Геометрия и графика, 2017, № 4

Г Е О М Е Т Р И Я  И  Г РА Ф И К А

Свидетельство о регистрации  
средства массовой информации 
от 4 июля 2012 г. ПИ № ФС77-50523

Издатель:  
ООО «Научно-издательский центр ИНФРА-М» 
127282, Москва, ул. Полярная,  
д. 31В, стр. 1 
Тел.: (495) 280-15-96, 280-33-86 (доб. 501)  
Факс: (495) 280-36-29 
E-mail: books@infra-m.ru 
http://www.infra-m.ru

Главный редактор: 
Ищенко А.А., д-р хим. наук, профессор Московский 
технологический университет, институт тонких 
химических технологий (МИТХТ)

Выпускающий редактор:  
Склянкина Д.С.

Отдел подписки:  
Назарова М.В. 
Тел.: (495) 280-15-96, доб. 249 
e-mail: podpiska@infra-m.ru

© ИНФРА-М, 2017

Подписано в печать 19.12.2017.  
Формат 60x90/8. Бумага офсетная. 
Тираж 1000 экз. Заказ № 

САЙТ: www.naukaru.ru  
E-mail: mag4@naukaru.ru

СОДЕРЖАНИЕ

НАУЧНЫЕ ПРОБЛЕМЫ ГЕОМЕТРИИ

Иванов В.Н., Кривошапко С.Н., Романова В.А. 
Основы разработки и  визуализации объектов 
аналитических поверхностей и перспективы их 
использования в архитектуре и строительстве . . . . . . .3

Вышнепольский В.И., Заварихина Е.В., 
Даллакян О.Л. 
Геометрические места точек, равноотстоящих 
от двух заданных геометрических фигур. Часть 2: 
геометрические места точек, равноудаленных 
от точки и конической поверхности . . . . . . . . . . . . . . . . . .15
Сальков Н.А.
Формирование циклических поверхностей 
в кинетической геометрии . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .24

Сальков Н.А.
Приложение свойств циклиды Дюпена 
к изобретениям . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .37

Левкин Ю.С.
Пятимерная двухоктантовая эпюрная номограмма . . . .44

МЕТОДИЧЕСКИЕ ВОПРОСЫ ПРЕПОДАВАНИЯ

Воронина М.В., Мороз О.Н.
«Перевёрнутый» курс инженерной геометрии 
и компьютерной графики . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .52

Шипков О.И. 
Зрительный эффект членения поверхности . . . . . . . . . .68

Грошева Т.В., Шелякина Г.Г.  
К вопросу об эффективности мониторинга 
качества графической подготовки студентов  . . . . . . . .75

МЕТОДИКА ПОДГОТОВКИ И ПРОВЕДЕНИЯ 
ОЛИМПИАД

Большаков В.П., Климов И.В., Чагина А.В.
Содержание сайта сопровождения региональной 
студенческой олимпиады по инженерной и 
компьютерной графике . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .83

Информация для авторов . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .94

2017. Том 5. Вып. 4
Научно-методический журнал

Выходит 4 раза в год

Издается при поддержке:
Московского технологического университета, 
Московского государственного академического художественного института (МГАХИ) им.  
В.И. Сурикова, Омского государственного технического университета (ОмГТУ), Московского 
государственного университета геодезии и картографии (МИИГАиК)

2017. Vol. 5. Issue 4
Scientific and methodological journal

Подписной индекс агентства «Роспечать» 25181

GEOMETRY & GRAPHICS

ISSN 2308-4898

DOI 10.12737/issn.2308-4898

Журнал «Геометрия и графика» включен в перечень 
ведущих научных журналов, в которых по рекомендации BAK РФ должны быть опубликованы научные 
результаты диссертаций на соискание ученых степеней 
кандидата и доктора наук.

РЕДАКЦИОННЫЙ СОВЕТ 

Анатасян Сергей Левонович, д-р пед. наук, профессор.
 
Московский педагогический государственный университет 
(МПГУ), Москва (Россия).
 
Moscow State University of Education, Moscow (Russia).

Аристов Виталий Михайлович, д-р физ.-мат. наук, профессор. 
 
Российский химико-технологический университет имени  
Д.И. Менделеева (Россия).
 
D. Mendeleev University of Chemical Technology of Russia, 
Moscow (Russia).

Бородкин Николай Николаевич, д-р техн. наук, профессор.
 
Тульский государственный университет, Тула (Россия).
 
Tula State University, Tula (Russia).

Виноградов Виктор Никонович, д-р пед. наук, профессор, 
кавалер ордена и медали Франциска Скорины. 
 
Витебский государственный университет имени П.М. Машерова 
(Беларусь).
 
Masherov Vitebsk State University, Vitebsk (Belarus).

Волошинов Денис Вячеславович, д-р техн. наук, профессор.
 
Санкт-Петербургский государственный университет телекоммуникаций, Санкт-Петербург (Россия).
 
Saint-Petersburg State University of Telecommunications, St. 
Petersburg (Russia).

Вышнепольский Владимир Игоревич, канд. пед. наук, доцент.
 
Московский технологический университет (Россия).
 
Moscow Technological University (Russia).

Hirsch Anton, Ph.D. in Engineering, Associate Professor, University 
of Kassel, Kassel (Germany).

Дворецкий Александр Тимофеевич, д-р техн. наук, профессор.
 
Академия строительства и архитектуры ФГАОУ ВО «КФУ им. 
В.И. Вернадского», Симферополь (Россия).
 
Crimean Academy for Environmental and Resort Construction, 
Simferopol (Russia).

Иванов Геннадий Сергеевич, д-р техн. наук, профессор.
 
Московский государственный технический университет имени Н.Э. Баумана, Москва (Россия).
 
Bauman Moscow State Technical University, Moscow (Russia).

Ищенко Анатолий Александрович, д-р хим. наук, профессор. 
 
Московский технологический университет, институт тонких 
химических технологий (МИТХТ) (Россия). 
 
Moscow Technological University (Russia).

Карташев Эдуард Михайлович, д-р физ.-мат. наук, профессор. 
 
Московский технологический университет, институт тонких 
химических технологий (МИТХТ) (Россия). 
 
Moscow Technological University (Russia).

Лепаров Михаил Николаевич, канд. техн. наук, профессор.
 
Софийский технический университет, София (Болгария).
 
Technical University of Sofia, Sofia (Bulgaria).

Ломов Станислав Петрович, действительный член (академик) 
Российской академии образования, академик-секретарь 
Отделения общего среднего образования РАО, д-р пед. наук, 
профессор. Московский государственный областной университет, Москва (Россия).
 
Moscow Region State University, Moscow (Russia).

Ломовской Виктор Андреевич, д-р физ.-мат. наук, профессор. 
 
Институт физической химии и электрохимии им. А.Н. Фрумкина Российской академии наук, Москва (Россия).
 
Institute of Physical Chemistry and Electrochemistry named after 
A.N. Frumkin of the Russian Academy of Sciences, Moscow (Russia).

