Гюйгенс и Барроу, Ньютон и Гук

В. И. Арнольд

Гюйгенс и Барроу, Ньютон и Гук

Первые шаги математического анализа
и теории катастроф, от эвольвент
до квазикристаллов

Электронное издание

Издательство МЦНМО
Москва, 

УДК ()
ББК .г
A

Арнольд В. И.
Гюйгенс и Барроу, Ньютон и Гук. Первые шаги математического
анализа и теории катастроф, от эвольвент до квазикристаллов
Электронное издание
М.: МЦНМО, 
 с.
ISBN ----

В книге, написанной на основе лекции для студентов, посвященной трехсотлетию «Математических начал натуральной философии»
Ньютона, рассказываетсяо рождении современной математики и теоретической физики в трудах великих ученых XVII века. Некоторые
идеи Гюйгенса и Ньютона опередили свое время на несколько столетий и получили развитие только в последние годы. Об этих идеях,
включая несколько новых результатов, также рассказано в книге.
Для студентов и преподавателей вузов, учителей математики
средней школы и историков науки.

Подготовлено на основе книги: В. И. Арнольд. Гюйгенс и Барроу,
Ньютон и Гук. Первые шаги математического анализа и теории
катастроф, от эвольвент до квазикристаллов. — -е изд., доп. — М.:
МЦНМО, .

ISBN ----
© Арнольд В. И., .
© МЦНМО, .

Оглавление

Гюйгенс и Барроу, Ньютон и Гук . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .


Глава . Закон всемирного тяготения
§ . Ньютон и Гук . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

§ . Задача о падении тел . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 
§ . Закон обратных квадратов . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 
§ . Principia . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 
§ . Притяжение сфер . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 
§ . Доказал ли Ньютон эллиптичность орбит?
. . . . . . . . . 

Глава . Математический анализ
§ . Анализ как теория степенных рядов . . . . . . . . . . . . . . 
§ . Многоугольник Ньютона . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 
§ . Барроу . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 
§ . Ряды Тейлора . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 
§ . Лейбниц . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 
§ . Дискуссия об изобретении анализа . . . . . . . . . . . . . . 

Глава . От эвольвент до квазикристаллов
§ . Эвольвенты Гюйгенса
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 
§ . Волновые фронты Гюйгенса . . . . . . . . . . . . . . . . . . 
§ . Эвольвенты и икосаэдр . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 
§ . Икосаэдр и квазикристаллы
. . . . . . . . . . . . . . . . . . 

Глава . Небесная механика
§ . Ньютон после Principia . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 
§ . Натуральная философия Ньютона
. . . . . . . . . . . . . . 
§ . Триумфы небесной механики . . . . . . . . . . . . . . . . . 
§ . Теорема Лапласа об устойчивости . . . . . . . . . . . . . . 
§ . Падает ли Луна на Землю? . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 
§ . Задача трех тел
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 
§ . Закон Тициуса—Боде и малые планеты . . . . . . . . . . . 
§ . Люки и резонансы
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 

Глава . Второй закон Кеплера и топология абелевых интегралов
§ . Теорема Ньютона о трансцендентности интегралов . . . 
§ . Глобальная и локальная алгебраичность . . . . . . . . . . 



§ . Теорема Ньютона о локальной неалгебраичности . . . . 
§ . Аналитичность гладких алгебраических кривых . . . . . 
§ . Алгебраичность локально алгебраически квадрируемых овалов . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 
§ . Алгебраически неквадрируемые кривые с особенностями . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 
§ . Доказательство Ньютона и современная математика . . 

Добавление . Доказательство эллиптичности орбит . . . . . . . . 

Добавление . Лемма XXVIII из Principia Ньютона . . . . . . . . . . 

Примечания . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 



Гюйгенс и Барроу, Ньютон и Гук

В  году исполнилось  лет «Математическим началам натуральной философии» Ньютона — книге, заложившей основы всей
современной теоретической физики. С этой книги, собственно говоря, и начинается теоретическая физика. Почти тогда же и там
же начался математический анализ. Первая публикация по анализу относится к  году, и принадлежит она не Ньютону, так и не
опубликовавшему своих открытий в этой области, а Лейбницу.
Говоря∗ о содержании «Математических начал натуральной философии», стоит посмотреть, как была написана эта книга, из чего
она возникла, какие задачи решались, когда создавался анализ, для
чего он создавался, почему он так называется, откуда взялись его
основные понятия, например, почему в анализе мы говорим о функциях и т. д. Все эти вопросы относятся к ньютоновской эпохе конца XVII века, когда работала целая плеяда блестящих математиков.
Последующее развитие математики совершенно затмило их достижения, поэтому грандиозные открытия тех времен сейчас издалека
кажутся нам меньшими, чем они были на самом деле. Среди этих математиков, кроме всем известных Декарта, Паскаля и Ферма, предшествовавших Ньютону и Лейбницу, и работавшего немного позже
Иоганна Бернулли, необходимо назвать Барроу, непосредственного
предшественника и учителя Ньютона, и Гюйгенса, который решал
те же самые задачи, что и Ньютон с Лейбницем, но обычно несколько опережая их и безо всякого анализа.
Математические открытия Гюйгенса постигла странная судьба.
Большинство из них вошло в анализ не при его жизни, а значительно позднее, и в основном благодаря трудам других математиков
(например, Гамильтона, работавшего более чем  лет спустя).
Теперь эти результаты входят в науку под видом симплектической

