Эли Картан (1869-1951)

М. А. АКИВИС
Б. А. РОЗЕНФЕЛЬД

ЭЛИ КАРТАН

1869 —1951

Электронное издание

Москва
Издательство МЦНМО
2014

УДК 51(092) + 514
ББК 22.1г + 22.15
А39

Акивис М.А., Розенфельд Б. А.
Эли Картан (1869—1951)
Электронное издание
М.: МЦНМО, 2014
325 с.
ISBN 978-5-4439-2005-4

Книга посвящена описанию жизни и творчества великого французского математика Эли Картана, работы которого оказали огромное влияние на
развитие математики в XX веке.

Подготовлено на основе книги: М. А. Акивис, Б. А. Розенфельд. Эли
Картан (1869—1951). — М.: МЦНМО, 2007.

Издательство Московского центра
непрерывного математического образования
119002, Москва, Большой Власьевский пер., 11,
тел. (499) 241 74 83.
http://www.mccme.ru

ISBN 978-5-4439-2005-4
© Акивис М. А., Розенфельд Б. А., 2007
© МЦНМО, 2014

Предисловие

В 2006 г. исполнилось 55 лет со дня смерти Эли Картана, одного из
величайших математиков XX века.
Эта книга написана двумя геометрами, работающими в двух областях
геометрии, созданных Эли Картаном.
Математическое наследие Картана настолько обширно, что все его
открытия невозможно описать в одной книге. Авторы ставят перед собой
более скромную задачу — описать и оценить только наиболее важные
достижения Картана и развитие его идей математиками позднейших поколений.
Главы 1—3 и 6 написаны Б. А. Розенфельдом, главы 5 и 7 —
М. А. Акивисом, глава 4 написана обоими авторами. Мы выражаем сердечную благодарность сыну Эли Картана — Анри Картану, одному из
крупнейших математиков нашего времени, который сообщил нам много
подробностей о жизни отца и передал семейные фотографии.
Первый вариант этой книги, написанный в 1989 г., был опубликован
в английском переводе в 1993 г. в серии «Математические монографии»,
издаваемой Американским математическим обществом (vol. 123). Анри
Картан написал авторам об этом переводе: «Это — лучший памятник
моему отцу».
Текст русского варианта книги не всюду точно совпадает с текстом ее
английского варианта. В нем исправлены замеченные опечатки, кое-где
текст сокращен, а в некоторых местах — значительно расширен.
Кроме того, в большей части русского варианта (главы 2—5) все
индексы у тензоров записываются снизу и суммирование обозначается
знаком в соответствии с тем, как это делал Картан в работах о группах
и алгебрах Ли; лишь в главах 6 и 7, посвященных римановым и обобщенным пространствам, эти индексы пишутся внизу и вверху.

Г л а в а 1

Жизненный путь Картана

Отчий дом

Эли Жозеф Картан родился 9 апреля 1869 г. в деревне Доломье
в департаменте Изер на юго-востоке Франции. Река Изер, имя которой
носит департамент, является одной из наиболее полноводных рек Франции, на которой в настоящее время стоят несколько гидроэлектростанций, питающих энергией промышленный район Гренобля — центра этого
департамента. Первая гидроэлектростанция на Изере была построена
в год рождения Э. Картана владельцем писчебумажной фабрики Аристидом Берже.
Департамент Изер является центральной частью исторической французской провинции Дофине, когда-то бывшей графством, входившим
в Бургундское королевство, а впоследствии вотчиной дофина — старшего
сына короля, наследника престола. Провинция Дофине простиралась
от Альп до реки Роны, левым притоком которой является Изер. Первоначально столицей Дофине был город Вьенн, впоследствии столицей
провинции стал Гренобль.
Доломье во время детства Картана имела около пятисот жителей
и была центром шелководства и шелкопрядения.
На рис. 1.1 видна площадь Марсово поле в Доломье (ныне площадь
Эли Картана) и дом, где Картан жил в детстве с 3 до 10 лет (дом семьи
Картана — второй справа).
Доломье была родиной известного геолога Деодата Ги Сильвена Грате
де Доломье (1750—1801), академика и участника знаменитого египетского похода Наполеона. Имя Доломье увековечено в названии открытого
им минерала — доломита.
Предки Картана были крестьянами. Сам Эли Картан писал свою фамилию Cartan, а его предки—по-разному. Упомянем два из этих вариантов: Quartant— «четвертующий» и Carthan, напоминающие о карфагенянах, которые под предводительством Ганнибала прошли через Испанию,
родные места Картана и Италию, до Рима, и пытались взять Рим.

