Теория вероятностей и математическая статистика. Практикум

И. Ю. Мацкевич

Н. П. Петрова
Л. И. Тарусина

Теория верояТносТей

и МАТеМАТиЧесКАя сТАТисТиКА

ПрАКТиКУМ

Допущено Министерством образования Республики Беларусь

в качестве учебного пособия для учащихся учреждений образования,

реализующих образовательные программы

среднего специального образования по специальности

«Программное обеспечение информационных технологий»

Минск
РИПО

2017

УДК 519.68(075.32)
ББК 22.17я723

М36

А в т о р ы:

старший преподаватель кафедры физико-математических дисциплин

Института информационных технологий УО «Белорусский государственный

университет информатики и радиоэлектроники» И. Ю. Мацкевич

(предисловие, практические работы 1–3, 6, 8;

задачи с профессионально значимым содержанием);

преподаватель филиала УО БГУИР «Минский радиотехнический
колледж» Н. П. Петрова (лабораторно-практические работы 9–12);

преподаватель того же колледжа Л. И. Тарусина

(практические работы 4, 5, 7).

Р е ц е н з е н т ы:

цикловая комиссия преподавателей по специальности

«Программное обеспечение информационных технологий» 

УО «Могилевский государственный экономический

профессионально-технический колледж» (М. В. Локшина);
профессор кафедры высшей математики № 1 Белорусского

национального технического университета,

доктор физико-математических наук, профессор А. В. Метельский.

Все права на данное издание защищены. Воспроизведение всей книги или любой ее 

части не может быть осуществлено без разрешения издательства.

Выпуск издания осуществлен при финансовой поддержке Министерства образо
вания Республики Беларусь.

М36

Мацкевич, И. Ю.

Теория вероятностей и математическая статистика. Практикум : 

учеб. пособие / И. Ю. Мацкевич, Н. П. Петрова, Л. И. Тарусина. – Минск : 
РИПО, 2017. – …199 с. : ил.

ISBN 978-985-503-711-9.

Учебное пособие содержит практические и лабораторно-практиче ские 

работы в соответствии с типовой учебной программой. В каждой работе 
кроме практических заданий приведены примеры решения и оформления 
типовых вариантов заданий как расчетными методами, так и с использованием электронных таблиц MS Excel, а также все необходимые исходные 
данные и справочные материалы. 

Предназначено для учащихся учреждений среднего специального об
разования по специальности «Программное обеспечение информационных технологий».

УДК 519.68(075.32)
ББК 22.17я723

ISBN 978-985-503-711-9 
       © Мацкевич И. Ю., Петрова Н. П., Тарусина Л. И., 2017

 
 
 
       © Оформление. Республиканский институт

 
 
 
           профессионального образования, 2017

ПРЕДИСЛОВИЕ

Учебное пособие «Теория вероятностей и математическая 

статистика. Практикум» предназначено для закрепления теоретического материала учащимися, формирования умений решения задач по теории вероятностей при проведении практических 
занятий, а также освоения учащимися статистических методов 
обработки данных с использованием современных информационных технологий в ходе проведения лабораторно-практических 
работ.

В пособие включены восемь практических работ по теории 

вероятностей и четыре лабораторно-практические работы по математической статистике по разделам, предусмотренным типовой 
учебной программой по учебной дисциплине «Теория вероятностей и математическая статистика» для учреждений среднего 
специального образования.

Каждая работа содержит цель, краткие теоретические сведе
ния, примеры решения типовых заданий с подробным описанием применяемых математических методов, варианты практических заданий примерно одинаковой степени сложности, а также 
контрольные вопросы и задания, способствующие закреплению 
теоретического материала. 

Для каждой практической работы в конце пособия приве
дены матрицы ответов; по лабораторно-практическим работам 
предусмотрена самостоятельная обработка учащимися статистических данных. Авторы стремились дать возможность обучающимся самостоятельно найти способ решения той или иной 
задачи и верно произвести вычисления, предварительно внимательно ознакомившись с необходимым теоретическим материалом, предложенным в каждой работе.

