Моделирование автомобильных дорог

 
 
Н.А. Сальков 
 
 
 
 
 
 
 
 
МОДЕЛИРОВАНИЕ  

АВТОМОБИЛЬНЫХ  

ДОРОГ 

 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
Москва 
ИНФРА-М 
2012 

1 

УДК 
513.87:625.7 
ББК 
 
С 12 
 
 
Сальков Н.А. 
Моделирование автомобильных дорог. — М.: ИНФРА-М, 
2012. — 120 с. — (Научная мысль). 
 

   ISBN  978-5-16-006756-8 

Даются элементы параметрической геометрии, являющейся основой 
параметрического метода конструирования поверхностей. 
На основе параметрического метода излагается принцип каркаснопараметрического конструирования поверхностей. Показывается, как посредством каркасно-параметрического метода конструирования поверхностей моделируются линии и поверхности автомобильных дорог. 
Книга предназначена для специалистов, работающих в области проектирования и строительства автомобильных дорог. Может быть использована студентами соответствующего направления обучения, а также аспирантами и преподавателями кафедр автомобильных дорог и аэродромов, 
начертательной геометрии, инженерной и компьютерной графики. 
 ББК                    . 
 
 
ISBN  978-5-16-006756-8  
 
                © Сальков Н.А., 2012 
 
 

 
         
Подписано в печать 25.07.2012. Формат 60x88/16.  
Гарнитура Newton.  Бумага офсетная. 
Усл. печ. л. 15,0. Уч.изд. л. 18,72. 
Тираж 500 экз. Заказ № 
Цена свободная. 

 
«Научно-издательский центр ИНФРА-М» 
127282, Москва, ул. Полярная, д. 31в. 
Тел.: (495) 3800540, 3800543.  Факс: (495) 3639212 
E-mail: books@infra-m.ru    http://www.infra-m.ru 
 
 
 
 

2 

ВВЕДЕНИЕ 
 
Повышение эффективности и качества трудоемкого процесса проектирования автомобильных дорог и последующего их строительства невозможно без развития и повышения эффективности систем автоматизированного проектирования (САПР). Качественное же преобразование 
САПР связано с переходом на новую технологию проектирования, которая определяется развитием новых методов математического моделирования объектов проектирования.  
Актуальность изучения инженером геометрии, геометрического моделирования исходит из того, что все существующие материальные предметы имеют свои формы, свои поверхности. При этом геометрия не рассматривает воплощение этих форм в материале, наоборот – она абстрагируется от материального изготовления. Ее методы поэтому являются наиболее общими, и на основе этих методов впоследствии производятся все 
необходимые расчеты, подбирается материал.  
Предметом геометрии вообще, и геометрического  моделирования в 
частности, являются геометрические формы и их отношения. Формирование и изучение пространственных форм – вот чем занимается геометрия.  
С геометрией связано понятие эстетики и красоты. Эстетики вообще и 
технической эстетики в частности. Есть конструкции, форма которых 
несет функциональное значение: от формы самолета зависит его скорость, грузоподъемность, виражность, высота потолка; форма корабля 
или подводной лодки влияет на скоростные характеристики; для турбин 
форма лопаток – единственное, что может увеличить ее мощность; особое 
место занимает форма космических кораблей.  
Нужно сказать, что у объектов, хоть сколько-нибудь связанных со 
скоростными характеристиками, форма имеет довлеющее значение. К 
таким объектам принадлежат и дороги: железные и автомобильные.  
Моделирование, в том числе и геометрическое, – чисто инженерная 
работа. Инженер, не овладевший способностью мыслить геометрически, 
не умеющий оперировать пространственными формами, не сможет овладеть и методами геометрического моделирования. Поэтому к своему геометрическому образованию будущий инженер должен подходить со всей 
ответственностью. Геометрическая модель каждого объекта является  
базой для его математической модели, которая, в свою очередь, служит 
основой для разработки программного обеспечения на компьютере. 
 
