Основы математического анализа. Функция нескольких переменнных, дифференциальные уравнения, кратные интегралы

Министерство образования и науки Российской Федерации 
Уральский федеральный университет 
имени первого Президента России Б. Н. Ельцина

И. Ю. АНДРЕЕВА, О. И. ВДОВИНА, Н. В. ГРЕДАСОВА

ОСНОВЫ МАТЕМАТИЧЕСКОГО АНАЛИЗА:
ФУНКЦИЯ НЕСКОЛЬКИХ ПЕРЕМЕННЫХ,
ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНЫЕ УРАВНЕНИЯ, 
КРАТНЫЕ ИНТЕГРАЛЫ

Рекомендовано методическим советом УрФУ в качестве учебного пособия
для студентов, обучающихся по программе бакалавриата 
і 
по направлениям подготовки 
Ц1100 -  Энергетическое машиностроение ЦО4
ОО -  Электроэнергетика и электротехника 
І4 ОЮО — Теплоэнергетика и теплотехника 
14Ц03 -  Атомные станции: проектирование, эксплуатация и инжиниринг 

280700 -  Техносферная безопасность

Екатеринбург 
Издательство Уральского университета 

2-е издание, стереотипное

Москва
Издательство «ФЛИНТА»
Издательство Уральского университета
2018

УДК 517.9(075.8)
ББК 22.161.6я73 
А65
Рецензенты:

кафедра информационных систем в экономике УрГЭУ (завкафедрой, 
д-р физ.-мат. наук проф. А. Ф. Шориков;
ведущий научный сотрудник Института математики и механики УрО 
РАН, д-р физ.-мат. наук Ю. И. Бердышев

Научный редактор -  д-р физ.-мат. наук проф. А. Н. Сссекин 

Андреева, И. Ю.

А65 
Основы математического анализа: функция нескольких 
переменнных, дифференциальные уравнения, кратные интегралы : 
учебное пособие / И. Ю. Андреева, О. И. Вдовина,
Н. В. Гредасова. -  Екатеринбург : Изд-во Урал, ун-та, 2013. -  100 с.

ISBN 978-5-7996-0999-3

Учебное пособие состоит из трех глав: функции нескольких переменных, дифференциальные уравнения, кратные интегралы. В первой главе вводятся понятия функции нескольких переменных, предела данной 
функции в точке, непрерывности и дифференцируемости функции. Рассматривается экстремум функции нескольких переменных. Вторая глава 
посвящена основным типам дифференциальных уравнений 1-го порядка, уравнениям п-го порядка, допускающим понижение степени, а также 
линейным уравнениям п-го порядка. В третьей главе вводятся понятия 
двойного и тройного интеграла и приводятся способы их вычисления в 
различных системах координат. Все указанные выше темы проиллюстрированы примерами.
Учебное пособие предназначено для студентов всех специальностей и 
всех форм обучения, изучающих курс "Математика".

Библиогр.: 
8 назв. Рис. 22. 
УДК 517

ББК 22.161.6я7

ISBN 978-5-7996-0999-3
©  Уральский федеральный 
университет, 2013

А65      Основы математического анализа: функции нескольких переменных, 
дифференциальные уравнения, кратные интегралы [Электронный ресурс]: 
учеб. пособие / И.Ю. Андреева, О.И. Вдовина, Н.В. Гредасова. — 2-е изд., 
стер. — М. : ФЛИНТА : Изд-во Урал. ун-та, 2018. — 99 с.