Manevich Michael, Ph.D. in Engineering, Associate Professor, Lev 
Institute-JCT, Jerusalem (Israel).
    Ariel University, Science Park, Ariel (Israel).

Парвулюсов Юрий Борисович, канд. техн. наук, профессор.
 
Московский государственный университет геодезии и картографии, Москва (Россия).
 
Moscow State University of Geodesy and Cartography, Moscow 
(Russia).

Ротков Сергей Игоревич, д-р техн. наук, профессор. 
 
Нижегородский государственный архитектурно-строительный 
университет, Нижний Новгород (Россия). 
 
Nizhny Novgorod State Architectural and Construction University, 
Nizhny Novgorod (Russia).

Присланные рукописи не возвращаются.

Точка зрения редакции может не совпадать с мнением авторов публикуемых 
материалов.

Редакция оставляет за собой право самостоятельно подбирать к авторским 
материалам иллюстрации, менять заголовки, сокращать тексты и вносить 
в рукописи необходимую стилистическую правку без согласования с 
авторами. Поступившие в редак цию материалы будут свидетельствовать 
о согласии авторов принять требования редакции.

Перепечатка материалов допускается с письменного разрешения редакции.

При цитировании ссылка на журнал «Геометрия и графика» обязательна.

Редакция не несет ответственности за содержание рекламных материалов.

Сальков Николай Андреевич, канд. техн. наук, профессор.
 
Московский государственный академический художественный 
институт имени В.И. Сурикова, Москва (Россия).
 
Surikov Moscow State Academic Art Institute, Moscow, (Russia).

Субочева Марина Львовна, д-р пед. наук, профессор.
 
Московский педагогический государственный университет (МПГУ), 
Москва (Россия).
 
Moscow State University of Education, Moscow (Russia).

Schröcker Hans-Peter, Ph.D., Associate Professor, University Innsbruck, 
Innsbruck (Austria).

Stachel Hellmuth, D., Professor, Vienna University of Tehnology,  Vienna 
(Austria).

Столбова Ирина Дмитриевна, д-р техн. наук, профессор.
 
Пермский национальный исследовательский политехнический 
университет, Пермь (Россия).
 
Perm National Research Polytechnic University, Perm (Russia).

Шаронова Наталья Викторовна, д-р пед. наук, профессор. Московский 
педагогический государственный университет (МПГУ), Москва 
(Россия).
 
Moscow State University of Education, Moscow (Russia).

Шафаревич Андрей Игоревич, чл.-корр. РАН, д-р физ.-мат. наук, 
профессор.
 
Московский государственный университет имени М.В. Ломоносова, 
Москва (Россия).
 
Lomonosov Moscow State University, Moscow (Russia).

Щеглов Георгий Александрович, д-р техн. наук, профессор.
 
Московский государственный технический университет имени 
Н.Э. Баумана, Москва (Россия).
 
Bauman Moscow State Technical University, Moscow (Russia).

Weiss Günter,  Professor, Vienna University of Tehnology,  Vienna 
(Austria).

РЕДАКЦИОННАЯ КОЛЛЕГИЯ 

Ищенко Анатолий Александрович, д-р хим. наук, профессор. 
Московский технологический университет, институт тонких 
химических технологий (МИТХТ), гл. редактор (Россия).

Шафаревич Андрей Игоревич, чл.-корр. РАН, д-р физ.-мат. наук, 
профессор.
 
Московский государственный университет имени М.В. Ломоносова, 
первый зам. гл. редактора (Россия).

Сальков Николай Андреевич, канд. техн. наук, профессор. 
 
Московский государственный академический художественный 
институт имени В.И. Сурикова, зам. гл. редактора (Россия).

Вышнепольский Владимир Игоревич, канд. пед. наук, доцент. 
Московский технологический университет, зам. гл. редактора 
(Россия).

Кадыкова Нина Серафимовна, канд. техн. наук, доцент. 
 
Московский технологический университет, ответственный секретарь (Россия).

Кайгородцева Наталья Викторовна, канд. пед. наук, доцент. 
 
Омский государственный технический университет, Омск (Россия).

Парвулюсов Юрий Борисович, канд. техн. наук, профессор. 
Московский государственный университет геодезии и картографии (Россия).

Рустамян Вячеслав Владимирович, старший преподаватель. 
Московский технологический университет. 

GEOMETRY & GRAPHICS (2017). Vol. 5. Iss. 4. 3–14  
ГЕОМЕТРИЯ И ГРАФИКА № 4. 2017                                                              

НАУЧНЫЕ ПРОБЛЕМЫ ГЕОМЕТРИИ

УДК 514.75                                                                            
DOI: 10.12737/article_5a17f590be3f51.37534061

В.Н. Иванов 
Д-р техн. наук, профессор,
Российский университет дружбы народов,
Россия, 117193, г. Москва, ул. Миклухо-Маклая, 6
С.Н. Кривошапко
Д-р техн. наук, профессор,
Российский университет дружбы народов,
Россия, 117193, г. Москва, ул. Миклухо-Маклая, 6
В.А. Романова
Доцент, 
Российский университет дружбы народов,
Россия, 117193, г. Москва, ул. Миклухо-Маклая, 6
Основы разработки 
и  визуализации объектов 
аналитических поверхностей 
и перспективы их использования 
в архитектуре и строительстве 
Аннотация. В 1960 г. решением Советского правительства 
был создан Университет дружбы народов. В 1962 г. на инженерном факультете университета начала работу кафедра 
«Сопротивления материалов и расчета на прочность». Возглавил 
кафедру доктор технических наук, профессор Владимир 
Германович Рекач. Одновременно с учебным процессом на 
кафедре была открыта аспирантура по направлению «строительная механика». Одной из основных задач, которую поставил В.Г. Рекач перед аспирантами — разработка методов 
расчета оболочек новых сложных форм. Начинать работу 
приходилось с изучения имеющихся в научной литературе 
сведений по рассматриваемому классу поверхностей, выводу 
уравнений поверхностей рассматриваемых форм, выводу 
формул коэффициентов квадратичных форм, чертежей рассматриваемого класса поверхностей и конкретной рассчитываемой конструкции. В настоящее время работа по этому 
направлению на кафедре сопротивления материалов (с 2006 г. 
кафедра прочности материалов и конструкций) проводится 
под руководством д-ров техн. наук, профессоров В.Н. Иванова 
и С.Н. Кривошапко — учеников В.Г. Рекача. За период  
1990–2016 гг. подготовлено и защищено 12 кандидатских 
диссертаций по расчету оболочек неканонической формы 
поверхностей. Большой объем материала по геометрии поверхностей, накопившийся на кафедре сопротивления материалов РУДН, и разнообразие работ в мировой литературе, 
привел к необходимости систематизировать имеющиеся материалы, к созданию справочного руководства по аналитическим поверхностям. В 2006 г. опубликована первая версия 
такого справочного пособия. В 2011 г. опубликована «Энциклопедия аналитических поверхностей» [10]. В статье излагается 
краткая история создания энциклопедии. Основные задачи и 
принципы построения, характер изложения материалов по 
классам поверхностей и конкретных поверхностей. Приводятся 
примеры классов и поверхностей, приведенных в энциклопедии. Возможности использования материалов энциклопе
дии в архитектуре, строительстве, машиностроении и других 
областях науки и техники.
Ключевые слова: геометрия поверхностей, коэффициенты 
квадратичных форм, классы поверхностей, тонкостенные 
пространственные конструкции.

