Книжная полка Сохранить
Размер шрифта:
А
А
А
|  Шрифт:
Arial
Times
|  Интервал:
Стандартный
Средний
Большой
|  Цвет сайта:
Ц
Ц
Ц
Ц
Ц

Дифференциальное исчисление функций

Покупка
Основная коллекция
Артикул: 689758.01.99
Доступ онлайн
80 ₽
В корзину
Пособие предназначено для студентов инженерных и экономических на-правлений обучения. Содержание материала в целом соответствует дисциплине «Математический анализ».
Литвин, Д. Б. Дифференциальное исчисление функций: Учебное пособие / Литвин Д.Б. - Ставрополь:Сервисшкола, 2017. - 80 с.: ISBN. - Текст : электронный. - URL: https://znanium.com/catalog/product/976319 (дата обращения: 30.05.2024). – Режим доступа: по подписке.
Фрагмент текстового слоя документа размещен для индексирующих роботов. Для полноценной работы с документом, пожалуйста, перейдите в ридер.
ФЕДЕРАЛЬНОЕ ГОСУДАРСТВЕННОЕ БЮДЖЕТНОЕ ОБРАЗОВАТЕЛЬНОЕ 

УЧРЕЖДЕНИЕ ВЫСШЕГО ОБРАЗОВАНИЯ 

СТАВРОПОЛЬСКИЙ ГОСУДАРСТВЕННЫЙ АГРАРНЫЙ УНИВЕРСИТЕТ

ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНОЕ ИСЧИСЛЕНИЕ 

ФУНКЦИЙ 

Учебное пособие

г. Ставрополь

2017

УДК 51 (075.8)
ББК 22.1я73

Литвин, Д.Б.
Дифференциальное исчисление функций: Учебное пособие / Литвин Д.Б., Мелешко С.В., Невидомская И.А., Королькова Л.Н. – Ставрополь : Сервисшкола, 
2017. – 80 с.

Пособие предназначено для студентов инженерных и экономических на
правлений обучения. Содержание материала в целом соответствует дисциплине 
«Математический анализ».

ОГЛАВЛЕНИЕ

1. ПРЕДЕЛЫ................................................................................................................ 5

1.1. Числовые множества......................................................................................... 5

1.2. Функции ............................................................................................................. 5

1.3. Числовая последовательность. Предел последовательности ....................... 5

1.4. Предел функции ................................................................................................ 6
1.5. Бесконечно большая и малая функции........................................................... 7

1.6. Основные теоремы о пределах ........................................................................ 8

1.7. Замечательные пределы.................................................................................... 8

1.8. Решение типовых примеров............................................................................. 9

1.9. Задания для самостоятельной работы:.......................................................... 13

2. НЕПРЕРЫВНОСТЬ ФУНКЦИЙ ......................................................................... 18

2.1. Непрерывность функции в точке................................................................... 18

2.2. Точки разрыва функции и их классификация.............................................. 18

3. ПРОИЗВОДНАЯ ФУНКЦИИ.............................................................................. 20

3.1. Определение. Уравнения касательной и нормали к кривой....................... 20

3.2. Дифференцирование неявно заданной функции ......................................... 25
3.3. Дифференцирование функции, заданной параметрически ........................ 25

3.4. Логарифмическое дифференцирование........................................................ 25

3.5. Производные высших порядков явно заданной функции .......................... 26

3.6. Производные высших порядков неявно заданной функции ...................... 27

3.7. Производные высших порядков параметрически заданных функций...... 27

4. ДИФФЕРЕНЦИАЛ ФУНКЦИИ .......................................................................... 31

4.1. Применение дифференциала к приближенным вычислениям................... 32

4.2. Дифференциалы высших порядков............................................................... 32

5. ПРИМЕНЕНИЕ ПРОИЗВОДНЫХ...................................................................... 35

5.1. Правила Лопиталя раскрытия неопределенностей вида 0 0 и  . ....... 35

5.2. Исследование функций................................................................................... 37

6. ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНОЕ ИСЧИСЛЕНИЕ ФУНКЦИЙ НЕСКОЛЬКИХ 
ПЕРЕМЕННЫХ........................................................................................................... 46

6.1. Понятие функции нескольких переменных (ФНП)..................................... 46

6.2. Частные производные, производные по направлению, градиент.............. 49

6.3. Неявные функции и их дифференцирование ............................................... 55

6.4. Полное приращение и дифференциалы ФНП.............................................. 56

6.5. Дифференциал второго порядка и матрица Гессе ФНП............................. 57

6.6. Частные производные высших порядков ..................................................... 60

6.7. Необходимые и достаточные условия локального экстремума ФНП....... 61

6.8. Глобальный экстремум ФНП......................................................................... 67
6.9. Условный экстремум ...................................................................................... 69

6.10.Метод наименьших квадратов....................................................................... 74

Контрольная работа  "ФНП" (типовые варианты)................................................... 78

Приложение 1.          ТАБЛИЦА ПРОИЗВОДНЫХ................................................. 79

ЛИТЕРАТУРА ............................................................................................................. 80

1. ПРЕДЕЛЫ

1.1.Числовые множества

Множества, элементами которых являются числа, называются числовы
ми. Примерами числовых множеств являются:



N
1;2;3;...;п;...

