Математика для экономистов

Министерство образования и науки Российской Федерации 
Уральский федеральный университет 
имени первого Президента России Б. Н. Ельцина 

С. А. Аникин 
О. И. Никонов 
М. А. Медведева 

МАТЕМАТИКА  ДЛЯ ЭКОНОМИСТОВ 

Рекомендовано методическим советом УрФУ       
в качестве учебного пособия для студентов,  
обучающихся по программе магистратуры по направлениям 
подготовки 080500, 230700, 080100, 080200, 010300 

Москва
Издательство «ФЛИНТА»
Издательство Уральского университета
2018 

2-е издание, стереотипное

УДК 330.4(075.8) 
ББК 65в631 
А67 

Рецензенты: 
д-р физ.-мат. наук, проф. Г. А. Тимофеева (завкафедрой «Высшая       
и прикладная математика» УрГУПС); 
д-р физ.-мат. наук, проф. В. И. Максимов (Ин-т математики 
и механики УрО РАН) 

Научный редактор д-р физ.-мат. наук Х. Н. Астафьев 

Аникин, С. А. 
А67    Математика для экономистов [Электронный ресурс]: учебное 
пособие / С. А. Аникин, О. И. Никонов, М. А. Медведева. — 2-е изд., 
стер. — М. : ФЛИНТА : Изд-во Урал. ун-та, 2018. — 73 с.  

ISBN 978-5-9765-3524-4 (ФЛИНТА)
ISBN 978-5-7996-1108-8 (Изд-во Урал. ун-та)
В пособии рассматриваются математические модели в финансах и страховании. Первые две главы посвящены изложению классических подходов           
к моделированию ситуаций и процессов в названных областях, в третьей главе 
приводится вводное описание подхода, характерного для современной математической и экономико-математической литературы.   
Рекомендовано для студентов, обучающихся по направлениям 080500 
«Бизнес-информатика», 230700 «Прикладная информатика», 080100 «Экономика», 080200 «Менеджмент», 010300 «Фундаментальная информатика и информационные технологии». 
Библиогр.: 29 назв. Табл. 3. Рис. 20.

УДК 330.4(075.8) 
ББК 65в631 

  © Уральский федеральный  
университет, 2014 

ISBN 978-5-9765-3524-4 (ФЛИНТА)
ISBN 978-5-7996-1108-8 (Изд-во Урал. ун-та)

ПРЕДИСЛОВИЕ 

В пособии рассматриваются вопросы, связанные с математическим моделированием финансовых и страховых инструментов.      
В первой главе приводятся классические результаты, восходящие      
к работе Г. Марковица, относящиеся к теории портфельных инвестиций. Дается математическая постановка задачи и ее решение как 
собственно для задачи Г. Маковица, так и для ее модификации, 
принадлежащей Дж. Тобину. На примерах иллюстрируется важная 
роль ковариаций в описываемых построениях. Также первая глава 
посвящена модели ценообразования на рынке капитала (CAPM), 
параметрам α и β ценной бумаги, обобщениям модели САРМ.  
Вторая глава работы посвящена математическим моделям             
в страховании. Здесь вводятся основные понятия, связанные с 
моделированием: функция выживания, кривая смертей, интенсивность смертности. Далее рассматриваются аналитические законы 
смертности: модели де Муавра, Вейбула, Мэйкхама и Гомперца. 
Приведен анализ моделей краткосрочного и долгосрочного страхования. 
В третьей главе рассматриваются вопросы, относящиеся к введению в современный стохастический анализ. В отличие от первых 
двух глав, в которых рассматриваются классические подходы             
к построению стохастических моделей, в данной главе вводятся понятия, характерные для современных подходов к стохастическому 
моделированию. Определяется стохастический базис, поток σ-алгебр, 
фильтрация и стохастический процесс, согласованный с фильтрацией. 
Намечаются подходы к моделированию финансовых рынков, основанные на развиваемой теории.  
Цель – представить в доступной для обучающихся форме 
основные понятия и положения теории портфельных инвестиций, 
модели ценообразования на рынке капитала, а также основные 
понятия страховой математики и стохастического финансового 
анализа.      