V.N. Ivanov 
Doctor of Engineering, Professor,
RUDN University,
6, Miklukho-Maklaya Str., Moscow, 117193, Russia
S.N. Krivoshapco
Doctor of Engineering, Professor,
RUDN University,
6, Miklukho-Maklaya Str., Moscow, 117193, Russia
V.A. Romanova
Associate Professor,
RUDN University,
6, Miklukho-Maklaya Str., Moscow, 117193, Russia

The Principles for Development and 
Visualization of Analytical Surfaces’ Objects 
and Perspectives for Their Using at 
Architecture and Building Constructions
Abstract. In 1960, the University of friendship of peoples was 
created by the Soviet government’s decision. In 1962 at the University’s 
faculty of engineering started the "Resistance of Materials, and 
Structural Analysis" chair. It was headed by doctor of engineering, 
professor Vladimir Germanovich Rekach. Simultaneously with the 
educational process at the chair was opened the postgraduate education in the field of study "Structural Mechanics". One of the 
main tasks set by V.G. Rekach before graduate students was developing of methods for calculating of shells for new complex forms. 
It was necessary to begin this work with the study of available in 
the scientific literature information on the considered class of 
surfaces, derivation of equations for the surfaces of considered 
forms, derivation of formulas for the quadratic forms’ coefficients, 
drawings for this class of surfaces and the concrete calculated 
construction. Currently, the work in this field of study at the “Resistance 
of Materials” chair (since 2006 the “Strength of Materials and 
Structures” chair) is carried out under the supervision of doctors of 
engineering, professors V.N. Ivanov and S.N. Krivoshapko – the 
disciples of V.G. Rekach. In 1990–2016 have been prepared and 
defended 12 dissertations on analysis of shells for surfaces with 
non-canonical forms. A large amount of material on surfaces geometry that has been accumulated at the RUDN University’s “Resistance 
of Materials” chair, and works variety in world literature has necessitated to systematize available materials, to create a reference manual on analytical surfaces. In 2006 has been published the 1st version 
of such reference manual. In 2011 has been published “Encyclopedia 
of Analytical Surfaces” [10]. This paper gives a short history of the 
encyclopedia creation, as well as its main tasks and principles of 
formation, the character of treatment for materials on surfaces 
classes and the concrete surfaces, and examples for classes and surfaces from encyclopedia. The possibilities for encyclopedia materials 
usage at architecture, building constructions, machine manufacturing and other areas of science and techniques are considered too.
Keywords: geometry of surfaces, quadratic forms coefficients, 
classes of surfaces, thin-walled space constructions.

ГЕОМЕТРИЯ И ГРАФИКА № 4. 2017 
GEOMETRY & GRAPHICS (2017). Vol. 5. Iss. 4. 3–14

таций, в том числе 14 диссертаций по разработке и 
расчету оболочек сложных неканонических форм.
По результатам работ по геометрии и расчету 
оболочек сложных форм кафедры в 1988 г. опубликована монография [21].
В настоящее время работа по этому направлению 
на кафедре сопротивления материалов (с 2006 г. кафедра прочности материалов и конструкций) проводится под руководством д-ров техн. наук, проф. 
В.Н. Иванова и С.Н. Кривошапко — учеников  
В.Г. Рекача. За период 1990–2016 гг. подготовлено и 
защищено 12 кандидатских диссертаций по расчету 
оболочек неканонической формы поверхностей.
Защищены докторские диссертации: 
Кривошапко С.Н. «Геометрические исследования 
и напряженно-деформированное состояние тонких 
упругих торсовых оболочек», 1995 г.; Иванов В.Н. 
«Геометрические исследования, формообразование, 
разработка методов расчета и численный анализ 
напряженно-деформированного состояния тонкостенных оболочек сложной формы с системой плоских координатных линий», 2006 г.
Разработкой новых форм тонкостенных пространственных конструкций и соответственно геометрии 
новых форм поверхностей занимались многие ученые. 
В 1970–1990-х гг. появились работы Казанской школы [19; 27; 28] и др. Большой вклад в исследование 
геометрии и методов расчета тонкостенных конструкций сложных форм проведен украинскими учеными 
[15; 16; 22–24] и др. Научные работы по геометрии 
сложных форм поверхностей, естественно, имеются 
и в зарубежной литературе [1; 2; 29; 30; 33–35]. Более 
подробную библиографию по геометрии поверхностей 
можно найти в энциклопедии [10].
Результаты исследований кафедры сопротивления 
материалов РУДН докладывались на конференциях, 
публиковались в сборниках научных трудов и научных журналах. С 1992 по 2004 г. кафедрой готовится, 
редактируется и издается межвузовский сборник 
научных трудов «Строительная механика инженерных 
конструкций и сооружений». С 2005 г. издается научно-технический журнал «Строительная механика 
инженерных конструкций и сооружений». В редакционный совет журнала входят ведущие ученые России. 
Подготовка журнала к печати проводится сотрудниками кафедры сопротивления материалов (в настоящее время — кафедра прочности материалов и конструкций) РУДН. Журнал входит в список ВАК РФ.
Большой объем материала по геометрии поверхностей, накопившийся на кафедре сопротивления 
материалов РУДН, и разнообразие работ в мировой 
литературе привели к необходимости систематизировать имеющиеся материалы, к созданию справочного руководства по аналитическим поверхностям. 

