Ряды

ФЕДЕРАЛЬНОЕ ГОСУДАРСТВЕННОЕ БЮДЖЕТНОЕ ОБРАЗОВАТЕЛЬНОЕ  
УЧРЕЖДЕНИЕ ВЫСШЕГО ОБРАЗОВАНИЯ  
СТАВРОПОЛЬСКИЙ ГОСУДАРСТВЕННЫЙ АГРАРНЫЙ УНИВЕРСИТЕТ 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
РЯДЫ 
 
Учебное пособие 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
г. Ставрополь 
2017 

УДК 51 (075.8) 
ББК 22.1я73 
 
 
 
 
 
Литвин, Д.Б. 
Ряды: учебное пособие / Д.Б. Литвин, Т.А. Гулай, И.И. Мамаев. – Ставрополь : 
Сервисшкола, 2017. – 88с. 
Пособие предназначено для студентов инженерных и экономических 
направлений 
обучения 
и 
направлено 
на 
развитие 
и 
активизацию 
самостоятельной работы студентов. Оно может быть использовано как для 
работы под руководством преподавателя, так и для самостоятельного изучения 
соответствующего раздела математического анализа.  
 
 
 
 

ОГЛАВЛЕНИЕ 
 
ПРЕДИСЛОВИЕ .......................................................................................................... 5 
1. 
ЧИСЛОВЫЕ И ФУНКЦИОНАЛЬНЫЕ РЯДЫ ........................................... 5 
1.1. Числовые ряды ................................................................................................ 5 
Общие сведения ................................................................................................. 5 

Необходимое условие сходимости ряда ......................................................... 6 

Достаточные признаки сходимости рядов...................................................... 6 

Решение типовых примеров ............................................................................. 7 

Задания для самостоятельного решения ....................................................... 10 

1.2. Знакочередующиеся ряды ........................................................................... 15 
Решение типовых примеров ........................................................................................ 15

Задания для самостоятельного решения ................................................................. 17

1.3. Знакопеременные ряды. Абсолютная и условная сходимость ................ 18 
Достаточный признак сходимости знакопеременного ряда ............................ 18

Решение типовых примеров ........................................................................................ 18

Задания для самостоятельного решения ................................................................. 20

1.4. Функциональные ряды ................................................................................. 21 
Решение типовых примеров ........................................................................................ 22

Задания для самостоятельного решения ................................................................. 23

1.5. Степенные ряды ............................................................................................ 24 
Свойства степенных рядов .......................................................................................... 26

Решение типовых примеров ........................................................................................ 26

Задания для самостоятельного решения ................................................................. 27

1.6. Ряды Тейлора и Маклорена ......................................................................... 29 
Разложения в ряд Маклорена типовых функций: ............................................... 30

Решение типовых примеров ........................................................................................ 30

Задания для самостоятельного решения ................................................................. 32

1.7. Некоторые приложения степенных рядов ................................................. 33 
Вычисление значений функций ................................................................................. 33

Решение типовых примеров ........................................................................................ 34

Вычисление определенных интегралов .................................................................. 35

Применение рядов к решению дифференциальных уравнений ..................... 36

Решение типовых примеров ........................................................................................ 37

Задания для самостоятельного решения ................................................................. 38

1.8. Ряды Фурье .................................................................................................... 42 
Решение типовых примеров ........................................................................................ 44

Задания для самостоятельного решения ................................................................. 48

ОТВЕТЫ ................................................................................................................. 54 
ПРИЛОЖЕНИЕ 1. Контрольная работа по рядам ................................................. 57 
ЛИТЕРАТУРА ........................................................................................................... 87 
 
 
 

ПРЕДИСЛОВИЕ 
 
Пособие охватывает традиционный курс высшей математики в объёме 
третьего и четвертого семестров  
Каждая глава пособия начинается с необходимого теоретического 
минимума, включающего важнейшие определения, теоремы и формулы. Затем 
идёт блок задач на эту тему, рассредоточенный следующим образом. Сначала 
подробно разбираются несколько типовых задач с полным анализом решения, 
после чего предлагается для самостоятельного решения блок аналогичных 
задач для закрепления приобретённого навыка. 
Для контроля усвоения материала в пособии представлены 30 вариантов 
контрольной работы. 
В пособии имеются типовые задачи, а также довольно много более 
сложных заданий для наиболее успевающих студентов. К подавляющему 
большинству задач приведены ответы, а к наиболее трудным из них – 
подробные указания. Такое построение книги предоставляет студенту широкие 
возможности для активной самостоятельной работы и экономит его время. 
Студентам предлагается перед каждым практическим занятием изучить 
относящийся к нему раздел теории, внимательно, с выполнением всех действий 
на бумаге, разобрать решённые задачи и только после этого приступать к 
решению задач, предложенных для самостоятельного решения. 
 

