Прикладная механика

Министерство образования и науки Российской Федерации
Уральский федеральный университет
имени первого Президента России Б.Н. Ельцина

В.М. Зиомковский
И.В. Троицкий

ПРИКЛАДНАЯ 
МЕХАНИКА

Учебное пособие

Рекомендовано методическим советом УрФУ
для студентов квалификации бакалавр 
специальностей 210100.62 — Электроника и наноэлектроника, 
220700.62 — Автоматизация технологических процессов и производств, 
220000.62 — Мехатроника и робототехника, 
261700.62 — Технология полиграфического и упаковочного производства, 
640100.62 — Химическая технология, 
240700.62 — Биотехнология

Москва
Издательство «ФЛИНТА»
Издательство Уральского университета
2017

2-е издание, стереотипное

УДК 531.8
ББК 30.12
          3-63
Рецензенты:
завкафедрой «Подъемно-транспортное оборудование» Российского государственного профессионально-педагогического университета, д-р техн. 
наук, профессор В. В. Каржавин;
проф. кафедры индустриального дизайна, канд. техн. наук Э. А. Бубнов 
(Уральская государственная архитектурно-художественная академия).
Научный редактор — доц., канд. техн. наук В.И. Вешкурцев

Зиомковский, В. М

Прикладная механика [Электронный ресурс]: учебное пособие / В. М. 
Зиомковский, И. В. Троицкий. — 2-е изд., стер. — М. : ФЛИНТА : Издво Урал. ун-та, 2017. — 288 с.

ISBN 978-5-9765-3113-0 (ФЛИНТА)
ISBN 978-5-7996-1501-7 (Изд-во Урал. ун-та)

Учебное пособие включает разделы «Основы теоретической механики», 
«Строение механизмов», «Основы расчета элементов конструкций на прочность 
и жесткость» и «Основы проектирования деталей и узлов машин». В первом разделе рассмотрены вопросы статики, кинематики и динамики, во втором — структуры 
плоских рычажных механизмов, третий раздел посвящен определению напряжений и деформаций деталей при различных видах простых и сложных деформаций, 
в четвертом разделе рассмотрены вопросы конструирования и расчета деталей и узлов машин общего назначения. Большинство разделов сопровождается примерами решения задач и содержит необходимый справочный материал.
Учебное пособие может быть использовано для изучения теоретического материала, а также при выполнении контрольных, расчетно-графических и курсовых работ, предусмотренных рабочими программами дисциплины.
Содержание учебного пособия соответствует программам обучения и требованиям государственных образовательных стандартов.

Библиогр.: 11 назв. Рис. 225. Табл. 22.

УДК 531.8
ББК 30.12

ISBN 978-5-9765-3113-0 (ФЛИНТА)
ISBN 978-5-7996-1501-7 (Изд-во Урал. ун-та) 

© Уральский федеральный
     университет, 2015

          3-63

Оглавление

Глава 1. Основы теоретической механики .......................................... 7
1.1. Статика (равновесие тела под действием системы сил) ............ 8

1.1.1. Основные понятия и задачи статики ................................ 8
1.1.2. Аксиомы статики ............................................................... 9
1.1.3. Связи и их реакции ...........................................................11
1.1.4. Система сходящихся сил ..................................................13
1.1.5. Решение задач статики .....................................................18
1.1.6. Момент силы относительно центра .................................20
1.1.7. Момент силы относительно оси ......................................21
1.1.8. Пара сил. Момент пары....................................................23
1.1.9. Приведение системы сил к центру ..................................25
1.1.10. Условия равновесия произвольной 
             пространственной системы сил .....................................27
1.1.11. Плоская система сил .......................................................28
1.1.12. Решение задач .................................................................32
1.1.13. Равновесие системы тел .................................................34
1.1.14. Равновесие при наличии трения скольжения ...............36
1.2. Кинематика ................................................................................40
1.2.1. Основные понятия, определения и задачи кинематики .40
1.2.2. Способы задания движения точки ...................................41
1.2.3. Вектор скорости точки .....................................................44
1.2.4. Вектор ускорения точки ...................................................45
1.2.5. Определение скорости и ускорения точки 
           при координатном способе задания движения ...............46
1.2.6. Нахождение скорости при естественном способе 
            задания движения ............................................................47
1.2.7. Нахождение ускорения при естественном способе 
           задания движения. Касательное и нормальное 
           ускорения ..........................................................................48
1.2.8. Поступательное и вращательное движение .....................52
1.2.9. Скорости точек тела при вращательном движении ........55
1.2.10. Ускорения точек вращающегося тела ............................56
1.2.11. Плоскопараллельное движение твердого тела ..............56
1.2.12. Скорости точек плоской фигуры ...................................58