В 1960 г. решением Советского правительства был 
создан Университет дружбы народов. Основная задача университета была подготовка научных кадров 
для развивающихся стран Азии, Африки и Латинской 
Америки. В 1962 г. на инженерном факультете университета начала работу кафедра «Сопротивления 
материалов и расчета на прочность». Возглавил кафедру доктор технических наук, профессор Владимир 
Германович Рекач. 
Одновременно с учебным процессом на кафедре 
была открыта аспирантура по направлению «строительная механика». Одной из основных задач, которую поставил В.Г. Рекач перед аспирантами, — разработка методов расчета оболочек новых сложных 
форм. 
В монографиях и учебниках по дифференциальной геометрии [3; 7; 14; 17; 18; 20; 25; 26; 31] рассматриваются общие вопросы дифференциальной геометрии и некоторые стандартные классы и виды 
поверхностей — поверхности вращения, цилиндрические и конусные поверхности, общие виды линейчатых поверхностей. В ряде работ рассматривался и 
более широкий класс поверхностей [7; 14; 17; 18]. 
Но и в этих работах чаще всего давались общие определения, описывались некоторые их свойства, не 
всегда выводились уравнения поверхностей и формулы коэффициентов квадратичных форм поверхностей, необходимые при расчете конструкций. 
Отсутствие компьютерных программ не позволяло 
показать разнообразие поверхностей рассматриваемого класса.
Поэтому, хотя основная задача аспирантов кафедры состояла в разработке методов расчета новых 
конструктивных форм оболочек, начинать работу 
приходилось с изучения имеющихся в научной литературе сведений по рассматриваемому классу поверхностей, выводу уравнений поверхностей рассматриваемых форм, выводу формул коэффициентов 
квадратичных форм, чертежей рассматриваемого 
класса поверхностей и конкретной рассчитываемой 
конструкции. 
Первой диссертационной работой, выполненной 
под руководством В.Г. Рекача, была диссертация 
аспиранта из Индии Г.В. Кришны Редди «Расчет 
оболочек в форме циклид Дюпена», 1966 г. [12]. Далее 
были защиты следующих кандидатских диссертаций: 
Маруланда Юханио Арбелаес (Колумбия). «Расчет 
оболочек в форме поверхностей Монжа», 1970 г. [13]; 
Иванов В.Н. «Расчет оболочек в форме циклических 
поверхностей», 1971 г. [4]; Кривошапко С.Н. «Расчет 
торсовых (невырожденных) оболочек в криволинейных неортогональных координатах», 1981 г. [8] и др. 
Всего за период 1965–1988 гг. под руководством  
В.Г. Рекача было защищено 18 кандидатских диссер

В 2006 г. опубликована первая версия такого справочного пособия [9]. Работа по систематизации материалов по аналитическим поверхностям была продолжена, собран ряд новых материалов и в 2011 г. 
подготовлена и опубликована «Энциклопедия аналитических поверхностей» [10]. По согласованию с 
издательством Springer (Щвейцария), авторами энциклопедии был проведен перевод материалов энциклопедии на английской язык и в 2015 г. опубликован вариант энциклопедии на английском языке 
[32]. В английском варианте добавлены некоторые 
дополнительные материалы, в том числе приведены 
примеры использования сложных форм поверхностей 
в реальных строительных объектах, соответствующих 
формам поверхностей, приведенных в энциклопедии. 
Основной целью энциклопедии является помощь в 
выявлении и решении научно-технических проблем, 
связанных с развитием теории формообразования 
тонкостенных конструкций на основе геометрических 
исследований срединных поверхностей оболочек.
Создание нетрадиционных эффективных конструктивных пространственных форм для обеспечения максимальных уровней гибкости производства 
будет способствовать выполнению комплекса фундаментальных и прикладных задач, поставленных 
перед наукой в архитектурно-строительной сфере. 
Наличие большого выбора разнообразных форм и 
поверхностей позволит решить ряд проблем и в машиностроительной сфере.
Материалы энциклопедии будут интересны математикам, инженерам и архитекторам, аспирантам, 
преподавателям и специалистам по геометрии поверхностей, а также специалистам, работающим в 
других отраслях знаний, но применяющим в своей 
работе геометрические образы.
В начале энциклопедии приводятся общие понятия из теории поверхностей. Далее рассматриваются 
классы поверхностей.
В энциклопедии представлено 38 классов и более 
500 видов поверхностей. Каждому класс поверхностей 
дается определение, описываются свойства класса 
поверхностей, приводится список литературы по 
геометрии поверхностей рассматриваемого класса и 
литература по вопросам конструирования тонкостенных пространственных конструкциий и методам из 
расчета. 
Далее рассматриваются конкретные поверхности 
данного класса. Проводится определение рассматриваемой поверхности, даются уравнения поверхности: 
явные, параметрические, векторные. Могут приводиться алгебраические формы уравнений, если таковые получены. Приводятся формулы коэффициентов квадратичных форм, радиусы кривизны, Гауссова 
и средняя кривизна. Даются рисунки поверхностей, 

построенных, как правило, в программном комплексе MathCad. Приводятся ссылки на использованную 
литературу. Каждая поверхность представлена в пределах одной страницы энциклопедии. 
Классы поверхностей часто пересекаются, т.е. 
некоторая поверхность рассматриваемого класса 
относится (по определению) и к другому классу. 
Например, трубчатая поверхность — поверхность, 
образованная движением образующей окружности 
постоянного радиуса в нормальной плоскости направляющей линии (линии центров окружностей), 
относится также к классу резных поверхностей Монжа. 
Если поверхность данного класса рассматривается в 
другом классе поверхностей, то в рассматриваемом 
классе дается ссылка, где (в каком классе, разделе) 
данная поверхность рассматривается. Для класса 
поверхностей также приводится сводная таблица 
рисунков поверхностей. 
Классы поверхностей, представленные в энциклопедии
• линейчатые поверхности;
• поверхности вращения;
• поверхности переноса;
• резные поверхности; 
• поверхности конгруэнтных сечений;
• топографические поверхностиодносторонние поверхности;
• винтовые и винтобразные поверхности;
• спиральные и спиралевидные поверхности;
• поверхности Блютеля;
• поверхности Вернозе;
• поверхности Цицейки;
• поверхности Петерсона;
• поверхности Безье;
• квазиэллипсоидные поверхности;
• циклические поверхности;
• односторонние поверхности;
• минимальные и аффинно-минимальные поверхности;
• поверхности со сферической направляющей кривой;
• поверхности Вейнгартена;
• поверхности постоянной гауссовой кривизны;
• поверхности постоянной средней кривизны;
• волнообразные, волнистые и гофрированные поверхности;
• поверхности зонтичного типа;
• специальные профили цилиндрических изделий;
• поверхности Бонне;
• поверхности Эдлингера;
• поверхности Кунса;
• поверхности, задаваемые гармоническими функциями;
• поверхности Иоахимсталя;

GEOMETRY & GRAPHICS (2017). Vol. 5. Iss. 4. 3–14 
ГЕОМЕТРИЯ И ГРАФИКА № 4. 2017                                                              

• седловые поверхности;
• кинематические поверхности общего вида;
• поверхности второго порядка;
• алгебраические поверхности выше второго порядка;
• квазимногогранники;
• эквидистанты двойных систем.
Краткая информация о поверхностях, не вошедших 
в основное содержание энциклопедии
В энциклопедию также входят: 
• именной указатель основного текста;
• именной указатель дополнительной литературы;
• предметный указатель поверхности;
• предметный указатель — пространственные и 
плоские кривые;
• Русско-английско-французско-немецкий словарь 
поверхностей и кривых;
• модержание энциклопедии.
Примеры из энциклопедии. Класс циклических 
поверхностей (приводится текст из энциклопедии).
Циклические поверхности
Циклическая поверхность образуется движением 
окружности переменного или постоянного радиуса 
по произвольному закону в пространстве (рис. 1). 
Уравнение циклической поверхности в векторной 
форме имеет вид

 
r = r(u, v) = ρ(u) + R(u)e(u, v), 

где r(u, v) — радиус-вектор циклической поверхности; ρ(u) — радиус-вектор направляющей кривой 
(линии центров образующих окружностей); R(u) — 
закон изменения радиуса образующих окружностей; 
e(u, v) — вектор-функция окружности единичного 
радиуса в плоскости образующей окружности с нормалью n(u) (рис. 1); e0(u), g0(u) — орты прямоугольной 
системы координат в плоскости образующей окружности; υ – полярный угол в плоскости образующей 
окружности.
Коэффициенты основных квадратичных форм 
циклической поверхности:
 E
s
s
R
R
R