1. ФИНАНСОВЫЙ АНАЛИЗ В УСЛОВИЯХ РИСКА 
И НЕОПРЕДЕЛЕННОСТИ 
 
1.1. Теория Марковица–Тобина–Шарпа 
 
В процессе составления портфеля финансовых активов или 
портфеля мероприятий, направленных на получение финансовой 
прибыли, (проекты, заказы, инвестиции) обычно преследуется цель – 
получить максимальный доход при минимальном риске. Однако 
стремление получить высокий доход обычно сопряжено с высоким 
риском. Теория портфеля позволяет находить рациональные компромиссы между ожидаемым доходом и риском финансовых операций. 
Начало формирования теории портфеля связывают с работой      
Г. Марковича, впоследствии награжденного Нобелевской премией за 
свои результаты в этой области. Названная теория была развита для 
портфелей ценных бумаг, поскольку вложения в ценные бумаги 
можно теоретически рассматривать как бесконечно делимые, что 
упрощает построения, а богатая статистика позволяет достаточно 
точно аппроксимировать вероятностные характеристики этих финансовых инструментов. 
Пусть рассматривается набор из N видов ценных бумаг, причем 
доходность (норма дохода) ценной бумаги i-го вида описывается 
случайной величиной 
ir . Портфель мы ассоциируем с N-мерным 
вектором у, каждая компонента которого 
0
iy   соответствует доле 
содержания ценных бумаг i-го вида (в их денежном выражении)         

в портфеле: 
1
1
N

i
i
y



. Ожидаемая (средняя) доходность портфеля нахо
дится по формуле  

1
,
N

p
i i
i

M
y x


                                        (1.1) 

где 
ix  – математическое ожидание (ожидаемое значение) доходности 
бумаги i-го вида, 
( )
i
i
x
M r

. Как правило, доходность измеряется         
в долях единицы или в процентах (числу 0,1 соответствует 10 %, 0,25 
– 25 % и т. д.). 
Ожидаемый разброс, отклонение доходности портфеля от среднего значения находится как среднеквадратичное отклонение  
2
2

1
σ
.
N

p
p
i i
i
M
y r
M













 

4 

Можно указать другое выражение для вычисления 
2
σ p:  

2

1
1
σ
σ( )σ( )cor( ,
),
N
N

p
i
j
i
j
i
j
i
j
y y
r
r
r r



                         (1.2) 

где символ 
2
σ p означает дисперсию; символ cor( , )
i
j
r r  – коэффициент 
корреляции между величинами 
ir  и 
jr . Если портфель состоит из 
некоррелированных между собой ценных бумаг, то для разброса 

доходности портфеля справедлива следующая формула: 
2
2
2

1
σ
σ ( ).
N

p
i
i
i
i
y
r


 

Среднеквадратичное, или стандартное, отклонение σ p – показывает меру отклонения доходности портфеля от ее среднего 
значения. Эта величина σ p, называемая иногда степенью неопределенности, и трактуется в рамках излагаемого подхода как риск 
портфеля, она измеряется в тех же единицах, что и доходность. 
Стоимость (полезность) некоторого финансового результата, 
который характеризуется случайной величиной, может быть оценена 
как ее среднее значение, скорректированное с учетом премии за риск. 
В связи с этим стоимость портфеля можно оценить с помощью параметров 
p
M  и σ p. Эти параметры являются ключевыми в теории 
портфеля. 
Приведем пример расчета ожидаемой доходности и риска портфеля, состоящего из двух видов ценных бумаг. Предположим, что 
ожидаемые доходности 
A
x  акций А и 
B
x  акций В равны 20 и 40 % 
соответственно; σA = 10 %, σB = 50 %. Рассмотрим портфель, состоящий из 
100 %
y
 акций В и (1
) 100 %
y


 акций А. Интерес представляет 
взаимосвязь доходности портфеля и риска при разных долях акций А 
и В, в частности, возможность минимизации риска путем рационального формирования портфеля. Результаты расчетов приведены           
в табл. 1.1  и на рис. 1.1. В каждой строке таблицы показаны значения 
риска портфеля σ p, соответствующие корреляции и доходности. 
Ожидаемая доходность портфеля рассчитана по формуле (1.1) 
 μ
( )
(1
)
40
(1
) 20.
p
B
A
M
y
yM
y M
y
y









 
Риск портфеля σ p найден в соответствии с равенством (1.2)  

2
2
2
2
σ
σ
(1
) σ
2 (1
)σ σ cor(
,
),
p
B
B
B
A
A
A
y
y
y
y
r r





 
где cor( ,
)
A
B
r r  – корреляция доходностей акций А и В,  

cov( ,
)
cor( ,
)
;
σ σ

cor( ,
)
[(
)(
)].