В целях обобщения изученного материала и придания про
цессу обучения профессионально ориентированного характера в 
конце пособия приведены задачи с профессионально значимым 
содержанием, разнообразные по тематике и разделенные на три 
уровня с возрастанием степени сложности. Их можно разобрать 

Предисловие

на практическом занятии, предложить обучающимся для самостоятельного решения или включить в обязательную контрольную работу. Для контроля правильности решения приведены ответы.

Особенностью данного учебного пособия является также то, 

что в лабораторно-практических работах, тематически относящихся к математической статистике, приведены образцы решения типовых заданий не только расчетными методами, но и с 
использованием электронных таблиц MS Excel. Это может значительно облегчить процесс самостоятельной обработки учащимися статистических данных.

В приложениях приведены выборки для задач по матема
тической статистике (прил. 1), справочный материал, необходимый для расчетов в случае проведения независимых испытаний (прил. 2–4) и решения задач математической статистики 
(прил. 5–7).

Учебное пособие будет полезно обучающимся также для са
мостоятельного освоения такого важного и широко применяемого раздела математики, как теория вероятностей и математическая статистика.

1
ПРактИчЕСкая РабОта 

кЛаССИчЕСкОЕ, ГЕОМЕтРИчЕСкОЕ
И СтатИСтИчЕСкОЕ ОПРЕДЕЛЕНИя
ВЕРОятНОСтЕЙ СОбЫтИЙ 

Цель: 

изучение основных понятий теории вероятностей; 
•

ознакомление с различными методами вычисления веро•

ятностей событий; 

практическое применение элементов комбинаторики для 
•

вычисления вероятностей событий. 

КратКие теоретичесКие сведения

Элементы комбинаторики. Комбинаторика – это раздел ма
тематики, в котором изучаются вопросы, связанные с рассмотрением множеств и подсчетом числа различных комбинаций из 
элементов этих множеств. 

Пусть дано множество Е, содержащее n элементов. Число n 

называют объемом множества Е. 

Извлечение k (k ≤ n) элементов из множества Е называется вы
бором k элементов, а сам извлеченный набор – выборкой объема k. 

Правило произведения: если имеется множество Е1 объема n1, 

множество Е2 объема n2, ...…, множество Еk объема nk, то число 
способов выбора по одному элементу из каждого множества Е1, 
Е2, …..., Еk равно n1 n2 ⋅⋅⋅nk. 

Следствие из правила произведения: если множества Е1, Е2, …..., 

Ек содержат по n элементов каждое, то число способов выбора по 
одному элементу из этих множеств равняется nk.

Правило суммы: если имеется множество Е1 объема n1, мно
жество Е2 объема n2, …..., множество Еk объема nk, то число способов выбора одного элемента из совокупности множеств Е1, Е2, ...…, 
Еk равно n1 + n2 + ... + nk.

Перестановкой n элементов называется расположение этих 

элементов в определенном порядке. Число перестановок из n 
элемен тов определяется формулой

Практическая работа 1

Pn = n(n – 1)(n – 2)∙∙∙ 2 ∙ 1 = n!

Для единообразия записи принято считать, что 0! = 1.
Любой выбор k элементов, взятых в определенном порядке 

из n элементов, называется размещением из n по k. Число таких 
размещений равно

!
(
1)(
2)
(
(
1))
.
(
)!

k
n
n
A
n n
n
n
k
n
k









Любой выбор k элементов из n элементов без учета порядка 

их выбора называется сочетанием из n по k. Число сочетаний из 
n по k равно

!
.
!(
)!

k
n
n
C
k n
k


(1.1)

Основные понятия теории вероятностей. Теория вероятно
стей – это раздел математики, в котором изучаются закономерности, присущие массовым случайным явлениям. 

Осуществление определенного комплекса условий или дей
ствий называется опытом (или экспериментом), возможный результат опыта – событием. 

Событие называется достоверным в данном опыте, если в 

этом опыте оно обязательно произойдет. 

Событие называется невозможным, если в данном опыте оно 

произойти не может (обозначается ∅). 

