Дифференциальные свойства функций одного действительного переменного

МИНИСТЕРСТВО ОБРАЗОВАНИЯ И НАУКИ РОССИЙСКОЙ ФЕДЕРАЦИИ
УРАЛЬСКИЙ ФЕДЕРАЛЬНЫЙ УНИВЕРСИТЕТ
ИМЕНИ ПЕРВОГО ПРЕЗИДЕНТА РОССИИ Б. Н. ЕЛЬЦИНА

В. В. Арестов, П. Ю. Глазырина

ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНЫЕ СВОЙСТВА ФУНКЦИЙ

ОДНОГО ДЕЙСТВИТЕЛЬНОГО ПЕРЕМЕННОГО

Рекомендовано методическим советом УрФУ
в качестве учебного пособия для студентов, обучающихся
по программе бакалавриата по направлениям подготовки
010100 «Математика», 010200 «Математика и компьютерные науки»,
010800 «Механика и математическое моделирование»

Москва
Издательство «ФЛИНТА»
Издательство Уральского университета
2018

2-е издание, стереотипное

УДК 517.518 (075.8)
А805

Рецензенты:
отдел управляемых систем Института математики
и механики УрО РАН (заведующий отделом членкорреспондент РАН, профессор А. Г. Ч е н ц о в);
Л. Д. М е н и х е с, доктор физико-математических наук, профессор (Южно-Уральский государственный университет)

Арестов, В. В.
A085
Дифференциальные свойства функций одного дей
ствительного переменного [Электронный ресурс]: [учеб. 
пособие] / В. В. Арестов, П. Ю. Глазырина ; М-во 
образования и науки Рос. Федерации, Урал. федер. ун-т. 
— 2-е изд., стер. — М. : ФЛИНТА : Изд-во Урал. ун-та, 2018. 
— 135 с.

ISBN 978-5-9765-3539-8 (ФЛИНТА)
ISBN 978-5-7996-0983-2 (Изд-во Урал. ун-та)

В учебном пособии рассматриваются свойства монотонных функций, включая их дифференцируемость, функций
ограниченной вариации, интеграла Римана – Стилтьеса и абсолютно непрерывных функций.
Для студентов и аспирантов физико-математических специальностей.
УДК 517.518 (075.8)

© Уральский федеральный университет, 2013

© Арестов В. В., Глазырина П. Ю., 2013

ISBN 978-5-9765-3539-8 (ФЛИНТА)
ISBN 978-5-7996-0983-2 (Изд-во Урал. ун-та)

Оглавление

Предисловие
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
5

Введение
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
7

.
Глава 1
Дифференциальные свойства монотонных функций . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
12

§ 1.1. Точки разрыва монотонной функции. . . . . . . .
12
§ 1.2. Дифференцируемость монотонной функции . . .
14
§ 1.3. Множество и функция Кантора
. . . . . . . . . .
24

.
Глава 2
Функции ограниченной вариации
. . . . . . . . .
32

§ 2.1. Функции ограниченной вариации. Определение и основные свойства . . . . . . . . . . . . . . . .
32
§ 2.2. Функция
скачков
функции
ограниченной
вариации . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
47

.
Глава 3
Интеграл Римана – Стилтьеса . . . . . . . . . . . .
58

§ 3.1. Конструкция интеграла Римана – Стилтьеса и
его свойства . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
58
§ 3.2. Существование интеграла Римана – Стилтьеса
66
§ 3.3. Вычисление интеграла Римана – Стилтьеса. . . .
76

3

§ 3.4. Предельный переход под знаком интеграла Римана – Стилтьеса . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
83
§ 3.5. Линейные непрерывные функционалы в пространстве непрерывных функций на отрезке. . .
86

.
Глава 4
Абсолютно непрерывные функции и их дифференциальные свойства . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
99

§ 4.1. Абсолютно непрерывные функции . . . . . . . . .
99
§ 4.2. Неопределенный интеграл Лебега. . . . . . . . . . 107
§ 4.3. Вариация абсолютно непрерывной функции . . . 114
§ 4.4. Связь интегралов Римана – Стилтьеса и Лебега
117
§ 4.5. Точки Лебега суммируемой функции. . . . . . . . 119
§ 4.6. Отображение множеств абсолютно непрерывной функцией. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 121
§ 4.7. Замена переменной в интеграле Лебега . . . . . . 126