Оглавление

1.2.13. Ускорение точек плоской фигуры .................................59
1.2.14. Примеры решения задач по кинематике .......................59
1.3. Динамика ....................................................................................62
1.3.1. Законы динамики .............................................................63
1.3.2. Дифференциальные уравнения движения 
           материальной точки .........................................................65
1.3.3. Две основные задачи динамики .......................................67
1.3.4. Работа силы, мощность ....................................................72
1.3.5. Теорема об изменении кинетической энергии точки .....74
1.3.6. Момент инерции тела относительно оси ........................76
1.3.7. Принцип Даламбера .........................................................78
1.3.8. Частные случаи приведения сил инерции .......................79

Глава 2. Основы расчетов элементов конструкций 
на прочность и жесткость ..................................................................83
2.1. Задачи и методы расчета ............................................................83
2.2. Допущения, принимаемые при расчетах на прочность ...........84
2.3. Классификация внешних нагрузок ...........................................85
2.4. Основные виды деформаций .....................................................86
2.5. Метод сечений. Напряжение .....................................................87
2.6. Осевое растяжение и сжатие прямолинейного стержня ..........91
2.6.1. Построение эпюр продольных сил ..................................91
2.6.2. Определение нормальных напряжений 
           в поперечных сечениях стержня ......................................93
2.6.3. Определение деформаций ................................................94
2.6.4. Статически неопределимые задачи при осевом 
           растяжении или сжатии ....................................................96
2.7. Механические испытания свойств материалов ........................97
2.7.1 Диаграмма растяжения ......................................................97
2.7.2. Твердость ........................................................................101
2.7.3. Определение допускаемых напряжений 
            и коэффициента запаса прочности ...............................102
2.8. Сложное напряженное состояние ...........................................105
2.8.1. Напряжения в наклонных площадках при осевом 
           растяжении или сжатии ..................................................105
2.8.2. Напряжения на взаимно-перпендикулярных 
           площадках .......................................................................106
2.8.3. Определение напряжений в наклонных сечениях 
           при растяжении или сжатии по двум взаимно           перпендикулярным направлениям ................................107
2.8.4. Обобщенный закон Гука ................................................108

Оглавление

2.9. Геометрические характеристики плоских сечений ................109
2.9.1. Статические моменты плоских сечений ........................109
2.9.2. Моменты инерции плоских сечений .............................111
2.9.3. Моменты инерции простых плоских сечений ..............112
2.9.4. Центробежный момент инерции ...................................114
2.9.5. Зависимость между моментами инерции  
                   относительно параллельных осей,  
                   одна из которых центральная ........................................115
2.10. Сдвиг и кручение ....................................................................117
2.10.1. Определение напряжений и деформаций 
              при сдвиге ..................................................................117
2.10.2. Определение внутренних силовых факторов 
              при кручении .............................................................119
2.10.3. Определение касательных напряжений 
              и деформаций при кручении стержня круглого 
              сечения .......................................................................123
2.11. Плоский поперечный изгиб прямого бруса ..........................132
2.11.1. Общие понятия о деформации изгиба ......................132
2.11.2. Опоры и опорные реакции балок ..............................133
2.11.3. Определение опорных реакций .................................134
2.11.4. Поперечная сила и изгибающий момент в сечении...137
2.11.5. Зависимость между изгибающим моментом, 
              поперечной силой и интенсивностью 
              распределенной нагрузки ..........................................140
2.11.6. Построение эпюр поперечных сил и изгибающих 
              моментов ....................................................................142
2.11.7. Определение нормальных напряжений 
              при изгибе ..................................................................146
2.11.8. Условие прочности по нормальным 
              напряжениям .............................................................151
2.12. Сложное сопротивление ........................................................153
2.12.1. Совместное действие изгиба с кручением ................153
2.12.2. Сочетание изгиба с растяжением или сжатием ........158

Глава 3. Структура механизмов .......................................................160
3.1. Основные понятия и определения ..........................................161
3.2. Классификация кинематических пар .....................................163
3.3. Кинематическая цепь. Механизм ...........................................165
3.4. Кинематические соединения ..................................................168
3.5. Плоские механизмы .................................................................168
3.6. Классификация плоских механизмов .....................................169
3.7. Последовательность структурного анализа механизма ..........172

Оглавление

Глава 4. Основы проектирования деталей и узлов машин ...............174
4.1. Этапы проектирования изделия ..............................................176
4.2. Основные требования к машинам ..........................................176