Отчий дом
5

Рис. 1.1

Известно имя прадеда Эли Картана — Бенуа (1779—1854). Дед
Э. Картана, также носивший имя Бенуа (1801—1854), был мельником.

Рис. 1.2

Отец Э. Картана Жозеф (1837—1917)
родился в деревне Сен-Виктор-де-Морестель, находящейся в 13 км от Доломье. После его женитьбы на Анне
Коттаз (1841—1927) семья поселилась
в Доломье, где жила Анна. Жозеф
Картан
был
деревенским кузнецом.
Эли Картан вспоминал: «Мое детство
убаюкивалось ударами по наковальне,
раздававшимися каждое утро, начиная
с самой зари, и я еще вижу мою мать,
которая в мгновения, оставшиеся свободными от забот о детях и хлопот по
хозяйству, работает за прялкой» [189,
с. 51]. На рис. 1.2 мы видим родителей
Эли Картана в 1890 г. Э. Картан вспоминал о них, «скромных крестьянах,
которые в течение своей долгой жизни
дали своим детям пример радостного
труда и мужества в преодолении трудностей» [189, с. 51].

Глава 1. Жизненный путь Картана

В семье Картанов было четверо детей, из которых Эли был вторым. Старшая сестра Жанна-Мари (1867—1931) была портнихой, младший брат Леон (1872—1956) стал кузнецом и работал вместе с отцом.
Младшая сестра Эли, Анна (1878—1923), не без влияния брата стала
математиком. Она окончила Высшую Нормальную школу для девушек
в Севре и преподавала математику в различных лицеях для девушек. Анна
Картан была автором двух учебников для этих лицеев — по арифметике
и геометрии для первого года обучения и по геометрии для второго года
обучения, оба эти учебника выдержали много изданий.

Школьник и лицеист

Эли Картан начал учиться в начальной школе в родной деревне.
С большой теплотой он вспоминал своих учителей—Коллона и особенно
Дюпюи, давших двум сотням мальчиков первоначальное образование,
значение которого он смог оценить значительно позднее. Эли был лучшим учеником этой школы, впоследствии Дюпюи писал о нем: «Эли
Картан был застенчивым учеником, но в его глазах блистал удивительный свет незаурядного ума, соединенного с чудесной памятью. Ни
один вопрос не мог поставить его в затруднение: он знал все, чему
обучали в классе, и понимал все еще до того, как учитель заканчивал свои объяснения». Картан «мог не задумываясь перечислить все
супрефектуры в любом департаменте Франции» и от него «не ускользали никакие грамматические тонкости правил причастий прошедшего
времени» [189, с. 52].
Поворот в судьбе Картана произошел следующим образом: «Однажды кантональный делегат по имени Антонен Дюбо приехал для инспекции школы. Этот визит определил всю мою жизнь. Инспектор решил,
что я должен участвовать в конкурсе на стипендии в лицеях. Г-н Дюпюи управлял моей подготовкой с сердечным участием, которого я не
забуду никогда. Все это заставило меня совершить прекрасную поездку
в Гренобль, где я без особого труда сдал экзамены, оказавшиеся не
слишком страшными. Мои блестящие успехи наполнили гордостью г-на
Дюпюи, и, благодаря поддержке г-на Дюбо, который в течение всей
своей жизни с любовью вполне отеческой интересовался моей карьерой и моими успехами, я был награжден полной стипендией в коллеже
Вьенна» [189, с. 52].
Антонен Дюбо (1844—1921) был личностью замечательной во многих отношениях: журналист-республиканец в эпоху Наполеона III, после
установления во Франции Третьей Республики он стал префектом департамента Орн к западу от Парижа, затем переехал в департамент Изер,

