Сопротивление материалов

Рассмотрены темы базовых разделов курса «Сопротивление материалов»: «Статика», «Растяжение и 
сжатие», «Сдвиги и кручение» и др. Приведены примеры решения типовых задач и вопросы для самоконтроля.

Т. Г. Калиновская, Н. А. Дроздова, А. Т. Рябова-Найдан
СОПРОТИВЛЕНИЕ
МАТЕРИАЛОВ

Учебное пособие

ИНСТИТУТ ГОРНОГО ДЕЛА,  
ГЕОЛОГИИ И ГЕОТЕХНОЛОГИЙ

Предисловие 

1 

Министерство образования и науки Российской Федерации 
Сибирский федеральный университет 
 
 
 
 
 
 
Т. Г. Калиновская, Н. А. Дроздова, А. Т. Рябова-Найдан 
 
 
 
СОПРОТИВЛЕНИЕ 
МАТЕРИАЛОВ 
 
 
Учебное пособие 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
Красноярск 
СФУ 
2016 

Сопротивление материалов 

2 

УДК 539.3/.6(07) 
ББК 30.121я73 
        К172 
 
 
 
 
Р е ц е н з е н т ы: 
А. В. Прошкин, доктор технических наук, профессор, начальник лаборатории углеродных футеровочных материалов ООО «РУСАЛ ИТЦ»; 
Н. А. Смирнов, доктор технических наук, профессор, заведующий 
кафедрой технической механики Сибирского государственного аэрокосмического университета имени М. Ф. Решетнёва 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
Калиновская, Т. Г. 
К172            Сопротивление материалов : учеб. пособие / Т. Г. Калиновская, 
Н. А. Дроздова, А. Т. Рябова-Найдан. – Красноярск : Сиб. федер.         
ун-т, 2016. – 164 с. 
ISBN 978-5-7638-3580-9 
 
 
Рассмотрены темы базовых разделов курса «Сопротивление материалов»: 
«Статика», «Растяжение и сжатие», «Сдвиги и кручение» и др. Приведены примеры решения типовых задач и вопросы для самоконтроля. 
Предназначено для бакалавров направления подготовки 22.03.02 «Металлургия», студентов инженерных специальностей других направлений, а также инженеров, преподавателей и специалистов предприятий различных отраслей. 
 
 
Электронный вариант издания см.: 
http://catalog.sfu-kras.ru 
УДК 539.3/.6(07) 
ББК 30.121я73 
 
ISBN 978-5-7638-3580-9                                                            © Сибирский федеральный  
                                                                                                          университет, 2016 

Предисловие 

3 

 
  ВВЕДЕНИЕ 

 
 
«Сопротивление материалов» является дисциплиной, в которой изучаются основные понятия и принципы, используемые в расчетах на 
прочность, жесткость и устойчивость элементов конструкций, позволяющие 
ответить на многие важные инженерные вопросы: дать оценку прочности; 
определить допустимые нагрузки; подобрать необходимые размеры элементов конструкции и соответствующие материалы, обеспечивающие их прочность и экономичность; провести оптимизацию параметров конструкции. 
Число учебных часов, выделяемых на дисциплину «Сопротивление 
материалов» в последние десятилетия сокращается, поэтому целесообразно 
издание учебных пособий, в которых излагается теоретический материал, 
в основном посвященный программным вопросам курса. При необходимости более подробной проработки отдельных тем можно обратиться к более 
полным учебным изданиям или научной литературе. Настоящее учебное 
пособие составлено с учетом опыта преподавания курса «Сопротивление 
материалов» на кафедре «Техническая механика» Сибирского федерального 
университета. Содержание предлагаемого учебного пособия соответствует 
учебной программе высших технических образовательных учреждений для 
студентов, обучающихся по системе инженерной подготовки бакалавров 
по направлению 22.03.02 «Металлургия». 
Основные положения дисциплины «Сопротивление материалов» 
опираются на законы и теоремы механики, в первую очередь, на законы 
равновесия тела под действием различных систем сил, изучаемые в разделе 
«Статика» курса «Теоретическая механика». В образовательной программе 
подготовки бакалавров по направлению 22.03.02. «Металлургия» в Сибирском федеральном университете не предусмотрена дисциплина «Теоретическая механика». В связи с этим авторы сочли необходимым дополнить 
теоретический материал учебного пособия главой «Статика», в которой изложены основы учения о силах и условия равновесия тел под действием сил. 
Для лучшего усвоения материала основные вопросы курса иллюстрированы примерами решения типовых задач. В конце каждой главы приведены вопросы и задания для самоконтроля. Учебное пособие дополнено 
алфавитным и предметным указателями, а также необходимым справочным 
материалом, приведенным в приложении. 
Авторы стремились сохранить доступность изложения, рассчитывая 
на то, что пособие будет полезно широкому кругу читателей: инженерам, 
преподавателям и студентам инженерных специальностей любых направлений.

Сопротивление материалов 

4 

 
1  СТАТИКА 

 
 
Статика – раздел механики твердого тела, который представляет собой общее учение о силах и условиях равновесия материальных 
тел, находящихся под действием сил. 
 