∗ Настоящая книжка представляет собой расширенный вариант доклада, прочитанного  февраля  года при открытии студенческого лектория Московского математического общества. Автор благодарен А. Ю. Вайнтробу, предоставившему свою
запись этого доклада, а также В. Л. Гинзбургу и А. П. Юшкевичу за полезные замечания. Доклад дополнен материалами статей «Триста лет математического естествознания» (Природа, , № , c. —) и «Второй закон Кеплера и топология абелевых
интегралов» (Квант, , № , c. —).



геометрии, вариационного исчисления, оптимального управления,
теории особенностей, теории катастроф... Про некоторые из них
мы узнаем только сейчас. Например, недавно выяснилось (доклад
Беннекена ()∗ на семинаре Бурбаки), что в первом учебнике анализа, написанном Лопиталем по лекциям Иоганна Бернулли, содержится изображение многообразия нерегулярных орбит группы
Кокстера H3 (порожденной отражениями в плоскостях симметрии
икосаэдра). Это изображение появляется там не в связи с группой симметрий икосаэдра, а в качестве результата исследований
эвольвент плоских кривых с точкой перегиба, исследований очень
близких к Гюйгенсу (и, возможно, даже им проделанных, хотя первая публикация, по-видимому, принадлежит Лопиталю). Картинки,
появившиеся в недавних работах о связи икосаэдра с особенностями эволют и эвольвент, и, надо сказать, полученные современными
математиками не без труда и даже с помощью ЭВМ, как оказалось,
были известны уже в те времена.
К эвольвентам мы еще вернемся, а пока я расскажу об истории
книги Ньютона «Математические начала натуральной философии»
и о содержании основной части этой книги. По существу, эта книга была написана для решения одной-единственной задачи. И хотя
в ней содержатся, разумеется, и так называемые три закона Ньютона, и большое количество другого материала, но все это было написано практически менее чем за год только для того, чтобы изложить
решение одной задачи, а именно задачи о движении в поле силы, обратно пропорциональной квадрату расстояния до притягивающего
центра.
Первая часть рассказа — это история о том, откуда взялась эта
задача, почему Ньютон стал ею заниматься и что он, собственно
говоря, по этому поводу доказал. Это история о Ньютоне и Гуке.

∗ Ссылки подобного вида отсылают к примечаниям в конце книги.



Г л а в а 

Закон всемирного тяготения

§ . Ньютон и Гук

Имя Ньютона и его огромные заслуги и перед математикой, и перед физикой всем хорошо известны. Он родился в  году, в год
смерти Галилея, а умер в  году. Работы Ньютона в области теории тяготения стали знамениты в континентальной Европе благодаря Вольтеру, который в последние годы жизни Ньютона посетил
Англию и распропагандировал закон всемирного тяготения, произведший на него большое впечатление. Вольтер же поведал миру и о
знаменитом яблоке, о котором ему рассказала племянница Ньютона Катерина Бартон ().
Роберт Гук — старший современник Ньютона — известен гораздо меньше. Он родился в  году, а умер в  году. Гук был небогатым человеком и начал свою деятельность в качестве ассистента у Бойля (который теперь всем известен благодаря открытому Гуком закону Бойля—Мариотта ()), т. е., попросту говоря, лаборантом. Впоследствии Гук стал работать в только что образованном
Королевском обществе (т. е. английской академии наук) в должности куратора. Обязанности куратора Королевского общества были
весьма нелегкими. Согласно контракту, он должен был на каждом
заседании Общества (а они происходили еженедельно, кроме времени летних каникул) демонстрировать три или четыре опыта, доказывающих новые законы природы.
На посту куратора Гук находился в течение сорока лет и все это
время тщательнейшим образом исполнял свои обязанности. Разумеется, в контракт не входило условие, что все демонстрируемые
законы должны быть изобретены им самим. Ему разрешалось читать книги, переписываться с другими учеными, интересоваться
их открытиями. Требовалось только проверять, справедливы ли
их утверждения, и убеждать членов Королевского общества в том,
что такой-то закон надежно установлен. Для этого необходимо бы