Студент
7

депутатом от которого он был в 1880—1897 гг. В этот период он был министром юстиции в кабинете Казимира Перье. В 1897 г. Дюбо избирается
в Сенат, в 1906—1920 гг. он был председателем Сената Франции.
Картан характеризовал Дюбо как человека, обладающего неиссякаемым оптимизмом, основанным на горячей вере в прогресс, силе разума
и желании находить истину и делать добро.
В это время во Франции имелись два типа средних учебных заведений — коллежи, принадлежавшие местному самоуправлению, и лицеи,
принадлежавшие Министерству народного просвещения.
«Таким образом,—вспоминал Картан,—в возрасте десяти лет я с радостью покинул отчий дом, не подозревая, что уже через несколько дней
я пожалею о том, что потерял. Я должен был привыкнуть к жизни в общежитиях, где мне пришлось провести более десяти лет. После пяти лет
коллежа, где мне приходилось ограничивать себя скудной едой два раза
в день, моя стипендия была переведена в Гренобльский лицей, где я закончил свое классическое образование риторикой и философией, а затем
в лицей Жансона де Сайи, который совсем недавно открылся и все были
в восхищении от успеха Ле Дантека, принятого первым в Нормальную
школу.
В лицее Жансона у меня были замечательные преподаватели—Соломон Блош (по элементарной математике) и Эмиль Лакур (по специальной
математике)» [189, с. 52]. В лекции [190] Картан вспоминал, что он решил стать математиком после того как прочел книгу Л. Эйлера «Введение
в анализ бесконечно малых», которой его наградили за успехи в лицее
Жансона де Сайи.
В одном классе с Картаном в этом лицее учился Жан Батист Перрен (1870—1942), впоследствии один из наиболее замечательных физиков Франции, которого связывала с Картаном дружба в течение всей
жизни.

Студент

По окончании лицея Жансона де Сайи Картан решил стать математиком. В Париже в то время математиков готовили в Парижском университете, основанном в 1253 г. Робером Сорбоном, в Политехнической
школе и в Высшей Нормальной школе, которые были открыты во время
Великой Французской революции.
Политехническая школа, в которой обучались три (впоследствии два)
года, давала математическую и общетехническую подготовку, после которой студенты проходили специализацию в высших технических учебных
заведениях.