ISBN 978-5-9765-3522-0 (ФЛИНТА)
ISBN 978-5-7996-0999-3 (Изд-во Урал. ун-та)

ISBN 978-5-9765-3522-0 (ФЛИНТА)
ISBN 978-5-7996-0999-3 (Изд-во Урал. ун-та)

"#$%#&’(&

Глава 1. Функции нескольких перем енны х................................ 
5
1.1. 
Определение функции нескольких переменных.................. 
5
1.2. 
Предел функции в точке..........................................................  
7
1.3. 
Непрерывность функций нескольких переменных 
 
8
1.4. Производные и дифференциалы функции
нескольких переменных............................................................ 
10
1.5. 
Дифференцирование сложной функции.............................. 
13
1.6. 
Частные производные и дифференциалы высших порядков 
15
1.7. Формула Тейлора для функции нескольких
переменных.................................................................................  
16
1.8. Локальный экстремум функции нескольких
переменных.................................................................................  
17
1.9. 
Экстремум функции двух переменных.................................  
20
1.10. Условный экстремум................................................................ 
21
Глава 2. Дифференциальные у р а в н е н и я ................................... 
23
2.1. 
Дифференциальное уравнение первого п о р я д к а..............  
23
2.2. 
Уравнения с разделяющими переменными 
........................ 
24
2.3. 
Линейные уравнения................................................................  
25
2.4. 
Уравнение Бернулли................................................................  
28
2.5. 
Уравнение в полных дифференциалах................................. 
29
2.6. 
Интегрирующий множитель.................................................... 
32
2.7. 
Дифференциальные уравнения высших порядков........... 
33
2.8. Некоторые дифференциальные уравнения,
допускающие понижение порядка ......................................... 
34
2.9. Линейные уравнения с постоянными 
коэффициентами. Вид общего решения 
однородного уравнения в зависимости
от корней характеристического уравнения............................  
38
2.10. Однородные линейные уравнения высших
порядков........................................................................................ 
40

2.11. Системы обыкновенных дифференциальных
уравнений............................................................................... 
45
2.12. Системы линейных дифференциальных
уравнений с постоянными коэффициентами.................... 
48
#$%$!)*$+’,&(’+&"*$#,
))))))))))))))))))))))))))))))))))))))))))))))))))))))))))
-.
3.1. Двойной интеграл ................................................................... 
54
3.2. Вычисление двойного интеграла...................................... 
57
3.3. Свойства двукратного интеграла...................................... 
61
3.4. Тройной интеграл ................................................................... 
69
3.5. Вычисление тройного интеграла...................................... 
70
3.6. Свойства трехкратного интеграла..................................  
73
3.7. Двойной интеграл в полярных координатах................... 
76
3.8. Замена переменных в тройном интеграле...................... 
82
3.8.1. Тройной интеграл в цилиндрических координатах . 
82
3.8.2. Тройной интеграл в сферических координатах . . .  
83
3.9. Замена переменных в двойном интеграле (обпщй случай) . 
85
3.10. Приложения двойных и тройных интегралов................. 
90
3.10.1. Вычисление площади поверхности....................... 
90
3.10.2. Плотность распределения вещества и двойной интеграл ................................................................................ 
92
3.10.3. Моменты инерции площади плоской фигуры . . . .  
94
3.10.4. Координаты центра масс площади плоской фигуры 
96
/(012#(+&*$+3*,.......................................................................... 
98

#$%$ 

3’24((’&021#52(6/&*&7&’’,6

 ) )/*&8&#&’(&93’24((’&021#52(6/&*&7&’’,6

Множество всевозможных упорядоченных пар (х, у) вещественных 
чисел х и у называется 768
 При этом каждую 
пару (х, у) мы будем называть 7
 этой плоскости и обозначать одной 
буквой 98
Координатная плоскость называется :76, если 
между любыми двумя точками 9;<8= и М"(х,у) координатной плоскости определено расстояние по формуле

р(М', 9>= =  і/(х" -  
+ (у" -  у-)2.

Аналогично вводятся понятия и :?
8
Евклидова прямая:

р(х', х") = @(х" -  х7)2 = |х" -  х '|.

Используя геометрическую терминологию, можно следующим образом сформулировать уже известные нам понятия функции одной переменной.