A
B
A
B
A
B

A
B
A
A
B
B

r r
r r

r r
M r
x
r
x







Таблица 1.1 
Стандартные отклонения доходности портфеля ($) 

cor( , )
A B

Доля акций В, % (y) 

0 
10 
17 
20 
30 
40 
50 
60 
70 
80 
90 
100 

Доходность портфеля 

( )
p
M
y
 

20 
22 
23,40 
24 
26 
28 
30 
32 
34 
36 
38 
40 

–1 
10 
4 
0,20 
2 
8 
14 
20 
26 
32 
38 
44 
50 

–0,8 
10 
5,83 
5,32 
6 
10,30 
15,62 
21,21 
26,91 
32,65 
38,42 
44,20 
50 

–0,6 
10 
7,21 
7,52 
8,25 
12,17 
17,09 
22,36 
27,78 
33,29 
38,83 
44,41 
50 

–0,4 
10 
8,37 
9,20 
10 
13,78 
18,44 
23,45 
28,64 
33,91 
39,24 
44,61 
50 

–0,2 
10 
9,38 
10,63 
11,49 
15,23 
19,70 
24,49 
29,46 
34,53 
39,65 
44,81 
50 

0 
10 
10,30 
11,88 
12,81 
16,55 
20,88 
25,50 
30,24 
35,13 
40,05 
45,01 
50 

0,2 
10 
14,14 
13,01 
14 
17,78 
22 
26,46 
31,05 
35,72 
40,45 
45,21 
50 

0,4 
10 
11,92 
14,06 
15,10 
18,92 
23,07 
27,39 
31,81 
36,30 
40,84 
45,41 
50 

0,6 
10 
12,65 
15,03 
16,12 
20 
24,08 
28,28 
32,56 
36,88 
41,23 
45,61 
50 

0,8 
10 
13,34 
15,94 
17,09 
21,02 
25,06 
29,15 
33,29 
37,44 
41,62 
45,80 
50 

1 
10 
14 
16,80 
18 
22 
26 
30 
34 
38 
42 
46 
50 

 
6

Рис. 1.1. Доходность портфеля  
в зависимости от риска и корреляции 
 
Для оценки степени неопределенности дохода рассмотрим следующие варианты: 
• вложение денег в безрисковые активы (облигации, банковский 
счет), имеющие доходность 0;
r  
• вложение денег в портфель из рисковых активов (например, 
акций), имеющий ожидаемую доходность хр; 
• вложение денег в портфель, содержащий одновременно и безрисковые активы и рисковые. 
Первая возможность является простой и в контексте проводимых построений не заслуживает отдельного анализа. В финансовой 
математике обычно предполагается, что существует возможность 
хранить деньги на банковском счете или в виде государственных 
ценных бумаг, причем доходность таких вложений задана и одна и та 
же для всех участников. Детальное рассмотрение вопросов, связанных с анализом ставок по кредитам и депозитам, а также доходности 
облигаций, выходит за рамки настоящего пособия. 
При второй возможности исследуются портфели, имеющие минимальное значение риска σ p  при заданной доходности 
μ.
p
x 
 Такие 
портфели р* определяются равенством 
*
σ
(μ)
min{σ |
μ},
p
p
p
x


 где 

минимум вычисляется по всем допустимым портфелям р. Для упрощения обозначений положим 
*
*
σ (μ)
σ
(μ).
p

 

В случае когда дополнительных ограничений на допустимые 
портфели нет, задача нахождения зависимости 
*
σ
σ (μ)

 имеет явное 
решение. Ее можно сформулировать в форме задачи математического программирования: 

найти 
 
 min
T

y
y Vy                                             (1.3) 

при ограничениях 

1
1,

N

i
i
y





                                              (1.4) 

1
μ.

N

i
i
i
y x





                                            (1.5) 

В формуле (1.3) V – матрица ковариаций, ее элементы 
σ
cov( , )
ij
i
j
r r

 ковариации случайных величин 
ir  и 
jr  ( ,
1, 2, ..., );
i j
N

 
символ Т означает операцию транспонирования вектора. 
При некоторых дополнительных технических ограничениях 
задача 
(1.3)–(1.5) 
имеет 
решение 
*
φμ
ψ;
y 

 
*
σ (μ) 

2
*
*
μ
μ
,
T
T
y V
a
b
c




 где φ и ψ  – фиксированные векторы, определяемые по параметрам задачи и не зависящие от μ;
2
0;
4
0.
a
b
ac