4.2.1. Основные критерии работоспособности и расчета 
            деталей машин ................................................................178
4.2.2. Машиностроительные материалы и термическая 
            обработка ........................................................................182
4.3. Механические передачи ..........................................................185

4.3.1. Зубчатые передачи ..........................................................188
4.3.2. Цилиндрические зубчатые передачи .............................190
4.4. Ременные передачи ..................................................................214

4.4.1. Расчет плоскоременной передачи .................................219
4.4.2. Клиноременная передача ...............................................230
4.4.3. Нагрузка на валы и опоры ..............................................231
4.5. Цепные передачи .....................................................................232

4.5.1. Приводные цепи .............................................................233
4.5.2. Звездочки ........................................................................236
4.5.3. Передаточное число цепной передачи ..........................238
4.5.4. Основные геометрические соотношения 
            в цепных передачах ........................................................238
4.5.5. Силы в цепной передаче ................................................239
4.5.6. Расчет передачи роликовой цепью ................................240
4.5.7. Натяжение и смазывание цепи. КПД цепных передач ..241
4.5.8. Рекомендации по конструированию цепных передач ....242
4.6. Валы и оси ................................................................................243

4.6.1. Расчет валов ....................................................................245

4.7. Опоры валов .............................................................................251

4.7.1. Подшипники скольжения ..............................................251
4.7.2. Подшипники качения ....................................................255

4.8. Соединения деталей машин ....................................................262

4.8.1. Резьбовые соединения ....................................................263
4.8.2. Сварные соединения ......................................................268
4.8.3. Шпоночные соединениния ............................................271
4.8.4. Муфты .............................................................................273

4.9. Точность изготовления деталей ..............................................276

4.9.1. Взаимозаменяемость ......................................................276
4.10. Шероховатость поверхности .................................................283

Список литературы .........................................................................286

Глава 1.  
Основы теоретической механики

С

овременная механика ставит перед инженером множество 
задач, связанных с исследованием механического движения 
и механического взаимодействия материальных тел.
Механическим движением называется происходящее с течением 
времени изменение взаимного положения материальных тел в пространстве.
Под механическим взаимодействием понимают те действия материальных тел друг на друга, в результате которых происходит изменение 
движения этих тел. За основную меру этих взаимодействий принимают величину, называемую силой.
Наука о механическом движении и взаимодействии материальных 
тел называется механикой.
Теоретическая механика рассматривает общие понятия и законы, 
на которые опираются все остальные разделы механики, такие как сопротивление материалов, теория механизмов и машин и т. д.
В основе механики лежат законы классической механики (законы 
Ньютона), которые установлены путем обобщения результатов опытов и наблюдений.
Теоретическая механика является научной базой очень многих областей науки и техники.
По характеру рассматриваемых задач механику принято разделять 
на статику, кинематику и динамику.
Статика рассматривает учение о силах и об условиях равновесия 
материальных тел под действием сил.
Кинематика рассматривает общие геометрические свойства движения тел.
Динамика изучает движение материальных тел под действием сил.

Глава 1. Основы теоретической механики 

1.1. Статика (равновесие тела под действием системы сил)

1.1.1. Основные понятия и задачи статики

Статика изучает силы и условия равновесия материальных тел под 
действием сил.
Под равновесием будем понимать состояние покоя или равномерного движения по отношению к другим телам, например, земле. В общем курсе рассматриваются абсолютно твердые тела.
Абсолютно твердое тело — это тело, расстояние между каждыми 
двумя точками которого остается постоянным.
Состояние равновесия или движения тела зависит от характера его 
механического взаимодействия с другими телами.
Величина, являющаяся основной мерой механического взаимодействия материальных тел, называется в механике силой.
Сила — величина векторная, т. е. определяется не только числовым 
значением, но и направлением в пространстве. Действие силы на тело 
определяется тремя параметрами:
• числовым значением или модулем;
• направлением;
• точкой приложения.
Силу, как и другие векторы, будем обозначать 
буквой с чертой — F , а модуль — буквой (F). Графически сила изображается направленным отрезком (рис. 1.1). Длина отрезка в масштабе выражает модуль силы, направление отрезка показывает 
направление силы, точка А является точкой приложения силы, прямая ED — линия действия силы.

Дадим следующие определения:

1. Система сил — совокупность сил, действующих на тело. Если линии действия лежат в одной плоскости, то система сил плоская. Если 
в разных плоскостях, то пространственная.
Силы, линии действия которых пересекаются в одной точке, называются сходящимися.
Силы, линии действия которых параллельны друг другу, называются параллельными.

