Нелинейная теория управления : динамика, управление, оптимизация

Нелинейная теория управления: динамика, управление, оптимизация






МОСКВА ФИЗМАТЛИТ ®

УДК 517.977
ББК 32.81
      Н49

       Г Г Издание осуществлено при поддержке г* срр и Российского фонда фундаментальных ~ JJ исследований по проекту 02-01-14024






   Нелинейная теория управления: динамика, управление, оптимизация / Под ред. В.М. Матросова, С.Н. Васильева, А.И. Москаленко. — М.: ФИЗМАТЛИТ, 2003. — 352 с. — ISBN 5-9221-0421-7.

   Настоящий сборник статей содержит современные достижения в исследовании классов задач управления нелинейными системами и их приложений. Спектр прикладных задач достаточно широк и включает в себя цифровые системы, космические аппараты, математическую экономику и т.д.
   Для специалистов по нелинейной теории управления и ее приложениям, а также для аспирантов и студентов старших курсов физико-математических и экономико-математических специальностей.
   Табл. 1. Ил. 17. Библиогр. 381 назв.





























ISBN 5-9221-0421-7

© ФИЗМАТЛИТ, 2003

Оглавление


Предисловие............................................ 4

I. ТЕОРИЯ ЛОГИКО-ДИНАМИЧЕСКИХ СИСТЕМ И ИНТЕЛЛЕКТНОЕ УПРАВЛЕНИЕ

С.Н. ВАСИЛЬЕВ, П.К. КУЗНЕЦОВ, А.В. ЛАКЕЕВ. Анализ процессов в цифровых системах.............................. 5
Ye.I. SOMOV, V.A. RAYEVSKY, V.M. MATROSOV, G.R. ANSHAKOV. Nonlinear Dynamics of Spacecraft Fault-Tolerant Control Systems ............................................... 38
А.И. МАЛИКОВ. Матричные системы сравнения в анализе динамики и оценивании состояния систем управления с неопределенностями и структурными изменениями ......................... 66
А.В. ТИМОФЕЕВ. Методы нейросетевого и мультиагентного управления в робототехнике и мехатронике................ 101

С.И. ДМИТРИЕВ, О.А. СТЕПАНОВ. Нелинейная фильтрация в задачах обработки навигационной информации........... 127

II. МЕТОДЫ ОПТИМАЛЬНОГО УПРАВЛЕНИЯ

В.И. ГУРМАН. Вырожденность нелинейных задач оптимального управления......................................... 147
Э.Я. РАПОПОРТ. Альтернансный метод в задачах полубесконечной оптимизации ....................................... 164
А.И. ТЯТЮШКИН. Мульметодные алгоритмы для численного решения задач оптимального управления ................. 201
А.И. МОСКАЛЕНКО. Динамические задачи оптимизации налоговой ставки............................................. 218
В.В. БАРАНОВ. Методы равновесий в задачах стохастического управления и динамического принятия решений при неопределенностях ............................................ 247

III. МЕТОДЫ ДИНАМИКИ НЕЛИНЕЙНЫХ УПРАВЛЯЕМЫХ СИСТЕМ

А.Х. ГЕЛИГ, А.Н. ЧУРИЛОВ. Динамика систем с импульсной модуляцией ............................................ 313
Р.А. НЕЛЕПИН, А.М. КАМАЧКИН. Аналитический метод исследования динамики возмущенных гистерезисных систем.... 340

Предисловие


   Настоящий сборник статей непосредственно примыкает к сборнику “Нелинейная теория управления и ее приложения”, изданному в издательстве Физматлит в 2000 г. и также во многом сформирован на основе материалов Международного конгресса “Нелинейный анализ и его приложения” (Москва, 1-4 сентября 1998 г.). Он ориентирован как на исследование классов задач нелинейной теории управления, так и на ее приложения.
   В первом разделе "Теория логико-динамических систем и интел-лектное управление” содержится применение вектор-функций Ляпунова и методов интеллектного управления к различным задачам (цифровые системы, управление космическими аппаратами, робототехника и т.д.).
   Второй раздел “Методы оптимального управления” посвящен методическому обеспечению задач оптимального управления. Здесь представлен обширный обзор современных достижений в исследовании часто встречающихся в приложениях класса вырожденных нелинейных задач оптимального управления системами обыкновенных дифференциальных уравнений, численные методы оптимального управления, новые прикладные оптимизационные задачи из области математической экономики, а также специальные (в том числе и альтернативные) методы оптимального управления детерминированными и стохастическими системами.
   Третий раздел “Методы динамики нелинейных управляемых систем” посвящен методам исследования динамики систем с импульсной модуляцией и гистерезисных систем.