 
 
 

3 

Глава 1.   
КАРКАСНО-ПАРАМЕТРИЧЕСКИЙ МЕТОД 
КОНСТРУИРОВАНИЯ ПОВЕРХНОСТЕЙ 
 
1.1 ГЕОМЕТРИЧЕСКИЙ АНАЛИЗ СУЩЕСТВУЮЩИХ МЕТОДОВ 
ПРОЕКТИРОВАНИЯ ПОВЕРХНОСТЕЙ 
 
Первоначально поверхность проектировалась исключительно в виде 
чертежа. С потребностью увеличить точность конструирования графическая модель стала дополняться аналитической. В настоящее время в связи 
с повышением роли компьютера в науке и производстве основным носителем информации служит математическая модель, на базе которой и с 
помощью компьютера в автоматизированном режиме получают чертежи 
и другую проектную документацию, проводят исследования проектируемой поверхности, обеспечивают ее воспроизводство. 
В России становление и развитие методов математического моделирования поверхностей в прикладной геометрии связано с работами Четверухина Н.Ф. [132, 133], Котова И.И. [54, 53], Рыжова Н.Н. [84-101]. 
В области конструирования, задания и исследования линейчатых поверхностей большое значение имеют работы а А.В. Бубенникова [12, 13, 
14], В.С. Обуховой [70-72], А.Л. Подгорного [79], А.М. Тевлина [114]. 
Методы конструирования поверхностей можно разделить на две группы [46]. В первую группу входят методы, при помощи которых поверхность формируется как единая, монофункциональная фигура. Во вторую 
группу – когда поверхность формируется как пространственный обвод, 
состоящий из отсеков нескольких поверхностей, «сшитых» между собой 
с учетом каких-то накладываемых условий. 
Приведем краткий анализ тех методов конструирования поверхностей, 
которые явились базой для настоящей работы. 
Кинематический метод конструирования поверхностей [12, 46, 54, 73, 
82, 84, 104, 136] предполагает образование поверхности некоторой линией постоянной или переменной формы, перемещающейся в пространстве 
по определенному закону [14, 54, 82, 83, 104]. Этот метод отличается 
большой наглядностью и простотой, что и определило его широкое применение в инженерной практике. 
Значительная часть исследований в прикладной геометрии поверхностей направлена на конструирование каркасов поверхностей. В области 
теории каркаса фундаментальными являются работы профессора Рыжова 
Н.Н. [87, 89, 90 и др.]. Каркасная теория задания и конструирования поверхностей лает общую точку зрения на вопросы геометрического конструирования поверхностей, задания их в пространстве и на чертеже, обобщает различные способы и приемы прикладной геометрии поверхностей. 
В работах [85, 92, 98,100] получают развитие идея формализации процесса конструирования поверхностей как по отдельным вопросам, так и всего метода в целом. Формализация таких вопросов как составление закона 
каркаса, выявление определителя поверхности, получение линии каркаса 

4 

как элемента непрерывного каркаса поверхности, является главным моментом в проблеме автоматизации этих процессов. 
Конструирование поверхностей получением их каркасов имеет определенные преимущества перед другими традиционными математическими методами, так как в реальных условиях производства поверхность 
изготавливается не как непрерывное двухпараметрическое множество 
точек, а как дискретное семейство линий, которое при необходимости 
сглаживается. 
Дискретный каркас с наперед заданной плотностью расположения линий можно получить из заданного непрерывного каркаса. Современные 
технические средства позволяют получить и воспроизводить дискретные 
каркасы с плотностью, на несколько порядков превосходящей требуемую 
в инженерной практике. Это дает возможность при решении инженерных 
задач пользоваться приближенными методами там, где решение классическими методами анализа по тем или иным причинам затруднено. 
Однопараметрическое множество линий, образующее каркас некоторой поверхности, можно получить двумя способами: наложением геометрических условий на элементы многопараметрического множества или 
размножением первоначально заданной производящей линии путем преобразования пространства. Оба способа получили широкое распространение в прикладной геометрии поверхностей и являются основными при 
конструировании каркасных поверхностей. 
Вопросы геометрического моделирования каркасных поверхностей 
решались применительно к архитектурно-строительной практике в работах [79, 134]. Параметризации геометрических условий и поверхностей, 
алгоритмам перехода от конструктивно-кинематического задания поверхностей к аналитическому посвящены работы [37, 48, 52, 84, 85, 88, 
91, 94, 96, 97, 100, 101, 103, 107, 115, 133]. 
В течение последних 35 лет под научным руководством профессора 
Рыжова Н.Н. ведется методически последовательная, целенаправленная 
работа по исследованию каркасно-параметрического метода задания и 
конструирования поверхностей. Исследуются общие вопросы каркасной 
теории задания и конструирования поверхностей [24, 48, 53, 87, 90, 95], 
параметризации фигур и геометрических условий, образующих эти фигуры [48, 88, 91, 94, 96, 100, 101, 107], свойств многопараметрических линий и поверхностей [24, 25, 89, 95], Алгоритмизации и формализации 
конструирования поверхностей [23, 48, 84, 92, 98], получения их уравнений, параметризации чертежа поверхности и др. 
Рассмотрим основные положения, раскрывающие сущность каркаснопараметрического метода. 
Наперед заданные требования к конструируемой поверхности предъявляются в виде геометрических условий, каждое из которых выступает 
или в виде параметра элемента каркаса, или в виде функций, устанавливающих определенную зависимость между параметрами элемента каркаса. Каждое из геометрических условий задает определенное число связей 
между параметрами элементов каркаса, это число называется параметрическим числом данного условия. 