1. 
ЧИСЛОВЫЕ И ФУНКЦИОНАЛЬНЫЕ РЯДЫ 

1.1.  Числовые ряды 

Общие сведения 

Пусть 
1
2
3
,
,
,...,
,...
n
u u u
u
бесконечная 
числовая 
последовательность. 

Выражение вида  

1
2
3
...
...
n
u
u
u
u
+
+
+
+
+
                                (1)  

называется числовым рядом (или просто рядом), а числа  
1
2
3
,
,
,...
u u u

называются членами ряда; 
n
u  при произвольном п называется общим членом 

ряда (иногда первый член ряда обозначают 
0u , второй — 
1u  и т. д., то есть 

придают п значения 0, 1, 2, ...). Ряд часто записывают 

1
n
n
u

∞

=∑
. 

Числовой ряд задан, если известен его общий член un, или известен закон, 
по которому он может быть получен. 
Сумму первых п членов числового ряда обозначают через 
n
S  и называют 

частичной суммой ряда : 
 S1=u1;   S2= u1+ u2;   S3= u1+ u2+ u3;  … ;   Sn= u1+ u2+…+un .       (2) 

Определение   Ряд (1) называется сходящимся, если п-я  частичная сумма 

n
S   при неограниченном возрастании п стремится к конечному пределу, т.е. 

lim
n
n
S
S
→∞
=
, где S  называется суммой ряда (1). 

Если же п-я  частичная сумма ряда при n → ∞ не стремится к конечному 
пределу или вообще не имеет никакого предела, то ряд  называется  
расходящимся. Ряд   
а+аq+aq2+…+aqn-1+…                                      (3) 
называется геометрической прогрессией, а - первый член ряда; q – 

знаменатель прогрессии,  сумма ряда   
1

n

n
a
aq
S
q
−
=
−
. 

При |q|<1 ряд (3) сходится, его сумма равна 
1
a
S
q
= −
 и при   |q|≥1 ряд (3) 

расходится. Ряд   

1
1
1
1
1
...
...
2
3
4
n
+
+
+
+
+
+
                                  (4) 

называется гармоническим рядом, он расходится. Ряд  

1
1
1
1
1
...
...
2
3
4
p
p
p
p
n
+
+
+
+
+
+
                             (5) 

называется обобщенным гармоническим рядом, при p>1 этот ряд 
сходится, а при 
1
p ≤  он расходится. 

Необходимое условие сходимости ряда 

Если ряд 

1
n
n
u

∞

=∑
 сходится, то его общий член un
 стремится к 0 при n → ∞

lim
0
n
n
u
→∞
=                                                (6) 

Если общий член ряда un не стремится к 0 при 
, то ряд расходится. 

Достаточные признаки сходимости рядов 

1. Признаки сравнения 
Пусть даны два ряда с положительными членами 

1
2
...
...
n
u
u
u
+
+
+
+
=

1
n
n
u

∞

=∑
 
                             (*) 

1
2
...
...
n
v
v
v
+
+
+
+
=

1
n
n
v

∞

=∑
 
                          (**) 

1) Если члены ряда (*) не превосходят соответствующих членов ряда (**), 
т. е. 
n
n
u
v
≤
 и ряд (**) сходится, то сходится и ряд (*). 

2) Если члены ряда (*) не меньше соответствующих членов ряда (**), т.е. 

n
n
u
v
≥
 и ряд (**) расходится, то расходится и ряд (*). 

Этот признак остаётся в силе, если неравенства  
(
)
n
n
n
n
u
v
u
v
<
>

выполняются не при всех  п  , а лишь начиная с некоторого номера n
N
=
. 
 
2. Предельный признак сравнения 

Пусть даны два знакоположительных ряда 

1
n
n
u

∞

=∑
 и 

1
n
n
v

∞

=∑
. Если существует 

конечный, отличный от нуля, предел lim
(0
)
n

n
n

u
A
A
v
→∞
=
<
< ∞ , то оба ряда 

1
n
n
u

∞

=∑
 

и 

1
n
n
v

∞

=∑
 сходятся и расходятся одновременно. 

3. Признак Даламбера  
Если для знакоположительного ряда 
1
2
...
...
n
u
u
u
+
+
+
+
 существует 

1
lim
n

n
n

u
l
u

+

→∞
= ,  то  если 
1
l <  ряд сходится, если же 
1
l > , то ряд расходится. 