 
График функции 
*
σ (μ) (рис. 1.2) представляет собой гиперболу. 
Верхняя ветвь гиперболы соответствует так называемым эффективным, или недоминируемым, портфелям. Каждый такой портфель 
характеризуется тем, что у любого портфеля с иными характеристиками риска и доходности либо доходность меньше, либо риск 
больше (либо то и другое одновременно). 
Третья возможность составления портфеля и оценки риска – 
портфель из акций и безрисковых активов. Этот вариант постановки 
задачи был рассмотрен Дж. Тобином. Здесь портфель ассоциируется 

уже с (N + 1)-мерным вектором 
0 ,
y
y
y


 





 первая компо-нента 

которого – доля капитала, вкладываемого по ставке 
0r  без риска. 
Ожидаемая доходность такого портфеля имеет вид 

0 0
1
,

N

p
i
i
i

x
y r
y x




     
 (1.6) 

а выражение для риска формально остается тем же самым  

σ
.
T
y
y
y V


 
Задача на отыскание портфеля с минимальным риском 
*
σ (μ) при 
фиксированной ожидаемой доходности μ формулируется совершенно аналогично задаче (1.3)–(1.5) с необходимой модификацией     
в соответствии с новым выражением для доходности (1.6). 
 

Введение новой переменной уо только упрощает решение задачи, 
и мы можем привести ответ полностью. 
Зависимость 
*
σ
σ (μ)

 минимально возможного риска от доходности μ  здесь имеет простой вид  

0
μ
σ
,
r
g


                                                (1.7) 

где 
1
0
0
(
)
(
).
T
g
x
r e V
x
r e




 Здесь х – вектор, составленный из 
доходностей рисковых активов; e – вектор, у которого все компоненты равны 1. 
Эффективные портфели определяются равенствами 

*
1
*
0
0
0
2
μ
(
),
1
.
T
r
y
V
x
r e
y
y e
g





 
                          (1.8) 

Таким образом, зависимость риска и доходности для эффективных портфелей линейная, а сами портфели обладают важным свойством: структура рисковой части у* для всех таких портфелей одна     
и та же. Различие определяется лишь скалярным множителем 
0
(μ
),
r

 
который и характеризует склонность инвестора к риску: большим 
значениям μ соответствует и большая доходность и большой риск 
одновременно. Геометрически эффективным портфелям на плоскости (σ, μ) соответствует прямая линия (рис. 1.2).   
Можно показать также, что один из эффективных портфелей в 
задаче Тобина является таковым и для задачи Марковица. Это портфель, содержащий нулевую безрисковую часть. Таким образом, прямая, соответствующая решениям задачи Тобина, является касательной к гиперболе, соответствующей эффективным портфелям чисто 
рисковых активов. 

Рис. 1.2. Эффективные портфели рисковых активов  

и эффективные портфели с учетом возможности безрисковых вложений 
Разность (
0
p
x
r

) между доходностью хр рискового портфеля         
и доходностью безрисковых ценных бумаг 
0r  называется дополнительной доходностью, или премией за риск. Эту величину можно 
использовать как для портфелей, составленных только для рисковых 
активов, так и для портфелей с безрисковой частью. 
Рассмотрим отношение премии за риск (
0
p
x
r

) портфеля к степени неопределенности σ p

0
γ
.
σ

p
p
p

x
r


 

Данную величину называют удельной премией за риск, или коэффициентом Шарпа для данного портфеля. Можно показать, что 
портфель 
0
p  с максимальным коэффициентом Шарпа – это один из 
эффективных портфелей в задаче Марковица. Он находится как 
решение следующей задачи. 
Найти 
0γ
max{γ | },
p p

 
где максимум вычисляется по всевозможным портфелям р. 
Обозначим через 
0
σ  и 
0
μ  значения риска и доходности портфеля 

0
p . В таком случае  

0
0
0
0
μ
γ
σ
r


                                            (1.9) 

и  
0
0
0
0
μ
γ σ .
r


 
Портфель из рисковых активов с максимальным коэффициентом 
Шарпа иногда называют оптимальным. Оптимальность портфеля 
здесь состоит в том, что риск компенсируется по максимально 
возможной ставке доходности. 
Свойство оптимальности можно также пояснить следующим 
образом. Рассмотрим портфель, в котором долю у составляют 
безрисковые ценные бумаги с гарантированной доходностью 
0r , а 
доля (1 – у) вложена в оптимальный портфель рисковых активов 
0
p . 
Ожидаемая 
доходность 
нового 
портфеля 
будет 
равна 
0
0
(1
)μ ,
p
x
yr
y



 а степень неопределенности (риск)  

0
σ
(1
)σ .
p
y


                                      (1.10) 
Для нового портфеля отношение дополнительной доходности      
к степени неопределенности определится равенством