Книжная полка Сохранить
Размер шрифта:
А
А
А
|  Шрифт:
Arial
Times
|  Интервал:
Стандартный
Средний
Большой
|  Цвет сайта:
Ц
Ц
Ц
Ц
Ц

Решение задач по физике. 25 шагов к сдаче ЕГЭ

Покупка
Артикул: 690448.01.99
В настоящем пособии кратко рассмотрены теоретические вопросы, знание которых потребуется учащемуся при решении задач и выполнении теоретических заданий при сдаче ЕГЭ. Кроме того пособие содержит более 300 примеров решения задач по всем разделам физики с подробными пояснениями, примеры тестов и условия задач, самостоятельно решая которые, можно оценить свои возможности успешной сдачи экзамена. Пособие будет надежным помощником учащимся при подготовке к экзаменам в школе и абитуриентам для поступления в вуз, а также их наставникам.
Парфентьева, Н. А. Решение задач по физике. 25 шагов к сдаче ЕГЭ : учебное пособие / Н. А. Парфентьева. - Москва : Лаборатория знаний, 2017.- 499 с. - ISBN 978-5-00101-551-2. - Текст : электронный. - URL: https://znanium.com/catalog/product/978141 (дата обращения: 21.05.2024). – Режим доступа: по подписке.
Фрагмент текстового слоя документа размещен для индексирующих роботов. Для полноценной работы с документом, пожалуйста, перейдите в ридер.
УДК 53(075.3)
ББК 22.3я729

П18

Парфентьева Н. А.

П18
Решение задач по физике. 25 шагов к сдаче ЕГЭ
[Электронный ресурс] : учебное пособие / Н. А. Парфентьева. — Эл. изд. — Электрон. текстовые дан. (1 файл
pdf
:
499 с.). — М.
:
Лаборатория
знаний,
2017. —
Систем. требования: Adobe Reader XI ; экран 10".
ISBN 978-5-00101-551-2
В настоящем пособии кратко рассмотрены теоретические
вопросы, знание которых потребуется учащемуся при решении задач и выполнении теоретических заданий при сдаче
ЕГЭ.
Кроме
того
пособие
содержит
более
300
примеров
решения задач по всем разделам физики с подробными пояснениями, примеры тестов и условия задач, самостоятельно
решая которые, можно оценить свои возможности успешной
сдачи экзамена.
Пособие
будет
надежным
помощником
учащимся
при
подготовке
к
экзаменам
в
школе
и
абитуриентам
для
поступления в вуз, а также их наставникам.
УДК 53(075.3)
ББК 22.3я729

Деривативное
электронное
издание
на
основе
печатного
аналога: Решение задач по физике. 25 шагов к сдаче ЕГЭ :
учебное пособие / Н. А. Парфентьева. — М. : Лаборатория
знаний, 2017. — 496 с. : ил. — ISBN 978-5-00101-028-9.

В соответствии со ст. 1299 и 1301 ГК РФ при устранении ограничений,
установленных
техническими
средствами
защиты
авторских
прав,
правообладатель вправе требовать от нарушителя возмещения убытков или
выплаты компенсации

ISBN 978-5-00101-551-2
c○ Лаборатория знаний, 2017

2

Оглавление

Предисловие 
10

Шаг 1. Механика. Кинематика 
11

1.1. Перемещение, путь, скорость 
12

1.2. Прямолинейное равномерное движение 
14

1.3. Относительность движения. Классический закон сложения 
скоростей 
15

1.4. Движение с переменной скоростью 
16

1.5. Прямолинейное равноускоренное движение 
17

1.6. Кинематика движения материальной точки по окружности 
и вращательного движения твердого тела с неподвижной 
осью вращения 
20