R
R

=
+
( )
′ +( )
′
(
)−
( )
′
(
)

 +

+
′ +
′
(
) +

2
0
0

2
2
0
0

2
2
te
tg
e g
tn en

e g
en′
(
)



2 ,

G
R
F
R s
R
=
=
( )+
′
(
)


2
0
0
,
,
    
   
tg
e g

σ =
( )+
′

 +
( )−
′
(
)


=
′
s
R
s
R
s
te
tn
en

2
2;
;
   
n

L
s
R T
s
R
T
=
( ) +
′


−
( )−
′
(
)


{
}
te
tn
en
1
2 / ,
σ    

N
R
s
R
=
( ) −
′
(
)


tn
en
/ ;
σ

T
s
s k
R
R
1
2

0
0

2

2

= ′( )+
(
)+
′
′
(
)−
′′
(
)+


+
′
(
)
′
(
)

tn
nn
en
en

e g
gn
,    ′ = ∂
∂
s
s
u
/
;

T
s
s k
R
R
2
2
0
0

2
2
= ′( )+
(
)−
′
(
) +
′
(
)

 +
′′
te
en
e g
en
;

M
R
s
R

s
R
R
=
( ) −
′


′
(
)−

− ( ) +
′


′
(
)










σ

tn
en
e g

te
gn

(
)
;
0
0

где t = ρ′/s; t, ν — единичные векторы касательной и 
нормали к линии центров.

Из циклических поверхностей наиболее широко 
используются поверхности вращения, круговые винтовые поверхности и трубчатые поверхности с произвольной линией центров. 
Дополнительная литература
1. Ivanov V.N. The problems of the geometry and the 
architectural design of shells based on cyclic surfaces// 
Spatial Structures in New and Renovation Projects of 
Buildings and Construction. Theory, Investigation, Design, 
Erection: Proceedings of International Congress ICSS98, June 22–26, 1998, Moscow, Russia. — Vol. 2. — M.: 
CSRCR, 1998. — P. 539–546 (библ.: 20 назв.).
В классе циклических поверхностей также рассмотрены подклассы:

Рис. 1

Рис. 2
e(u, v) = cosve0(u) + sinvg0(u)
g(u, v) = –sinve0(u) + cosvg0(u)
e0(u) × g0(u) = e(u,v) × g(u, v) = n(u)

ГЕОМЕТРИЯ И ГРАФИКА № 4. 2017 
GEOMETRY & GRAPHICS (2017). Vol. 5. Iss. 4. 3–14

j

i
k

ρ(u)

e(u, v)
n(u)
e0(u)

g0(u)
t
v

r(u, v)

Линия 
центров

Образующие окружности

Каналовые поверхности — поверхности, образующие окружности которых являются линиями кривизны. Каналовые поверхности Иоахимсталя — каналовые поверхности с окружностями (линиями 
кривизны), лежащими в плоскостях пучка (вращающейся плоскости). Циклиды Дюпена — двухканаловые поверхности — обе системы координатных 
линий кривизны являются окружностями. Нормальные 
циклические поверхности — образующие окружности движутся в нормальной плоскости линии центров. 
Трубчатые поверхности — нормальные циклические 
поверхности постоянного радиуса. Трубчатые поверхности являются каналовыми и входят в класс 
резных поверхностей Монжа.

Литература по расчету оболочек, 
очерченных по циклическим поверхностям
1. Кришна Редди Г.В. Безмоментная теория расчета оболочек в форме циклид Дюпена третьего порядка // Известия вузов. Строит. и архитектура. — 1967. 
№ 7. — С. 47–55.
2. Бойков И.К. Геометрия циклид Дюпена и их 
применение в строительных оболочках // Расчет 
оболочек строительных конструкций. — М.: УДН, 
1982. — С. 116–129 (библ.: 3 назв.).
 3. Иванов В.Н., Махмуд Хуссейн Аль-Хадж. Алгоритм 
расчета эпитрохоидальной оболочки по безмоментной теории// Вопросы прочности пространственных 
систем. — М.: РУДН, 1992. — С. 58–63 (библ.: 3 назв.).
4. Иванов В.Н., Жиль улбе-Матье. Пример расчета перемещений эпитрохоидальной оболочки от собственного веса по безмоментной теории // Теоретические 
и эксперим. исследования прочности и жесткости 
элементов строит. конструкций. — М.: МГСУ, 1997. —  
С. 82–86 (библ.: 5 назв.).
5. Якубовский А.М. Циклические каркасы из линий 
кривизны // Труды УДН. — Том 26 «Прикладная 
геометрия». — Вып. 3. — М.: УДН, 1967. — С. 85–90.
6. Стасенко И.В. Влияние начальных неправильностей на напряженное состояние тонкостенных 
криволинейных труб // Труды МВТУ. — М., 1980. —  
№ 332. — С. 146–160 (библ.: 13 назв.). 
7. Муха И.С., Савула Я.Г., Шинкаренко Г.А. К расчету трубчатых оболочек с произвольной криволинейной осью// Сопротивление материалов и теория 
сооружений. — Киев, 1981. — Вып. 39. — С. 71–74 
(библ.: 4 назв.).
 8. Сахабутдинов А.Ж. Модель для изучения нелинейной динамики трубопровода при кольцевом 
течении жидкости // Тр. XVII Межд. конф. по теории 
пластин и оболочек. — Том 2. — 15–20 сент. 1995, 
Казань. — Казань: КГУ, 1995. — С. 36–41. 
9. Иванов В.Н. Каналовые поверхности Иоахимсталя с плоской линией центров // Исследование 

пространственных систем. — М.: Изд-во РУДН, 
1996. — С. 32–36 (библ.: 3 назв.).
…………………………….
23. Whiston G.S. Use of screw translational symmetry 
for the vibration analysis of structures // Intern. J. Num. 
Meth. in Eng. — 1982. — Vol. 18, N 3. — P. 435–444 
(библ.: 2 назв.).
24. Whathan J.F., Tompson J.J. The bending and pressuring of pipe with flanged tangents // J. of Nucl. Eng. 
Desg. — 1979. — Vol. 54. — № 1. — P. 17–28.
25. Bantlin A. Formanderung und Beauspruchung 
Ausgleichsrohren // Z. Ver. Deut. Ing. — 1910. — No. 54. —  
S. 43–49.
Дополнительная литература
P.S.: Дополнительная литература приведена на 
соответствующих страницах раздела «Циклические 
поверхности».
Здесь список литературы сокращен.
Пример рассмотренной в энциклопедии циклической поверхности. 
Здесь приводится один из видов трубчатых поверхностей — трубчатые поверхности с направляющими кривыми (линями центров образующих окружностей) на опорной сфере. В энциклопедии имеется 
также общее определение трубчатых поверхностей, 
общее уравнение поверхности и формулы коэффициентов квадратичных форм. По каждому типу поверхности даются сведения, аналогичные приведенному примеру.