Определение 1.1.1. :079 50
A9B775?
5C09
 
54/C*C<D=C  = E<D=8

Введем понятие 4/.8

Определение 1.1.2. :079 50
A9B75?
5C0
954/C
 = C (М) C  = EAD=8

Аналогично вводится понятие .8
 Для этого вместо 
множества A9 B точек евклидовой плоскости нужно взять множество 9  
точек евклидова пространства.
Множество всевозможных упорядоченных совокупностей (хі; Х2,..., =  
чисел Хі, , ..., называется "..?
F8
При этом каждую упорядоченную совокупность (хі.хг,... .xm) мы 
будем называть точкой этого пространства и обозначать одной буквой 
98
Координатное пространство -называется "..
:Gесли между любыми двумя точками 9<,1. х'2. ..., х'т ) 
и Л/"(х". x j...., х") координатного пространства -определено расстояние по формуле

<9H9>= = 
" H+ (*5 -  4)2 + ... + (*• -  ;8

Определение 1.1.3. "69<I8
 х2. .... х^) "
:5.6..7".7$
/М0( х х 2: • ■ ■, х^). J67?
6Мо(х®,Х2? • • ;xjj) "
5.7..7".7.7
/Пусть A9 B некоторое множество точек евклидова m-мерного пространства :G8  Введем следующие понятия:
Точка 9  множества A9 } называется 77
 этого множества, если существует некоторая ^-окрестность точки 9все точки 
которой принадлежат множеству A9B8
Точка 9  называется 7
 точкой множества {Л/} (сама точка 
9K может не принадлежать множеству {М}), если любая ^-окрестность 
этой точки содержит как точки, принадлежащие множеству {М}, так и 
не принадлежащие ему.
Множество {Л/} пространства : называется ..0?
или 6, если любая точка этого множества внутренняя.
Если каждая граничная точка множества A9B является точкой этого 
множества, то множество A9 B называется 5.8

 ))*&8&#93’24((%+1:2&

Последовательность A9B точек евклидова пространства :G  называется 7, если существует такая точка - , что

Ѵе > 0 
Vn > L<M=<9JN-=OПри этом -  называется последовательности A9B8

Ііш 9= -  или 9—> -  при п —> оо.
П-> 00

Определение 1.2.1. PQ5.6.54?
/CREAD=-<4/9
 -> -=?
77-69HМ2, .... Л/п, .. - 
0{М}, ’.97.-<88
 
C = BA9=0.6-=?
66BA9H=/(М 2) ,.... /(ЛГП), • • 574?
/Q8

Определение 1.2.2. PS5.4/C
 =  BA9= 
9
 -> -Ѵе > 0 ,TU 0 V 9 A 9 B  
(0 O <9 - =O T = 
=» 
|/(М ) — 6| < е.

Сформулируем определение предельного значения функции при стремлении 9  к оо.

Определение 1.2.3. P6 называется 4/C
 =  /(Л /) 
при 9Ѵе > 0 За > 0 < ! 9 = U 
=> 
|/(М ) -  6| < с.

Теорема 1.2.1. J64/BA9=<9=-?
6.5S8+4/W 9 = + <9=W 9=" <9=W 9=X<9=Y Y Z

-6.5<4!=
.

Определение 1.2.4. /C
 = E<D=5.7
 
-<9
 —* -=Итм->л E<D= = 0.

Теорема 1.2.2. Необходимое и достаточное условие существования предела или критерий Коши.
[.4//(М ) 65?
9
 = -.4/E<D= 
’7\$, 88

Ѵ е > 0 ,TU 0, 
Ѵ (М'; М") € A9 }

(0 < ]<D;^-=OT!O< 9 H-=OT= =► |/(М ') -  /(М ")| < :8

 )!)&/*&*,%’10+593’24(;’&021#52(6/&*&7&’’,6

Определение 1.3.1. /C
 = EAD=5..7
-65’74/-?
5E<_=88

Ііш /Ш ) = / ( lim 9=8
Определение 1.3.2. /C‘E<D=5..7
-Ѵ г > 0 ,TU!88 
Ѵ М е{М } 
<98-=OT‘U  
|/(М ) -  a<_=H < 8

Точки, в которых функция не обладает свойством непрерывности, называются 5.этой функции.