 
1.7. Криволинейное движение 
22

Примеры решения задач 
25

Тесты 
37

Задачи для самостоятельного решения 
39

Шаг 2. Динамика. Законы Ньютона 
43

2.1. Основные понятия динамики 
43

2.2. Основные силы в механике 
43

 
2.3. Законы Ньютона 
47

Примеры решения задач 
49

Тесты 
57

Задачи для самостоятельного решения 
58

Шаг 3. Динамика. Законы сохранения 
61

3.1. Импульс тела. Закон сохранения импульса 
61

Примеры решения задач I 
63

Тесты I 
68

Задачи для самостоятельного решения I 
69

3.2. Механическая работа. Мощность 
70

3.3. Кинетическая и потенциальная энергии 
74

3.4. Закон сохранения механической энергии 
75

Примеры решения задач II 
76

Тесты II 
83

Задачи для самостоятельного решения II 
84

Шаг 4. Статика 
87

4.1. Условие равновесия материальной точки 
87

4.2. Момент силы. Условие равновесия тела с неподвижной 
осью вращения 
87

Оглавление

 
4.3. Условия равновесия свободного твердого тела 
88

 
4.4. Определение центра тяжести и центра масс 
88

 
4.5. Типы равновесия тела 
90

Примеры решения задач 
91

Тесты 
100

Задачи для самостоятельного решения 
101

Шаг 5. Динамика криволинейного движения материальной точки 
103

 
5.1. Основные понятия динамики криволинейного движения 
103

 
5.2. Движение тел в поле силы тяготения 
105

Примеры решения задач 
105

Тесты 
117

Задачи для самостоятельного решения 
119

Шаг 6. Элементы гидромеханики 
121

 
6.1. Основные понятия 
121

 
6.2. Закон Паскаля. Гидравлический пресс 
122

 
6.3. Атмосферное давление 
123

 
6.4. Закон Архимеда 
124

 
6.5. Уравнение Бернулли 
126

Примеры решения задач 
129

Тесты 
132

Задачи для самостоятельного решения 
133

Шаг 7. Молекулярная физика. Газовые законы. Основное 
уравнение МКТ газов 
135

 
7.1. Основные понятия 
135

 
7.2. Газовые законы 
137

 
7.3. Объединенный газовый закон. Уравнение Клапейрона — 
Менделеева 
139

 
7.4. Закон Дальтона 
141

 
7.5. Основное уравнение молекулярно-кинетической теории газов 
141

Примеры решения задач 
145

Тесты 
151

Задачи для самостоятельного решения 
153

Шаг 8. Первый закон термодинамики 
155

 
8.1. Основные понятия и законы 
155

 
8.2. Первый закон (начало) термодинамики 
158

 
8.3. Изопроцессы в газах с точки зрения первого закона термодинамики 
159

Примеры решения задач 
160

Тесты 
162

Задачи для самостоятельного решения 
163

Оглавление

Шаг 9. Второй закон термодинамики. Теория тепловых машин 165

 
9.1. Второй закон (начало) термодинамики 
165

 
9.2. Тепловая машина 
165

 
9.3. Идеальный цикл Карно 
167

 
9.4. Холодильная машина 
169

Примеры решения задач 
169

Тесты 
171

Задачи для самостоятельного решения 
171

Шаг 10. Реальные газы, влажность. Свойства жидкостей 
173

 
10.1. Насыщенный и ненасыщенный пар 
173

 
10.2. Влажность 
175

 
10.3. Свойства жидкости 
175

 
10.4. Тепловое расширение жидких и твердых тел 
179

Примеры решения задач 
181

Тесты 
187

Задачи для самостоятельного решения 
188

Шаг 11. Уравнение теплового баланса. Фазовые превращения первого рода 
191

 
11.1. Агрегатные состояния вещества 
191

 
11.2. Плавление и кристаллизация 
192

 
11.3. Испарение и конденсация 
192

 
11.4. Кипение жидкости 
193

 
11.5. Уравнение теплового баланса 
194

Примеры решения задач 
195

Тесты 
197

Задачи для самостоятельного решения 
198

Шаг 12. Электростатика. Закон Кулона. Напряженность 
199

 
12.1. Способы электризации тел 
199

 
12.2. Свойства электрических зарядов 
201

 
12.3. Закон Кулона 
201

 
12.4. Напряженность электрического поля. Силовые линии 
203

 
12.5. Электрическое поле точечного заряда и некоторых других 
заряженных тел 
204

