Дифференциальное исчисление функций

ФЕДЕРАЛЬНОЕ ГОСУДАРСТВЕННОЕ БЮДЖЕТНОЕ ОБРАЗОВАТЕЛЬНОЕ 

УЧРЕЖДЕНИЕ ВЫСШЕГО ОБРАЗОВАНИЯ 

СТАВРОПОЛЬСКИЙ ГОСУДАРСТВЕННЫЙ АГРАРНЫЙ УНИВЕРСИТЕТ

ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНОЕ ИСЧИСЛЕНИЕ 

ФУНКЦИЙ 

Учебное пособие

г. Ставрополь

2017

УДК 51 (075.8)
ББК 22.1я73

Литвин, Д.Б.
Дифференциальное исчисление функций: Учебное пособие / Литвин Д.Б., Мелешко С.В., Невидомская И.А., Королькова Л.Н. – Ставрополь : Сервисшкола, 
2017. – 80 с.

Пособие предназначено для студентов инженерных и экономических на
правлений обучения. Содержание материала в целом соответствует дисциплине 
«Математический анализ».

ОГЛАВЛЕНИЕ

1. ПРЕДЕЛЫ................................................................................................................ 5

1.1. Числовые множества......................................................................................... 5

1.2. Функции ............................................................................................................. 5

1.3. Числовая последовательность. Предел последовательности ....................... 5

1.4. Предел функции ................................................................................................ 6
1.5. Бесконечно большая и малая функции........................................................... 7

1.6. Основные теоремы о пределах ........................................................................ 8

1.7. Замечательные пределы.................................................................................... 8

1.8. Решение типовых примеров............................................................................. 9

1.9. Задания для самостоятельной работы:.......................................................... 13

2. НЕПРЕРЫВНОСТЬ ФУНКЦИЙ ......................................................................... 18

2.1. Непрерывность функции в точке................................................................... 18

2.2. Точки разрыва функции и их классификация.............................................. 18

3. ПРОИЗВОДНАЯ ФУНКЦИИ.............................................................................. 20

3.1. Определение. Уравнения касательной и нормали к кривой....................... 20

3.2. Дифференцирование неявно заданной функции ......................................... 25
3.3. Дифференцирование функции, заданной параметрически ........................ 25

3.4. Логарифмическое дифференцирование........................................................ 25

3.5. Производные высших порядков явно заданной функции .......................... 26

3.6. Производные высших порядков неявно заданной функции ...................... 27

3.7. Производные высших порядков параметрически заданных функций...... 27

4. ДИФФЕРЕНЦИАЛ ФУНКЦИИ .......................................................................... 31

4.1. Применение дифференциала к приближенным вычислениям................... 32

4.2. Дифференциалы высших порядков............................................................... 32

5. ПРИМЕНЕНИЕ ПРОИЗВОДНЫХ...................................................................... 35

5.1. Правила Лопиталя раскрытия неопределенностей вида 0 0 и  . ....... 35

5.2. Исследование функций................................................................................... 37

6. ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНОЕ ИСЧИСЛЕНИЕ ФУНКЦИЙ НЕСКОЛЬКИХ 
ПЕРЕМЕННЫХ........................................................................................................... 46

6.1. Понятие функции нескольких переменных (ФНП)..................................... 46

6.2. Частные производные, производные по направлению, градиент.............. 49

6.3. Неявные функции и их дифференцирование ............................................... 55

6.4. Полное приращение и дифференциалы ФНП.............................................. 56

6.5. Дифференциал второго порядка и матрица Гессе ФНП............................. 57

6.6. Частные производные высших порядков ..................................................... 60

6.7. Необходимые и достаточные условия локального экстремума ФНП....... 61

6.8. Глобальный экстремум ФНП......................................................................... 67
6.9. Условный экстремум ...................................................................................... 69

6.10.Метод наименьших квадратов....................................................................... 74

Контрольная работа  "ФНП" (типовые варианты)................................................... 78

Приложение 1.          ТАБЛИЦА ПРОИЗВОДНЫХ................................................. 79

ЛИТЕРАТУРА ............................................................................................................. 80

1. ПРЕДЕЛЫ

1.1.Числовые множества

Множества, элементами которых являются числа, называются числовы
ми. Примерами числовых множеств являются:



N
1;2;3;...;п;...

- множество натуральных чисел;



0
Z
0;1;2;...;п;...

- множество целых неотрицательных чисел;



Z
0; 1; 2;...; п;...




- множество целых чисел;

m
Q
: т
Z, п
N
n











- множество рациональных чисел;

I - множество иррациональных чисел;
R - множество действительных чисел;
С - множество комплексных чисел.
Между этими множествами существуют соотношения

0
N
Z
Z
Q
R
C





,       R
Q
I

 .

1.2.Функции

Функцией называется  соответствие f, которое каждому элементу x
X


сопоставляет один и только один элемент y
Y

, и записывается y
f ( x )

, 

x
X

. Говорят еще, что функция  f отображает множество Х на множество Y.

Основные элементарные функции

1) Показательная функция
x
y
a

, а
0
 , a
1
 ;

2) Степенная функция у
x

, 
R
 
;

3) Логарифмическая функция
a
у
log х, а
0, а
1


 ;

4) Тригонометрические функции у
sinx

, у
cosx

, у
tgx

, у
ctg х

;

5) Обратные тригонометрические функции у
arcsinx

, у
arccosx

, 

у
arctgx

, у
arcctgx

.