Глава 1. Жизненный путь Картана

Высшая Нормальная школа была высшим педагогическим учебным
заведением с трехгодичным обучением. Картан поступил в Высшую Нормальную школу в 1888 г. Во время обучения в этой школе Картан также
посещал лекции в Сорбонне.
Из профессоров, лекции которых Картан слушал в это время, на
первое место он ставил «математического гиганта Анри Пуанкаре, лекции
которого потрясали нас. Нет ни одной ветви современной математики,
которая не испытала бы его влияния» [189, с. 54].
Пуанкаре (1854—1912) был не только математиком, но и физиком,
астрономом и философом. В 1883 г. Пуанкаре создал теорию автоморфных функций, тесно связанную с теорией групп и с геометрией Лобачевского. Пуанкаре привлек внимание Картана к геометрическим применениям теории групп.
Картан упоминал также Шарля Эрмита (1822—1901), специалиста
по анализу, алгебре и теории чисел. В связи с задачами теории чисел он ввел «эрмитовы формы», играющие важную роль в геометрии.
Картан упоминал Жюля Таннери (1848—1910), одного из основателей
французской теоретико-множественной школы; Гастона Дарбу (1842—
1917) — геометра, одного из основоположников метода подвижного репера, известного также своими работами по теории дифференциальных
уравнений; Поля Аппеля (1855—1930), специалиста по анализу и механике; Эмиля Пикара (1856—1941), который работал в области теории
дифференциальных уравнений и широко применял в ней геометрические
и теоретико-групповые методы; Эдуарда Гурса (1858—1936), автора работ по теории дифференциальных уравнений и о группах преобразований.
Высшая Нормальная школа в то время была тесно связана с норвежским математиком Софусом Ли (1842—1899), который в 1886—1889 гг.
возглавлял кафедру геометрии в Лейпцигском университете. В 1888—
1889 гг. по рекомендации Ж. Таннери и Г. Дарбу несколько молодых французских математиков, в том числе Эрнест Вессио (1865—1952) и Артюр
Тресс (1868—1958) в течение года учились у С. Ли в Лейпциге. Живо интересовался работами С. Ли и Пикар. После возвращения Вессио
в Париж появились статьи Пикара и Вессио о применении непрерывных групп к проблеме интегрируемости дифференциальных уравнений,
продолжавшие исследования Софуса Ли. Конечномерные непрерывные
группы, которые рассматривал С. Ли, в настоящее время называются
группами Ли; С. Ли называл эти группы «конечными непрерывными
группами».
Картан окончил Высшую Нормальную школу в 1891 г. и стал лектором факультета естественных наук университета в Монпелье, но вскоре

Доктор наук
9

был призван во французскую армию, где служил в течение года и получил
звание сержанта.

Доктор наук

В статьях Пикара и Вессио особую роль играли так называемые
разрешимые, или интегрируемые, группы Ли. В связи с этим возникла
задача о перечислении всех простых групп Ли, так как наличие простых
подгрупп в группе Ли свидетельствует о ее неразрешимости.
Теории простых групп Ли была посвящена опубликованная в 1888—
1890 гг. статья немецкого математика Вильгельма Киллинга (1847—1923)
«Строение конечных непрерывных групп преобразований» [Kil2]. Интерес Картана к этим вопросам возник под влиянием А. Тресса, учившегося вместе с ним в Высшей Нормальной школе. Вернувшийся из
Лейпцига А. Тресс рассказал Картану о статье Киллинга и о том, что
в ней было найдено несколько неверных утверждений о нильпотентных
группах («группах нулевого ранга»). Тресс сообщил Картану, что лейпцигский математик Ф. Энгель поставил перед своим учеником К. А. Умлауфом (1866—?) задачу исправления неточностей Киллинга. Умлауф
задачу выполнил и защитил докторскую диссертацию «О строении конечных непрерывных групп преобразований, в особенности групп нулевого
ранга» [Um] (1891). Тресс посоветовал Картану выяснить, не содержит
ли неточности основная часть работы Киллинга. Эта задача и привела
Картана к теме его докторской диссертации.
Картан работал над этой темой в 1892—1894 гг. в Париже. Как
окончивший Высшую Нормальную школу с отличием, Картан получил
стипендию фонда Пеко, учрежденную в 1885 г. для поддержки талантливых молодых ученых этой школы.
Картан изучил работу Киллинга и пришел к выводу, что главная
часть этой работы правильна, и что примененный Киллингом новый
метод, основанный на изучении «корней» простых групп Ли, является
исключительно эффективным методом для изучения таких групп. В то
же время Картан обнаружил некоторые ошибочные утверждения Киллинга.
Картан дал строгое доказательство многих результатов Киллинга
и провел полную классификацию всех комплексных простых групп Ли.
В 1892 г. Софус Ли приехал в Париж по приглашению Дарбу и Таннери и провел там 6 месяцев. Картан был представлен С. Ли и неоднократно с ним беседовал. Картан вспоминал, что в это время С. Ли
«часто можно было видеть в кафе ”La source“ на бульваре Сен-Мишель;
нередко бывало, что белое мраморное покрытие одного из его столиков