Трубчатая поверхность на сфере

a = 10;  b = 1,5;            p = 1;  t = 1;
–0,5π ≤ u ≤ 0,5π          –π ≤ u ≤ π
a = 10; b = 1; 
p = 2; t = 1;

a = 10;  b = 1; 
p = 1/6;    t = –1;
 –3π ≤ u ≤ 3π

a = 10;  b = 1; 
p = 1/10;    t = 3;
 –5π ≤ u ≤ 5π

a = 10;  b = 1; 
p = 5/3;    t = 3;
 –3π ≤ u ≤ 3π

GEOMETRY & GRAPHICS (2017). Vol. 5. Iss. 4. 3–14 
ГЕОМЕТРИЯ И ГРАФИКА № 4. 2017                                                              

Линия центров трубчатой поверхности на сфере 
расположена на сферической поверхности. Единичные 
нормали е0 к линии центров совпадают с нормалями 
к сферической поверхности. Векторное уравнение 
окружности единичного радиуса, расположенной в 
нормальной плоскости линии центров трубчатой 
поверхности будет иметь вид:

 
e(u,v) = cosve0 + sinvg0,

где e
e
i
j
k
0
0
=
( ) =
+
(
)
+
u
u
u
cos
sin
cos
sin ,
ω
ω

причем ω = pu; p = const; 
g
g
e
e
0
0
0
0
2
2
1 2
=
( ) =
′
×
[
]
=
′ +


u
s
s
/
;
cos
.

/
ω
ω

Формы задания трубчатой поверхности на сфере:
1) Векторная форма задания:
r(u, v) = ae0(u) + be(u, v), где a — радиус опорной 
сферической поверхности, на которой лежит линия 
центров; b = const — радиус образующей окружности 
трубчатой поверхности.
2) Параметрическая форма задания:
 x
x u v
a
b
v
u

b
s
v
u
u

= (
) =
+
(
)
+

+
−
′
(
)

,
cos
cos
cos

sin
sin
cos
cos
sin
;

ω

ω
ω
ω

y
y u v
a
b
v
u

b
s
v
u
u

=
=
+
+

+
+
′

( , )
(
cos )cos
sin

sin (sin
cos
sin
cos );

ω

ω
ω
ω

z
z u v
a
b
v

b
s
v
pu
p

=
=
+
−

−
=
′ =

( , )
(
cos )sin

sin cos
,
,
.

ω

ω
ω
ω
2
  
  
   
где

где v — угол, отсчитываемый в нормальной плоскости линии центров трубчатой поверхности на сфере.
Коэффициенты основных квадратичных форм 
поверхности и ее главные кривизны:

A
s a
b
v
b
s
v
=
+
+
+
′






(
cos )
sin
sin ;
1

2

2
ω
ω

F
B
b
L
A s
v
s
v
=
=
=
+
+
′














0
1

2

2
,
,
cos
sin
sin
;
  
  
ω
ω

M
N
b
k
k
L
A
k
k
b
u
v
=
=
=
=
=
=
0
1
1
2
2
,
,
/
,
/ .

Можно принять, что a = as + bt, где as — радиус 
выбранной сферы. При t = 1 трубчатая поверхность 
лежит на внешней поверхности выбранной сферы 
(рис. 1–3), при t = –1 трубчатая поверхность касается внутренней поверхности сферы с радиусом as 
(рис. 4). Если принять t > 1, то трубчатая поверхность 
будет находиться вне выбранной сферы, а при t < –1 
трубчатая поверхность будет помещаться внутри этой 
сферы, не касаясь ее. При t = 0 выбранная и опорная 

сферы совпадают. Все трубчатые поверхности, показанные на рис. 1–6 совместно с выбранными сферами радиусом as, имеют 0
2
≤
≤
v
π.

Трубчатые поверхности, изображенные на рис. 1, 
4, 5, можно отнести также к классу спиралевидных 
поверхностей (см. раздел «Спиралевидные поверхности»).
По классам и подклассам поверхностей приводятся сборные таблицы рисунков поверхностей.
Сводная таблица трубчатых поверхностей:
Трубчатые поверхности, 
представленные в энциклопедии

Закрытый
круговой тор
Предварительно 
закрученный 
круговой тор

Эвольвентная
 трубчатая
 поверхность

Гиперболическая 
трубчатая 
поверхность 

Параболическая
 трубчатая
 поверхность 

Циклоидальная
трубчатая
поверхность

Трубчатая
спиральная
поверхность

Трубчатая 
винтовая 
поверхность

Закрученная 
винтовая 
поверхность 

Винтообразная
поверхность 
переменного 
шага

Трубчатая 
поверхность на
однополостном
гиперболоиде

Трубчатая
поверхность,
обматывающая
сферу

Волнообразный 
тор на сфере
Спираливидная
трубчатая
поверхность

Синусоидальноая 
трубчатая 
поверхность 

ГЕОМЕТРИЯ И ГРАФИКА № 4. 2017 
GEOMETRY & GRAPHICS (2017). Vol. 5. Iss. 4. 3–14

Кроме энциклопедии поверхностей, опубликованы монографии по геометрии и методам расчета 
оболочек неканонических форм: монография по 
использованию поверхностей в реальном проектировании пространственных строительных конструкций и примеров реализованных реальных объектов 
в форме поверхностей, аналогичных приведенным 
в энциклопедии [11]; монография по методам расчета оболочек сложных геометрических форм [5]. В 
монографии даны сведения их общей дифференциальной геометрии и сведения по геометрии поверхностей рассматриваемых в монографии типов оболочек.
В 2016 г. опубликована монография Иванов В.Н., 
Романова В.А. Конструкционные формы пространственных конструкций. Визуализация поверхностей 
в системах "MathCad" и "AUTOCad" [6].
В энциклопедии последовательно описываются 
классы и подклассы поверхностей и отдельные виды 
поверхностей, даются определения и формулы поверхностей, коэффициентов квадратичных форм и 
рисунки конкретных видов поверхностей. Основной 
задачей монографии является разработка методики 
формообразования поверхностей, вывод уравнений 
наиболее общего типа, на основе которых возможен 
переход к различным классам и подклассам поверхностей. Это позволяет разрабатывать и создавать 
разнообразные формы поверхностей. Также в монографии рассматриваются возможности создания 
новых конструктивных форм пространственных конструкций из однотипных или отсеков поверхностей 
различных видов. 
В первой части монографии рассматривается геометрия поверхностей с системой плоских координатных линий. Практически, любую поверхность 
можно представить как последовательное положение 
семейства плоских кривых. Поверхность вращения 
можно представить как движение окружности переменного радиуса, движущейся вдоль прямой линии 
центров, или как последовательное положение плоской образующей линии (меридиана), вращающейся вокруг оси. Эти представления естественны. Однако 
пытаться описать ту же поверхность вращения на 
основе плоских кривых, получаемых поступательным 
движением плоскости, параллельной линии центров, 
нецелесообразно. Аналитические уравнения полу
чаемых таким образом координатных линий будут 
чрезвычайно сложны, а сама поверхность на основе 
этих линий трудно воспроизводимой.
Говоря о поверхностях с семейством плоских координатных линий, имеются в виду поверхности, 
которые образуются движением некоторой плоской 
кривой (образующей), по какому-либо выбранному 
закону в пространстве. При этом при своем движении 
образующая кривая также трансформируется по некоторому закону. Это позволяет создавать самые 
разнообразные пространственные формы.
Поверхность, получаемая движением в пространстве трансформирующейся в процессе перемещения 
плоской линией (рис. 3), может быть описана следующим образом.