F

D

E

А

Рис. 1.1

1.1. Статика (равновесие тела под действием системы сил)

2. Тело, которому из данного положения можно сообщить любое 
перемещение, называется свободным.
Если одну систему сил можно заменить другой, не изменяя при 
этом состояние покоя или движения, в котором находилось тело, то такие системы сил называются эквивалентными.
Система сил, под действием которой свободное тело может находиться в покое, называется уравновешенной.
Если система сил эквивалентна одной силе, то это сила равнодействующая. Сила, равная по модулю равнодействующей и направленная по линии ее действия в противоположную сторону, называется 
уравновешивающей.
Силы, действующие на данное тело или систему тел, можно разделить на внешние и внутренние:
• Внешние силы действуют на тело со стороны других тел.
• Внутренние — это силы, с которыми части данного тела или 
системы действуют друг на друга.

3. Силы, действующие в одной точке, называются сосредоточенными.
Силы, действующие на все точки объема, поверхности или длины, 
называются распределенными.
Задачи статики:
• преобразование системы сил, действующих на твердое тело, 
в эквивалентную систему, в частности, приведение системы 
сил к простейшему виду;
• определение условий равновесия системы сил, действующих 
на твердое тело.

1.1.2. Аксиомы статики

Изучение статики базируется на ряде аксиом, которые являются 
следствием основных законов механики.

1. Если на свободное твердое тело действуют две силы, то тело может находиться в равновесии только тогда, когда 
эти силы равны по модулю (F1 = F2) и направлены вдоль одной прямой в противоположные стороны (рис. 1.2).

2. Действие данной системы на абсолютно 
твердое тело не изменится, если к ней прибавить 
или отнять уравновешенную систему сил.

А

В

1F

2
F

Рис. 1.2

Глава 1. Основы теоретической механики 

Следствие: действие силы на абсолютно твердое тело не изменится, если перенести точку приложения силы вдоль линии ее действия в любую 
другую точку (рис. 1.3).

F   F
~
,
1  т. к. ( ,
)~ ;
F  F   
2
0

F   F   F
=
=
1
2.

3. Закон параллелограмма сил: две силы, приложенные к телу в одной точке, имеют равнодействующую, приложенную в той же точке 
и изображаемую диагональю параллелограмма, построенного на этих 
силах как на сторонах (рис. 1.4). Вектор R  называется геометрической 
суммой векторов F
F
1
2
,
:

R
F
F
=
+
1
2.

2
F

1F

R

A

O
C
B

R

R´

1F

2
F
A

                                     Рис. 1.4                                                 Рис. 1.5

Следствие аксиомы 3: всякую силу можно заменить эквивалентной 
системой сил, приложенных в одной точке с заданной силой.
Теорема. Свободное твердое тело может находиться в равновесии 
под действием трех непараллельных сил, лежащих в одной плоскости 
(рис. 1.5), только тогда, когда линии действия этих сил пересекаются в одной точке.
Это теорема о трех силах:

R
F
F
R
R
=
+
+
=
1
2
0
;
'
.

4. Закон равенства действия и противодействия. Два тела действуют 
друг на друга с силами, равными по модулю и направленными по одной прямой в противоположные стороны (см. рис. 1.6).

A

В

F

2
F

1F

Рис. 1.3

1.1. Статика (равновесие тела под действием системы сил)

1F

2
F

A

B

Рис. 1.6

Силы F
F
1
2
,
 приложены к разным телам, поэтому не образуют уравновешенную систему сил.
Свойство внутренних сил. Две любые части тела действуют друг 
на друга с равными по модулю и противоположно направленными 
силами.
В абсолютно твердых телах все внутренние силы образуют уравновешенную систему сил, которую при изучении равновесия тела можно отбросить и рассматривать только внешние силы.

5. Если нетвердое тело находится в равновесии под действием системы сил, то его равновесие не нарушится, если тело станет абсолютно твердым.

1.1.3. Связи и их реакции

Свободное тело может из данного положения совершать любое перемещение в пространстве.
Тело, перемещению которого в пространстве препятствуют другие, скрепленные с ним тела, называется несвободным.
Все, что ограничивает передвижение тела в пространстве, называют связью. В дальнейшем связями будем называть тела, ограничивающие перемещение данного тела.
Силы, с которыми связи действуют на тело, называются реакциями связей. При решении задач статики необходимо правильно направлять реакции связей. Разберем основные виды связей и их реакции.
Гладкая поверхность (без учета сил трения). Реакция направлена 
по нормали к этой поверхности, т. е. перпендикулярно общей касательной (см. рис. 1.7).
Опорная точка (ребро). Реакция перпендикулярна опирающейся 
поверхности (см. рис. 1.8).