 
1.1. Основы учения о силах 
 
Силой в механике называется величина, являющаяся основной мерой механического взаимодействия материальных тел. Графически сила изображается вектором, указывающим направление действия 
и точку приложения силы (рис. 1.1). Прямая DE, вдоль которой направлен 
вектор силы, называется линией действия силы. 
 

 
 

Единицей измерения силы является 1 ньютон (1 Н). 
Система сил – это совокупность 
сил, приложенных к одному телу. Система сил называется плоской, если линии действия всех сил лежат в одной 
плоскости, или пространственной – 
если эти линии не лежат в одной плоскости. Кроме того, силы называют 
сходящимися, если линии их  действия  
пересекаются  в одной точке, и  параллельными, если   линии  действия  сил 

Рис. 1.1 

параллельны друг другу. Если две различные системы сил приводят тело 
к одному и тому же кинематическому состоянию, то их называют эквивалентными системами сил. 
Равнодействующая системы сил – это одна сила, эквивалентная 
данной системе сил. 
Равновесием называют такое состояние тела, когда под действием 
приложенных сил оно не получает ускорения. Частными случаями равновесия можно считать состояние равномерного прямолинейного движения и 
состояние покоя тела по отношению к другим телам. Система сил, под 
действием которой твердое тело находится в состоянии покоя, является 
уравновешенной, или эквивалентной нулю. 
 

1. Статика 

5 

1.1.1. Аксиомы статики 

Аксиомы статики, установленные многочисленными наблюдениями, 
формулируют наиболее общие и простые закономерности, которым подчиняются силы. 
Аксиома 1. Если на свободное абсолютно твердое тело действуют 
две силы, то тело может находиться в равновесии тогда и только тогда, когда 
эти силы равны по модулю (|F1| = |F2|) и направлены вдоль одной прямой 
в противоположные стороны (рис. 1.2). 
Аксиома 2. Действие данной системы сил на абсолютно твердое тело не изменяется, если к ней прибавить или от нее отнять уравновешенную 
систему сил. 
Следствие: действие силы на абсолютно твердое тело не изменится, 
если перенести точку приложения силы вдоль ее линии действия в любую 
другую точку тела. 
Аксиома 3 (закон параллелограмма сил). Две силы, приложенные 
к телу в одной точке, имеют равнодействующую, приложенную в той же 
точке и изображаемую диагональю параллелограмма, построенного на 
этих силах, как на сторонах (рис. 1.3). 
 

 
 
Рис. 1.2 
Рис. 1.3 
 
Направление и модуль вектора равнодействующей определяется векторной суммой: 

R  = F 1 + F 2.                                           (1.1) 
Аксиома 4 (закон равенства действия и 
противодействия). При всяком действии одного тела на другое имеет место равное численно, но противоположное по направлению 
противодействие, т. е. F= – F  (рис. 1.4). 
Заметим, что силы F  и F не образуют 
уравновешенную систему сил, так как приложены к разным телам. 

 
Рис. 1.4 

Аксиома 5 (принцип отвердевания). Равновесие деформируемого тела, 
находящегося под действием уравновешенной системы сил, возможно 
только при его «отвердевании». 

А 
В

Сопротивление материалов 

6 

Например, для равновесия гибкой нити под действием двух сил, 
приложенных к ее концам (F1 = F2), требуется, чтобы приложенные силы 
были не только уравновешенными, но еще и растягивающими. 
 
1.1.2. Проекция силы на ось 

Проекция силы на ось – это алгебраическое значение отрезка, заключенного между проекциями на ось точек начала и конца вектора силы 
(рис. 1.5). 
 

 
Рис. 1.5 
 
Проекция силы на координатную ось равна произведению модуля 
силы на косинус угла между направлением силы и положительным направлением оси. Так, для сил, изображенных на рис. 1.5, 

Fx = F cos  = ab, Qx = Q cos1 = – Q cos = – de, Px = 0.      (1.2) 
 
1.1.3. Момент силы относительно центра 

Под действием приложенной силы тело, закрепленное в некотором 
центре, может совершать вращение вокруг него. Вращательный эффект 
силы характеризуется моментом силы относительно центра. Момент силы 
относительно центра можно выразить в алгебраической и в векторной 
формах. 
Алгебраический момент силы F  относительно центра О равен взятому с соответствующим знаком произведению модуля силы на плечо силы h, т. е. 

m0( F ) = ±  F  h.                                        (1.3) 

При этом плечом силы F  относительно центра О называют длину 
перпендикуляра h, опущенного из центра О на линию действия силы F  
(рис. 1.6: h1 – для силы P ; h2 – для силы Q ). 
Правило знаков момента силы еще называют «правилом буравчика»: 
момент считается положительным, когда сила стремится повернуть тело 
вокруг центра против хода часовой стрелки, и отрицательным – по ходу 
часовой стрелки.  