5 

При каркасно-параметрическом методе конструирования поверхностей ∞1 (однопараметрическое множество) линий, представляющих собой 
каркас поверхности, получается выделением этого множества из ∞е (епараметрического множества) линий некоторого пространства. Если элемент каркаса в некотором пространстве определен по форме и положению е параметрами (е = р+q, где р – число параметров формы, а q – число 
параметров положения), то это означает, что все пространство заполнено 
∞е этих линий. Задавая 1,2, … , (е-1) параметр, можно из ∞е выделить ∞е1, ∞е-2, … , ∞1 линий. Оставшийся свободным е-й параметр выступает в 
качестве параметра каркаса. 
К аналогичному результату можно прийти, связывая функционально 
параметры элемента каркаса αi (i=1,2, … , e) соответственно 1,2, … , (е-1) 
связью. Такая связь устанавливается заданием геометрических условий, 
предъявляемых к линии – элементу каркаса. Совокупность геометрических условий, выделяющих линейный каркас из ∞е линий, образует закон 
каркаса. Поскольку каждое из геометрических условий  
Может иметь различное от других условий параметрическое число, то 
количество таких условий в законе каркаса должно быть таким, чтобы 
сумма их параметрических чисел равнялась (е+1). 
Геометрические условия, входящие в закон каркаса, несут информацию также и об определителе. Эта информация содержится в виде описания тех геометрических образов, через которые осуществляется связь 
параметров элементов каркаса. 
Каркасно-параметрический метод конструирования поверхностей состоит в обобщенном виде из следующих частей: 
1. Определение исходного ∞е линий, из которых выделяется каркас. 
2. Выбор геометрических условий, обеспечивающих наперед заданные требования. 
3. Параметрическая оценка геометрических условий. 
4. Составление закона каркаса. 
5. Выявление принципиального определителя по закону каркаса. 
6. Определение метода получения линии каркаса. 
7. Реализация метода получения линии каркаса. 
8. Воспроизведение линии в каком-нибудь виде. 
Каркасно-параметрический метод задания и конструирования поверхностей 
позволяет 
осуществить 
переход 
от 
конструктивнокинематического задания поверхности к аналитическому. 
Все многообразие ∞е кривых пространства можно записать в виде системы 
Ф1(X,Y,Z, α1, α2, … , αe)=0; 
Ф2(X,Y,Z, α1, α2, … , αe)=0,  
 
   (1.1) 

 
где α  – параметр элемента каркаса. 
i
Закон каркаса можно выразить системой из (е-1) уравнений 
 
Ψi(α1, α2, … , αe)=0; i=1,2, … , (е-1). 
 
  (1.2) 
 

6 

Исключив (е-1) параметр из (е+1) уравнений (1.1) и (1,2), получим 
уравнение каркаса с параметром каркаса αk: 
 
F1(X,Y,Z, αk)=0; 
F2(X,Y,Z, αk)=0.  
 
 
  (1.3) 

 
Исключив параметр каркаса αk, можно получить уравнение поверхности в виде: 
 
F(X,Y,Z)=0. 
 