I. ТЕОРИЯ ЛОГИКО-ДИНАМИЧЕСКИХ СИСТЕМ И ИНТЕЛЛЕКТНОЕ УПРАВЛЕНИЕ



АНАЛИЗ ПРОЦЕССОВ В ЦИФРОВЫХ СХЕМАХ

С.Н. ВАСИЛЬЕВ, П.К. КУЗНЕЦОВ, А.В. ЛАКЕЕВ



Введение

  Процессы в цифровых схемах (ЦС) высокого быстродействия, например, в сверхбольших интегральных схемах (БИС и СБИС), определяются не только логической структурой ЦС, но и, в значительной мере, динамическими свойствами базисных элементов, из которых состоят схемы. Это приводит к появлению широкого спектра задач, связанных с проектированием ЦС, которые не могут быть решены с привлечением только автоматных моделей, хорошо зарекомендовавших себя при проектировании ЦС относительно невысокого быстродействия. В частности, не автоматные, а логико-динамические модели (ЛДМ) процессов в ЦС необходимо привлекать для решения задач прогнозирования быстродействия и производительности проектируемых ЦС, синтеза надежных ЦС в условиях неполной информации об инерционных параметрах базисных элементов, синтеза тестов, выявляющих динамические сбои в работе ЦС, синхронизации процессов в СБИС и т.п. [1, 2].
  ЛДМ, в зависимости от наличия входов, относятся к классу динамических или управляемых систем и должны исследоваться соответствующими методами. Но, к сожалению, в настоящее время отсутствуют [3] эффективные методы анализа ЛДМ и исследование ЦС проводится, в основном, имитационным моделированием процессов па ЭВМ с использованием процедур полного перебора в множествах параметров функционирования ЦС. Ввиду высокой размерности и существенной нелинейности ЛДМ, описывающих процессы в ЦС, имитационное моделирование требует больших затрат вычислительных ресурсов, что удорожает и чрезвычайно затягивает проектирование ЦС, не обеспечивая высокой надежности проектов. Поэтому при анализе ЦС приходится использовать упрощенные модели (феноменологического типа [3, 4]) процессов, которые не позволяют получать

С.Н. ВАСИЛЬЕВ, П.К. КУЗНЕЦОВ, А.В. ЛАКЕЕВ

надежные качественные и количественные оценки динамического поведения ЦС [3, 4]. Проблема построения адекватных моделей процессов в ЦС и разработки эффективных методов их исследования становится в настоящее время одной из ключевых в проектировании СБИС [3].
   В данной работе, в развитие [5], вводится феноменологическая модель процессов в ЦС в виде логико-интегро-операторной системы уравнений, которая более полно, чем известные упрощенные модели, отражает процессы в цифровых схемах. Но в отличие от еще более полных моделей, построенных на базе уравнений математической физики, предложенная модель допускает строгий метод исследования динамических свойств ЦС, который отсутствует, насколько известно авторам, для более полных моделей. Предлагаемая модель более глубоко, чем [1], отражает специфические особенности переключательных процессов в полупроводниковых структурах и позволяет не только проводить гораздо более полное и качественное исследование процессов в ЦС, по и получать количественные оценки, например, времени переходных процессов в условиях частичной параметрической неопределенности математической модели. Обосновываются ее общие свойства: существование, единственность, ограниченность и нелокальная продолжимость решений. Для предлагаемой математической модели ЦС разработана технология исследования динамических свойств модели с использованием аналитико-численных методов, сокращающих вычислительную сложность анализа по сравнению с методами чисто имитационного моделирования. В качестве основы этой технологии выступает метод, развивающий идеи метода сравнения в математической теории систем [6-8]. Технология эффективна благодаря ограничению перебора, характерного для традиционных методов анализа ЦС.
   В [9] был введен новый класс функций типа функций Ляпунова — логические функции Ляпунова. В данной работе, в отличие от [9, 10], показано, что в качестве логических функций Ляпунова можно использовать не только элементарные дизъюнкции.
   Приводится критерий наличия некоторого свойства типа управляемости с условием мажорирования логической функции Ляпунова более слабым, чем условие гомоморфизма из [10], хотя при этом требуется дополнительное условие квазимонотонности правых частей системы сравнения.