Глава 1. Основы теоретической механики 

R

A

1
R

2
R
A

B

                                              Рис. 1.7                                     Рис. 1.8

Идеальная нить (гибкая, невесомая, нерастяжимая). Реакция направлена по нити к точке подвеса (рис. 1.9). Примеры: моделирует 
трос, канат, цепь, ремень.
Идеальный стержень (жесткий, невесомый, с шарнирами на концах). Реакция связи направлена вдоль стержня (рис. 1.10). В отличие 
от нити стержень может работать и на сжатие.

1T
2T
B
A

S

A

                                   Рис. 1.9                                                                   Рис. 1.10

Цилиндрический шарнир (подшипник). Тело может вращаться вокруг оси шарнира, но не может перемещаться в плоскости, перпендикулярной этой оси. Реакция лежит в плоскости, перпендикулярной оси шарнира, и проходит 
через нее (рис. 1.11). Положение этой реакции 
не определено, но для удобства ее принято задавать двумя взаимно перпендикулярными составляющими R R
x
y
,
 [1, с. 6].
Сферический шарнир (см. рис. 1.12, а) и подпятник (см. рис. 1.12, б). Такая связь не дает точке А перемещаться в пространстве. Реакция R может иметь любое направление в пространстве. Удобно ее представлять 
тремя взаимно перпендикулярными составляющими.
Жесткая заделка. Эта связь препятствует перемещению и повороту вокруг точки закрепления (см. рис. 1.13). Имеем распределенную 

x

y

x
R

y
R
B

A

R

Рис. 1.11

1.1. Статика (равновесие тела под действием системы сил)

систему сил реакции, которая может быть заменена одной силой R  
и реактивным моментом тА.

А
R

а
б

A
A

А
R

х
х

у
у

z

z

А

А
m

Аy
R

Аx
R

А
R

                                          Рис. 1.12                                                             Рис. 1.13

В статике при решении задач на равновесие тела почти всегда это 
тело является несвободным.
Рассмотрение равновесия несвободного тела основывается на принципе освобождаемости от связей: Не изменяя равновесия тела, можно 
отбросить связи, наложенные на него, и взамен их приложить к телу реакции связей. Тогда система активных сил и реакций связей будет удовлетворять условиям равновесия свободного тела.

1.1.4. Система сходящихся сил

Сложение сил

Для решения задач статики необходимо уметь складывать и разлагать силы на составляющие. Геометрическая сумма сил какой-либо 
системы называется главным 
вектором этой системы сил.
• Сложение двух сил. 
Геометрическая сумма сил 
R
F
F
=
+
1
2  находится по пра
вилу параллелограмма 
(рис. 1.14, а) или построением силового треугольника 
(рис. 1.14, б).
Угол между силами — α. Модуль R и углы β и γ найдем, используя 
теорему косинусов и синусов:

1F

α
β

γ

R

а

1F
2
F

β

γ

R

б

2
F
А

Рис. 1.14

Глава 1. Основы теоретической механики 

R
F
F
F F
=
+
1
2
2
2
1
2
2
cos ;
a

F
F
R
1
2
sin
sin
sin
.
g
b
a
=
=

• Сложение трех сил, не лежащих в одной плоскости. Геометрическая сумма трех сил, не лежащих в одной плоскости, изображается 
диагональю параллелепипеда, построенного на этих силах (рис. 1.15). 
Доказательство: сложим вначале F
F
1
2
,
, а затем к F1 2
,  прибавим F3 .
• Сложение системы сил. Главный вектор любой системы сил 
определяется построением силового многоугольника (рис. 1.16).  
R  — замыкающая силового многоугольника.

3
F

1F

R

12
F

2
F

2
F
1
F

R
Fn

                                               Рис. 1.15                                         Рис. 1.16

R
F
F
F
Fn
=
+
+
+
+
1
2
3
...
;

R
Fk
k

n
=

=е
1
.

Равнодействующая сходящейся системы сил

Система сходящихся сил (см. рис. 1.17, а) эквивалентна системе 
сил, приложенных в одной точке (см. рис. 1.17, б). Последовательно 
применяя правило параллелограмма, приходим к выводу, что система сходящихся сил имеет равнодействующую, равную главному вектору (геометрической сумме) этих сил и приложенную в точке пересечения линий их действия.
Следовательно, система сил F F
F
Fn
1
2
3
,
,
,...,
 имеет равнодействующую, равную их главному вектору R  и приложенную в точке О или 
в любой другой точке на линии действия силы R , проведенной через 
точку О (см. рис. 1.17, б).