1. Статика 

7 

Так, моменты сил, изображенных на рис. 1.6 будут иметь противоположные знаки: m0( P ) = + Ph1; m0(Q ) = – Qh2. 
Момент силы относительно центра будет равен нулю, когда линия 
действия силы проходит через этот центр (плечо силы равно нулю). 
Векторный момент силы F  (см. рис. 1.7) относительно центра О – 
это вектор 
0( )
m F , равный векторному произведению радиуса-вектора точки 

приложения силы r  = OA на сам вектор силы: 

0( )
m F  = r F .                                           (1.4) 

 

 
 
Рис. 1.6 
Рис. 1.7 
 
Модуль вектора момента силы равен 
0( )
m F
F h

. 

Вектор 
0(
)
m
F  направлен из центра О перпендикулярно плоскости, 
проходящей через центр О и силу в ту сторону, откуда сила видна стремящейся повернуть тело вокруг центра О против хода часовой стрелки 
(рис. 1.7). 
 
1.1.4. Момент силы относительно оси 

Момент силы относительно оси определяет действие силы, связанное 
с поворотом тела вокруг оси. 
Рассмотрим силу F , приложенную к 
телу в точке А (рис. 1.8). 
Чтобы определить момент силы F относительно оси z, необходимо спроецировать вектор силы на плоскость xy, перпендикулярную оси z, и затем найти момент полученной проекции 
xy
F  относительно точки О 
(точки пересечения оси z и плоскости xy), 
как указано в п. 1.1.3. Таким образом 

Рис. 1.8 

 

0
( )
(
)
z
xy
xy
m F
m F
F
h

 
 . 
 
 
 
(1.5) 

Сопротивление материалов 

8 

Момент силы относительно оси является величиной алгебраической, 
и знак его можно определить по «правилу буравчика»: 
( )
z
m
F будет иметь 
знак плюс, когда при взгляде с положительного конца оси поворот силы 

xy
F  вокруг центра О виден происходящим против хода часовой стрелки 
и знак минус – при обратном направлении, по ходу часовой стрелки. 
Момент силы относительно оси равен нулю в случаях когда:  
● сила действует параллельно оси; 
● линия действия силы пересекает ось (так как h = 0). 
 
1.1.5. Пара сил и ее момент 

Парой сил называется система двух равных по модулю, параллельных и направленных в противоположные стороны сил, действующих на 
твердое тело (рис. 1.9, а). 
Кратчайшее расстояние d между линиями действия сил пары называется плечом пары. Действие пары сил на твердое тело сводится к вращательному эффекту и характеризуется моментом пары.  
Векторный момент пары сил – это вектор M , направленный перпендикулярно плоскости действия пары в ту сторону, откуда пара видна 
стремящейся повернуть тело против хода часовой стрелки (рис. 1.9, б). 
В отличие от момента силы (см. п. 1.1.3) вектор M  может быть изображен 
в любой точке (такой вектор называется свободным). 
Алгебраический момент пары равен взятому с соответствующим 
знаком произведению модуля одной из сил пары на плечо пары: 
М = ± Fd.  
 
 
 
(1.6) 
Правило знаков момента пары такое же, как для момента силы. Так, 
для пары ( F , F), изображенной на рис. 1.10, а, момент М1 = Fd1, а для пары 
(
,
P
P ) момент М2 = – Pd2. 

 

 
 
 
 

 

 
 

а 
б 
а 
б 
в 
Рис. 1.9 
Рис. 1.10 
 
В расчетной схеме нагруженной конструкции действующую на тело 
пару сил можно изображать упрощенно. Например, действие пар сил          

1. Статика 

9 

( F , F) и (
,
P
P), показанных на рис. 1.10, а, может быть заменено их моментами М1 и М2 соответственно (рис. 1.10, б, в). 
Единицы измерения момента пары, как и момента силы, – ньютонметры (Нм). 
 
1.1.6. Теорема о параллельном переносе силы 

Пусть на твердое тело в точке А действует сила 
А
F  (рис. 1.11, а). Перенесем силу 
А
F  параллельно самой себе из точки А в произвольно выбранный центр В. 
 

 
а 
б 
в 
Рис. 1.11 
 
Кинематическое состояние тела не изменяется, если в произвольной 
точке B тела добавить уравновешенную систему (
В
F , 
'В
F
) так, что                    

В
F = 
'В
F
 = F  (рис. 1.11, б). Полученная система трех сил и состоит из силы 

В
F , приложенной в точке В параллельно 
А
F , а также пары сил (
А
F , 
'В
F
) 
с моментом 
(
)
B
М
m
F

. Таким образом, действие силы 
А
F  эквивалентно 
совместному действию силы 
В
F  и пары сил с моментом М : 

А
F  = 
В
F  + М ,                                           (1.7)  

а правило параллельного переноса силы гласит: силу, приложенную к 
телу, можно параллельно переносить в любой выбранный центр, добавляя 
к ее действию в новом центре пару сил с моментом, равным моменту исходной силы относительно этого центра (рис. 1.11, в). 
 
1.1.7. Приведение системы сил к одному центру 

Пусть на твердое тело действует произвольная система сил 
1F ,           

2
F , … , 
n
F  (рис. 1.12, а). 
Пользуясь теоремой о параллельном переносе силы, перенесем все 
силы в центр 0, присоединяя при этом соответствующие пары сил. Тогда