1. Логико-динамическая модель процессов в цифровых схемах

   Под цифровой схемой традиционно понимается техническое устройство (q х т)-полюсник, имеющее q входных (7 ₑₓᵢ, i = l,g), т выходных (7 вых,, г = 1,т) полюсов и содержащее N элементов (Д,

АНАЛИЗ ПРОЦЕССОВ В ЦИФРОВЫХ СХЕМАХ

7

i = l,Ar), каждый из которых является (q^. х 1)-полюспиком (с входными полюсами и одним выходным полюсом). С каждым полюсом (входом или выходом) отождествляется “сигнал” — физический носитель дачных, обрабатываемых и выдаваемых схемой. Структура устройства задается соединениями полюсов.
   Элементы Е, — это технические устройства, генерирующие на своих выходах сигналы, которые могут быть интерпретированы как временные логические функции Е, от входных сигналов.
   Пусть Т = [£п,£к] С R¹ — временной интервал рассмотрения поведения цифровой схемы. Для цифровой схемы с N элементами и q входами введем пару математических функций (Е,Н), где

Е = (Г1,...,Ду), Ff. EN xEq^E, i = EN, E = {0,1},

Fj (z, u) — логическая функция, реализуемая г-м элементом схемы,

Н = (H₁,...,HN), Нг. Т х Eⁿ х Rⁿ -0 В¹, i = EN,

Hi(t,p,iL) — некоторая функция, моделирующая инерционные свойства г-го элемента, а именно характеризующая темп накопления зарядов в переключательных полупроводниковых элементах. Здесь переменные щ обозначают сигналы на входах схемы, переменные z, — сигналы на выходах элементов схемы. Некоторые из переменных z, являются одновременно выходами всей схемы. Вспомогательные (внутренние) переменные Xi(t) моделируют инерционный процесс накопления зарядов в переключательных элементах.
   Входные и выходные сигналы элементов и ЦС в целом образуют множество Р, которое рассматривается как множество функций s: Т г Е, кусочно постоянных на Т (имеющих на Т конечное число разрывов). Они называются далее временными последовательностями. Для определенности математических рассмотрений будем считать их функциями, непрерывными справа па Т\{£„}.
   Вводится понятие внутреннего состояния элемента, которое характеризуется функциями y(t) : Т г R¹, рассматриваемыми как абсолютно непрерывные функции. Множество таких функций далее обозначается АС.
   Для описания динамики внутреннего состояния y(t) элемента вводим вспомогательные объекты. Для t € Т и у € АС введем подмножество моментов времени

Ty(t) = {t'E[tH,t]; y(t') £(0,1)}.

Очевидно, что, если Ty(t) А 0, то существует максимальный элемент Tᵥ(f) = max Д': t' е Ty(f)}.
   Определим оператор

Ф: ACⁿ х Eⁿ —> PN, Ф(ж,г) = (<Дад,г1),..., Дзд, zjy)),

С.Н. ВАСИЛЬЕВ, П.К. КУЗНЕЦОВ, А.В. ЛАКЕЕВ

где х = (xi,... ,Xn) Е ACⁿ , z = (zi,...,zjv) е EN, а оператор р: АС х Е —> Р, р(у, z): Т-- Е. задает функцию выхода отдельного элемента ЦС при известном внутреннем состояши и начальном значении z его выхода:



если (t = tₙ) \/(Ty(t) = 0), в противном случае,

где у о : Я¹->[0,1],


Г °’
А'о(г) = < г,
I 1,

если г < 0, если 0 г 1, если г > 1.


   Таким образом, в начальный момент времени и до тех пор, пока после to y(t) € (0,1), значением выхода элемента в момент t будет старое состояше z, иначе 0 или 1 в зависимости от того, было ли в последний раз, когда у выходило за (0,1), у Et 0 или соответственно у 1. Иначе говоря, значение выхода 0 или 1 обновляется после и только после того, как внутреннее состояше примет противоположное значение 1 или 0 соответственно.
   Введем также вспомогательную функцию


■ф: Е х 7?¹ —> {—1,0,1}, ф(р, г) = рх(г) — рх(г),


где а = 1 — а, у: R¹ —> Е — функция Хевисайда,


Х(г) = { J

при г > 0,
при г 0,

а также для (р,х) = ((рх,... ,рх), (хх,... , х^у)) € EN х RN, диагональную (N х Аг)-матрицу:


Ф (р, х) = diag(^> (pi, xi),..., ф (pN, xN)).


   Функция ф определяет знак тока заряда в емкости полупроводникового переключательного элемента: если ф = 1, то происходит процесс заряда; если же ф = —1, то — процесс разряда, а если ф = 0, то ток заряда отсутствует. Поэтому произведение 77 Ф определяет ток t
заряда-разряда. Тогда интеграл f H'bdt определяет заряд, пакоплеп-«п
пый к моменту времени t. Математически здесь интеграл понимается в смысле Лебега. При этом, всюду в дальнейшем будем считать, что функция Н при каждом фиксированном р Е EN удовлетворяет следующим условиям Каратеодори [7, 11, 12]:
   1) при почти всех t Е Т H(t,p,HL) непрерывна по х;

АНАЛИЗ ПРОЦЕССОВ В ЦИФРОВЫХ СХЕМАХ

9

   2) при любом х е RN H(t,p,x) измерима по t;
   3)    для любого компакта В С Т х RN существует суммируемая на Т функция тв- Т —> R¹ такая, что для всех (f,x) Е В ||Я(Ср,х)|| A
                      t
   Поэтому интеграл J H'Sdt существует в силу следующей леммы.