ло этот закон экспериментально доказать, продемонстрировав соответствующий опыт. В этом и состояла служебная деятельность
Гука.
Гук по обязанности интересовался всеми естественно-научными
открытиями других, но и самому ему тоже приходилось делать открытия. К концу жизни он насчитывал  открытых им законов.
Надо сказать, что эти столь многочисленные открытия Гука составляют основу современной науки. Очень многие из них более или
менее параллельно были открыты другими учеными, поэтому очень
часто сейчас законы, открытые Гуком, известны, но приписываются другим людям. В итоге закон упругости (сила пропорциональна
удлинению) носит имя Гука, а остальные его открытия носят другие имена. Гук, например, открыл клеточную структуру растений.
Он усовершенствовал микроскоп и первым наблюдал, что растения
состоят из клеток. Он разглядывал в микроскоп различные предметы и все, что видел, зарисовывал. Ясно, что, глядя в микроскоп на
новые вещи, он немедленно делал новые открытия. Гук сам лично
гравировал картинки, которые видел в микроскоп, и даже издал на
основе этого книгу «Микрография», приведшую позднее Левенгука
к его знаменитым биологическим открытиям.
В те времена легко было совершать фундаментальные открытия,
и все их помногу и совершали. Гюйгенс, к примеру, усовершенствовал телескоп, посмотрел на Сатурн и открыл его кольцо, а Гук обнаружил Красное пятно на Юпитере. Тогда открытия не были необычными событиями, они не регистрировались, не патентовались, как
сейчас, они были чем-то совершенно повседневным. (Так дело обстояло не только в области естествознания. Математические открытия в то время сыпались тоже как из рога изобилия ().)
Но у Гука никогда не было достаточно времени, чтобы остановиться на каком-нибудь своем открытии и подробно его развить,
так как на следующей неделе ему нужно было демонстрировать
новые законы. Поэтому при всем многообразии достижений Гука
его открытия выглядели несколько незавершенными, и иногда он
в спешке делал утверждения, которые не мог аккуратно и строго
математически обосновать.
Одним из открытий, на которые Гук претендовал, было открытие волновой природы света. (Что свет—это волны, примерно одновременно с Гуком утверждал также и Гюйгенс.) Гук в своих выводах
основывался на изучении цветов тонких пленок (мыльных пузырей,
например). Он считал, что интерференция света в мыльных плен


ках доказывает его волновую природу. В связи с этим Гук впервые
столкнулся с Ньютоном.
Ньютон тоже занимался проблемой света. Он разложил белый
свет на радужные составляющие, определил цвета солнечного спектра и заложил тем самым основы современной спектроскопии —науки в значительной степени волновой. Тем не менее Ньютон придерживался другой теории и считал, что свет состоит из движущихся частиц. Звук— это волны, потому что звук может огибать препятствия

Рис. . Образование колец Ньютона

(его можно слышать, даже если источник
скрыт за холмом, так что холм, по существу,
не является препятствием для звука), а свет
препятствий не огибает, из-за холма его не
увидишь — какие же это волны?
Надо сказать, правда, что, несмотря на
утверждение, что свет — это частицы, Ньютон был первым, кто измерил длину световой волны. Сделал он это так. Если на
стекло положить линзу и освещать сверху
(рис. ), то длины путей световых лучей,
встречающихся в одной точке, будут различны и, в зависимости от того, целому или нецелому числу длин
волн равна разность, лучи будут усиливать друг друга или гаситься.
Поэтому, глядя на стекло сверху, можно увидеть кольца, состоящие
из точек равной освещенности (эти кольца называются кольцами
Ньютона, но открыл их Гук). Важно, что толщина воздушного клина
между линзой и стеклом пропорциональна квадрату расстояния до
точки касания. Благодаря этому радиусы колец оказываются пропорциональными корню квадратному из произведения длины волны на радиус кривизны линзы. Вследствие этого радиусы колец не
так малы, как длина волны, и кольца можно наблюдать. Измерив
эти кольца, можно найти длину волны света, что Ньютон и сделал. Но как же он вычислил длину волны, если в волновую природу
света не верил? Дело в специфике ньютоновской теории света. Он
считал, что световые частицы летят в пространстве не равномерно,
а во время движения испытывают периодические приступы (припадки — fits — нечто вроде современных представлений о внутренних степенях свободы частиц). Таким образом он измерял расстояние между положениями частицы при двух соседних приступах.
Итак, между Ньютоном и Гуком возникли разногласия. Может
быть, их удалось бы обойти, если бы не отягчающее обстоятельство.