 
12.6. Проводники и диэлектрики в электрическом поле 
206

Примеры решения задач 
208

Тесты 
218

Задачи для самостоятельного решения 
219

Шаг 13. Потенциал. Разность потенциалов 
221

 
13.1. Работа электростатической силы по перемещению заряда 
221

 
13.2. Потенциал 
223

 
13.3. Эквипотенциальные поверхности 
224

 
13.4. Принцип суперпозиции для потенциала 
225

 
13.5. Связь напряженности электрического поля с потенциалом 
226

Оглавление

Примеры решения задач 
226

Тесты 
232

Задачи для самостоятельного решения 
233

Шаг 14. Электрическая емкость. Энергия электрического поля 
235

 
14.1. Электрическая емкость проводника 
235

 
14.2. Емкость конденсатора 
235

 
14.3. Последовательное и параллельное соединение конденсаторов 
237

 
14.4. Энергия электрического поля 
238

Примеры решения задач 
240

Тесты 
246

Задачи для самостоятельного решения 
247

Шаг 15. Постоянный электрический ток. Законы Ома 
249

 
15.1. Сила тока 
249

 
15.2. Классическая теория проводимости металлов 
250

 
15.3. Закон Ома для однородного участка цепи 
251

 
15.4. Последовательное и параллельное соединение резисторов 
252

 
15.5. Шунтирование приборов 
253

 
15.6. Электродвижущая сила. Закон Ома для полной цепи 
255

 
15.7. Последовательное и параллельное соединение источников тока. Правила Кирхгофа 
257

 
15.8. Тепловое действие тока. Закон Джоуля — Ленца 
259

Примеры решения задач 
260

Тесты 
272

Задачи для самостоятельного решения 
273

Шаг 16. Токи в различных средах 
277

 
16.1. Ток в электролитах 
277

Примеры решения задач I 
278

 
16.2. Токи в вакууме и в газах 
280

Примеры решения задач II 
287

 
16.3. Полупроводники. Собственная и примесная проводимость 
полупроводников 
289

Примеры решения задач III 
293

Тесты III 
294

Задачи для самостоятельного решения III 
295

Шаг 17. Магнитное поле. Индукция магнитного поля. Силы 
Ампера и Лоренца 
297

 
17.1. Магнитное поле. Вектор магнитной индукции 
297

 
17.2. Магнитное поле проводников с током различной конфигурации 
300

 
17.3. Закон Ампера 
301

 
17.4. Взаимодействие двух прямолинейных проводников с током 
302

 
17.5. Рамка с током в магнитном поле 
303

 
17.6. Движение заряженных частиц в магнитном поле 
304

 
17.7. Магнитные свойства вещества 
306

Оглавление

Примеры решения задач 
309

Тесты 
314

Задачи для самостоятельного решения 
315

Шаг 18. Явление электромагнитной индукции и самоиндукции 
317

 
18.1. Опыты Фарадея 
317

 
18.2. Магнитный поток 
317

 
18.3. Явление электромагнитной индукции. Правило Ленца 
318

 
18.4. Движение прямолинейного проводника в магнитном поле 
319

 
18.5. Работа при движении проводника с током в магнитном поле 
320

 
18.6. Вывод формулы для ЭДС индукции 
321

 
18.7. Явление самоиндукции 
322

 
18.8. Энергия магнитного поля 
323

Примеры решения задач 
324

Тесты 
330

Задачи для самостоятельного решения 
330

Шаг 19. Колебания и волны. Механические колебания 
333

 
19.1. Уравнение колебаний 
333

 
19.2. Характеристики гармонических колебаний 
334

 
19.3. Кинематические характеристики гармонического колебания 
334

 
19.4. Динамика гармонических колебаний 
335

 
19.5. Примеры расчета частоты колебаний в различных механических системах 
335

 
19.6. Преобразование энергии при гармонических колебаниях 
337

 
19.7. Сложение колебаний, направленных вдоль одной прямой 
339

 
19.8. Затухающие колебания 
340

 
19.9. Вынужденные колебания 
341

 19.10. Упругие (механические) волны. Классификация волн 
342

 19.11. Вывод уравнения плоской волны 
344

 19.12. Интерференция волн 
344

 19.13. Стоячая волна 
348

 19.14. Звук 
350

Примеры решения задач 
351

Тесты 
361

Задачи для самостоятельного решения 
362

Шаг 20. Электромагнитные колебания. Свойства электромагнитных волн. Переменный ток 
365