Определение 1.3.3. /C‘BA9=5..7
0{М}. .07’0?
8

Назовем или .функции C‘E<D= 
в точке -  функцию Д£/, определенную формулой

Д C‘E < D = " E < _ = b

где 9  -  любая точка из области задания функции. Пусть точки Ли 9  
имеют соответственно координаты Hа2, ..., и х і,х2;..., 8  Обозначим H* аі = Дхі, c"  а2 * Дх1888*‘
 Дхш.

_C‘E<de + Д ц . а2 + Дх2; • • •, Ofg + Дят ) -  EAdf8888
 а™).

Определение 1.3.4. Разностная ф орма условия непрерывности.
[.74/C
 = /(Л/) -?
.AC7
-4/8
 е.

lim A t/= lim <E<D ="E<_ ==
 = 0 
lim At/ = 0 
(i = 1,2, ___m).
D"h_  
A#-MWV 
' 
J  
Діі-Ю 
4

Рассмотрим частное приращение функции в точке Л/(хі. хг.... Sm)> 
принадлежащей области определения функции.
Зафиксируем все аргументы, кроме первого, а первому аргументу 
придадим произвольное приращение Ахі такое, чтобы точка с координатами H -f A xi,Х2, 
находилась в области задания функции. Данное приращение функции называется .4/
М (хі,Х2..., хш), Дхі ?
cHи обозначается AiYC8

Д*. = /(* і hQ , 8 8 8 = " BAі, 888=8

Аналогично,

АІа = /(*і, х2 + Ах2, ..., ="  /(*і. х2;.... хт );

д хт = /(х ь х2, ...,х т  + Д х т ) -  /(х і,х 2,...,х т ).

Определение 1.3.5. /C
 = /(х ь х2, ..., =5.?
.79<8c N.... хт ) 7?
Ах*С/ ’74/9 7
4/Ах*, т . е., lim AijC  = 0.
Д**-Ю

Очевидно, что из условия непрерывности функции C‘BAHх2;.. •, =  
в данной точке 9  вытекает непрерывность этой функции в точке 9  по 
каждой из переменных H888 ,xm. Однако из непрерывности в точке каждой из переменных не вытекает, вообще говоря, непрерывность 
функции в этой точке.

 ).)*1(<%18’,&(8(99&*&’4($#,93’24((
 
’&021#52(6/&*&7&’’,6

Пусть точка 9AH8 хг,.... хт ) является внутренней точкой области 
задания функции C = /(хі,Х 2;хт ). Рассмотрим в данной фиксированной точке 9<8c 8 8 8 8 = отношение частного приращения _kjC  к 
соответствующему приращению - аргумента х*.
A ijC  _  / ( Х  і, Х2; . ■ . : c*c+ - Nк+ь • • ■. хт ) -  /(х ь х2, ..., хт ) 
Axfc 
Ах*
Определение 1.4.1. :$
_kjC4/9 <і,Х2;..., =  к ?
Ах* х* Ах* -* 0, то эт о т  
5.7574/C
 = /(х і, хг;..., хш) ѳ точ
tce Л/ по х* и обозначается 
C;ij88

2C 
ѵ  
Ах*С/
■s— = 1і т  —— . 
ах* 
Ах*
Отметим, что частная производная функции по аргументу х* представляет собой обыкновенную производную функции одной переменной 
х* при фиксированных значениях остальных переменных.

Пример

Найти
lmlm 
’ 
m = 4х2 4- Зху3 -  Н 
.
х

Решение

При вычислении 
личина:

При вычислении 
личина:

—  переменная рассмативается как постоянная вес/х
lm 
* 
1

lm
*  переменная х рассмативается как постоянная ве
lm 
л 
2 
т . 1
—  = бху -  1 + — .