 
 
   (1.4) 
 
Таким образом, каркасно-параметрический метод является достаточно 
универсальным методом прикладной геометрии поверхностей. Метод 
отличается высокой формализованностью и универсальностью его алгоритмов, что является важным моментом в вопросе автоматизации конструирования поверхностей. 
Во вторую группу конструирования поверхностей входят такие методы как метод Кунса [26, 81, 115, 127, 143], метод Фергюсона [115, 127, 
144], метод Безье [26, 81, 128, 141], метод сплайнов [3, 26, 44, 49, 121, 
149]. 
Сущность этих методов заключается в доопределении поверхности в 
промежутках между заданным точечным каркасом с соблюдением плавного изменения кривизны. Поверхность разбивается на ячейки, которые 
стыкуются между собой с заданной степенью гладкости. 
Поверхностные формы автомобильных дорог должны быть монофункциональными, должны позволять перемещение по ним с большими 
скоростями. На этих поверхностях не нужно локально изменять форму 
поверхности на участке какой-либо ячейки, как это возможно при задании поверхностей по методу Кунса, Фергюсона или Безье. Поэтому в настоящей работе для моделирования поверхностей принят каркаснопараметрический метод конструирования как наиболее соответствующий 
для формирования поверхностных форм автомобильных дорог, объединенный с методом сплайнов. 
 
 
 
1.2.  ЭЛЕМЕНТЫ ПАРАМЕТРИЧЕСКОЙ ГЕОМЕТРИИ 
 
1.2.1. Исторический обзор 
 
Как и всякая научная дисциплина, геометрия подразделяется на ряд 
ветвей: элементарную геометрию, аналитическую геометрию, начертательную, дифференциальную, проективную, компьютерную и т.д. Одной 
из таких ветвей является параметрическая геометрия. Свое начало она 
берет от работы Ю. Плюккера [153], в которой впервые дается подсчет 
параметров алгебраических кривых и их уравнений. Вслед за Ю. Плюккером параметрической геометрией последовательно занимались извест
7 

ные французские геометры В. Понселе и М. Шалль, а затем немецкие - Г. 
Шуберт и Х. Г. Цейтен. В 1900  году выдающийся немецкий математик Д. 
Гильберт сформулировал 23 математические проблемы, подлежащие исследованию в ближайшее время. На 15 месте стояла параметрическая 
геометрия. Однако исследование этой проблемы затянулось, а с середины 
20-х годов интерес к ней упал окончательно. В России первая работа по 
параметрической геометрии вышла в 1963 году [133]. В ней Н.Ф. Четверухин дал методику подсчета параметров многоугольников и многогранников. Сформулируем метод и задачу параметрической геометрии. Основой метода параметрической геометрии является параметрическое исчисление. Основной задачей – определение числа параметров геометрических фигур и их исследование. После Н.Ф. Четверухина вопросом параметрической геометрии занимался профессор Н.Н. Рыжов. Его работы 
[87-91] в области параметрической геометрии являются фундаментальными. На основе параметрической геометрии им был создан более совершенный курс начертательной геометрии, читаемый в МАДИ. Бурное 
развитие параметрической геометрии было вызвано развитием вычислительной техники, для которой параметрический счет стал необходим. В 
настоящее время в параметрической геометрии можно выделить 4 основные задачи [159]: 
1. Параметраж геометрических фигур и их многообразий. 
2. Параметраж геометрических условий. 
3. Исследование геометрического смысла параметров. 
4. Исследование возможности сосуществования геометрических условий. 
 
Первые две задачи в принципе решены. Третья и четвертая находятся 
в стадии решения, общих подходов к их решению пока нет, поэтому в 
каждом конкретном случае приходится анализировать условия и находить оригинальное решение. 
 
 
1.2.2. Основные понятия 
 
Параметрическая геометрия – наука, занимающаяся исследованием параметров геометрических фигур.  