 
20.1. Колебательный контур 
365

 
20.2. Затухающие колебания 
367

 
20.3. Вынужденные колебания 
369

 
20.4. Переменный ток 
370

 
20.5. Генератор переменного тока 
373

 
20.6. Трансформатор 
373

 
20.7. Электромагнитные волны 
375

Оглавление

 
20.8. Основные свойства электромагнитной волны 
376

 
20.9. Шкала электромагнитных волн 
377

 20.10. Радиоволны 
377

Примеры решения задач 
380

Тесты 
385

Задачи для самостоятельного решения 
386

Шаг 21. Геометрическая оптика 
389

 
21.1. Прямолинейное распространение света 
389

 
21.2. Законы отражения света 
389

 
21.3. Законы преломления света 
390

 
21.4. Явление полного внутреннего отражения 
391

Примеры решения задач I 
392

 
21.5. Линзы 
398

 
21.6. Построение изображений в собирающей линзе 
401

 
21.7. Построение изображений в рассеивающей линзе 
403

 
21.8. Вывод формулы линзы 
404

 
21.9. Оптические системы 
405

Примеры решения задач II 
406

Тесты II 
416

Задачи для самостоятельного решения II 
417

Шаг 22. Волновая и квантовая оптика 
419

 
 Волновая оптика 
419

 
22.1. Интерференция света 
419

 
22.2. Оптическая разность хода 
421

 
22.3. Условия наблюдения интерференционных минимумов 
и максимумов 
421

 
22.4. Опыт Юнга 
422

 
22.5. Расчет интерференционной картины 
422

 
22.6. Применение интерференции 
424

 
22.7. Дифракция света 
425

 
22.8. Дифракционная решетка 
425

 
22.9. Дисперсия, поляризация, рассеяние света 
427

Примеры решения задач I 
429

Тесты I 
434

Задачи для самостоятельного решения I 
435

 
 Квантовая оптика 
436

 22.10. Тепловое излучение. Гипотеза квантов Планка 
436

 22.11. Фотоэффект 
438

 22.12. Законы Столетова для внешнего фотоэффекта 
439

Примеры решения задач II 
440

Тесты II 
442

Задачи для самостоятельного решения II 
443

Оглавление

Шаг 23. Элементы теории относительности 
445

 
23.1. Принцип относительности Галилея и теория эфира 
445

 
23.2. Постулаты теории относительности 
447

 
23.3. Следствия из постулатов теории относительности 
448

 
23.4. Элементы релятивистской динамики 
449

Примеры решения задач 
451

Тесты 
455

Задачи для самостоятельного решения 
456

Шаг 24. Атомная физика. Модель атома Бора 
457

 
24.1. Свойства атомов. Модели атомов 
457

 
24.2. Модель атома по Бору 
460

 
24.3. Волны де Бройля 
463

 
24.4. Принцип неопределенности Гейзенберга 
463

 
24.5. Лазеры 
463

Примеры решения задач 
465

Тесты 
469

Задачи для самостоятельного решения 
470

Шаг 25. Ядерная физика. Явление радиоактивности, деление и синтез ядер 
471

 
25.1. Состав ядра 
471

 
25.2. Дефект масс и энергия связи 
472

 
25.3. Явление радиоактивности 
473

 
25.4. Закон радиоактивного распада 
475

 
25.5. Ядерные реакции 
477

Примеры решения задач 
483

Тесты 
484

Задачи для самостоятельного решения 
485

 
25.6. Современные проблемы физики. Элементарные частицы 
486

Ответы на вопросы тестов и к задачам для самостоятельного решения 
491

Успех сдачи экзамена зависит, в основном, от знания предмета. Основная цель данной книги не только подготовить ученика к успешной сдаче 
экзамена по физике, но и дать ему более глубокое понимание законов физики.
Очевидно, что учащемуся надо приобрести навыки решения задач и ответов на вопросы тестов. Не трудясь, это невозможно.
Поэтому в пособии дается достаточно много задач с решениями, которые надо разобрать с ручкой в руках, а также задач для самостоятельного 
решения, решение которых позволит учащемуся проверить свои знания 
и умения.
Вариант, предлагаемый на ЕГЭ, состоит из двух частей.
Первая часть: 1) качественные вопросы, требующие выбора правильного 
ответа; 2) задачи-упражнения для получения числового ответа; 3) анализ 
графиков; 4) определение показаний физических приборов; 5) выявление 
соответствия формулы и закона или формулы для определения физической 
величины.
Вторая часть: 1) качественный вопрос, требующий письменного объяснения ответа; 2) задачи, решение которых записывается с объяснением логики 