- множество натуральных чисел;



0
Z
0;1;2;...;п;...

- множество целых неотрицательных чисел;



Z
0; 1; 2;...; п;...




- множество целых чисел;

m
Q
: т
Z, п
N
n











- множество рациональных чисел;

I - множество иррациональных чисел;
R - множество действительных чисел;
С - множество комплексных чисел.
Между этими множествами существуют соотношения

0
N
Z
Z
Q
R
C





,       R
Q
I

 .

1.2.Функции

Функцией называется  соответствие f, которое каждому элементу x
X


сопоставляет один и только один элемент y
Y

, и записывается y
f ( x )

, 

x
X

. Говорят еще, что функция  f отображает множество Х на множество Y.

Основные элементарные функции

1) Показательная функция
x
y
a

, а
0
 , a
1
 ;

2) Степенная функция у
x

, 
R
 
;

3) Логарифмическая функция
a
у
log х, а
0, а
1


 ;

4) Тригонометрические функции у
sinx

, у
cosx

, у
tgx

, у
ctg х

;

5) Обратные тригонометрические функции у
arcsinx

, у
arccosx

, 

у
arctgx

, у
arcctgx

.

1.3.Числовая последовательность. Предел последовательности

Под числовой последовательностью 
1
2
3
n
x ,x ,x ,...,x ,...,обозначается  
nx
,

понимается функция натурального аргумента

nx
f ( n )

,  n
N

(1)

Например, 
n

1 1
1
x
1, , ,...,
2 3
n



 




,  



2

ny
1,4,9,...,n

.

Число а называется пределом пocледовательности  
nx
, если для любо
го сколь угодно малого положительного числа 
0
  , найдется такое натураль
ное число N, что при всех n
N

выполняется неравенство

nx
a



.
(2)

Коротко определение предела можно записать так:



n
n

n

0  N :
n
N
x
a
limx
а.







 







Неравенство 
(2)
равносильно 
неравенствам 
nx
а


 


или

n
а
x
а
,






которые показывают, что элемент 
nx
находится в  
окрестности точки a .

Рисунок 1 -  -окрестность точки a

При выполнении 
n

n
limx
а




, говорят, что последовательность  
nx
сходит
ся к значению а. 

1.4.Предел функции

Пусть функция  
 
y
f x

определена на некотором множестве Х и пусть  

0x
X

.  Возьмем из множества Х последовательность 
1
2
n
x ,x ,...,x ,..., элементы 

которой отличны от 


0
n
0
x
x
x

, сходящуюся к 
0x
. Последовательность 

функции 






1
2
n
f x , f x
,..., f x
,... тоже образуют числовую последователь
ность.

Определение 1 (по Гейне). Число А называется пределом функции 
 
y
f x

при 
0
x
x

, если для любой сходящейся к 
0x
последовательности  

значений аргумента  
nx
, отличных от 
0x , соответствующая последователь
ность 




n
f x
значений функции сходится к числу А.

Записывают     
 

0
x
x
lim f x
A



.

Функция  
 
y
f x

в точке хо может иметь только один предел.

Определение 2 (по Коши). Число А называется пределом функции 
 
y
f x

при  
0
x
x

, если для любого сколь угодно малого числа 
0
 
суще
ствует число  
 
0
  
такое, что при 
0
x
x



выполняется неравенство  

 
f x
A



(см. рис.2).

Записывают     
 

0
x
x
lim f x
A



.

В определении предела функции 

0
x
x
lim f
А
( x )



считается, что х стремится 

к 
0x
любым способом: слева, справа от 
0x
или колеблясь около этой точки.

Бывают случаи, когда способ приближения аргумента х к 
0x существенно влия
ет на значение предела функции. Поэтому вводят понятия односторонних пределов (см. рис. 3).

Предел слева и справа записывают соответственно: 

0

1
x
x
0
lim f ( x )
A




;      
 

0

2
x
x
0
lim f x
A




.