∞
→
n

Если 
1
l = , то ряд может сходиться, а может и расходиться. В этом случае 
признак Даламбера ответа не дает, приходится исследовать  на сходимость ряд 
с помощью других признаков. 
 
4. Признак Коши  (Радикальный признак) 
Если для знакоположительного ряда 
1
2
...
...
n
u
u
u
+
+
+
+
 существует 

lim n
n
n
u
l
→∞
= ,  то  если 
1
l < , то ряд сходится,  если 
1
l > , то ряд расходится. 

Если 
1
l = , то радикальный признак не дает ответа о сходимости ряда. 
 
5. Признак Коши. (Интегральный признак). 
Пусть 
члены 
знакоположительного 
ряда 
 
1
2
...
...
n
u
u
u
+
+
+
+

1
2
3
...
u
u
u
≥
≥
≥
  и 
( )
f x  такая непрерывная невозрастающая на промежутке 

[1;
)
+∞   функция, что     
1
(1)
f
u
=
, 
2
(2)
f
u
=
,…, 
( )
n
f n
u
=
,… 

Тогда, если несобственный интеграл

1
( )
f x dx

+∞
∫
 сходится, то и ряд 

сходится, а если он расходится, то и ряд расходится. 
 

Решение типовых примеров 

1  Дан общий член ряда   
2
1
3
n
n
n
u
−
=
. Написать первые четыре члена ряда. 

Решение 

Если 
1
n = , то 
1
1
3
u =
; если  
2
n =
,  то 
2
3
9
u =
; если 
3
n =
, то 
3
5
27
u =
; если 

4
n =
, то 
4
7
81
u =
;….   Ряд можно записать в виде   1
3
5
7
...
3
9
27
81
+
+
+
+
. 

 
 

2  Найти общий член ряда   4
16
64
256
2
4
6
8
+
+
+
+…. 

Решение 

Числители образуют геометрическую прогрессию  
2
3
4
4,4 ,4 ,4 ,...; n-й член 

этой прогрессии 
4n
nb =
. Знаменатели образуют арифметическую прогрессию 

2,4,6,8,...; n-й член этой прогрессии находим по формуле 
1
(
1)
na
a
d n
=
+
−
, где 

1
2,
2
a
d
=
=
, поэтому 
2
na
n
=
. Следовательно, общий член этого ряда 
4
2

n

nu
n
=
. 

3  Найти сумму ряда  
2
1

1
5
6
n
n
n

∞

=
+
+
∑
.  

Решение 
Представим общий член ряда в виде суммы простейших дробей: 

2
1
1
5
6
(
2)(
3)
n
u
n
n
n
n
=
=
+
+
+
+
2
3
A
B
n
n
=
+
+
+
 

Умножая обе части этого выражения на знаменатель, придём к тождеству 

1
(
3)
(
2)
A n
B n
≡
+
+
+
. 

Полагая 
2
n = − , находим 1 = А;   значит 
1
A = ; 
                  
3
n = − , находим 1 = - В; значит
1
B = − . 

Таким образом, 
1
1
2
3
nu
n
n
=
−
+
+
, т.е.  
1
1
2
3
nu
n
n
=
−
+
+
. 

Отсюда 
1
1
1
3
4
u =
−
;  
2
1
1
4
5
u =
−
;  
3
1
1
5
6
u =
−
;  
4
1
1
6
7
u =
−
;…. 

Следовательно, 

1
1
1
1
1
1
1
1
1
1
1
1
...
3
4
4
5
5
6
6
7
2
3
3
3
n
S
n
n
n
=
−
+
−
+
−
+
−
+
+
−
=
−
+
+
+
. 

Так как   
1
1
1
lim
lim(
)
3
3
3
n
n
n
S
S
n
→∞
→∞
=
=
−
=
+
, то ряд сходится. 

 

4  Исследовать сходимость ряда  

1

1
3
4
n
n

∞

=
+
∑
. 

Решение 

Сравним этот ряд с рядом  

1

1
3n
n

∞

=∑
(то есть с бесконечно убывающей 

геометрической прогрессией, так как 
1
1
3
q =
< ), этот ряд сходится.  

Члены данного ряда  меньше  соответствующих членов ряда 

1

1
3n
n

∞

=∑
, 

следовательно, данный ряд сходится. 
 

5  Исследовать сходимость ряда  

1

1
4 2
3
n
n

∞

=
⋅
−
∑
. 

Решение