решения и формулировками использованных в нем законов.
В пособии даются рекомендации и приводятся примеры по всем видам 
предлагаемых заданий: 1) краткое изложение теории; 2) примеры ответов 
на вопросы и решения задач разного уровня сложности, при этом задачи 
по определенной теме идут под тем же номером, что и теория; 3) в конце каждой темы (шага) тесты и задачи для самостоятельного решения; 4) ответы 
на вопросы тестов и к задачам (в конце книги).
Пособие может быть использовано как учащимися, так и учителями старших классов, а также студентами первых курсов технических университетов 
для восстановления знаний по физике, приобретенных в школе. Приводятся 
некоторые выводы и формулы с использованием элементов математического анализа, что поможет учащемуся легче перейти к курсу физики высшей 
школы.
Кроме этого в книге есть материал, в котором, как рассчитывает автор, 
физика предстает современной, живой наукой, что особенно должно стимулировать читателя к ее изучению и пониманию этой науки. В конце пособия 
дается краткое изложение современных проблем физики.
Желаю успеха!

Чтобы выигрывать, прежде всего нужно играть.
А. Эйнштейн

2
3
4
5
6
7
8
9
10
11
12
13
14
15
16
17
18
19
20
21
22
23
24
25

1
Механика. Кинематика

В разделе физики «Механика» изучаются механическое движение,
условия и причины, вызывающие его, а также условия равновесия тел. 
Механическим движением называется изменение положения тела или 
его частей относительно других тел с течением времени.
Всякое движение относительно. Характер движения зависит от того, относительно каких тел мы его рассматриваем.
Тело, относительно которого мы рассматриваем положение других тел 
в пространстве, называется телом отсчета.
Системой отсчета называют тело отсчета, систему координат, связанную с телом отсчета, и выбранный метод отсчета времени, т. е. часы. Выбор 
системы отсчета зависит от условий данной задачи.
В физике широко пользуются моделями, которые позволяют из всего многообразия физических свойств выбрать главное, определяющее данное физическое явление. Одними из первых моделей реальных тел являются материальная точка и абсолютно твердое тело.
Материальной точкой называется тело, размерами и формой которого можно пренебречь в условиях данной задачи; таким образом, движение 
реального тела можно рассматривать как движение геометрической точки. 
Абсолютно твердым телом называется тело, расстояние между любыми 
двумя точками которого остается постоянным при его движении.
Эти модели позволяют не рассматривать деформацию тел при их движении.
Движение реальных тел, как правило, сложное. Поэтому для упрощения решения задач пользуются законом независимости движений: всякое 
сложное движение можно представить как сумму независимых простейших 
движений. К простейшим движениям относятся поступательное и вращательное.
Поступательным называется движение, при котором отрезок, соединяющий любые две точки твердого тела, перемещается при движении параллельно самому себе. Из этого следует, что все точки тела при поступательном 
движении движутся одинаково, т. е. с одинаковыми скоростями, ускорениями и по одинаковым траекториям. Траектория — линия, описываемая материальной точкой при ее движении.
Вращательным называется движение, при котором все точки абсолютно 
твердого тела движутся по окружностям, центры которых лежат на одной 
прямой, называемой осью вращения, причем эти окружности лежат в плоскостях, перпендикулярных оси вращения.
Пользуясь законом независимости движений, сложное движение твердого тела можно рассматривать как сумму поступательного и вращательного 
движений.

1.1. Перемещение, путь, скорость

На рисунке 1.1 показано движение карандаша. Переход из положения 
A1B1 (начальное положение) в положение A2B2 (конечное) можно рассматривать как сумму двух движений: поступательного (в положение A2B′ ) и вращательного (в А2В2).