1.3.Числовая последовательность. Предел последовательности

Под числовой последовательностью 
1
2
3
n
x ,x ,x ,...,x ,...,обозначается  
nx
,

понимается функция натурального аргумента

nx
f ( n )

,  n
N

(1)

Например, 
n

1 1
1
x
1, , ,...,
2 3
n



 




,  



2

ny
1,4,9,...,n

.

Число а называется пределом пocледовательности  
nx
, если для любо
го сколь угодно малого положительного числа 
0
  , найдется такое натураль
ное число N, что при всех n
N

выполняется неравенство

nx
a



.
(2)

Коротко определение предела можно записать так:



n
n

n

0  N :
n
N
x
a
limx
а.







 







Неравенство 
(2)
равносильно 
неравенствам 
nx
а


 


или

n
а
x
а
,






которые показывают, что элемент 
nx
находится в  
окрестности точки a .

Рисунок 1 -  -окрестность точки a

При выполнении 
n

n
limx
а




, говорят, что последовательность  
nx
сходит
ся к значению а. 

1.4.Предел функции

Пусть функция  
 
y
f x

определена на некотором множестве Х и пусть  

0x
X

.  Возьмем из множества Х последовательность 
1
2
n
x ,x ,...,x ,..., элементы 

которой отличны от 


0
n
0
x
x
x

, сходящуюся к 
0x
. Последовательность 

функции 






1
2
n
f x , f x
,..., f x
,... тоже образуют числовую последователь
ность.

Определение 1 (по Гейне). Число А называется пределом функции 
 
y
f x

при 
0
x
x

, если для любой сходящейся к 
0x
последовательности  

значений аргумента  
nx
, отличных от 
0x , соответствующая последователь
ность 




n
f x
значений функции сходится к числу А.

Записывают     
 

0
x
x
lim f x
A



.

Функция  
 
y
f x

в точке хо может иметь только один предел.

Определение 2 (по Коши). Число А называется пределом функции 
 
y
f x

при  
0
x
x

, если для любого сколь угодно малого числа 
0
 
суще
ствует число  
 
0
  
такое, что при 
0
x
x



выполняется неравенство  

 
f x
A



(см. рис.2).

Записывают     
 

0
x
x
lim f x
A



.

В определении предела функции 

0
x
x
lim f
А
( x )



считается, что х стремится 

к 
0x
любым способом: слева, справа от 
0x
или колеблясь около этой точки.

Бывают случаи, когда способ приближения аргумента х к 
0x существенно влия
ет на значение предела функции. Поэтому вводят понятия односторонних пределов (см. рис. 3).

Предел слева и справа записывают соответственно: 

0

1
x
x
0
lim f ( x )
A




;      
 

0

2
x
x
0
lim f x
A




.

Если в точке 
0x существуют оба предела и они равны
1
2
A
A

, то сущест
вует и предел 

0
x
x
A
lim f ( x )


. Если же 
1
2
A
A

, то 

0
x
x
lim f ( x )

не существует.

Рисунок 2 - Определение предела
Рисунок 3 - Односторонние пределы

1.5.Бесконечно большая и малая функции

Функция 
 
у
f x

называется бесконечно большой (б.б.ф.) npu
0
x
x

, 

если для сколь угодно большого числа М
0

существует число
( M )
0



 , 

что для всех х, удовлетворяющих неравенству
0
x
x



, выполняется нера
венство f ( x )
M

: 

0
x
x
lim f ( x )

 . Например, функция 
1
y
x
2


есть б.б.ф. при

x
2
 .

Функция у 
)
f ( x

называется бесконечно малой (б.м.ф.) npu
0
x
x

, ес
ли

0
x
x
lim f ( x )
0



. Например, функция
2
у 
 х

при х
0

есть б.м.ф.

Основные теоремы о бесконечных функциях

1. Алгебраическая сумма конечного числа бесконечно малых функций есть 

бесконечно малая функция.

2. Произведение ограниченной функции на бесконечно малую функцию 

есть функция бесконечно малая.

3. Если функция ( x )

- бесконечно малая 
0
 
, то функция 
1
( x )

есть 

бесконечно большая функция и наоборот: если функция f(x) - бесконечно 

большая, то 
1

f ( x ) - бесконечно малая.

1.6.Основные теоремы о пределах

1) Если 
 

0
x
x
lim f x
A



, а 
 

0
x
x
lim
x
В




, то

 
 

0
x
x
lim
f x
x
A
В










; 

 
 

0
x
x
lim
f x
x
A В










; 

 
 

0
x
x
lim
f x
x
A B








, 

В
0

.

2) 
 
 

0
0

n
n

x
x
x
x
lim
f x
lim f x
.
















3) 




0
x
x

x
lim C
C





;                                 4) 




 




 

0
0
x
x
x
x

x
x

lim C f x
C lim f x








.

Важнейшие эквивалентности

1) sinx~ x ; 
6) 
xe
1
 ~ x ; 

2) tg x ~ x ;
7) 
x
a
1
 ~ x ; 

3) arcsinx~ x ; 
8) 


ln 1
x

~ x ; 

4) arctg x~ x ; 
9) 


a
log
1
x

~
a
xlog e ; 

5) 1
cos x

~

2x
2 ; 

10) 


k
1
x
1

 ~kx; 

(в частности 1
x
1

 ~ x

2 ).

1.7.Замечательные пределы

Первый замечательный предел

x
0
x
0

sinx
x
lim
1;
lim
1.
x
sinx




(3)

Второй замечательный предел