Cписок библиографических ссылок
. . . . . . . . . . . . . . 131

Предметный указатель
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 132

Предисловие

Развитие математического анализа тесно связано с задачей восстановления функции по ее производной. Классическая
формула Ньютона – Лейбница для интеграла Римана
b

a
f′(x)dx = f(b) − f(a)

решает эту задачу прежде всего для функций f, имеющих
непрерывную производную f′. В 1881 г. В. Вольтерра построил
пример дифференцируемой на отрезке функции, производная
которой ограничена, но не интегрируема по Риману, а следовательно, средствами интеграла Римана эта функция по своей
производной не восстанавливается (см. [1, гл. 8, пример 35]).
Попытки распространить формулу Ньютона – Лейбница на более широкий класс функций привели, в частности, к созданию
меры и интеграла Лебега. Интеграл Лебега позволяет существенно расширить класс функций, которые восстанавливаются интегралом по своей производной по сравнению с интегралом Римана.
Классические мера и интеграл Лебега для случая вещественной прямой впервые были изложены в диссертации
А. Лебега в 1902 г. и опубликованы в его монографии «Лекции по интегрированию и отысканию примитивных функций»
в 1904 г. (см. [2] – русский перевод второго издания). Исследования А. Лебега базировались на большом числе предшествующих результатов известных математиков XVII–XIX вв. Они

5

получили колоссальное развитие и применение в XX в. Обстоятельное изложение современной теории меры и интеграла содержится в монографии [3].
В 2011 г. было опубликовано учебное пособие авторов «Введение в теорию функций действительного переменного. Мера
и интеграл Лебега на прямой» [4]. Данное пособие является
его естественным продолжением и в некотором роде завершением. Пособие состоит из четырех глав. В первой главе изучается дифференцируемость монотонных функций, во второй
рассматривается класс функций ограниченной вариации, которые, как выясняется, представимы в виде разности монотонных функций. В третьей главе рассматриваются конструкция и свойства интеграла Римана – Стилтьеса. Наконец, четвертая глава посвящена абсолютно непрерывным функциям,
т. е. функциям, которые можно восстановить по своей производной с помощью интеграла Лебега.
Пособие написано на базе лекций по общему курсу «Теория
функций действительного переменного» и специальному курсу «Дифференциальные свойства функций», которые авторы
читали студентам-математикам Уральского федерального университета в четвертом и пятом семестрах. Курсы, а как следствие, и пособие предназначены для первоначального ознакомления с предметом. При написании пособия авторы существенно опирались на учебник И. П. Натансона [5], а также использовали некоторые подходы из учебников и задачников [6–9] и
монографии [3].

Введение

Мы предполагаем, что читатель знаком с элементами теории множеств, имеет понятие о мощности множества, в частности о множествах счетной мощности и мощности континуума, владеет дифференциальным и интегральным исчислением функций одного вещественного переменного, теорией числовых и функциональных последовательностей и рядов в объеме
стандартного университетского курса математичеcкого анализа (см., например, [10–12]). Для понимания главы 4 необходимо знать теорию меры и интеграла Лебега на прямой; нужные
сведения можно найти, к примеру, в учебниках [5, гл. 1; 4; 13,
гл. 1].

Теоретико-множественные определения и обозначения

R – множество вещественных чисел.
N – множество натуральных чисел.
Q – множество рациональных чисел.
I – множество иррациональных чисел.
∅ – пустое множество.
x ∈ A – элемент x принадлежит множеству A.
A ⊂ B – множество A является подмножеством множества B.
A B = {x: x ∈ A или x ∈ B} – объединение множеств A и B.
A B = {x: x ∈ A и x ∈ B} – пересечение множеств A и B.
A \ B = {x: x ∈ A и x ̸∈ B} – разность множеств A и B.
∁ A = R \ A – дополнение множества A до R.

