Геометрография - язык визуализации структурируемых объектов

Министерство образования и науки Российской Федерации

НАЦИОНАЛЬНЫЙ ИССЛЕДОВАТЕЛЬСКИЙ  
МОСКОВСКИЙ ГОСУДАРСТВЕННЫЙ СТРОИТЕЛЬНЫЙ УНИВЕРСИТЕТ

Библиотека научных разработок и проектов НИУ МГСУ

Ю.О. Полежаев, А.Ю. Борисова

ГЕОМЕТРОГРАФИЯ —  
ЯЗЫК ВИЗУАЛИЗАЦИИ  
СТРУКТУРИРУЕМЫХ ОБЪЕКТОВ

Èçäàòåëüñòâî ÍÈÓ ÌÃÑÓ 
Ìîñêâà

2017 

2-å èçäàíèå (ýëåêòðîííîå)

УДК 514+744.424
ББК 22.15:30.11
П49

СЕРИЯ ОСНОВАНА В 2008 ГОДУ
Рецензенты:
кандидат архитектуры, доцент А. А. Фаткуллина, доцент кафедры 
начертательной геометрии МАРХИ; кандидат технических наук, доцент 
А. В. Гордеев, доцент кафедры сопротивления материалов ИГЭС МГСУ

Монография рекомендована к публикации 
научно-техническим советом НИУ МГСУ

П49
Полежаев, Юрий Олегович
Геометрография — язык визуализации структурируемых объектов [Электронный ресурс] : монография / Ю. О. Полежаев, 
А. Ю. Борисова ; М-во образования и науки Рос. Федерации, 
Нац. исследоват. Моск. гос. строит. ун-т. — 2-е изд. (эл.). — 
Электрон. текстовые дан. (1 файл pdf : 106 с.). — Москва : Изд-во 
Моск. гос. строит. ун-та, 2017. — (Библиотека научных разработок и проектов НИУ МГСУ). — Систем. требования: Adobe 
Reader XI либо Adobe Digital Editions 4.5 ; экран 10".
ISBN 978-5-7264-1558-1
Содержатся результаты работ, относящиеся к семиотическому анализу и синтезу языка визуализации структурируемых объектов по форме 
и содержанию. Рассматривается геометрография знаковых систем, морфология которых позволяет использовать единицы множества формализованных элементов в качестве, удовлетворяющем и современным компьютерным технологиям, и прикладным художественным произведениям. Условие структурирования объектов по признакам формализации 
является необходимым и унифицирующим на основных этапах их восприятия, исследования, отображения — проектирования.
Для научных работников, проектировщиков, инженеров, преподавателей вузов, докторантов, аспирантов и магистрантов, изучающих визуализацию структурируемых объектов.

УДК 514+744.424 
ББК 22.15:30.11

Деривативное электронное издание на основе печатного издания: Гео- 
метрография — язык визуализации структурируемых объектов : монография / Ю. О. Полежаев, А. Ю. Борисова ; М-во образования и науки Рос. 
Федерации, Нац. исследоват. Моск. гос. строит. ун-т. — Москва : Изд-во 
Моск. гос. строит. ун-та, 2015. — (Библиотека научных разработок и 
проектов НИУ МГСУ). — 104 с. — ISBN 978-5-7264-1221-4.

В соответствии со ст. 1299 и 1301 ГК РФ при устранении ограничений, установленных 
техническими средствами защиты авторских прав, правообладатель вправе требовать 
от нарушителя возмещения убытков или выплаты компенсации.

ISBN 978-5-7264-1558-1
© Национальный исследовательский 
Московский государственный 
строительный университет, 2017

ОГЛАВЛЕНИЕ

Введение ............................................................................................................ 4

Раздел I. ЭЛЕМЕНТЫ МОРФОЛОГИИ ГЕОМЕТРОГРАФИИ .................... 6

1.1. Исследования свойств гармонических фигур средствами 

геометрографии в приложении к архитектурно-строительному 
проектированию .................................................................................. 6

1.2. Соответствия геометрических и цифровых моделей в качестве 

информационных средств формообразования проектируемых 
архитектурно-строительных объектов ............................................. 13

1.3. Модели квадратичности и композиции эквиареалов 

с использованием «квадратуры круга» ............................................. 19

