-7 (ФЛИНТА)
ISBN 978-5-7996-1250-4 (Изд-во Урал. ун-та)

В издании введено понятие простейшей задачи вариационного исчисления. Рассмотрен случай закрепленных концов и случай свободного правого конца. Для обеих задач приведено необходимое условие
первого порядка. Для простейшей задачи вариационного исчисления в
скалярном случае указано необходимое условие второго порядка. Также для этой же задачи в общем случае приведены достаточные условия.
Библиогр.: 7 назв.

УДК 517.972(075.8)
ББК 22.161.8я73

c⃝ Уральский федеральный

университет, 2014

A19

ISBN 978-5-9765-3510-7 (ФЛИНТА)
ISBN 978-5-7996-1250-4 (Изд-во Урал. ун-та)

Содержание

1. Введение
4

2. Постановка задачи
4

3. Необходимые условия первого порядка для задачи с закрепленными концами
8

4. Интегралы решения уравнения Эйлера–Лагранжа
13
4.1. Вырожденный случай F = F(t, x) . . . . . . . . . . . . . . .
13
4.2. F зависит лишь от t и ˙x . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
13
4.3. F не зависит от t . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
14

5. Примеры
14

6. Необходимые условия первого порядка
в простейшей задаче вариационного исчисления
со свободным правым концом
17

7. Необходимые условия второго порядка
в задаче с закрепленными концами
20

8. Достаточные условия в задаче с закрепленным
правым концом в скалярном случае
28

9. Элементы теории поля
32

10.Достаточные условия в векторном случае
34

3

1.
Введение

Настоящее пособие посвящено изучению простейших задач вариационного исчисления. Нами будет рассмотрены задачи с фиксированным и со
свободным правыми концами. Для задачи с фиксированным правым концом кроме необходимого условия первого порядка будут рассмотрены необходимые условия второго порядка и достаточные условия.
Отметим, что вариационному исчислению посвящено множество работ.
Некоторые из них указаны в списке литературы. Материал параграфов 2–6
следует книге [1]. Материал параграфов 7, 8 изложен в соответствии с [5].
Параграфы 9 и 10 следуют учебнику [7]. Также отметим учебники [4], [6],
они содержат необходимые условия. Важная, но трудная в освоении монография [3] может быть рекомендована студентам специальности «Прикладная математика». Отметим, что для закрепления материала полезно
прорешать задания из сборника задач [2].

2.
Постановка задачи

Пусть x ∈ Rn, это вектор-столбец, то есть

x =








x1
x2...
xn






 .

В дальнейшем вектор-столбцы будем называть просто векторами. Множество n-мерных вектор-столбцов будем обозначать через Rn. Вектор-строка
есть s = (s1, s2, . . . , sn). Вектор-строки будем называть ковекторами. Множество всех ковекторов будем обозначать через Rn∗. Операцию транспонирования будем обозначать через T, эта операция переводит строку в столбец
и наоборот. Если s ∈ Rn∗, x ∈ Rn, то

sx =

n
∑

i=1
sixi

4

есть произведение ковектора s на вектор x. Если x ∈ Rn, то длина вектора
x есть

∥x∥ =
√

xTx =

n
∑

i=1
x2
i.

Основное внимание в данном пособии уделяется вектор-функциям, то
есть функциям t → x(t). Мы будем предполагать достаточную гладкость
функций. Вектор-функцию t → x(t) как целое мы будем обозначать x(·).
Если

x(t) =








x1(t)
x2(t)
...
xn(t)






 ,

то производная по времени функции x(t) есть вектор, составленный из производных

˙x =








˙x1(t)
˙x2(t)
...
˙xn(t)






 .

Кроме вектор-функций времени, мы будем рассматривать скалярные
функции одного или нескольких векторных аргументов. То есть функции
(t, x, u) → F(t, x, u). Здесь t – время (скалярный аргумент), x и u – nмерные векторы. Частные производные будем обозначать через Ft, Fx и Fu
соответственно. При этом мы считаем, что Fx и Fu – ковекторы

Fx(t, x, u) =
(∂F(t, x, v)

∂x1
, ∂F(t, x, u)

∂x2
, . . . , ∂F(t, x, u)

∂xn

)
,

Fu(t, x, u) =
(∂F(t, x, u)

∂u1
, ∂F(t, x, u)

∂u2
, . . . , ∂F(t, x, u)

∂un

)
.

Напомним, что если заданы функции некоторого аргумента α x(α) и
u(α), то полная производная функции F(t, x(α), u(α)) равна

d
dαF(t, x(α), u(α)) = Fx(t, x(α), u(α))dx(α)

dα
+ Fu(t, x(α), u(α))du(α)

dα . (1)

5