Рис. 1.1

Движение и вообще все физические явления описываются с помощью физических величин, между которыми устанавливаются соотношения, называемые физическими законами.
Измерение любой физической величины делается по отношению к единице этой величины. Например, бессмысленно говорить, что длина равна 1. 
Станет понятно, чему она равна, если около нее будет стоять единица измерения — метр, сантиметр и т. д.
Мы будем использовать при определении величин Международную систему единиц, СИ (интернациональная система). Основными величинами системы СИ в механике являются метр (м), секунда (с), килограмм (кг). Такие 
величины, как скорость, ускорение, являются производными.
Кинематика описывает движение тел без выяснения причин, вызывающих данное движение. Начнем с изучения движения тел, которые можно 
рассматривать как материальные точки.
Основной задачей кинематики является определение закона движения, 
а также уравнения движения, позволяющего определить положение тела 
в любой момент времени. Заметим, что все приведенные ниже формулы справедливы и для описания поступательного движения абсолютно твердого тела.

1.1. Перемещение, путь, скорость
Перемещение s  — вектор, соединяющий начальную А и конечную В точки траектории, по которой двигалась материальная точка некоторый промежуток времени Δt (рис. 1.2).
Путь l — длина траектории.
При прямолинейном движении (траектория — 
прямая линия) модуль перемещения s  равен длине пути l, если движение происходит в одном направлении.
Рис. 1.2

2
3
4
5
6
7
8
9
10
11
12
13
14
15
16
17
18
19
20
21
22
23
24
25

13
Механика. Кинематика

Быстрота изменения положения материальной точки в пространстве с течением времени характеризуется средней и мгновенной скоростями.
Средняя скорость перемещения — векторная величина, равная отношению перемещения к промежутку времени, за которое это перемещение произошло:

v
s t
ср
/
=
.
(1.1)

Пусть точка движется по траектории от A до B.
На рисунке 1.2 показаны перемещение s  и вектор средней скорости vср.
Гораздо чаще для характеристики движения мы пользуемся понятием 
средней путевой скорости (скорости прохождения пути), равной отношению пути к промежутку времени, за который этот путь пройден:

vср l = l / t.
(1.2)

На рисунке 1.2 l — длина кривой AB. Очевидно, что, поскольку s ≤ l,
должно выполняться и условие v
v
l
ср
ср
≤
.

Мгновенная скорость — вектор скорости тела в данный момент времени.
Мгновенной скоростью называется предел (lim) отношения малого перемещения Δs  к промежутку времени Δt, за который это перемещение произошло, при стремлении Δt к нулю:

v
s
t
t
мгн =
→
lim
.
Δ
Δ
Δ
0
(1.3)

Мгновенная скорость направлена по касательной к траектории. Это вытекает из следующих соображений: вектор vср  направлен вдоль секущей АВ3 (рис. 1.3). Если Δt стремится к нулю, 
то в пределе точки А и В3 сольются в одну точку, 
при этом секущая превратится в касательную.
Рассмотрим движение точки в прямоугольной 
системе координат (рис. 1.4).
Положение точки характеризуется положением радиуса-вектора r. Из рисунка видно, что перемещение точки равно изменению радиуса-вектора: Δ
Δ
s
r
=
, Δr
r
r
=
−
B
A.

Тогда мгновенную скорость точки можно определить как первую производную радиуса-вектора 
по времени:

v
r
t
r
t
мгн =
= ′
→
lim
.
Δ
Δ
Δ
0

Рис. 1.3

Рис. 1.4

1.2. Прямолинейное равномерное движение

 
1.2. Прямолинейное равномерное движение
Равномерным прямолинейным называется движение, при котором материальная точка за любые равные промежутки времени совершает одинаковые перемещения. При этом движении мгновенная скорость совпадает 
со средней скоростью перемещения:

 
v
v
r
t
мгн
ср
=
= Δ
Δ .  

Пусть x0 — координата точки в момент времени t = 0 (рис. 1.5), а x — координата в момент времени t. Очевидно, Δx = x – x0. Из определения скорости 
следует: vx = (x – x0) / t, откуда уравнение движения материальной точки, т. е. x = f(t), имеет вид:

 
x = x0 + vxt, 
(1.4)

где vx = ±v, где v
v
= .