1.4. Великая пирамида и великий сфинкс — первая тема 

в учебно-исследовательской студии зодчества и ваяния ................. 27

1.5. Геометрография ортопрямых, моделирующих кривизну 

некоторых линий, связанных преобразованиями ........................... 33

Раздел II. ПРИМЕРЫ ПРОСТЫХ КОМПОЗИЦИЙ 

ГЕОМЕТРОГРАФИИ ...................................................................... 40

2.1. Геометрические модели гармонизма в композициях элементарных 

концентричных фигур ....................................................................... 40

2.2. Геометрографические модели квадратур с частными примерами 

композиционных решений ............................................................... 47

Раздел III. КОСОУГОЛЬНОЕ ПРЕОБРАЗОВАНИЕ И ЧАСТНЫЕ 

ЗАДАЧИ СОПРЯЖЕНИЙ В ГЕОМЕТРОГРАФИИ ...................... 60

3.1. Косоугольное преобразование циркуляры. Система 

геометрографии «циркуляра-эллипс», ее оси и эквиареалы ........... 60

3.2. К вопросу о линейных вариациях моделирования свойств 

эллиптичности ................................................................................... 64

3.3. Геометрографические вариации задач циркульных сопряжений ... 68

Раздел IV. ПРОЕКЦИОННЫЕ ЗНАКИ ПРИ ИСПОЛЬЗОВАНИИ 

КОНИЧЕСКОГО АППАРАТА ОТОБРАЖЕНИЯ 
В ПРОСТРАНСТВЕ 3М ................................................................... 77

4.1. Геометрия пирамидальных поверхностей на примере 

шатрово-купольных форм строительных объектов ......................... 77

4.2. Характерные геометрографические проекционные знаки 

при использовании конического аппарата отображения ................ 81

Заключение ....................................................................................................102

Библиографический список ..........................................................................102

ВВЕДЕНИЕ

Энергия Космического, вселенного Разума была целеустрем
ленно и многократно материализована в качестве наследия для 
первичной и последующих цивилизаций человечества, основных 
знаков общего порядка и гармонии, которые предельно коротко 
моделировали понятия теософии, материалистической логики, законов бытия. В свою очередь, это позволяло осознать их практические свойства, а также их интегральные следствия, вплоть до современных аналитических компьютерных технологий мировоззрения.

Из глубин давно прошедших времен и по сей день так или ина
че можно изыскивать свидетельства о наличии божественных знаков, об их материализации в стихиях нашей планеты, о том опыте 
восприятия знаковой информации, который укладывался в законы 
общества, формировал социум.

Известные языковые формы знаковой информации — пласти
ка, мелодическое звучание, устная и письменная речь, многие другие — имеют в своих структурах также одну из важнейших языковых 
подсистем семиотики — «геометрографию проекций, символов и 
кодов». В соответствии с методологией, геометрография базируется на лингвистических формах прагматики, грамматики, лексики, 
синтаксиса, фразеологии и т.д. Не погружаясь в научную систематизацию языка геометрографии, приведем далее краткие описания 
основных знаков этой лингвистики. Иными словами, ознакомимся с краткой прагматической составляющей семиотики геометрографии.

Геометрографические знаки, которые соответствуют визуальным 

образам и моделируются с использованием зрительно-лучевого аппарата восприятия-отображения, именуются проекциями.

Изображения символов характерны сочетаниями свойств про
екционных знаков и знаков-форм геометрографии простых фигур: 
линейных, тоновых, цветовых площадей монохромов. Для символов не исключаются сочетания свойств при их тождественном графическом изображении, что нередко встречается в простых композициях.

Коды представляют знаки, геометрография которых задается 

специальными семантическими условиями. Отображение и восприятие кодовых знаков, например шифрованных, предполагает 
систему секретирования между адресатом и адресантом.

Знаки-проекции будут рассмотрены и обсуждены в соответству
ющем разделе монографии. Далее приведем некоторые примеры 
знаков-символов: 

1) точка — понятие это не имеет окончательных и полных от
ветов на вопросы: что? где? когда?. Тем не менее позиция пересечения пары линий на поверхности изображений или позиция пересечения трех плоскостей в пространстве (3R) моделируют точку. На 
экране дисплея пиксель характеризует техническую разрешающую 
способность» точечной светимости электронного поля;

2) линия, содержащая точки, которые разделяют их композиции 

на замкнутые и открытые отрезки;

3) композиция точек линий, порождающая свойства периметров 

фигур;

4) прямые плоскости, содержащие фигурации точек и линий, 

плотно заполняющих соответственные периметры; здесь вводится 
понятие о площади фигуры прямой плоскости;

5) искривленные плоскости, характеризуемые свойствами пла
ниметрии и дополнением множеств точек и линий с условием нулевого объема поверхности;

6) поверхности замкнутых и открытых объемов различных ал
гебраических порядков, для которых, в общем случае — для трех 
пересекающихся линий в окрестности точки, существуют различные значения кривизны;

7) геометрографические знаки — символы тел суммируют вы
шеприведенные свойства и дополняются плотным заполнением их 
объемов точками, линиями, плоскостями либо вкладываемыми 
поверхностями.