Рис. 3. Поверхность с системой плоских координатных линий
                
Пусть задана некоторая пространственная или 
плоская направляющая кривая r(u). Кривая сопровождается трехгранником Френе (τ, ν, β — векторы 
касательной, нормали и бинормали). Зададим в каждой 
точке направляющей кривой секущую плоскость, положение которой определяем с помощью вектора единичной нормали n(u). Вектор нормали может быть 
представлен, например, в виде разложения по трехграннику Френе направляющей кривой. Уравнение 
поверхности с плоской системой координатных линий 
(рис. 3) в векторной форме может быть записано в виде 

ρ(u, v) = r(u) + R(u, v)e(u, v),
e(u, v) = cosve0(u) + sinvg0(u),

где e0(u), g0(u) — единичные ортогональные вектора 
в плоскости направляющей кривой.
На основе векторного уравнения получены формулы коэффициентов квадратичных форм. Получены 
условия, при которых образующие кривые являются 
линиями главных кривизн. 
Далее в монографии рассматриваются различные 
подклассы поверхностей с системой плоских координатных линий.

Трубчатые поверхности со сферическими линиями центров

GEOMETRY & GRAPHICS (2017). Vol. 5. Iss. 4. 3–14 
ГЕОМЕТРИЯ И ГРАФИКА № 4. 2017                                                              

Нормальные поверхности: образующие плоские 
кривые лежат в нормальной плоскости линии центров.
Циклические поверхности — образующие кривые — окружности переменного радиуса. Как частный 
случай каналовые поверхности с образующими окружностями — линиями главных кривизн. Трубчатые 
поверхности — нормальные циклические поверхности с окружностями постоянного радиуса. 
Поверхности с плоскостью параллелизма — образующие кривые перемещаются вдоль направляющей кривой и остаются параллельны заданной плоскости. Поверхности переноса — поверхности с плоскостью параллелизма с неизменной образующей.
Линейчатые поверхности — с образующими прямыми линиями. Цилиндрические и конусные поверхности. Торсовые (развертывающиеся) поверхности — образующие кривые — линии главных кривизн.
Поверхности с образующими кривыми в плоскостях пучка — образующие трансформирующиеся 
кривые во вращающейся плоскости с заданной осью 
вращения. Каналовые поверхности Иоахимсталя — 
поверхности с образующими окружностями в плоскостях пучка, являющимися линиями кривизны. 
Циклиды Дюпена — двухканаловые поверхности. 
Для каждого класса кривых получены уравнения 
поверхности на основе общего уравнения и уточненные формулы коэффициентов квадратичных форм. 
Приведены рисунки поверхностей с различными 
направляющими и образующими кривыми.
Далее в монографии рассмотрен метод построения 
поверхностей на четырех- и треуугольных планах,  
в том числе криволинейных. В основу положен предложенный американским ученым Стивеном Кунсом 
способ аппроксимации сложных поверхностей, которые не могут быть описаны одним уравнение [31], 
например корпусов автомобилей. Этот подход позволяет строить разнообразные формы поверхностей 
на четырех- и треугольных планах. 
Поверхность Кунса [35] строится на произвольном 
четырехугольном контуре (разбитом на 4 участка) 
как сумма двух линейчатых поверхностей, построенных по двум противоположным контурным кривым 
за вычетом косой плоскости (гипара), проведенной 
через угловые точки контура (рис. 4).
В монографии рассмотрены также способы построения поверхностей на основе эпи- и гипоциклоид — кривых, описываемых точкой окружности, 
катящейся по неподвижной окружности. Эти кривые 
движутся по циклическим поверхностям переменного радиуса, образуя новые системы поверхностей 
с системой плоских координатных линий (рис. 5).
Получены способы построения коробчатых конструкций, образованных движением многоугольни
ков, вписанных в окружность циклической поверхности переменного радиуса (рис. 6).
На основе отсеков поверхностей можно строить 
комбинированные формы поверхностей из отсеков 
однотипных или различных типов поверхностей  
(рис. 7).
В системе MathCad необходимо использовать скалярные формулы для каждой координаты прямоугольной системы. Однако скалярные формулы для 
сложных форм поверхностей обычно бывают очень 
громоздкими. При их написании можно допустить 
описки, тогда может быть получена искаженная форма поверхности. Более удобна векторная форма урав
Рис. 4. Поверхности Кунса

Рис. 5. Конические эпи- и гипоциклоидальные 
поверхности

ГЕОМЕТРИЯ И ГРАФИКА № 4. 2017 
GEOMETRY & GRAPHICS (2017). Vol. 5. Iss. 4. 3–14

нений, в которой записано большинство уравнений 
поверхностей в монографии. В ней показано, как 
путем введения некоторых векторов, в частности орт 

Рис. 6. Коробчатые поверхности 

Рис. 7. Композиции  поверхностей

Рис. 8. Гиперболический параболоид 

прямоугольной системы, можно пользоваться векторными уравнениями для визуализации поверхностей в системе MathCad. 
Приведенные выше рисунки поверхностей реализованы в системе MathCad. Система AutoCad позволяет не только реализовать визуализацию конечного вида отсеков поверхностей, но и визуализацию 
в виде видеофильмов, показывая способ формообразования поверхности. Конечно, это возможно при 
использовании ЭВМ. 

Приведенные примеры визуализации поверхностей показывают большие возможности создания новых 
форм пространственных конструкций и их использования в архитектуре и современном градостроительстве.