Тогда получаем закон движения тела в виде:

 
x = x0 ± vt. 
(1.5)

На рисунке 1.6 показаны зависимости vx(t) и x(t) от времени при различных значениях скоростей: vx = 2 м / с, 3 м / с, –2 м / с и x0 = 2 м. Из рисунка очевидно, что чем больше vx, тем больше угол наклона графика 
x(t) к оси абсцисс. По графику vx(t) (см. рис. 1.6, а) можно найти модуль 
перемещения s за время t, определив площадь заштрихованного прямоугольника.

Рис. 1.6

Рис. 1.5

2
3
4
5
6
7
8
9
10
11
12
13
14
15
16
17
18
19
20
21
22
23
24
25

15
Механика. Кинематика

 
1.3. Относительность движения. 
Классический закон сложения скоростей
Для описания движения необходимо выбрать систему отсчета. В ряде задач приходится рассматривать движение одного и того же тела относительно разных тел, причем эти тела, а следовательно, связанные с ними системы 
отсчета, могут двигаться относительно друг друга. Обозначим скорость движущейся системы отсчета относительно неподвижной v0,  скорость тела относительно неподвижной системы отсчета v.  (Обычно в качестве неподвижной принимается система отсчета, в которой телом отсчета является Земля.) 
Скорость тела относительно подвижной системы отсчета есть ′
v .  
Пусть в начальный момент времени начала координат, связанных с подвижной и неподвижной системами отсчета, совпадают (рис. 1.7, а). Материальная точка также находится в начале координат. За время Δt материальная точка переместилась в неподвижной системе на Δs,  в подвижной — на 
Δ′s , а начало координат подвижной системы переместилось на Δs0  
(рис. 1.7, б): 
.
Δ
Δ
Δ
s
s
s
=
+
′
0
 Разделив на Δt левую и правую части равенства, 
получим

Δ
Δ
Δ
Δ
Δ
Δ

s
t
s
t
s
t
=
+
′
0
,

откуда

 
v
v
v
=
+ ′
0
.  
(1.6)

Рис. 1.7

Полученное уравнение выражает классический закон сложения скоростей.
Скорости v, v0  и ′
v  обычно имеют следующие названия и обозначения: 
v  — абсолютная скорость, vабс; ′
v  — относительная скорость, vотн; v0  — 

1.4. Движение с переменной скоростью

переносная скорость, vпер. Тогда классический закон сложения скоростей 
запишем в виде:

 
v
v
v
абс
отн
пер
=
+
, 
(1.7)

т. е. абсолютная скорость тела равна геометрической сумме векторов относительной и переносной скоростей.

 
1.4. Движение с переменной скоростью
Величина, характеризующая быстроту изменения скорости, называется 
ускорением.
Среднее ускорение определяется отношением изменения скорости к промежутку времени, за который это изменение произошло:

 
a
v
t
ср
/
= Δ
Δ .  
(1.8)

Если v1  и v2  — мгновенные скорости в моменты времени t1 и t2, то 

Δv
v
v
=
−
2
1,  Δt = t2 – t1.
На рисунке 1.8 изображены векторы мгновенных скоростей и ускорения. Cделаем параллельный перенос вектора v2  в точку А. Тогда Δv  определит направление aср.

Мгновенное ускорение — ускорение тела в данный момент времени. Это физическая величина, 
равная пределу отношения изменения скорости 
к промежутку времени, за который это изменение 
произошло, при стремлении промежутка времени 
к нулю:

 
a
v
t
v
t
мгн =
= ′
→
lim
.
Δ
Δ
Δ
0
 
(1.9)

Вектор мгновенного ускорения aмгн  направлен так же, как и вектор изменения скорости Δv  при Δt → 0, и не совпадает в общем случае с направлением вектора скорости v.