Если в точке 
0x существуют оба предела и они равны
1
2
A
A

, то сущест
вует и предел 

0
x
x
A
lim f ( x )


. Если же 
1
2
A
A

, то 

0
x
x
lim f ( x )

не существует.

Рисунок 2 - Определение предела
Рисунок 3 - Односторонние пределы

1.5.Бесконечно большая и малая функции

Функция 
 
у
f x

называется бесконечно большой (б.б.ф.) npu
0
x
x

, 

если для сколь угодно большого числа М
0

существует число
( M )
0



 , 

что для всех х, удовлетворяющих неравенству
0
x
x



, выполняется нера
венство f ( x )
M

: 

0
x
x
lim f ( x )

 . Например, функция 
1
y
x
2


есть б.б.ф. при

x
2
 .

Функция у 
)
f ( x

называется бесконечно малой (б.м.ф.) npu
0
x
x

, ес
ли

0
x
x
lim f ( x )
0



. Например, функция
2
у 
 х

при х
0

есть б.м.ф.

Основные теоремы о бесконечных функциях

1. Алгебраическая сумма конечного числа бесконечно малых функций есть 

бесконечно малая функция.

2. Произведение ограниченной функции на бесконечно малую функцию 

есть функция бесконечно малая.

3. Если функция ( x )

- бесконечно малая 
0
 
, то функция 
1
( x )

есть 

бесконечно большая функция и наоборот: если функция f(x) - бесконечно 

большая, то 
1

f ( x ) - бесконечно малая.

1.6.Основные теоремы о пределах

1) Если 
 

0
x
x
lim f x
A



, а 
 

0
x
x
lim
x
В




, то

 
 

0
x
x
lim
f x
x
A
В










; 

 
 

0
x
x
lim
f x
x
A В










; 

 
 

0
x
x
lim
f x
x
A B








, 

В
0

.

2) 
 
 

0
0

n
n

x
x
x
x
lim
f x
lim f x
.
















3) 




0
x
x

x
lim C
C





;                                 4) 




 




 

0
0
x
x
x
x

x
x

lim C f x
C lim f x








.

Важнейшие эквивалентности

1) sinx~ x ; 
6) 
xe
1
 ~ x ; 

2) tg x ~ x ;
7) 
x
a
1
 ~ x ; 

3) arcsinx~ x ; 
8) 


ln 1
x

~ x ; 

4) arctg x~ x ; 
9) 


a
log
1
x

~
a
xlog e ; 

5) 1
cos x

~

2x
2 ; 

10) 


k
1
x
1

 ~kx; 

(в частности 1
x
1

 ~ x

2 ).

1.7.Замечательные пределы

Первый замечательный предел

x
0
x
0

sinx
x
lim
1;
lim
1.
x
sinx




(3)

Второй замечательный предел




x
1
x

x
x
0

1
lim 1
e;
lim 1
x
e
x














.
(4)

Вычисление пределов
1. Если при 
0
x
x

функция определена, то 
 



0

0
x
x
lim f x
f x



. 

2. Если функция 
 
f x
в точке 
0
x
x

не определена, то необходимо поль
зуясь свойствами пределов "раскрыть" неопределенность одного из типов

«0 0 »; « »; «0»; « »; «1 »; «
0
0 »; «
0
 ».

1.8. Решение типовых примеров

Вычислить пределы:

Пример 1. 

2

2
x
2

x
x
2
lim
x
1






.

Решение

Так как 



2

x
2
lim x
1
5
0




 , то применим теорему о пределе частного

2

2
x
2

x
x
2
4
2
2
4
lim
.
x
1
4
1
5











Пример 2. 

2

2
x
2

x
5x
6
lim x
3x
2







.

Решение

Функция  

2

2
x
5x
6

x
3x
2






в точке x
2

не определена. Так как при x
2

чис
литель и знаменатель дроби обращаются в нуль, то имеем неопределенность 

вида  « 0

0 ». Преобразуем дробь так, чтобы ее можно было бы сократить на x
2


. Для этого разложим числитель и знаменатель на множители:





2x
5x
6
x
2
x
3





, так как 
2x
5x
6
0



при  
1
2
x
2,
x
3


.  





2x
3x
2
x
2
x
1





, так как 
2x
3x
2
0



при  
1
2
x
2,
x
1

 .

Итак, имеем









2

2
x
2
x
2
x
2

x
2
x
3
x
5x
6
x
3
2
3
lim
lim
lim
1
x
3x
2
x
2
x
1
x
1
2
1













 






.

Пример 3. 

x
3
3
x
6
lim
x
3






.