Изложенные примеры, по существу — аксиоматическое содер
жание понятия о знаках-символах, могут быть проиллюстрированы многочисленными изображениями, в частности, с применением свойств «божественной пропорции» либо других качеств гармонии. В своем порядке речь об этом пойдет в тех или иных разделах 
монографии.

Геометрографическим знакам-кодам будет предназначена дру
гая публикация научно-исследовательского характера.

Раздел I

ЭЛЕМЕНТЫ МОРФОЛОГИИ ГЕОМЕТРОГРАФИИ

1.1. Исследования свойств гармонических фигур средствами 
геометрографии в приложении к архитектурно-строительному 

проектированию

Исторически homo sapiens имел возможность и практическую 

необходимость пользоваться либо жесткими, либо изгибаемыми 
отрезками. Поначалу, естественно, это были натуральные предметы флоры и фауны: волос, стебель, стручок, рог и т.д. Позднее подобные объекты жизнедеятельности становились рукодельными 
предметами: нить, копье, отвес, коса и т.п. В частности, понятие 
«нить» получило в языковой лексике номинатив «линия», этимология которого прослеживается от фиксатива «лен», имеющего отношение к изделию растительного происхождения. Несложно по
нять, что отрезок гибкой нити (рис. 1.1.1) 
в доисторические времена, а также траектории линий во все последующие эпохи 
волн цивилизации, вплоть до текущего ее 
момента, пробуждал мощный интерес к познавательной деятельности «посвященных» 
и «ученых» (в современной терминологии). 
В связи с этим, почтительно преклоняясь 
перед многими гениями, назовем лишь несколько имен: Христос, Пифагор, Леонардо да Винчи, Ломоносов, Эйнштейн.

Те или иные простейшие фигуры, являясь производными от
резка линии, приводят к их известным гармоническим формам 
(рис. 1.1.2): отрезку прямой и его циклической части, в частности, 
«половине»; углу; полигону, например квадрату; другие циркуляры 
и их радиусы; undsoweiter1.

Рис. 1.1.2

1 и т.д. (нем. — прим. ред).

Рис. 1.1.1

Поиск закономерностей простейших гармонических фигур, а 

также порождаемых ими композиций при условно ограниченном 
их числе представляет сегодня научную тематику исследований 
элементов формализации геометрографических изображений вообще и, в частности, в быту, производстве, изобразительном искусстве [1; 2].

Приведем всего три примера (рис. 1.1.3) упомянутых компози
ций. Первым пусть будет не единственное, типически простое, но 
содержащее глубочайший смысл соединение фигур квадрата и циркуляры, известное под названием «квадратуры круга» (см. 
рис. 1.1.3, а). Второй и третий примеры — также известные сочетания фигур. Это композиции циклической (циклоида, см. 
рис. 1.1.3, б) и спиральной (спираль Архимеда, см. рис. 1.1.3, в) 
траекторий с порождающими их циркулярами.

Рис. 1.1.3

Рассмотрим некоторые свойства геометрографической компо
зиции «квадратура круга». Введем предварительно несколько терминологических установок. Так, анализируя линейную модель названной композиции, будем иметь в виду изображение «квадрата, 
внешне касательного к циркуляре». Для этого случая предлагаем 
пользоваться лексемой «квадрат циркуляры». 

Если задан «квадрат, внутрикасательный к циркуляре», будем 

говорить о «циркуляре квадрата». В приложении к геометрографическим моделям площадей получим лексические аналогии: «квадратура круга» и «круг квадратуры».

Итак, пусть задан «квадрат циркуляры» (0; x; y; R; li; l4) в плани
метрии Декарта. Попытаемся выяснить геометрографическое отношение длины одного оборота циркуляры с ее спрямленной на 
ось х величиной. Говоря иначе, рассмотрим эволюцию (лат. 
Evoluto — развертывание) циркуляры с заданным радиусом R в цир

куляру, радиусом которой является бесконечно-большая величина 
R → ∞.