Пусть мгновенное ускорение aмгн  направлено, 
как указано на рис. 1.9, под углом к вектору скорости. Ускорение характеризует изменение скорости по модулю и по направлению. Разложим 
ускорение на две составляющие: аτ — тангенциальное (или касательное aк) ускорение и аn — нормальное (или центростремительное aцс) ускорение. Составляющая ускорения аτ направлена 
по касательной к траектории и характеризует из
Рис. 1.8

Рис. 1.9

2
3
4
5
6
7
8
9
10
11
12
13
14
15
16
17
18
19
20
21
22
23
24
25

17
Механика. Кинематика

менение скорости по модулю; составляющая аn направлена к центру кривизны траектории (по нормали к скорости) и характеризует изменение скорости 
по направлению. аn = v2 / R, где v — модуль мгновенной скорости, R — радиус 
кривизны траектории в данной точке (покажем ниже). Модуль мгновенного 
ускорения

 
a
a
an
мгн =
+
τ
2
2. 
(1.10)

 
1.5. Прямолинейное равноускоренное движение
Когда нормальное ускорение тела равно нулю, an = 0, скорость не изменяется по направлению. В этом случае полное ускорение равно тангенциальному a  = aτ.  Если при этом ускорение остается постоянным по величине, 
то материальная точка движется прямолинейно и равноускоренно и среднее 
ускорение равно мгновенному: a
a
ср
мгн
=
.

Направим ось ОХ вдоль направления движения тела в момент времени 

t = 0 (рис. 1.10). Из определения ускорения следует, что a
v
v
t
x
x
x
=
−
0 , где 

v0x — скорость тела при t = 0. Тогда составляющая скорости по оси Х

 
vx = v0x + axt. 
(1.11)

На рисунках 1.10 показаны скорости и направления ускорения (ах > 0 
и ах< 0).

Рис. 1.10

Пусть скорость изменяется со временем, как 
показано на рис. 1.11. Разделив промежуток времени на малые отрезки Δti, в пределах каждого 
из которых скорость можно считать постоянной, 
получим, что перемещение за некоторый промежуток времени Δt численно равно сумме площадей малых прямоугольников, т. е. площади 
криволинейной трапеции (заштрихованная площадь).
Рис. 1.11

1.5. Прямолинейное равноускоренное движение

Зная закон изменения скорости при прямолинейном равноускоренном движении и изобразив 
его на графике (рис. 1.12), мы получим формулу для определения изменения координаты тела 
со временем. Это изменение численно равно площади заштрихованной трапеции:

 

Δх

v
t

v
v t
v
v
a t t

a t

x
x
x
x
x

x
x

=
=

=
+

+
=
+
+
0
0
0

2

0

2
2

2 .

 
(1.12)

Следовательно, положение (координата) материальной точки определяется 
уравнением движения

 
x = x0 + v0xt + axt2 / 2. 
(1.13)

В это уравнение мы подставляем значения кинематических характеристик 
с учетом их направления, поэтому для решения задач удобны следующие выражения для скорости и координаты точки:

 
х = х0 ± v0t ± at2 / 2, 
(1.14)

 
vx = ±v0 ± at, 
(1.15)

где v0 и a — модули начальной скорости и ускорения.
Если начальная скорость и ускорение совпадают по направлению, движение тела будет ускоренным; если направления их различны, то движение замедленное. Изобразим на графиках зависимости ax(t), vx(t) и x(t) (рис. 1.13) 
для равноускоренного и равнозамедленного движений, при условии v0x > 0, 
взяв числовые данные: x0 = 0, v0x = 1 м / c, ax = 1 м / c2; 3 м / c2; –0,5 м / c2; 
–1 м / c2. Если аx > 0 и ускорение совпадает по направлению с вектором начальной скорости (рис. 13, а), то скорость непрерывно возрастает (рис. 13, б). 
Это видно также из графика зависимости x(t) (рис. 1.13, в): увеличивается 
тангенс угла наклона касательной к кривой, который определяет мгновенную скорость материальной точки v = Δx / Δt = tg α. (Заметим, что здесь мы 
говорим о численном значении скорости, так как скорость имеет наименование (размерность), а тангенс угла — безразмерное число.) График x(t) при 
аx > 0 — парабола с ветвями, направленными вверх (см. рис. 1.13, в). Вершина параболы в общем случае не совпадает с началом координат. Касательная 
к параболам при t = 0 общая, так как начальные скорости одинаковы. При 
аx < 0 скорость уменьшается до 0, а затем тело изменяет направление движения, и модуль скорости будет увеличиваться (рис. 1.13, д). График x(t) при 
аx < 0 (рис. 1.13, е) представляет собой параболу с ветвями, направленными 
вниз. Вершина параболы соответствует моменту времени, когда тело останавливается, vx = 0.

Рис. 1.12