   Л е м м а 1. Если при фиксированном р Е PN обозначить

= Я(£,р(£),х)Ф(р(£),х),            (1.1)

то функция Нр измерима, суперпозиционно измерима и ограничена по норме суммируемой функцией от t на каждом компакте из Т х х Rⁿ.
   Переключательн ым процессом для пары (F, Н) при заданном начальном состоянии (z₀,x₀) Е EN х [0, lpv и входе и Е Pq называется пара векторных функций (д,ж), z : Т —> EN, z Е PN, х : Т —> —> [0,l]'v, х Е ACN, удовлетворяющих при любом t Е Т следующей системе логико-интегро-операторных уравнений:

                       t
           a?(t)=xo +  У Я(т,р(т),а?(т))Ф(р(т),а?(т)) dr,  (1.2)

р(т) = F(z(t),u(t)),               (1.3)
z(t) = $(a?,z₀)(f).                (1.4)
Множество всех таких   переключательных процессов будем обозначать в дальнейшем через r(zo, xq, и).
   Из результатов следующих разделов следует, что при естественных предположениях о Я, для заданного входа и начального состояния указанный переключательный процесс существует и единственен, что является необходимым условием корректности модели. Вычислительные эксперименты на такой модели вполне удовлетворительно коррелируют с результатами физических экспериментов [13]. Были проведены экспериментальные исследования динамических процессов в серийных логических элементах, которые подтвердили адекватность введенной модели [13].
   Определение. Система всех переключательных процессов, задаваемая парой (Я, Я), называется логико-динамическ&й моделью (ЛДМ) цифровой схемы (или просто ЛДМ).
   Замечание 1. Данное определение ЛДМ обобщает определение, введенное в работе [5], которое получается из приведенного выше определения, если дополнительно потребовать чтобы Я; зависело только от t и pi, т. е. НффрхР) = Hi(t,Pi).

С.Н. ВАСИЛЬЕВ, П.К. КУЗНЕЦОВ, А.В. ЛАКЕЕВ

2. Существование, единственность, продолжимость решений уравнения (1.2)

   Прежде, чем сформулировать теоремы существования и единственности переключательного процесса, исследуем эти вопросы отдельно для уравнения (1.2), считая (всюду в данном разделе), что фиксировано некоторое р Е PN. В этом случае, как известно [11, 12], функция х Е ACN является решением (1.2) тогда и только тогда, когда х является А'-решением (решением в смысле Каратеодори [12]) следующей задачи Коши:

x(t)=Hp(t,x(t)), x(to) = хо,           (2.1)

где Нр определяется формулой (1.1), знак А означает равенство при почти всех t Е Т.
   Однако, так как функция Нр разрывна по х при любом t Е Т, известные теоремы существования А'-решений неприменимы. С другой стороны, в силу леммы 1 существуют обобщенные решения (в различных смыслах [7, 11, 12, 14]) задачи Коши (2.1) и, используя специфичный вид функции Нр (1.1), можно доказать следующее утверждение.
   Теорема 1. Пусть Н удовлетворяет условиям Каратеодори и р Е PN. Тогда для задачи Коши (2.1) классы ОП-решений [7, 11, 14], решений в смысле Ф илиппова [12] и К-решен ий совпадают.
   Из известной теоремы существования обобщенных решений [9, с. 67, теорема 9] и теоремы 1 получаем
   Следствие 1. Для любого хц Е RN существует К-решение задачи Коши (2.1) и любое К-решение продолжим# до границы любого компакта из Т х RN.
   В ЛДМ функции Н(, как правило, являются неотрицательпыми. Это дополнительное ограничение позволяет доказать ограниченность решений (2.1).
   Теорема 2. Пусть Н удовлетворяет условиям Каратеодори, р Е Р и, кроме того,

   Hi(t,p,ie) 'Et 0 при любых (t,p,ie) ЕТ х Eⁿ х Rⁿ , i = 1,N. (2.2)

   Тогда для любого хц Е RN, любого К-ре шения х задачи Ко ши (2.1) и любого t из области определения dom.r решения х, miii{xₒ,O}
   x(t) max{xo, 1}, где 0 = (0, ...,0), 1 = (1, ...,1) Е RN, а max, min и понимаются покомпонентно.
   Непосредственно из этой теоремы и следствия 1 получаем
   Следствие 2. При условиях теоремы 2:
   1) любое К-решение задачи Коши (2.1) продолжим# на Т\
   2)   множество [0, l]w С RN инвариантно относительно К-реше-ний (2.1).