7

Если рассматривается объединение двух или более попарно непересекающихся множеств и этот факт важно подчеркнуть, то используется знак дизъюнктного объединения . Так,
например, запись E = A B означает, что E = A B и
A B = ∅.
Интервалами
будем
называть
множества
вида
(a, b),
(−∞, a), (a, +∞), (−∞, +∞), где a, b ∈ R; промежутками будем называть интервалы, отрезки и полуинтервалы вида [a, b),
(a, b], (−∞, a], [a, +∞), где a, b ∈ R.
Некоторые конструкции и доказательства пригодны как
для конечного, так и для счетного семейства множеств. В этих
случаях не конкретизируется, о каком количестве множеств
идет речь. В частности, запись
k⩾1
Ek

обозначает объединение конечного
Kk=1
Ek либо счетного
∞
k=1
Ek

семейства множеств. Аналогичные соглашения используются
для пересечения множеств k⩾1
Ek и для суммы k⩾1
ak конечного

или счетного множества слагаемых.

Простейшие топологические понятия на прямой

Множества, рассматриваемые в данном пособии, предполагаются принадлежащими вещественной прямой R.
Для точки x ∈ R множество Oε(x) = (x − ε, x + ε), ε > 0,
называется ε-окрестностью точки x.
Точка x называется внутренней точкой множества E,
если она принадлежит множеству E вместе с некоторой
ε-окрестностью.
Точка x ∈ R называется предельной точкой множества E,
если любая ε-окрестность точки содержит хотя бы одну точку
множества E, отличную от x.

8

Множество G называется открытым, если каждая его точка – внутренняя.
Множество F называется замкнутым, если оно содержит
все свои предельные точки.
Множества R и ∅ открыты и замкнуты одновременно.
Отметим несколько свойств открытых и замкнутых множеств:
1. Объединение любого семейства открытых множеств открыто.
2. Пересечение конечного семейства открытых множеств открыто.
3. Пересечение любого семейства замкнутых множеств замкнуто.
4. Объединение конечного семейства замкнутых множеств
замкнуто.
5. Если множество F – замкнутое, а G – открытое, то F \G –
замкнутое, а G\F – открытое. В частности, дополнение открытого множества замкнуто, а дополнение замкнутого открыто.
В данном пособии открытые множества, как правило, обозначаются буквой G, а замкнутые – буквой F. Эти обозначения
происходят от немецкого слова «Gebiet» (открытое множество,
область) и французского слова «ferm´e» (замкнутый). Они были
введены Ф. Хаусдорфом (см. [14, Kap. 8, § 7; Kap. 7, § 2]). Произвольное множество часто обозначается буквой E, от французского «ensemble» (множество).

Определения и обозначения из теории измеримых
множеств и интеграла Лебега

Внешней (верхней) мерой множества E ⊂ R называется
нижняя грань мер открытых множеств, содержащих E:

|E|∗ = inf{m(G): E ⊂ G, G открыто}.

Множество E ⊂ R называется измеримым по Лебегу, если
для любого ε > 0 найдется открытое множество G ⊃ E такое,

9

что |G\E|∗ < ε. В этом случае величина |E|∗ называется мерой
Лебега множества E и обозначается |E|.
Пространство функций, измеримых и суммируемых (интегрируемых по Лебегу) на отрезке [a, b], обозначается L(a, b).
В пособии используется несколько теорем о предельном переходе под знаком интеграла Лебега. Приведем их формулировки.

Теорема 0.1 (теорема А. Лебега о мажорантной сходимости). Предположим, что члены последовательности {fn}∞
n=1 и
функция f определены и измеримы на измеримом множестве
E и выполнены следующие два условия:
1) последовательность {fn} сходится к функции f почти
всюду на E;
2) последовательность {fn} имеет суммируемую мажоранту, т. е. существует неотрицательная суммируемая
функция ϕ такая, что при любом n ⩾ 1

|fn(x)| ⩽ ϕ(x)
п. в. на
E.
(0.1)

Тогда функции fn и f суммируемы на E,

lim
n→∞

E
|fn(x) − f(x)| dx = 0
(0.2)

и, как следствие,

lim
n→∞

E
fn(x) dx =
E
f(x) dx.
(0.3)

Теорема 0.2 (П. Фату).
Предположим, что члены последовательности {fn}∞
n=1 определены, измеримы на измеримом
множестве E и, помимо того, выполнены следующие два
условия:
1) последовательность {fn} сходится почти всюду на E
к (некоторой) функции f;

10