Случайным называется событие, которое в данном опыте мо
жет произойти, а может и не произойти (обозначается A, B, C, 
D, …...). 

Множество всех возможных и взаимоисключающих исходов 

опыта называется пространством элементарных событий (обозначается Ω), связанных с данным опытом. Элементы пространства Ω называются элементарными событиями (элементарными исходами). Для конкретного эксперимента понятие элементарного 
события уточняется в зависимости от решаемой задачи. 

События называются несовместными (совместными), если по
явление одного из них исключает (не исключает) появление других событий в условиях одного и того же эксперимента. 

Два события называются противоположными, если появле
ние одного из них равносильно непоявлению другого. Событие, 
противоположное событию А, обозначается A–.

Классическое, геометрическое и статистическое определения вероятностей событий

Группа событий называется полной группой событий, если в 

результате опыта обязательно наступит хотя бы одно из событий, 
входящих в эту группу. 

Пространство элементарных событий (исходов) образует пол
ную группу попарно несовместных событий.

События называются равновозможными, если нет оснований по
лагать, что одно событие является более возможным, чем другие.

Элементарные события 
,
1, ,
i i
k


входящие в состав собы
тия A = {ω1, ω2, ..., ωk}, называют исходами, благоприятствующими
событию А. Таким образом, случайное событие понимается как 
подмножество благоприятствующих ему элементарных событий. 

Действия над событиями. Пусть Ω – пространство элемен
тарных событий некоторого эксперимента. Подмножества A ⊂ Ω
и В ⊂ Ω представляют собой случайные события. Пустое множество ∅ соответствует невозможному событию, а все пространство Ω – достоверному событию.

Суммой событий А и В называется такое событие, которое 

состоится при появлении либо события А, либо события В, либо 
обоих событий вместе (обозначается А + В или А ∪ В).

Произведением событий А и В называется такое событие, ко
торое происходит при одновременном наступлении обоих событий (обозначается АВ или А ∩ В).

Использование союза «или» при описании сложного события 

указывает на сумму событий, а союза «и» – на произведение событий.

Если события А и В несовместны, то АВ = ∅, а если же со
вместны, то АВ ≠ ∅.

Разностью событий А и В называется событие, которое со
стоится, если событие А произойдет, а событие В не произойдет 
(обозначается А – В или А \ В).

Классическая вероятность. Классической вероятностью слу
чайного события А в эксперименте с конечным числом равновозможных элементарных исходов называется отношение числа 
благоприятствующих этому событию исходов k к общему числу 
всех равновозможных исходов n:

P(A) = k / n.
(1.2)

Из определения классической вероятности вытекают сле
дующие основные свойства, присущие и другим определениям 
вероятности:

1) 0 ≤ Р(А) ≤ 1; 

Практическая работа 1

2) Р(Ω) = 1, Р(∅) = 0;
3) Р(А + В) = Р(А) + Р(В) – P(AB);
4) Р(А) = 1 – Р(A–), где A– – противоположное событие.
Пусть имеется N деталей, из которых M – стандартных 

(M < N). Из этой партии случайным образом выбирается n деталей на проверку. Вероятность того, что среди n отобранных 
деталей будет k стандартных, находится по формуле

( )
.

k
n k
M
N M
n
n
N

C C
P k
C




(1.3)

Статистическая вероятность. Относительной частотой со
бытия А называется отношение числа опытов k, в которых событие А наступило, к общему числу проведенных опытов:

W(A) = k / n.
(1.4)

В качестве статистической вероятности события принима
ют число, вокруг которого колеблются значения относительной 
частоты при неограниченном возрастании числа испытаний. Для 
существования статистической вероятности события А требуются возможность производить неограниченное число испытаний и 
устойчивость относительных частот появления события А в различных сериях достаточно большого числа испытаний.

Геометрическая вероятность. Пусть A – событие, состоящее 

в попадании точки, брошенной в область D, в область G ⊂ D. 
Когда говорят, что «в некоторую область брошена точка», имеют 
в виду, что брошено тело, размерами которого можно пренебречь 
по сравнению с размерами данных областей.