Для рассматриваемого затем случая с гомотетией можно было 

бы воспользоваться одной из двух точек (D1; D2) (D1; D2) диагом. 
При использовании первой точки (D1) D1 сторону (l4 : 2) периметрического квадрата получим на абсциссе из позиции D1*. Во втором 
варианте D2* получим (l4 : 2*) на линии ординат (D2*; 0*). Разумеется, найденные так или иначе полустороны (l4 : 2) должны занять 
позиции со сдвигом, чтобы опираться после этого на главные биссектрисы «диаквадры» (Bis1; Bis2). 

Напомним, что если на оси х заготовлены от (0) отрезки дуг 

(π : 8) от позиции (–yR), то можно построить их множество (цикл) 
(рис. 1.1.4).

Рис. 1.1.4

Инциденции, определяющие частные позиции точек циклоиды, 

соответственны интервалам (π : 8). Делением интервалов на оси х
и дугах (0; R) можно уплотнять точки циклоиды. Интервалы на х
легко делятся пополам диагоналями, а дуги (1; 2) — алгоритмом 
(2; 2*), (2*; 0*) → (3). Уплотнение точек «полухорд» легко производится и в обратном порядке движения по дуге циркуляры. В качестве «бегущей точки» дана позиция точки (60°) и тем же алгоритмом 
построена полухорда (157, 25; 30°). Построение синусо-циклоиды 
и завершение фигуры Персонье не представляют сложностей 
(рис. 1.1.5). Добавим только, что эти построения могут выполняться через полюс (π/2), лежащий на х, от исходных точек циклоиды. 
Напомним, что точки циклоиды есть инциденции линий. Одна из 
них — прямая линия уровня угла раскатки циркуляры, а другая — 

циркуляра, центр которой сдвинут в точку раскатки на оси х. Для 
бегущей точки циклоиды решается аналогичная задача. Так, например, для дуги с центром (0*) избрана бегущая точка m. Ее хорды 
(157, 25; xm) следует построить от точки (–yR) вправо, т.е. симметрично, в точку (xm′  ). От нее на оси х определяется центр окружности раскатки и, наконец, соответственная точка инциденции на 
циклоиде (im).

После построения π/2 на оси y и далее новой дугой на линию 

спрямления той же, новой дугой, но из центра π/2 на оси y, определяются две симметричные точки их инциденции. Прямая, соединяющая их, делит отрезок π/2 на две равные части π/4. Далее, циркулярно позиции π/2 и π/4 с оси y необходимо передать на прямую 
раскатки. Но ту же точку π/4 определяет инцидент диагоналей 
((π/2)2; (π/2)) и (x(π/2); –yR).

Деление π/2 дуги циркуляры на три части производится хорда
ми R, а ее развертка на прямую раскатки — трисекущей от пересечения медиан треугольника, которые порождают позицию (3) и 
отрезки (–yR; π/6), (–yR; π/3) на линии раскатки.

Таким образом, на спрямленной циркуляре, как и на самой ее 

исходной дуге (0; R), определены по два множества точек дробления. Одно — с модулем в знаменателе (3n); другое — с модулем (2n), 
чего для построения производных кривых, например, циклоиды и 
синусоиды, вполне достаточно.

Рис. 1.1.5

Один из алгоритмов эллиптизма, позволяющий определить по
зиции точек для преобразований сжатия-растяжения, образует на 
рис. 1.1.6 изображения квадратуры круга. При этом одна из сторон 
квадрата принимается за ось xR эллиптического сжатия-растяжения. 
Параллельно к оси можно задать Δx < (x0; xR) в качестве полосы 
сжатия и через (xR; xi) → ∞ ординат — прямую, определяющую полосу растяжения. Далее произвольный луч (0) фиксирует на эллиптической оси позицию ye, и он же определяет точки для сжатия и 
растяжения. Из последних точек от (0) следуют лучи сжатия-растяжения, на которых абсцисс-прямыми фиксируют точки эллиптического сжатия-растяжения [1; 2].

Рис. 1.1.6

На геометрографической композиции (см. рис. 1.1.3) изобра
жена важнейшая, «каноническая» фигура, именуемая квадратурой 
круга, которая имеет большое значение в связи с преобразованиями ее разверток: сторон квадрата и дуг циркуляры. Так, при «раскатке» циркуляры (0c; R) по оси x в положительном направлении 
точка (0) пробежит множество позиций по траектории «циклоиды». 
Разумеется, центр 0c перемещался параллельно x, сохраняя кон