Примеры визуализации поверхностей в системе AutoCad

Рис. 9. Образование тора

Рис. 10. Образование прямого геликоида
Рис. 11. Поверхности с радиальными волнами

GEOMETRY & GRAPHICS (2017). Vol. 5. Iss. 4. 3–14 
ГЕОМЕТРИЯ И ГРАФИКА № 4. 2017                                                              

Литература

1. Бранков Г.Й. Някои въпроси от моментната и безмоментната теория на черупките. Трудове на научноизследовательския строителен институт [Текст] / Г.Й. Бранков. — София, 1959. — № 2.
2. Бранков Г.Й. Вълнообразни черепкови конструкции 
[Текст] / Г.Й. Бранков. — София: Изд-во на Българската Академия на науките, 1961. — 80 с.
3. Выгодский М.Я. Дифференциальная геометрия [Текст] / 
М.Я. Выгодский. –М., Л.: ГИТТЛ, 1949. — 512 с.
4. Иванов В.Н. Расчет оболочек в форме циклических поверхностей [Текст]: автореф. дис. … канд. техн. наук / 
В.Н. Иванов. — М., 1971.
5. Иванов В.Н. Аналитические методы расчета оболочек 
неканонической формы [Текст]: монография / В.Н. Иванов, С.Н. Кривошапко. — М.: Изд-во РУДН, 2010. — 
540 с.
6. Иванов В.Н. Конструкционные формы пространственных конструкций. Визуализация поверхностей 
в системах MathCad и AutoCad [Текст]: монография /  
В.Н. Иванов, В.А. Романов. — М.: АСВ, 2016. — 412 с.
7. Каган В.Ф. Основы теории поверхностей [Текст] /  
В.Ф. Каган. — М.-Л.: ОГИЗ, 1947, т. 1. — 512 с.; 1948,  
т. 2. — 408 с.
8. Кривошапко С.Н. Расчет торсовых (невырожденных) 
оболочек в криволинейных неортогональных координатах [Текст]: автореф. дис. … канд. техн. наук /  
С.Н. Кривошапко. — М., 1981.
9. Кривошапко С.Н. Аналитические поверхности [Текст] / 
С.Н. Кривошапко, В.Н. Иванов, С.М. Халаби. — М.: 
Наука, 2006. — 540 с.
10. Кривошапко С.Н. Энциклопедия аналитических поверхностей [Текст] / С.Н. Кривошапко, В.Н. Иванов. — М.: 
ЛИБРОКОМ, 2010. — 560 с. — 2015 (2-е изд).
11. Кривошапко С.Н. Аналитические поверхности в архитектуре зданий, конструкций и изделий [Текст]: монография / С.Н. Кривошапко, И.А. Мамиева. — М.: ЛИБРОКОМ, 2012. — 328 с.
12. Кришна Редди Г.В. Расчет оболочек в форме циклид 
Дюпена [Текст]: автореф. дис. … канд. техн. наук /  
Г.В. Кришна Редди. — М., 1966.
13. Маруланда Ю.А. Расчет оболочек в форме поверхностей Монжа [Текст]: автореф. дис. … канд. техн. наук /  
Ю.А. Маруланда. — М.: Изд-во УДН, 1970.
14. Милинский В.И. Диференциальная геометрия [Текст] / 
В.И. Милинский. — Л.: Кубуч, 1934. — 332 с. 
15.  Михайленко В.Е. Формообразование оболочек в архитектуре [Текст] / В.Е. Михайленко, В.С. Обухова,  
А.Л. Подгорный. — Киев: Будевильник, 1972. —  
206 с.
16. Михайленко В.Е. Конструирование форм современных 
архитектурных сооружений [Текст] / В.Е. Михайленко, 
С.Н. Ковалев. — Киев: Будевильник, 1978. — 112 с.
17. Монж Г. Приложение анализа к геометрии [Текст] /  
Г. Монж. — М.: ОНТИ, 1936.

18. Норден А.П. Теория поверхностей [Текст] / А.П. Норден. — М.: ГИТТЛ, 1956. — 260 с. 
19. Паймушин В.Н. К задаче параметризации срединной 
поверхности оболочки сложной геометрии [Текст] / 
В.Н. Паймушин // Прочности и надежность сложных 
систем. — Киев, 1979. — С. 78–84.
20.  Рашевский П.К. Курс дифференциальной геометрии 
[Текст] / П.К. Рашевский. — М.-Л.: ГИТТЛ, 2004. —  
428 с.
21. Рекач В.Г. Расчет оболочек сложной геометрии [Текст] / 
В.Г. Рекач, С.Н. Кривошапко. — М.: Изд-во УДН,  
1988. — 176 с.
22. Скидан И.А. Геометрическое моделирование кинематических поверхностей в специальных координатах 
[Текст]: автореф. дис. … д-ра техн. наук / И.А. Скидан. — 
М., 1989.
23. Скидан И.А. Аналитическая теория формообразования оболочек // Архитектура оболочек и прочностной расчет тонкостенных строительных и машиностроительных конструкций сложной формы [Текст] /  
И.А. Скидан // Труды международной научной конференции, Москва, 4–8 июня 2001 г. — М.: Изд-во РУДН. — 
С. 366–371.
24. Стеблянко В.Т. Об одном методе задания частного вида 
эпитрохоидальных поверхностей [Текст] / В.Т. Стеблянко // Прикладная геометрия и инженерная графика. — Киев, 1975. — Вып. 20. — C. 89–91. 
25. Фиников С.П. Теория поверхностей [Текст] / С.П. Фиников. — М.-Л.: ГТТИ, 1934. — 285 с. 
26.  Шуликовский В.И. Классическая дифференциальная геометрия [Текст] / В.И. Шуликовский. — М.: ГИФМЛ, 
1963. — 540 с.
27. Якупов Н.М. Фрагменты оболочек сложной геометрии 
в тороидальной системе координат [Текст] / Н.М. Яку- 
пов // Исследования по теории оболочек. Труды семинара. — Казань: Казанский физико-технический институт, 1988. — Вып. 21. — Ч. 1. — С. 130–137.
28. Якупов Н.М. Расчет упругих тонкостенных конструкций сложной геометрии [Текст] / Н.М. Якупов, М.Н. Се- 
разутдинов. — Казань: ИММ РАН, 1993. — 206 с.
29. Davis R.F. On the cylindroid // The Mathematical Gazette. 
Jul. 1990. Vol. 1. № 22. P. 370–371. 
30. Dupin Ch. Developpment de Geometrie. Paris, 1813. 
31. Forsyth A.R. Lectures on the Differential Geometry of Curves 
and Surfaces. Cambridge. 1920.
32. Krivoshapko S.N., Ivanov V.N. Encyclopedia of Analytical 
Surfaces. Springer International Publishing Switzerland, 
2015. 752 p. 
33. Maxwell J.C. On the Cyclide. Quarterly Journal of Pure and 
Applied Mathematics, 9, 1868. P. 111.
34. Meszrios F. Die Zykliden 3. Ordnung im Pseudoisotropen 
Raum // Math. Pannon. 1993. № 2, II. C. 273–285.
35. Steven А. Coons. Surfaces for Computer-Aided Design in 
Space Form. Massachusetts Institute of Technology Cambridge, MA, USA, 1967.

ГЕОМЕТРИЯ И ГРАФИКА № 4. 2017 
GEOMETRY & GRAPHICS (2017). Vol. 5. Iss. 4. 3–14