Решение
При x
3

числитель и знаменатель дроби обращаются в нуль, следова
тельно, имеем неопределенность « 0

0 ».  Преобразуем дробь так, чтобы ее можно 

было сократить на x
3
 . Для этого числитель и знаменатель умножим на вы
ражение, сопряженное иррациональному выражению 3
x
6


, то есть на вы
ражение 3
x
6


, получим









x
3
x
3

3
x
6
3
x
6
3
x
6
lim
lim
x
3
x
3
3
x
6
















{перемножив 
сопряженные 

выражения 



2
2
a
b
a
b
a
b




, избавимся от иррациональности} =















x
3
x
3

x
3

9
x
6
3
x
lim
lim

x
3
3
x
6
x
3
3
x
6

x
3
1
1
1
lim
.
3
3
6
3
3
6
x
3
3
x
6





















 
 
 
 







Пример 4. 
2
x
0
1
cos4x
lim
x



.

Решение

2

2
2
x
0
x
0
x
0
x
0
x
0

2
2
2

x
0
x
0
x
0

1
cos4x
2sin 2x
sin2x sin2x
sin2x
sin2x
lim
lim
2lim
2lim
lim
x
x
x x
x
x

sin2x
2sin2x
sin2x
2 lim
2 lim
8 lim
8 1
8
x
2x
2x






























 













Пример 5. 

3

2
x

2x
1
lim 3x
2x
1





 .

Решение






3
2

x
x
lim 2x
1
;
lim 3x
2x
1




 


 

Следовательно, имеет место неопределенность вида  « 

 ».  Разделим 

числитель и знаменатель дроби почленно на старшую степень дроби, то есть на 
х3 , получим 

3
3

2
x
x

2
3

1
2
2x
1
x
lim
lim 3
2
1
3x
2x
1

x
x
x







 





.

Предел знаменателя равен нулю, следовательно, в знаменателе бесконеч
но малая функция. Далее применили теорему о связи между бесконечно малой 
и бесконечно большой величинами.

Пример 6. 



2
2

xlim
x
1
x
1





.

Решение
В заданном примере имеем неопределенность вида « ». Умножим и 

разделим выражение, стоящее под знаком предела, на сопряженное ему выра
жение, то есть на 
2
2
x
1
x
1


 , получим










2
2
2
2

2
2

2
2
x
x

2
2

2
2
2
2
x
x

x
1
x
1
x
1
x
1

lim
x
1
x
1
lim

x
1
x
1

x
1
x
1
2
lim
lim
0.

x
1
x
1
x
1
x
1
























 













Так как  



2
2

xlim
x
1
x
1





  , значит в знаменателе бесконечно 

большая функция. Далее применим теорему о связи между бесконечно большой 
и бесконечно малой величинами.

Пример 7. 

x
0

sin5x
lim
x

.

Решение
Для вычисления этого предела воспользуемся первым замечательным 

пределом (3)

x
0
x
0
x
0

sin5x
5sin5x
sin5x
lim
lim
5lim
5 1
5
x
5x
5x






 
.

Пример 8. 

4x 2

x

2x
3
lim 2x
4














.

Решение

4x 2
4x 2
4x 2

x
x
x

2x
3
2x
4
4
3
7
lim
lim
lim 1
1
2x
4
2x
4
2x
4









































.

Имеем неопределенность вида «1 ». Используем второй замечательный 

предел (4) и следующую подстановку 




4x 2
7
4
2
2
2

x
0

7

2x
4
7
lim 1
x
;
0
lim 1
2x
4
7
x
2
2


























 





 










 









14
14
1
6
6
14

0
0
0
lim 1
lim 1
lim 1
e



































.

Вычислить односторонние пределы:

Пример 9. 




3
x
2 0

4
lim

x
2
 


.

Решение

Пусть x
2

, тогда при x
2
0


функции x
2

и 


3
x
2

являются отри
цательными бесконечно малыми, поэтому  




3

4

x
2


– отрицательная бесконеч
но большая функция.  Следовательно, 




3
x
2 0

4
lim

x
2
 
 



.

При x
2

функции  x
2

и 


3
x
2

– положительные бесконечно малые, 

поэтому




3

4

x
2


– положительная  бесконечно большая функция, тогда 




3
x
2 0

4
lim

x
2
 
 



.

Пример 10. 
1
x
1 0

x 1

1
lim

1
2

 




.

Решение
При x
1 0
 
функция x
1

– отрицательная бесконечно малая, следова
тельно 
1

x
1

– отрицательная бесконечно большая функция. Тогда  

1
x 1
2  – бес
конечно малая функция. Следовательно,
1
x
1 0

x 1

1
lim
1.

1
2

 







Доступ онлайн
80 ₽
В корзину