 

 
Рис.1.1 

Параметр – это некоторая характеристика,  
которая выделяет из некоторого множества подобных элементов некоторое подмножество.  
Пример.  
Пусть наше трехмерное пространство заполнено точками. Каждая точка имеет три характеристики – три координаты (рис.1.1, точка А). 
Эти три координаты у каждой точки независимы 
друг от друга. Назовем эти координаты параметрами. Таким образом, каждая точка имеет 3 

8 

параметра. Если все 3 параметра будут свободными, то есть ни один из 
трех  не равен какому-то фиксированному числу, и меняется от (+ ∞) до (- 
∞), то мы имеем в  результате все наше трехмерное пространство, заполненное точками: трехпараметрическое множество точек. Записывается 
это в виде: ∞3 точек, где 3 – мощность множества, параметрическое число фигуры; ∞ – знак множества.  
Зафиксировав один параметр,  например, Z = ZА, получим свободных 
2 параметра. Мощность множества понизилась на 1, и мы получили ∞2 
точек – двухпараметрическое множество точек. Фиксируя еще один параметр, – Y = YA, – получим ∞1 точек и, наконец, задав X = XA, имеем ∞0 
точек, то есть, их конечное число. В данном случае одну – точку А 
(рис.1.1).  
Предметом параметрической геометрии являются пространственные 
формы и их отношения.  
Методом параметрической геометрии является метод количественных 
оценок геометрических многообразий (множеств).  
Существуют параметры положения и параметры формы. Параметры 
формы определяют метрику объекта, его форму; параметры положения 
определяют конкретное единственное положение геометрической фигуры 
в пространстве.  
В приведенном выше примере с точкой А рассматривались лишь параметры положения. Такие геометрические фигуры как точка, прямая, 
плоскость не имеют параметров формы.  
Параметраж фигур – это определение числа независимых параметров, 
определяющих фигуру по форме и по положению в пространстве.  
Ниже дается принятая в пособии символика и обозначения.  
Точки обозначаются прописными буквами: M, N, T, S.  
Линии – строчными буквами: a, f, g, h, k.  
Прямая – t, l.  
Ось – i, j.  
Окружность – m.  
Центр окружности – Cm.  
Эллипс – e. 
Парабола – p.  
Поверхности – прописными буквами греческого алфавита: Г, Δ, Λ, Ω. 
Плоскость – Σ. 
⊂, ⊃ – принадлежность (⊂ – принадлежит, ⊃ – проходит).  
∩ – пересечение.  
∪ – соединение. 
∪ – касание. 
⊥ – перпендикулярность.  
∧ – угол.  
⏐A, Г⏐ – расстояние от точки A до поверхности Г.  
⏐t ∧ Σ⏐ – угол между прямой t и плоскостью Σ.  

 – вращение вокруг оси.  
R2 – двухмерное точечное пространство, в данном случае плоскость.  
R3 – трехмерное точечное пространство. 

9 

1.2.3. Параметраж геометрических фигур в плоскости (R2) 
 
Точка 
 

 
Рис. 1.2 

Точка определяется в плоскости двумя 
(рис.1.2, точка М) параметрами (координатами). Следовательно, точек в плоскости – двухпараметрическое множество (∞2).  
Другими словами, ∞2 точек в R3 заполняют 
всю плоскость (пространство R2). 
 
 
 
 
Линия 
 
Попробуем получить ∞1 точек. Для этого есть 
два пути:  

 
 
Рис. 1.3 

- зафиксировать один из параметров; 
- выразить один параметр через другой. 
В первом случае получим прямую l
 1 или прямую l
 2 (рис.1.3), во втором – некоторую линию k. 
Для l
 l  будем иметь: 
- X – свободный параметр;  
- Y = const.  
Для l
 2:  
- Х = const;  
- Y – свободный параметр.  
Для линии k:  Y=f(X).  В этом случае параметр Y – зависимый (от координаты X), и только один параметр X – независимый.  
Таким образом, любая линия на плоскости представляет собой ∞1 точек. 
 
Прямая 
 
Подсчитаем количество параметров для 
задания в плоскости (R2) единственной прямой.  

 
 
Рис. 1.4 

Прямую задают две точки (см. рис. 1.4, 
прямая t, точки А и В). В R2 каждая точка 
имеет 2 параметра, следовательно, две точки 
дают нам 4 параметра (∞2×∞2= ∞4 – при умножении степени суммируются): в R2 имеем 
четырехпараметрическое 
множество (∞4) 
пар точек. А сколько пар точек на прямой? 
Так как вместо конкретной точки А (рис. 
1.4) можно взять любую из ∞1 точек, состав
10