Если G и D – отрезки, то геометрической вероятностью со
бытия А называется отношение

( )
( )
,
(
)
l G
P A
l D

(1.5)

где l(G) и l(D) – длины отрезков G и D соответственно.

Если G и D – плоские области, то геометрической вероятно
стью события А называется отношение

( )
( )
,
(
)
S G
P A
S D

(1.6)

где S(G) и S(D) – площади областей G и D соответственно.

Классическое, геометрическое и статистическое определения вероятностей событий

Если G и D – пространственные области, то геометрической 

вероятностью события А называется отношение

( )
( )
,
(
)
V G
P A
V D

(1.7)

где V(G) и V(D) – объемы областей G и D соответственно.

 Решение типовых заданий

Задание 1. Из коробки, содержащей 25 деталей, среди ко
торых 6 бракованных, произвольно выбраны 3 детали. Какова 
вероятность того, что среди этих деталей 2 бракованные?

Решение. Используя правило произведения, по формулам (1.1) 

и (1.3) получаем

1
3 1
1
2
25 6
6
19
6
3
3
3
25
25

6!
5 6
19
19
2! 4!
2
(1)
0,124.
25!
23 24 25
3! 22!
3 2

C
C
C C
P
C
C

















Ответ: ≈0,124.
Задание 2. Определите, сколько существует способов рассе
ления девяти студентов по трем комнатам: двух-, трех- и четырехместной. 

Решение. Согласно правилу произведения и формуле (1.1), 

найдем число способов расселения студентов:

2
3
4
1 2 3
9
7
4
9!
7!
4!
8 9 5 6 7 1 1260.
2! 7! 3! 4! 4! 0!
2
3 2
N
n n n
C C C

 







 





Ответ: 1260.
Задание 3. В ящике находится 10 лотерейных билетов, из них 

4 выигрышных. Из ящика наугад извлекают два билета. Какова 
вероятность того, что: а) оба билета выигрышные (событие А); 
б) оба билета без выигрыша (событие В); в) один билет выигрышный, а второй нет (событие С)?

Решение. Применим формулу классической вероятности (1.2) 

и правило подсчета числа сочетаний (1.1):

а) выбор двух билетов из 10 можно осуществить 
2
10
10!
9 10
45
2! 8!
2
n
C







2
10
10!
9 10
45
2! 8!
2
n
C







способами, а двух выигрышных билетов из

Практическая работа 1

четырех 
2
1
4
4!
3 4
6
2! 2!
2
k
C






способами. Получим, что в дан
ном случае 
1
6
( )
0,133;
45
k
P A
n




б) имеются 
2
2
6
6!
5 6
15
2! 4!
2
k
C







 возможностей выбора

билета без выигрыша. В таком случае вероятность 
2
15
( )
0,333;
45
k
P B
n




2
15
( )
0,333;
45
k
P B
n




в) существуют 4 возможности вытащить выигрышный билет 

и 6 возможностей – билет без выигрыша. Имеются k3 = 6 ∙ 4 = 24 
возможности вытащить один билет с выигрышем, а другой без 

выигрыша. Тогда
3
24
( )
0,533.
45
k
P C
n




Ответ: а) ≈0,133; б) ≈0,333; в) ≈0,533.
Задание 4. На плоскости начерчены две концентрические 

окружности, радиусы которых составляют 5 и 10 см соответственно. Какова вероятность того, что точка, произвольно брошенная в больший круг, попадет в кольцо, образованное данными окружностями?

Решение. Событие А состоит в том, что точка, произвольно 

брошенная в больший круг, попадет в кольцо между данными 
окружностями. Площадь большого круга (фигуры D) S(D) = π ∙102 =
= 100π. Площадь кольца (фигуры G) равна S(G) = π(102 – 52) = 
= 75π. Искомую вероятность найдем по формуле (1.6). Тогда

( )
75π
( )
0,75.
(
)
100π
S G
P A
S D




Ответ: 0,75.
 Практические задания

В заданиях 1.1–1.4 необходимо найти вероятности событий, 

используя определение классической вероятности и комбинаторику.